Cebir2 tanimlar ve notlar

www.ufukcevik.com ___________________________________________________________________________

CEBĐR-II TANIMLAR/NOTLAR Tanım 1 (Halka): R ≠ ∅ bir küme "+ " ve "i" R üzerinde iki işlem olsun. (i) ( R, +) değişmeli grup (ii) ( R,i) yarı grup (iii)

∀a, b, c ∈ R için

a (b + c ) = ab + ac

(a + b) c = ac + bc koşulları sağlanıyorsa ( R, +,i) sıralı üçlüsü bir halkadır ve genelde R ile gösterilir.

R halka olsun; ( R,i) birimli ise R ye birim elemanlı halka ( R,i) değişmeli ise R ye değişmeli halka

( R − {e} ,i) grup ise R ye çarpık cisim ( R − {e} ,i) değişmeli grup ise R ye cisim

Z = Z ( R ) = {c ∈ R | cx = xc, ∀x ∈ R} kümesine R halkasının merkezi denir.

Z , R nin bir alt halkasıdır fakat ideal değildir.

Tanım 2 (Sıfır Bölen): R bir halka a ∈ R − {0 R } olsun. ∃b ∈ R − {0 R } ∋ ab = 0 oluyorsa a ya R nin sol sıfır böleni, b ye R nin sağ sıfır böleni denir. Hem sağ hem sol sıfır bölen elemana R halkasının sıfır böleni denir.

Tanım 3 (Tamlık Bölgesi): R değişmeli ve birimli bir halka, 1R ≠ 0 olsun. R nin sıfırdan farklı sıfır böleni yoksa R ye tamlık bölgesi denir.

Tanım 4 (Birimsel -Tersinir- Eleman): R birimli bir halka ve a ∈ R olsun. ca = 1R (ab = 1R ) olacak şekilde c ∈ R (b ∈ R) elemanı bulunabiliyorsa c ye sol ( b ye sağ) tersinir eleman denir. Hem sol hem sağ tersinir elemana tersinir ya da birimsel eleman denir. Birimsel elemanların kümesi B ( R ) ile gösterilir. R birimli değilse B ( R ) = ∅ olur. R nin birim elemanı varsa 1R , −1R ∈ B ( R ) ⇒ B ( R ) ≠ ∅ olur.

Tanım 5 (Halka Homomorfisi): R ve S iki halka olsun. f : R → S bir fonksiyon ve (i) r1 , r2 ∈ R için f (r1 + r2 ) = f (r1 ) + f (r2 ) (ii) s1 , s2 ∈ R için f ( s1.s2 ) = f ( s1 ). f ( s2 ) koşulları sağlanıyorsa f ye R den S ye halka homomorfisi denir. f : R → S halka homomorfisi olsun; f 1−1 ise f ye halka monomorfisi (bazen R → S ye gömü) f örten ise f ye halka epimorfisi f hem monomorfi hem de epimorfi yani 1−1 ve örten ise f ye halka izomorfisi R → R ye tanımlı halka izomorfisine ise halka otomorfisi denir.

___________________________________________________________________________ www.ufukcevik.com -1-

www.ufukcevik.com ___________________________________________________________________________ Tanım 5* (Endomorfizma): R , değişmeli bir grup olmak üzere homomorfizmasına bir endomorfizma denir.

R

nin bir

Tanım 6 ( f nin Çekirdeği): f : R → S halka homomorfisi olsun.

ker f = {r ∈ R | f (r ) = 0} kümesine f nin çekirdeği denir.

Tanım 7 (Alt Halka): R bir halka ve ∅ ≠ S ⊂ R olsun. Eğer S , R deki işleme göre bir halka oluyorsa S ye R nin alt halkası denir.

Tanım 8 (Bölüm Halkası): R halkasında sıfırdan farklı her eleman tersinir ise R ye bölüm halkası denir. !NOT: Değişmeli bölüm halkasına çarpık cisim denir.

Tanım 9 (Đdeal): R bir halka, I ≠ ∅ ve I ⊂ R olsun. (i) I − I ⊂ I ( ∀m ∈ I , ∀n ∈ I için (m − n) ∈ I ) (ii) RI ⊂ I ( RI = {hk | h ∈ R, k ∈ I }) (iii) IR ⊂ I ( IR = {kh | k ∈ I , h ∈ R}) bu durumda (i)-(ii) sağlanıyorsa I sağ ideal, (i)-(iii) sağlanıyorsa I sol idealdir denir. I , R nin hem sol ideali hem de sağ ideali ise I ya R nin ideali denir. Λ ( R) ile gösterilir. !NOT: R değişmeli bir halka ise her sol ideal sağ idealdir. Dolayısıyla Λl ( R ) = Λ r ( R ) = Λ ( R ) olacaktır.

Tanım 10 (Bilinen Đdeal): R halkasının kendisi ve {0} dan oluşan ideallerine bilinen ideal denir.

Tanım 11 (Öz Đdeal): R halkasının bir {0} ≠ I ve R ≠ I olan I idealine öz ideal denir. !NOT: F bir cisimse öz ideali yoktur.!!!!!

Tanım 12 (Esas Đdeal): R bir halka ve a ∈ R olsun. Eğer X = {a} tek bir elemanla üretiliyorsa X ile üretilen ideali esas ideal denir. X = {a} , X = {a} = a

Tanım 13 (Esas Đdeal Halkası): Her ideali esas ideal olan halkaya esas ideal halkası denir.

Tanım 14 (Esas Đdeal Bölgesi): Tamlık Bölgesi olan esas ideal halkasına esas ideal bölgesi denir.

Tanım 15 (Faktör Halkası): R halka, I ∈ Λ ( R) olsun. R = {r + I | r ∈ R} kümesine R I nin ideali ile belirli faktör halkası denir. :⇔ R , (r + I ) + ( s + I ) = (r + s ) + I I (r + I )( s + I ) = rs + I

___________________________________________________________________________ www.ufukcevik.com -2-

www.ufukcevik.com ___________________________________________________________________________ Tanım 16 (Nilpotent Eleman): R bir halka a ∈ R için a n = 0 olacak şekilde n ∈ ℕ − {0} varsa a ya R halkasının nilpotent elemanı denir.

Tanım 17 (Đdempotent Eleman): R bir halka e ∈ R için e2 = e oluyorsa e ye R halkasının idempotent elemanı denir. e idempotent eleman ve ∀x ∈ R, e.x = x.e ise e ye merkezi idempotent eleman denir.

Tanım 18 (Asal Đdeal): R bir halka, P ∈ Λ ( R ) , P ≠ R olsun.

A, B ∈ Λ ( R ) , A.B ⊂ P ⇒ A ⊂ P ∨ B ⊂ P koşulu sağlanıyorsa P ye R nin asal ideali denir.

Asal Đdeal Olma Teoremi: R bir halka, P ∈ Λ ( R ) − { R} olsun. a, b ∈ R için; a.b ∈ P ⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P ise P asal idealdir. Tersi R nin değişmeli halka olduğu durumda doğrudur.

Tanım 19: (Maksimal Đdeal): R bir halka, M ∈ Λ ( R ) − {R} olsun.

N ∈ Λ ( R) , M ⊂ N ⊂ R ⇒ M = N ∨ N = R ise M ye R nin maksimal ideali denir. !NOT: Halkanın kendisi asla maksimal ideal olamaz.

Tanım 20 (Bölme, Đlişkililik): R değişmeli bir halka a, b ∈ R a ≠ 0 olsun. ∃r ∈ R ∋ b = ar şeklinde yazılabiliyorsa a , b yi böler denir ve bu durum a | b ile gösterilir.

a, b ∈ R − {0} olsun. a | b ve b | a ise a ile b ilişkilidir (ilgilidir) denir ve bu durum a ∼ b ile gösterilir. a ∼ b :⇔ a | b ∧ b | a Tanım 21 (Đndirgenemez Eleman): R birim elemanlı, değişmeli bir halka c ∈ R olsun. c ye indirgenemez eleman denir ancak ve ancak :⇔ (i) c ≠ 0, c ∉ B ( R ) (ii) c = a.b ⇒ a ∈ B ( R) ∨ b ∈ B ( R ) dir.

Tanım 22 (Asallık): R birim elemanlı, değişmeli bir halka p ∈ R olsun. p ye asal denir ancak ve ancak :⇔ (i) p ≠ 0, p ∉ B ( R ) (ii) p | ab ⇒ p | a ∨ p | b dir.

Tanım 23 (Öklid Halkası - Öklid Bölgesi): R , değişmeli bir halka ϕ : R − {0 R } → ℕ olmak üzere (i) a, b ∈ R, a.b ≠ 0 ve a ≠ 0 ise ϕ (a ) ≤ ϕ (a.b)

(ii) a, b ∈ R ve b ≠ 0 ise ∃q, r ∈ R ∋ a = bq + r ise r = 0 veya (r ≠ 0 ve ϕ (r ) < ϕ (b)) oluyorsa R ye Öklid halkası denir. Tamlık bölgesi olan Öklid halkasına ise Öklid bölgesi denir. ϕ ye ise Öklid fonksiyonu denir. ℤ tamsayılar halkası tamlık bölgesi olduğundan ϕ ( x ) = x dönüşümü ile Öklid bölgesidir.

Her cisim bir Öklid bölgesidir. F cisim ise ϕ : F → ℕ, ∀ 0 ≠ x ∈ F :ϕ ( x) = 1 dönüşümüyle.

ℤ [i ] Gauss tamsayılar halkası ϕ (a + ib) = a 2 + b 2 dönüşümüyle bir Öklid bölgesidir. ___________________________________________________________________________ www.ufukcevik.com -3-

www.ufukcevik.com ___________________________________________________________________________

! UYARILAR: Birimli bir halkanın çarpımsal birimi tektir.

Halka homomorfizmaları ideal yapısını korur Bir halkada birinci işlemin etkisiz elemanına halkanın sıfırı; ikinci işlemin etkisiz elemanına halkanın birimi adı verilir.

Her tamlık bölgesi ve çarpık cismin en az iki elemanı vardır Her birim elemanlı halka çarpık cisimdir ancak ve ancak halkanın sıfırdan farklı elemanları birimseldir.

Her cisim bir tamlık bölgesidir ancak tersi doğru değildir. Çünkü çarpık cisim değişmeli değildir.

Bir R halkasının sıfırdan ve kendinden farklı idealine öz ideal denir R birim elemanlı bir halka olsun. I ∈ Λ ( R) için I = R ⇔ 1R ∈ I I ∈ Λ ( R) olsun I = R ⇔ ∃r ∈ B ( R) , r ∈ I , r birim eleman yani bir ideal birimsel eleman içeriyorsa halkaya eşittir.

Bir çarpık cismin öz ideali yoktur Bir çarpık cismin iki ideali vardır biri sıfır birisi kendidir. (ℤ 6 , +,i) bir halkadır, değişmelidir, birim elemanı 1 dir, 2.3 = 0 sıfırdan farklı bölen var tamlık bölgesi değildir. (ℤ p , +,i) p asal ise halkadır, cisimdir. ℝ ve ℂ birer cisimdir Tamsayılar halkası tamlık bölgesidir, çarpık cisim değildir (ℚ, +,i) bilinen toplama ve çarpma işlemine göre bir halkadır

ℤ nin birimsel elemanları 1 ve −1 dir yani B (ℤ) = {−1,1} Birimsel elemanı içeren ideal halkaya eşittir.

Bir halkanın sıfır bölenli olması çarpık cisim olmadığını gösterir Herhangi bir n tamsayısı için ℤ n halkasında sıfırın bölenleri n ile aralarında asal olmayan sayılardan oluşacaktır. n bir asal sayı ise ℤ n halkasında hiçbir sıfır bölen yoktur, yani ℤ n sıfır-bölensizdir.

Bir halkada sıfırdan farklı her eleman tersinir ise o halka bölüm halkasıdır.

Tam sayılar halkasında her maksimal ideal asal idealdir.

Sıfır asal ideal olabilir mi? ab ∈ 0 ⇒ a ∈ 0 ∨ b ∈ 0 sıfır her zaman asal ideal olmaz!!

Sıfır bölensiz halkalarda sıfır asal idealdir. 3.2 ∈ 0 ancak 3 ∉ 0 , 2 ∉ 0 Birimsel elemanla üretilen ideal halkanın kendisine eşittir.

Maksimal ideal sıfırsa aradığımız halka cisimdir.

Birimli değişmeli halkada her maksimal ideal asal idealdir.

R birimli halka; 0 R ≠ 1R ise R nin en az bir maksimal ideali vardır.

Öklid Bölgesi ⇒ Esas Đdeal Bölgesi ⇒ Tek Türlü Çarpanlara Ayrılabilir Bölge

( R J , +) grubunun sıfır J

dir ve x ∈ R için bir x + J elemanının tersi (−x) + J dir.

R halkası birimli ise R alınırsa R

J ⊂ R ) de birimli olup, 1R elemanı R nin birimi olarak J ( nin birimi 1R + J dir.

J R halkası değişmeli ise R

J

de değişmelidir.

___________________________________________________________________________ www.ufukcevik.com -4-