Tema5 logaritmos 1b matesccss solucionario

Unidad 5 – Logaritmos. Aplicaciones PÁGINA 93

SOLUCIONES 1. La solución en cada caso queda: 3

⎛ 105 ⎞ Al cabo de 3 años costará 15· ⎜ ⎟ = 17,36 euros. ⎝ 100 ⎠ 2

⎛ 105 ⎞ Hace 2 años costaba 15· ⎜ ⎟ = 13,61 euros. ⎝ 100 ⎠ 2. Los intereses que han producido son 30 euros, por tanto: 30 =

120· r ·6 1200

⇒

r = 50%

⇒ El rédito es del 50%.

3. En cada uno de los casos queda: i 8 x = 32 i 3 x ·9 x = 93

⇒

x= ⇒

x

⎛ 2 ⎞ 27 i ⎜ ⎟ = 8 ⎝3⎠

5 3

33 x = 3 6 x

⇒

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ 3 ⎟ =⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒

x =2

−3

⇒

x=−3

59

4. En cada uno de los casos queda: a) Al cabo de 8 años tendremos 1·38 bulbos = 6 561 bulbos. b) El cálculo de los años queda: 3 x = 1 594 323 ⇒ 3 x = 313

⇒ x = 13 años han pasado.

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SOLUCIONES 1. Veamos si el producto de cuatro números enteros ( x − 1) x ( x + 1)( x + 2 ) es un cuadrado perfecto menos una unidad.

( x − 1) x ( x + 1) ( x + 2) = x 4 + 2 x 3 − x 2 − 2 x ⎫ ⎪ ( x + x − 1) = x + 2 x − x − 2 x + 1 2

2

4

3

2

2 2 ⎬ ⇒ Luego ( x − 1) x ( x + 1) ( x + 2) = ( x + x − 1) − 1 ⎪⎭

3 000 000 = 60 segundos en alcanzar Venus. Durante este tiempo la 50 000 señal, en sus idas y venidas ha recorrido: 300 000 ⋅ 60 = 18 000 000 km .

2. Ambos cohetes tardan

3. Planteamos lo siguiente:

71 = 7

⇒ termina en 7

72 = 49

⇒ termina en 9

7 = 343

⇒ termina en 3

7 = 2 401

⇒ termina en 1

3

4

7 = 16 807 ⇒ termina en 7 1

Por tanto hay cuatro terminaciones distintas que se repiten cíclicamente; de modo que:

83 578 4 R =2

20 894

Es decir, 783 578 termina en el mismo número que 72 , es decir, termina en 9.

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PÁGINA 112

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SOLUCIONES 1. Las soluciones quedan:

a) 1

b) 2

c)

1 2

d) 3

e) − 3

f) −

2 3

2. En cada caso queda: a) x = 10

b) x = 3

c) x = 8

d) x = − 4

e) x =

1 2

f) x = 100

3. En cada caso queda: a) 0,85

b) − 0,3010

c) 1,08

f) 0,805

g) 8,18

h) 16,95

e) − 1,39

d) 1,609 i) − 9,57

4. En cada caso queda:

a) 3

b) 3

c) 4

d) 2

e) 1,95

f) 6

5. En cada caso queda: ⎛ M2 ⎞ a) log2 ⎜ 3 ⎟ ⎝N ⎠

⎛ M34 ⎞ c) log ⎜ 2 ⎟ ⎜N 5 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ M ·N2 ⎞ b) ln ⎜ ⎟ ⎝ P ⎠

⎛ M 23 d) ln ⎜ ⎜ N ·P 32 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

6. En cada caso queda: a) x = 25

b) x = 5184

c) x = 1

d) x =

48 9

7. En cada caso queda:

a)

log5 = 2,32 log 2

2·log 6 d) = 0,85 log3

b)

log2 = 0,43 log5

log2 − log5 e) = 0,66 − log 4

c)

log0,6 = 0,42 log0,3

( 5 ) = 0,55 log ( 2 ) 3

log 4 f)

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8. Las soluciones son: a) log 6 = log 2 + log3 = 0,78 b) log5 = log10 − log2 = 0,70 c) log12 = 2·log2 + log3 = 1,08

log2 = 0,63 log3 3·log3 h) log2 27 = = 4,75 log2 2·log3 i) log5 9 = = 1,36 log5

g) log3 2 =

d) log18 = log2 + 2·log3 = 1,26

j) log0,03 = log3 − log100 = − 1,52

e) log300 = log3 + log100 = 2,48

k) log1200 = log12 + log100 = 3,08

f) log0,5 = log1− log2 = − 0,30

l) log0, 45 = 2·log3 − log2 − log10 = − 0,35

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SOLUCIONES 9. En cada apartado queda: a) El producto dentro de 4 años costará: 1,8·1,054 = 2,19 euros. b) Hace 4 años costaba: 1,8·1,05−4 = 1,48 euros. c) Llamando t al número de años que han de pasar obtenemos: 3,6 = 1,8·1,05t ⇒ 2 = 1,05t ⇒ Tomando logaritmos : t =

log 2 = 14,21 años. log1,05

Por tanto, han de pasar casi 15 años.

10. En cada apartado queda: 5

⎛8⎞ a) Al cabo de 5 años funcionan ⎜ ⎟ = 0,55 , el 55% de los televisores. ⎝9⎠ 15

⎛8⎞ Después de 15 años: ⎜ ⎟ = 0,17 , es decir, el 17% de los televisores. ⎝9⎠ 20

⎛8⎞ Al cabo de 20 años: ⎜ ⎟ = 0,09 , es decir, el 9% de los televisores. ⎝9⎠ b) Deberían pasar t años y se debe cumplir: t

⎛8⎞ ⎜ 9 ⎟ = 0,4 ⎝ ⎠

⇒

t=

log0,4 = 7,8 ⇒ Deberán pasar casi 8 años. ⎛8⎞ log ⎜ ⎟ ⎝9⎠

11. La solución de cada ecuación es: a) 128 x + 1 = 2 x b) 3 ·9 = 9 x

x

2

− x −2

c) 2− x = 83 − x

⇒

⇒

3

x1 = 9 y

3 =3 3x

⇒

6

d) 2x + 2x + 1 + 2 x + 2 = 7 ⇒

x =2

9 2 x x 2 + 2·2 + 4·2 x = 7 ⇒

2 − x = 29 − 3 x

⇒

x2 = − 1

⇒

x=

2x = 1

⇒

x =0

6 + 6 x = 7 ⇒ x1 = 0 y x2 = 1 6x f) 4 x +1 + 2x + 3 − 320 = 0 ⇒ 4·22 x + 8·2 x − 320 = 0 ⇒ 22 x + 2·2 x − 80 = 0 ⇒ x = 3

e) 61− x + 6 x = 7 ⇒

g) 2 + 2 x

x −1

h) 9 − 2·3 x

+2

x +2

x −2

2x 2x =1 ⇒ 2 + + =1 2 4 x

⇒

4 2 = 7 x

+ 81 = 0 ⇒ 3 − 18·3 + 81 = 0 ⇒ 2x

x

⇒

x=

( 7 ) = − 0,81

log 4

log 2

x =2

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i) 5 x + 1 = 10 + 3·52 − x j) 2 x

2

−5x

= 64−1

⇒

⇒

5·5 x = 10 +

2x

2

−5x

= 2−6

75 5x

⇒

⇒ x =1

x1 = 2 y

x2 = 3

12. Los sistemas quedan:

a) 2 x + 2y = 6 ⎪⎫ x =2 2x = 4 ⇒ ⇒ ⎬ y x y y =1 2 =2 2 − 2 = 2⎪⎭ b) 3 x + 3 y = 36 ⎫⎪ a + b = 36 ⎫ a = 27 y b = 9 ⇒ x = 3; y = 2 3x = a ⇒ ⇒ Haciendo obtenemos ⎬ ⎬ y a · b = 243 ⎭ a = 9 y b = 27 ⇒ x = 2; y = 3 3 =b 3 x + y = 243 ⎭⎪ c)

2 x + 5 y = 9 ⎫⎪ 2 x + 5 y = 9 ⎪⎫ x =2 2x = 4 ⇒ ⇒ ⇒ ⎬ ⎬ y x +2 y +1 x y y =1 5 =5 2 − 5 = − 9 ⎭⎪ 4·2 − 5·5 = − 9 ⎭⎪

d)

3 x = 3 y ⎫⎪ ⎬ ⇒ 4 x · 4 y = 256 ⎭⎪

x=y ⎫ x =2 ⎬ ⇒ x + y = 4⎭ y =2

13. Las soluciones quedan: ⎡ x2 ⎤ a) log2 ⎢ ⎥ = log2 4 ⎣ x − 16 ⎦

x2 =4 x − 16

⇒

b) log x = log ⎡⎣10 ⋅ ( 22 − x ) ⎤⎦ ⎡ ( 5 x + 4 )2 ⎤ ⎥ = log c) log ⎢ 4 ⎢⎣ ⎥⎦ d) log ⎡ 2x ⎣

2

−5 x +9

⇒

⋅125 ⎤ = log1000 ⎦

⇒

2 f) ln x = ln ⎡ 2 ⋅ ( x − 3 ) ⎤ ⎣ ⎦

⇒

⇒

No tiene soluciones reales

x = 10 ( 22 − x ) ⇒

⇒

( x + 4)

e) ln ⎡⎣( 2 x −3 ) ⋅ ( 5 − x ) ⎤⎦ = ln 5

⇒

(5x + 4) 4

2x

2

−5 x + 9

2

=x+4

=8

2

⇒

⇒

x1 =

x1 = 0 ; x2 = −

36 25

x1 = 2 ; x2 = 3

⇒

( 2x − 3 ) (5 − x ) = 5

x = 2 ⋅ ( x − 3)

x = 20

⇒

x1 = 4 ; x2 =

9 4

9 ; x2 = 2 2

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14. Los siguientes sistemas quedan: a) log3 x + log3 y = 0 ⎫ ⎬ x + y = 3⎭

b)

c)

x 2 − y 2 = 11⎫ ⎬ log x − log y = 1 ⎭

⎛x⎞ ⎫ log ⎜ ⎟ = 1 ⎪ ⎝y⎠ ⎬ log x + log y = 3 ⎪⎭

⇒

x ⋅ y =1 ⎫ ⎬ x + y = 3⎭

⇒

x 2 − y 2 = 11 ⎫ ⎪ x ⎬ = 10 ⎪ y ⎭

⇒

⇒

log x − log y = 1 ⎫ ⎬ log x + log y = 3 ⎭

x = 2,62 ; y = 0,38 x = 0,38 ; y = 2,62 10 3 1 y= 3 x=

⇒

⇒

log x = 2 ; x = 100 log y = 1 ; y = 10

d) log x + log y = 3log5 ⎫ log x = 2log5 ; x = 25 ⎬ ⇒ log x − log y = log5 ⎭ log y = log5 ; y =5

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SOLUCIONES 15. En cada caso queda: 1000 ⋅12 ⋅ 3 = 360 euros ⇒ Se transforma en 1300 euros 100 3 000 ⋅10 ⋅ t b) 900 = ⇒ t = 3 años 100 12 000 ⋅ 7 ⋅ 4 ⎫ c) i = ⇒ i = 3 360 euros ⎪ En ambos casos generan unos ⎪ 100 ⇒ ⎬ 12 000 ⋅ 7 ⋅ 48 intereses de 3 360 euros. i= ⇒ i = 3 360 euros ⎪ 1200 ⎪⎭ a) i =

16. Aplicando la fórmula: M = C (1+ r )t obtenemos: 8 000 = 4 000 ⋅ (1+ 0,055 )

t

⇒

2 = (1+ 0,055 )

t

⇒

t=

log 2 = 12,9 años log1,055

17. En cada caso queda:

i 2C = C (1+ r )

20

⇒

2 = (1+ r )

20

log2 ⇒ 1+ r = 1,035 ⇒ r = 0,035 20 Para que el capital se duplique al cabo de 20 años el rédito debe ser de un 3,5%.

Tomando logaritmos obtenemos : log (1+ r ) =

log2 ⇒ r = 0,072 10 Para se duplique en 10 años se debe colocar a un rédito del 7,2%. i 2C = C (1+ r )

10

⇒ log (1+ r ) =

18. La solución queda:

2100 = C (1+ 0,08)7 ⇒ C = 1225,33 euros.

19. Queda: 48 ⎤ ⎛ 0,05 ⎞ ⎡⎛ 0,05 ⎞ ⋅ + − 1⎥ 60 ⎜ 1+ 1 ⎢⎜ ⎟ ⎟ 12 ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ ⎥⎦ = 3194,1468 euros C= 0,05 12

Al cabo de 4 años tendrá 3 194,1468 euros.

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20. Aplicando la fórmula: t a ⋅ (1+ r ) ⋅ ⎡(1+ r ) − 1⎤ ⎣ ⎦ C= r

5 a ⋅ (1+ 0,13 ) ⋅ ⎡(1+ 0,13 ) − 1⎤ ⎣ ⎦ ⇒ ⇒ 12 000 = 0,13

a = 1638,7385 euros

21. Aplicando la misma fórmula que en el problema anterior: 4 1500 ⋅ (1+ 0,045 ) ⎡(1+ 0,045 ) − 1⎤ ⎣ ⎦ = 6 706,06 euros C= 0,045

En la libreta después de sacar 5 000 euros quedan 1 706,06 euros.

22. Aplicando la fórmula: a =

1350 =

D ⋅ 0,09 ⋅ (1+ 0,09 )

(1+ 0,09 )

6

−1

D ⋅ r ⋅ (1+ r )

(1+ r )

t

t

−1

obtenemos:

6

⇒ D = 6 055,99 ⇒ La deuda asciende a 6 055,99 euros.

23. Aplicando la misma fórmula del problema anterior: 180

0,11 ⎛ 0,11 ⎞ 50 000⋅⎜ 1+ ⋅ ⎟ 12 ⎠ 12 ⎝ a= ⇒ a = 568,298 euros 180 ⎛ 0,11 ⎞ ⎜ 1+ 12 ⎟ − 1 ⎝ ⎠

La cuota mensual de amortización es 568,298 euros.

En total hemos pagado:

⎛ 0,11 ⎞ ⎡⎛ 0,11 ⎞ 568,298 ⋅ ⎜ 1+ ⎢ 1+ 12 ⎟⎠ ⎣⎢⎜⎝ 12 ⎟⎠ ⎝ C= 0,11 12 180

180

⎤ − 1⎥ ⎦⎥

= 260 767,83 euros.

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24. Aplicando la fórmula: A =

4 200 =

D ⋅ r ⋅ (1+ r )

(1+ r )

29 500 ⋅ 0,07 ⋅1,07t 1,07t − 1

t

t

−1

obtenemos:

⇒ 1,07t = 1,9672 ⇒ t = 10 años.

25. Aplicando la fórmula anterior obtenemos.

D ⋅ 0,06 ⋅ (1+ 0,06 )

13

21000 =

(1+ 0,06 )

13

−1

⇒ D = 185 906,34 euros costó el camión.

26. Aplicando la fórmula anterior obtenemos:

528,7 =

0,08 ⎛ 0,08 ⎞ ⋅ 1+ 10 000 ⋅ 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ t

t

⇒

(

)

528,7 ⋅ 1,02t − 1 = 200 ⋅ 1,02t

⎛ 0,08 ⎞ ⎜ 1+ 4 ⎟ − 1 ⎝ ⎠ t ⇒ 1,02 = 1,60845 ⇒ t = 24 períodos

⇒ Es decir, pagará la moto en 6 años.

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