Unidad 5 – Logaritmos. Aplicaciones PÁGINA 93
SOLUCIONES 1. La solución en cada caso queda: 3
⎛ 105 ⎞ Al cabo de 3 años costará 15· ⎜ ⎟ = 17,36 euros. ⎝ 100 ⎠ 2
⎛ 105 ⎞ Hace 2 años costaba 15· ⎜ ⎟ = 13,61 euros. ⎝ 100 ⎠ 2. Los intereses que han producido son 30 euros, por tanto: 30 =
120· r ·6 1200
⇒
r = 50%
⇒ El rédito es del 50%.
3. En cada uno de los casos queda: i 8 x = 32 i 3 x ·9 x = 93
⇒
x= ⇒
x
⎛ 2 ⎞ 27 i ⎜ ⎟ = 8 ⎝3⎠
5 3
33 x = 3 6 x
⇒
⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ 3 ⎟ =⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
x =2
−3
⇒
x=−3
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4. En cada uno de los casos queda: a) Al cabo de 8 años tendremos 1·38 bulbos = 6 561 bulbos. b) El cálculo de los años queda: 3 x = 1 594 323 ⇒ 3 x = 313
⇒ x = 13 años han pasado.
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SOLUCIONES 1. Veamos si el producto de cuatro números enteros ( x − 1) x ( x + 1)( x + 2 ) es un cuadrado perfecto menos una unidad.
( x − 1) x ( x + 1) ( x + 2) = x 4 + 2 x 3 − x 2 − 2 x ⎫ ⎪ ( x + x − 1) = x + 2 x − x − 2 x + 1 2
2
4
3
2
2 2 ⎬ ⇒ Luego ( x − 1) x ( x + 1) ( x + 2) = ( x + x − 1) − 1 ⎪⎭
3 000 000 = 60 segundos en alcanzar Venus. Durante este tiempo la 50 000 señal, en sus idas y venidas ha recorrido: 300 000 ⋅ 60 = 18 000 000 km .
2. Ambos cohetes tardan
3. Planteamos lo siguiente:
71 = 7
⇒ termina en 7
72 = 49
⇒ termina en 9
7 = 343
⇒ termina en 3
7 = 2 401
⇒ termina en 1
3
4
7 = 16 807 ⇒ termina en 7 1
Por tanto hay cuatro terminaciones distintas que se repiten cíclicamente; de modo que:
83 578 4 R =2
20 894
Es decir, 783 578 termina en el mismo número que 72 , es decir, termina en 9.
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SOLUCIONES 1. Las soluciones quedan:
a) 1
b) 2
c)
1 2
d) 3
e) − 3
f) −
2 3
2. En cada caso queda: a) x = 10
b) x = 3
c) x = 8
d) x = − 4
e) x =
1 2
f) x = 100
3. En cada caso queda: a) 0,85
b) − 0,3010
c) 1,08
f) 0,805
g) 8,18
h) 16,95
e) − 1,39
d) 1,609 i) − 9,57
4. En cada caso queda:
a) 3
b) 3
c) 4
d) 2
e) 1,95
f) 6
5. En cada caso queda: ⎛ M2 ⎞ a) log2 ⎜ 3 ⎟ ⎝N ⎠
⎛ M34 ⎞ c) log ⎜ 2 ⎟ ⎜N 5 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ M ·N2 ⎞ b) ln ⎜ ⎟ ⎝ P ⎠
⎛ M 23 d) ln ⎜ ⎜ N ·P 32 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
6. En cada caso queda: a) x = 25
b) x = 5184
c) x = 1
d) x =
48 9
7. En cada caso queda:
a)
log5 = 2,32 log 2
2·log 6 d) = 0,85 log3
b)
log2 = 0,43 log5
log2 − log5 e) = 0,66 − log 4
c)
log0,6 = 0,42 log0,3
( 5 ) = 0,55 log ( 2 ) 3
log 4 f)
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8. Las soluciones son: a) log 6 = log 2 + log3 = 0,78 b) log5 = log10 − log2 = 0,70 c) log12 = 2·log2 + log3 = 1,08
log2 = 0,63 log3 3·log3 h) log2 27 = = 4,75 log2 2·log3 i) log5 9 = = 1,36 log5
g) log3 2 =
d) log18 = log2 + 2·log3 = 1,26
j) log0,03 = log3 − log100 = − 1,52
e) log300 = log3 + log100 = 2,48
k) log1200 = log12 + log100 = 3,08
f) log0,5 = log1− log2 = − 0,30
l) log0, 45 = 2·log3 − log2 − log10 = − 0,35
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SOLUCIONES 9. En cada apartado queda: a) El producto dentro de 4 años costará: 1,8·1,054 = 2,19 euros. b) Hace 4 años costaba: 1,8·1,05−4 = 1,48 euros. c) Llamando t al número de años que han de pasar obtenemos: 3,6 = 1,8·1,05t ⇒ 2 = 1,05t ⇒ Tomando logaritmos : t =
log 2 = 14,21 años. log1,05
Por tanto, han de pasar casi 15 años. 10. En cada apartado queda: 5
⎛8⎞ a) Al cabo de 5 años funcionan ⎜ ⎟ = 0,55 , el 55% de los televisores. ⎝9⎠ 15
⎛8⎞ Después de 15 años: ⎜ ⎟ = 0,17 , es decir, el 17% de los televisores. ⎝9⎠ 20
⎛8⎞ Al cabo de 20 años: ⎜ ⎟ = 0,09 , es decir, el 9% de los televisores. ⎝9⎠ b) Deberían pasar t años y se debe cumplir: t
⎛8⎞ ⎜ 9 ⎟ = 0,4 ⎝ ⎠
⇒
t=
log0,4 = 7,8 ⇒ Deberán pasar casi 8 años. ⎛8⎞ log ⎜ ⎟ ⎝9⎠
11. La solución de cada ecuación es: a) 128 x + 1 = 2 x b) 3 ·9 = 9 x
x
2
− x −2
c) 2− x = 83 − x
⇒
⇒
3
x1 = 9 y
3 =3 3x
⇒
6
d) 2x + 2x + 1 + 2 x + 2 = 7 ⇒
x =2
9 2 x x 2 + 2·2 + 4·2 x = 7 ⇒
2 − x = 29 − 3 x
⇒
x2 = − 1
⇒
x=
2x = 1
⇒
x =0
6 + 6 x = 7 ⇒ x1 = 0 y x2 = 1 6x f) 4 x +1 + 2x + 3 − 320 = 0 ⇒ 4·22 x + 8·2 x − 320 = 0 ⇒ 22 x + 2·2 x − 80 = 0 ⇒ x = 3
e) 61− x + 6 x = 7 ⇒
g) 2 + 2 x
x −1
h) 9 − 2·3 x
+2
x +2
x −2
2x 2x =1 ⇒ 2 + + =1 2 4 x
⇒
4 2 = 7 x
+ 81 = 0 ⇒ 3 − 18·3 + 81 = 0 ⇒ 2x
x
⇒
x=
( 7 ) = − 0,81
log 4
log 2
x =2
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i) 5 x + 1 = 10 + 3·52 − x j) 2 x
2
−5x
= 64−1
⇒
⇒
5·5 x = 10 +
2x
2
−5x
= 2−6
75 5x
⇒
⇒ x =1
x1 = 2 y
x2 = 3
12. Los sistemas quedan:
a) 2 x + 2y = 6 ⎪⎫ x =2 2x = 4 ⇒ ⇒ ⎬ y x y y =1 2 =2 2 − 2 = 2⎪⎭ b) 3 x + 3 y = 36 ⎫⎪ a + b = 36 ⎫ a = 27 y b = 9 ⇒ x = 3; y = 2 3x = a ⇒ ⇒ Haciendo obtenemos ⎬ ⎬ y a · b = 243 ⎭ a = 9 y b = 27 ⇒ x = 2; y = 3 3 =b 3 x + y = 243 ⎭⎪ c)
2 x + 5 y = 9 ⎫⎪ 2 x + 5 y = 9 ⎪⎫ x =2 2x = 4 ⇒ ⇒ ⇒ ⎬ ⎬ y x +2 y +1 x y y =1 5 =5 2 − 5 = − 9 ⎭⎪ 4·2 − 5·5 = − 9 ⎭⎪
d)
3 x = 3 y ⎫⎪ ⎬ ⇒ 4 x · 4 y = 256 ⎭⎪
x=y ⎫ x =2 ⎬ ⇒ x + y = 4⎭ y =2
13. Las soluciones quedan: ⎡ x2 ⎤ a) log2 ⎢ ⎥ = log2 4 ⎣ x − 16 ⎦
x2 =4 x − 16
⇒
b) log x = log ⎡⎣10 ⋅ ( 22 − x ) ⎤⎦ ⎡ ( 5 x + 4 )2 ⎤ ⎥ = log c) log ⎢ 4 ⎢⎣ ⎥⎦ d) log ⎡ 2x ⎣
2
−5 x +9
⇒
⋅125 ⎤ = log1000 ⎦
⇒
2 f) ln x = ln ⎡ 2 ⋅ ( x − 3 ) ⎤ ⎣ ⎦
⇒
⇒
No tiene soluciones reales
x = 10 ( 22 − x ) ⇒
⇒
( x + 4)
e) ln ⎡⎣( 2 x −3 ) ⋅ ( 5 − x ) ⎤⎦ = ln 5
⇒
(5x + 4) 4
2x
2
−5 x + 9
2
=x+4
=8
2
⇒
⇒
x1 =
x1 = 0 ; x2 = −
36 25
x1 = 2 ; x2 = 3
⇒
( 2x − 3 ) (5 − x ) = 5
x = 2 ⋅ ( x − 3)
x = 20
⇒
x1 = 4 ; x2 =
9 4
9 ; x2 = 2 2
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14. Los siguientes sistemas quedan: a) log3 x + log3 y = 0 ⎫ ⎬ x + y = 3⎭
b)
c)
x 2 − y 2 = 11⎫ ⎬ log x − log y = 1 ⎭
⎛x⎞ ⎫ log ⎜ ⎟ = 1 ⎪ ⎝y⎠ ⎬ log x + log y = 3 ⎪⎭
⇒
x ⋅ y =1 ⎫ ⎬ x + y = 3⎭
⇒
x 2 − y 2 = 11 ⎫ ⎪ x ⎬ = 10 ⎪ y ⎭
⇒
⇒
log x − log y = 1 ⎫ ⎬ log x + log y = 3 ⎭
x = 2,62 ; y = 0,38 x = 0,38 ; y = 2,62 10 3 1 y= 3 x=
⇒
⇒
log x = 2 ; x = 100 log y = 1 ; y = 10
d) log x + log y = 3log5 ⎫ log x = 2log5 ; x = 25 ⎬ ⇒ log x − log y = log5 ⎭ log y = log5 ; y =5
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SOLUCIONES 15. En cada caso queda: 1000 ⋅12 ⋅ 3 = 360 euros ⇒ Se transforma en 1300 euros 100 3 000 ⋅10 ⋅ t b) 900 = ⇒ t = 3 años 100 12 000 ⋅ 7 ⋅ 4 ⎫ c) i = ⇒ i = 3 360 euros ⎪ En ambos casos generan unos ⎪ 100 ⇒ ⎬ 12 000 ⋅ 7 ⋅ 48 intereses de 3 360 euros. i= ⇒ i = 3 360 euros ⎪ 1200 ⎪⎭ a) i =
16. Aplicando la fórmula: M = C (1+ r )t obtenemos: 8 000 = 4 000 ⋅ (1+ 0,055 )
t
⇒
2 = (1+ 0,055 )
t
⇒
t=
log 2 = 12,9 años log1,055
17. En cada caso queda:
i 2C = C (1+ r )
20
⇒
2 = (1+ r )
20
log2 ⇒ 1+ r = 1,035 ⇒ r = 0,035 20 Para que el capital se duplique al cabo de 20 años el rédito debe ser de un 3,5%. Tomando logaritmos obtenemos : log (1+ r ) =
log2 ⇒ r = 0,072 10 Para se duplique en 10 años se debe colocar a un rédito del 7,2%. i 2C = C (1+ r )
10
⇒ log (1+ r ) =
18. La solución queda:
2100 = C (1+ 0,08)7 ⇒ C = 1225,33 euros. 19. Queda: 48 ⎤ ⎛ 0,05 ⎞ ⎡⎛ 0,05 ⎞ ⋅ + − 1⎥ 60 ⎜ 1+ 1 ⎢⎜ ⎟ ⎟ 12 ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ ⎥⎦ = 3194,1468 euros C= 0,05 12
Al cabo de 4 años tendrá 3 194,1468 euros.
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20. Aplicando la fórmula: t a ⋅ (1+ r ) ⋅ ⎡(1+ r ) − 1⎤ ⎣ ⎦ C= r
5 a ⋅ (1+ 0,13 ) ⋅ ⎡(1+ 0,13 ) − 1⎤ ⎣ ⎦ ⇒ ⇒ 12 000 = 0,13
a = 1638,7385 euros
21. Aplicando la misma fórmula que en el problema anterior: 4 1500 ⋅ (1+ 0,045 ) ⎡(1+ 0,045 ) − 1⎤ ⎣ ⎦ = 6 706,06 euros C= 0,045
En la libreta después de sacar 5 000 euros quedan 1 706,06 euros.
22. Aplicando la fórmula: a =
1350 =
D ⋅ 0,09 ⋅ (1+ 0,09 )
(1+ 0,09 )
6
−1
D ⋅ r ⋅ (1+ r )
(1+ r )
t
t
−1
obtenemos:
6
⇒ D = 6 055,99 ⇒ La deuda asciende a 6 055,99 euros.
23. Aplicando la misma fórmula del problema anterior: 180
0,11 ⎛ 0,11 ⎞ 50 000⋅⎜ 1+ ⋅ ⎟ 12 ⎠ 12 ⎝ a= ⇒ a = 568,298 euros 180 ⎛ 0,11 ⎞ ⎜ 1+ 12 ⎟ − 1 ⎝ ⎠
La cuota mensual de amortización es 568,298 euros. En total hemos pagado:
⎛ 0,11 ⎞ ⎡⎛ 0,11 ⎞ 568,298 ⋅ ⎜ 1+ ⎢ 1+ 12 ⎟⎠ ⎣⎢⎜⎝ 12 ⎟⎠ ⎝ C= 0,11 12 180
180
⎤ − 1⎥ ⎦⎥
= 260 767,83 euros.
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24. Aplicando la fórmula: A =
4 200 =
D ⋅ r ⋅ (1+ r )
(1+ r )
29 500 ⋅ 0,07 ⋅1,07t 1,07t − 1
t
t
−1
obtenemos:
⇒ 1,07t = 1,9672 ⇒ t = 10 años.
25. Aplicando la fórmula anterior obtenemos. D ⋅ 0,06 ⋅ (1+ 0,06 )
13
21000 =
(1+ 0,06 )
13
−1
⇒ D = 185 906,34 euros costó el camión.
26. Aplicando la fórmula anterior obtenemos:
528,7 =
0,08 ⎛ 0,08 ⎞ ⋅ 1+ 10 000 ⋅ 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ t
t
⇒
(
)
528,7 ⋅ 1,02t − 1 = 200 ⋅ 1,02t
⎛ 0,08 ⎞ ⎜ 1+ 4 ⎟ − 1 ⎝ ⎠ t ⇒ 1,02 = 1,60845 ⇒ t = 24 períodos
⇒ Es decir, pagará la moto en 6 años.
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