Résolution des équations différentielles en physique

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RÊsolution des Êquations diffÊrentielles en physique RÊdiger par @gor – http://web-in-pocket.blogspot.com/ Notation: On utilisera u pour les exemples ci-dessous mais on peut l'appliquer aux autres unitÊs (distance avec x(t) par ex.). On notera que a et A ou B et b ne dÊsignent pas les mêmes choses.

Aussi: et

Equa diff du 1er degrĂŠ:

Elles ont pour forme: oĂš Ď„ peut ĂŞtre composĂŠ de plusieurs ĂŠlĂŠments (exemple: R.C) La solution est du type:

.

Info: dans le cas particulier oĂš b=0, la solution devient . / On dĂŠtermine A et B: B est le plus simple: On le trouve en ĂŠvaluant u(t) en +oo (en trouvant ce qu'il vaut). Soit !" A se trouve en t=0+, soit: # . $/ . 1 & ' Connaissant dĂŠjĂ B, on peut alors trouver A. Ainsi: ∞ . / Quand u(0)=0, alors on a:

Equa diff du 2nd degrĂŠ: Type: *

+

, 0 ./ + . , ¡ ¡ 0 . / * . *

Forme canonique:

On introduit 2Ν et ω0:

OĂš 2Îť =

4

et 5# 6

7 8

./ . 22. 3$ /. 0 . / .

donc 5# 9

7 8

On peut aussi introduire le facteur de qualitĂŠ Q avec 6: DĂŠmonstration de la solution: La solution gĂŠnĂŠrale est du type: U(t) =. > On calcul les dĂŠrivĂŠes:

∞ ) ∞ . ∞ 1 )

=. ?. > ?. @

;# <

4

=. ? / . > ? / . @

? /. 22. ?. 3$ /. 0

On remplace dans l'ĂŠquation:

? / 22. ? 3$ / 0 On rĂŠsout alors cette ĂŠquation comme un polynĂ´me du 2nd degrĂŠ Calcul du discriminant (rappel: Δ=b²-4.a.c ): ∆ 22 / ) 4.1. 3C / 4 22/ ) 3C / 3 solutions possibles: Si ∆D 0 => RĂŠgime pseudo-pĂŠriodique Si ∆ 0 => RĂŠgime critique Si ∆E 0 => RĂŠgime ApĂŠriodique On le calcul en remplaçant 2Îť et ω0 par leur ĂŠquivalent (contenant a, b ou c ici) On simplifie par u:

On sait que 6F

5# G

H

8 on peut donc exprimer G

De lĂ : J Si I D => RĂŠgime pseudo pĂŠriodique

Si I

Si I E

/ J / J /

5# 6F

=> RĂŠgime critique

=> RĂŠgime apĂŠriodique

Une fois qu'on connait le rÊgime, il est possible de trouver la solution u(t) qui convient. 1/RÊgime Pseudo-pÊriodique: On est dans le cas mathÊmatique oÚ le Δ indique qu'il y a 2 solutions complexes conjuguÊes. On dÊtermine ces solutions (rappel: J

K L√ ∆ ; en /N

physique i=j ):

)22 ) Q√)∆ )22 ) QR)4 2/ ) 3$ / )22 ) 2QR 3$ / ) 2/ ): ) SR;# 6 ) :6 2 2 2 )22 Q√)∆ )22 2QR 3$ / ) 2/ O6 ): SR;# 6 ) :6 2 2 Note: Il est prĂŠfĂŠrable de ne pas oublier le j ‌

OP

La solution s'exprime alors de 3 façons possibles: La compliquÊe: . >T . . > . U. . V . WRXY

U .

. !WRXY

U .

Z

L'usuelle:

U. . V . cos ^R3$ / ) 2/. _ . sin R3$ / ) 2/. Z La compacte (il faut dĂŠterminer Ď•, ce qui ne sera pas aborder dans ce document): . cos 3$. b Il faut dĂŠsormais dĂŠterminer A et B, on utilise pour cela les conditions initiales: On doit nous donner u(o) et

cd ce

pour pouvoir trouver A et B, on pose aussi: f R;# 6 ) :6

On utilise la solution usuelle (par exemple), et on la dĂŠtermine en 0 tel que: # U.$. V . cos ^R3$ / ) 2/. 0_ . sin ^R3$ / ) 2/ . 0_Z 1. g . cos h . sin 0 i &

De lĂ , on peut facilement dire que A=u0 car on a: A=u(o)=u0 (valeur initiale) Pour trouver B, il faut dĂŠriver cette solution u(t), on arrive Ă ce rĂŠsultat (rappel: f R;# 6 ) :6 : . g . j ) AÎť . cos j. t ) A. j B. Îť . sin j. t i. e p.q .

On nous donne 0 r 0 (Ne pas utiliser cette notation, on remplace par les valeurs numÊriques), on procède comme prÊcÊdemment:

# g . â„Ś ) AÎť . cos â„Ś. 0 ) A. â„Ś B. Îť . sin â„Ś. 0 i. e p.$ '. j ) tF

Soit: ' r 0

u.U v

r 0

Y.U v

r #

# .;# 6.<.f

r 0

Y.XY

/.w.RXY U

Infos: On a souvent u'(0)=0, ce qui simplifie la chose. De plus, vous ĂŞtes libre d'utiliser l'une des expressions ci-dessus, tout dĂŠpend du niveau de dĂŠveloppement souhaitĂŠ. Il reste finalement Ă remplacer A et B par leurs valeurs, on va ĂŠviter ici afin de ne pas avoir une expression super lourde qui se simplifierait si on avait des valeurs numĂŠriques. Le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique offre un panel d'ĂŠtudes assez vaste, voir plus bas pour la dĂŠtermination d'autres ĂŠlĂŠments tels que le dĂŠcrĂŠment log., les manières de dĂŠterminer Q, To, T, ω0 et ω. 2/RĂŠgime critique: C'est le rĂŠgime le plus simple, la solution a pour forme: U. . . On procède de la mĂŞme façon pour dĂŠterminer A et B, soit: B=u0 La dĂŠrivĂŠe est: . U. . )2 . ' U. . )2 . d# . Donc: r # U.$ . )2 . 0 $ ):. # & LĂ encore, on remplacera A et B par les valeurs trouvĂŠes. 3/RĂŠgime apĂŠriodique: Il se rĂŠsout de la mĂŞme manière que le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique. La nuance se situe sur le discriminant car il indique 2 solutions rĂŠelles et non plus complexe. On a donc les 2 solutions: )22 ) √∆ )22 ) R4 2/ ) 3$ / )22 ) 2R2/ ) 3$ / ?J )2 ) R2/ ) 3$ / 2 2 2 )22 Q√)∆ )22 2R2/ ) 3$ / ?/ )2 R2/ ) 3$ / 2 2 La solution s'exprime alors:

. >T . . > . U. . V . RU XY . . !RU XY . Z On remarque la similaritĂŠ avec le rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique, sauf que cette fois c'est l'unique solution.

Il faut lĂ aussi dĂŠterminer A et B: # U.$. V . RU

On calcul la dĂŠrivĂŠe:

X .$ Y

r )2. U. . V . RU

U.

X . Y

. !RU

X .$ Y

. !RU

. V) . R2/ ) 3$ / .

X . Y

RU XY .

Z & '

Z (Le marron met en valeur ce qui rĂŠsulte de la dĂŠrivation)

. R2/ ) 3$ / . !RU

X . Y

Après factorisation (ouf!) en posant f R:6 ) ;# 6 :

Z

r U. x&y) v. 2 z { 'y v. )2 z {|

Et on rÊsout u'(0): r # )2.0 V ^) )z.0 2 z _ ^ z.0 )2 z _Z )& : f ' ): f On rÊsout alors un système à l'aide de u(0) et u'(0) pour dÊterminer A et B. .~ , On notera que r qu'on peut trouver par exemple avec: } ,.

L €

ElÊments supplÊmentaires pour le rÊgime pseudo-pÊriodique: DÊtermination de ω et ω0: Pour ω (pseudo-pulsation): On peut en rÊalitÊ directement lire ω car il s'agit de la partie imaginaire des solutions r1 et r2:

X

Ceci car 2 /.wY

3 R3$ / ) 2/ Â 3$ / )

3$ / 1 3$ Â 1 ) / 4. I 4. I/

Pour ω0 (pulsation propre): On a 2 manières simples Ă condition de connaĂŽtre les valeurs de a, b, c ou Q (cf. ĂŠquation plus haut): ‚ 3$ + ;# 9 22 .~ , ;# . < 4 I * 4 Si on connait T0: 6ƒ ;# „# Dans ce cas, il faudra dĂŠterminer T0 DĂŠtermination de T0 et T: 6ƒ 6ƒ Le plus simple si on connait dĂŠjà ω0 et/ou ω: „# ; et „ ; #

Si on ne les connait pas, on les trouve Ă l'aide de la relation qui lie T et T0, dĂŠmonstration: 3 3$ Â 1 )

1 2. … 4. I/ †

1 2. … 2. …  1 ) .~ , „ / †$ 4. I †

„#

P ‡<6 On utilise alors cette relation pour dÊterminer l'un des 2 à partir de l'autre. 9P )

Une question peut vous tracasser l'esprit: Quelle est la diffĂŠrence entre T et T0 ainsi que ω et ω0? En fait, cette distinction est due au rĂŠgime pseudo-pĂŠriodique, et surtout au pseudo‌ En effet, ce rĂŠgime est proche d'un rĂŠgime pĂŠriodique pure (une sinusoĂŻde), mais pas identique! Il y a une petite diffĂŠrence entre la pulsation propre caractĂŠrisant un rĂŠgime pĂŠriodique et la pseudo-pulsation (mĂŞme chose pour la pĂŠriode) qui est due Ă l'attĂŠnuation. C'est d'ailleurs pour cela que quand Q>>1 on peut dire que Ď‰â‰ˆĎ‰0 (de mĂŞme avec T et T0) DĂŠtermination du dĂŠcrĂŠment logarithmique: ˆ 2. ln Š ‹ † On remarquera que cos(S.t)=cos(S.(t+T)) car cos est pĂŠriodique: ˆ ln ÂŒ

U. !Â? . V . cos ^R3$ /

� ln � ˆ

U. . V . cos^R3$ / ) 2/. _ . sin^R3$ / ) 2/. _Z

X X Y . ! Y . !� /w /w ‘

2. Â…

) 2/.

† _ . sin R3$ )

3$ ;# . „ ) † 2I 6<

R4. I/ ) 1

Cette dernière Êcriture se justifie par 3$

/Â’ Â?Y

/

2/ .

† Z

ÂŽ ln U. !U. !Â?

J

et que †$ †. 91 ) “w

DÊtermination de Q: Il est parfois demander de dÊterminer Q, car il n'est pas nÊcessaire de le connaÎtre pour trouver le rÊgime et donc engager une rÊsolution. Là encore, on dispose de plusieurs mÊthodes. €

La plus simple (rappel: 3$ 9N ):

3$ + ;# . 4 √,. * 2Â…. * . ӈ ~ *: < I * + †$ . + Attention toutefois car T0 contient aussi Q si vous cherchez Ă le dĂŠterminer, donc il vaut mieux ĂŠviter de tourner en rond ^^. 22

A l'aide du dĂŠcrĂŠment logarithmique: 2. Â… ˆ R4. I/ ) 1 2Â… R4. I / ) 1 ˆ / 1 2Â… I/ . ŠÂ? ‘ 1‹ 4 ˆ 1 4. Â… / I . / 1 2 ˆ

Dans ce cas, il faut dĂŠterminer le dĂŠcrĂŠment graphiquement.

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