1
FUNCIONES ELEMENTALES 1. FUNCION EXPONENCIAL: Para z x iy
se define la función exponencial exp :
mediante
exp ( z) e x (cos y i seny)
Como se puede ver, esta definición generaliza la ya conocida función exponencial real, pues cuando y 0, z x se tiene que exp z exp x e x . Analiticidad: Las partes real e imaginaria de exp z son
Re( z ) u ( z ) u ( x, y ) e x cos y Im( z ) v( z ) v( x, y ) e x seny y satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemann para todo z ( x, y) :
ux ( x, y ) e x cos y v y ( x, y ) u y ( x, y ) e x seny vx ( x, y ) Si a lo anterior le agregamos que las derivadas parciales son continuas en todo el plano z, entonces podemos afirmar que exp z es analítica en todo el plano z, es decir, es una función analítica entera. La Derivada: Sabemos que por ser exp z analítica entonces existe la derivada y esta viene dada por la fórmula: f '( z ) ux ( z ) i vx ( z) por lo que,
f '( z ) e x cos y i e x seny exp z
Es decir, la función exponencial es su propia derivada tal como sucede en el análisis real d x donde (e ) e x . Lo que hace más justificable la elección de exp z como la dx generalización de e x . Periodicidad: Aquí, la función exp z es bien diferente a la exponencial real e x la cual como sabemos no es periódica. La función exp z es periódica con período 2 i :
exp( z 2 i) exp( x i( y 2 )) e x (cos( y 2 ) i sen( y 2 )) e x (cos y i sen y ) exp z
2
Repitiendo este mismo argumento se puede mostrar (ver figura1) que para una z fija y cualquier entero k, exp( z 2k i) exp z y
4 i
z 4 i
2 i
z 2 i
exp( z ) x
x
0
z
2 i
z 2 i 4 i
z 4 i
Figura 1. Periodicidad 2 i de la función exponencial compleja:
exp( z) exp( z 2 i) exp( z 4 i) ..... exp( z 2k i) , k .
Mostremos que sí exp( z b) exp z
para todo z
entonces b 2k i para algún entero k. (Lo que significa que los puntos de la forma z 2k i tiene el mismo valor de imagen para toda z- fija, es decir exp z No es función inyectiva o uno a uno ). Solución: Por propiedades sabemos que exp( z b) exp( z) exp(b) entonces según la hipótesis exp( z) exp(b) exp( z) lo que implica exp(b) 1 . Pero por otro lado 1 ei 2 k , luego eb ei 2k b 2k i , k . Las figuras 2 y 3 implementadas en Matlab exhiben la periodicidad de la función exp z para franjas de longitud 2π y 4π de ancho.
3
Imagen de Malla a través de w = e
Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [-pi,pi] 4
2.5 2
3
1.5
Eje Imaginario v
2
Eje Imaginario y
z
1 0 -1
1 0.5 0 -0.5 -1
-2
-1.5 -3 -4 -1
-2 -2.5 -0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2.5
Eje Real x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Eje Real u
2 de ancho. La franja izquierda de S z x iy / y es mapeada hacia el disco unitario z 1 , mientras la franja derecha Figura 2. La acción de exp z como mapeo sobre una banda de longitud
es mapeada al exterior del disco unitario. Lo anterior puede comprobarse con el punto z1 0.25 i 0 y su
0 .
correspondiente imagen. En resumen la imagen de la figura a izquierda es el plano Malla de 80x40 celdas sobre [-1,1] x [-pi,3*pi]
Imagen de Malla [-1,1]x[-pi,pi]
Imagen de Malla [-1,1]x[pi,3pi]a través de w = e z
10
Eje Imaginario v
Eje Imaginario y
6
4
2
0
-2
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1 Eje Imaginario v
8
2.5
0.5 0 -0.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eje Real x
0 -0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5 -4 -1
0.5
-2.5 -2
-1
0
1
Eje Real u
2
-2
-1
0
1
2
Eje Real u
Figura 3. Nótese que la franja azul y 0 tiene como imagen la parte inferior del plano, mientras que la franja roja 0 y se corresponde con la parte superior del plano, completándose así el plano punteado
0 . De igual forma, si la franja es y 3 se obtiene como imagen otro plano punteado
0
z1 0.25 i 0 z2 0.25 2 i y sus correspondientes imágenes. Si la banda horizontal fuera de longitud 10 se obtendría como imagen 5 planos punteados 0 , uno por cada franja horizontal de longitud 2 . Para comprobar lo anterior, se tomaron los
puntos
Ante el interrogante de cómo visualizar la dinámica de la función exp(z) para una banda de longitud 2 ,( ), y la ortogonalidad como invariante a través de ella, veamos las figuras 4 y 5:
4
Imagen de Malla a través de w = e
z
Imagen de Malla a través de w = e
1.5
z
2.5 2
1
1.5 1
0.5
Eje v
Eje v
0.5 0
0 -0.5
-0.5
-1 -1.5
-1
-2 -1.5 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-2.5 0
0.5
1
1.5
Eje u
2
2
1
1
0
-1
-2
-2
1
1.5
2
2.5
-3 -2
3
-1
0
3
2
2
1
1
0
-1
-2
-2
0
Eje u
1
2
3
2
3
z
0
-1
-1
1
Imagen de Malla a través de w = e
z
Eje v
Eje v
Imagen de Malla a través de w = e 3
-2
z
Eje u
Eje u
-3 -3
3
0
-1
0.5
2.5
Imagen de Malla a través de w = e 3
Eje v
Eje v
Imagen de Malla a través de w = ez 3
-3 0
2
Eje u
-3 -3
-2
-1
0
1
2
3
Eje u
Figura 4. Las figuras ilustran la forma como las imágenes se van formando para cada una de las siguientes bandas: [1,1] [
[1,1] [
2 2 , ] ; [1,1] [ , ] ; [1,1] [ , ] ; [ 1,1] [ , ] 6 6 3 3 2 2 3 3
5 5 , ] ; [1,1] ( , ] . El proceso inverso lo realizará la función log z . 6 6
5
Malla de 20x20 celdas sobre [-1,1] x [0,pi]
Imagen de Malla a través de w = ez
3.5 3
3 2.5
2.5
Eje v
Eje y
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eje x
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
Eje u
Figura 5. Un análisis local sobre la malla permite afirmar que la ortogonalidad ( 90 ) entre rectas verticales y horizontales se mantiene invariante en sus imágenes a través de exp z . Nótese también que cada cuadrado pequeño en la grilla es mapeado por exp z a un tipo de imagen que es aproximadamente cuadrada.
La principal clase de mapeos que nos interesa son las analíticas(o diferenciables complejas). Entre estas, la exp z cuyo efecto local sobre vectores infinitesimales es expandirlos y rotarlos. Las transformaciones de este tipo juegan un papel fundamental en adelante y diremos que tales transformaciones son localmente un “amplitwist”(amplitud mas rotación) y por tanto automáticamente conforme (transformación que preserva ángulos).Ver figura 6. De lo anterior: Los mapeos analíticos son precisamente aquellos cuyo efecto local es un amplitwist: todos los números complejos infinitesimales que emanan de un solo punto son amplificados y rotados la misma cantidad. Función Analítica
z
f ( z)
Plano complejo z Plano complejo w
Figura 6. El efecto infinitesimal de un mapeo analítico puede verse en la figura. Nótese que la función analítica es localmente isotrópica (un elemento de área infinitesimal es igualmente expandido en todas las direcciones) y los ángulos infinitesimales son preservados. Para este tipo de mapeo la derivada existe, y es simplemente el amplitwist o si se prefiere el número que representa el amplitwist.
6
La “amplificación” es el factor de expansión, y el “twist” es el ángulo de rotación. El efecto local de f es completamente codificado en el número único f '( z ) , la derivada de f , o como se prefiere frecuentemente el amplitwist de f :
f '( z ) el amplitwist de f (amplificación) e i ( rotación ) f '( z ) e i [arg ( f '( z )) ] Es importante afirmar que “diferenciar” no es lo mismo que “amplitwist” pues el primero se refiere al acto de encontrar la derivada de una función, mientras el segundo se refiere al acto de “amplificar y rotar” una figura geométrica infinitesimal. Recordemos que “amplificar y rotar” es precisamente lo que significa la multiplicación por un número 3 i( ) 3 complejo. Por ejemplo sí f '( z ) 2 e 4 entonces la amplitud es 2 y la rotación es . 4
f
z
f ( z)
Figura 7. Si la función es analítica, cada uno de los vectores infinitesimales que emanan del punto z tienen una imagen que se obtiene del producto de estos por f '( z ) . En la ilustración la expansión es 2 y el ángulo de rotación es
3 4
. Si se cambia de punto z, el ángulo de rotación y la expansión varían.
Es posible encontrar otra caracterización de las funciones analíticas a través de la matriz Jacobiana. Para tal propósito, basta considerar la matriz de la transformación lineal que corresponde a la multiplicación por un número complejo. Esto es,
T:
z x iy
T ( z )( a ib ) z
a b x b a y
donde, T ( z ) (a ib)( x iy ) Recordemos que I :
2 a b
del plano y las matrices en
a b b a
define una aplicación lineal inyectiva entre los puntos
a a b . b b a
. De ahí que, a bi
7
Como la transformación es lineal, el efecto local está completamente determinado por la matriz Jacobiana:
ux J vx
uy . v y
Así, comparando la matriz de arriba con la Jacobiana y si lo que se pretende es que el efecto de J se reduzca a un amplitwist, entonces
ux a vy v x b (b) (u y ) u y
.
Ecuaciones de Cauchy -Riemann
Lo que se resalta aquí, es que estas ecuaciones deben satisfacerse en alguna vecindad infinitesimal de un punto con el objeto de que el mapeo sea analítico allí.
a b con b a
Como a ib juega el papel del amplitwist, comparando columnas de
ux v x
uy se obtienen las dos formulas de la derivada: v y
f ' u x i v x x f
f ' v y iu y y f Nótese que las formas especiales de las funciones componentes u y v son las que aseguran que el mapeo sea analítico. Un buen ejercicio consiste en calcular el Jacobiano para f ( z ) z y f ( z ) z analizar los efectos de estos mapeos, es decir que preservan ángulos entre vectores. 2
3
y
Retornando a los aspectos algebraicos de la función exponencial y aunque más adelante se definirá a z donde a y z son complejos, la operación más importante de este tipo de números es la siguiente: si a e es la base usual para el logaritmo natural determinado por ln e 1 , y si z x i y es cualquier complejo, entonces elevar e a una potencia compleja se define como e z exp z . (En adelante, usaremos cualquiera de las dos notaciones). En el caso particular en que x 0, z i y y la convención anterior se convierte en la conocida relación de Euler: e i y exp(i y) cos y i sen y
8
1 , n con n 2,3, 4,5... , siendo ésta una excepción a la convención conocida, que consiste en
La exponencial compleja e z se convierte en la raíz n-ésima positiva
n
e cuando z =
1
interpretar e n como el conjunto de las raíces n-ésimas de e . Las siguientes propiedades son una extensión análoga del cálculo real al complejo: (a) e z1 z2 e z1 e z2 (b) (c)
e z1 e z1 z2 ; z2 e
1 e z z e
;
(d) e z 0 para todo z (e)
d z (e ) e z dx
para toda z. ( función entera)
(f) e z e xi y e x ei y ei
donde e x , y lo que significa en coordenadas
polares e z e x e i y e x y arg(e z ) y 2n (n 0, 1, 2, ... ) . Nótese que arg e z no es un número real definido de manera única, sino más bien cualquier número de la forma 2k que determina el mismo ángulo. Esto se hace evidente al analizar la figura 3 de arriba. Otras propiedades que no resultan análogas al análisis real son las siguientes: (a) e z 2 i e z e2 i e z , donde e2 i 1 . De nuevo y como se vio arriba la función f ( z ) e z es periódica y su periodo es el complejo imaginario 2 i . (b) f ( x) e x siempre es positivo, mientras que f ( z ) e z puede ser negativo. Basta recordar que ei 1 . (famosa ecuación de Euler ei 1 0 ). Y en general, cuando la potencia es impar ei (2n 1) ei 2n ei (1)(1) 1
n 0, 1, 2, 3,....
Ejercicio # 8 (página 92) Encontrar todos los valores de z tal que e z 1 3 i . Ejercicio: Si z 0 , ¿ existe w tal que z ew ? Sí, en efecto w log z .
9
2. LA FUNCION LOGARITMICA Nos gustaría definir el logaritmo log z como la función inversa de la exponencial tal que para todo complejo a, b con b 0 , log exp a a , exp log b b
Pero estas fórmulas se cumplen para números reales a, b con b 0 , donde log b significa el logaritmo natural ln b y exp a ea . Sin embargo, como sabemos, no es posible definir una inversa para la exponencial compleja ya que esta función no es uno a uno. De nuevo, por lo visto arriba sabemos que exp( z0 2 k i) exp z0 k 0, 1, 2,....
para todo complejo z0 . Así, por ejemplo si z 0 0 entonces exp0 exp 2 i exp 4 i 1 , y por tanto no es posible definir log1 de manera única (función multivaluada) ya que: log1 0, log1 2 i, log1 4 i
etc
Examinemos de nuevo las propiedades del mapeo de la función exp z sobre una banda de longitud 2 antes de la demostración del teorema 1 para una mejor interpretación de éste. Imagen de Malla a través de w = ez
Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [-pi,pi] 4
2.5
2
3
1.5 2
Eje Imaginario v
Eje Imaginario y
1 1
0
0.5
0
-0.5
-1
-1 -2
-1.5
-2
-3
-2.5 -4 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2.5
-2
-1.5
Eje Real x
Figura 8. Nótese como la mitad izquierda ( x 0 ) de la banda
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Eje Real u
S z x iy / y es
0 w 1 . Y la otra mitad es mapeada al exterior de dicho disco. La recta horizontal y es mapeada al haz de recta (sin el origen) de ángulo que emana del mapeada uno a uno sobre el disco punteado azul origen.
10
Teorema 1. La función exponencial mapea la banda horizontal S z x iy / y del plano z hacia el plano punteado w,
0 como una aplicación uno a uno. En
particular, la recta horizontal y es mapeada sobre el eje real negativo del plano w. Demostración: e z 0 pues e z ei donde e z e x 0 , y, ei cos i sen 0 Los puntos de la recta horizontal y de la forma x i son mapeados a través de la función exponencial así: exp( x i ) e x (cos i sen ) e x u 0 u 0, v 0 (eje real negativo)
Mostremos que la exponencial exp z mapea S sobre
0 :
Sea w 0 . Probemos que w exp z para algún z S . Como w tiene coordenadas polares ( , ) con 0, y definiendo z x i y, con x ln , y , es fácil ver qué z S . Para mostrar que w exp z , basta con la relación: exp z e x (cos y i seny) eln (cos i sen ) (cos i sen ) w
lo que prueba que exp z mapea S sobre
0 .
Para probar que exp z es uno a uno cuando se restringe al conjunto S , basta probar que si z1 , z2 S y exp z1 exp z2 entonces z1 z2 . (exp z1 ) 1 de ahí que exp( z1 z2 ) 1 . Pero la periodicidad (exp z2 ) de la función exponencial implica que z1 z2 2k i k . Ahora bien, como z1 , z2 S
La hipótesis nos expresa que
entonces z1 z2 2 y por tanto k 0 , esto es, z1 z2 0 y así z1 z2 . Así, la función exponencial mapea la banda S de longitud 2 hacia uno), lo que prueba el teorema.
0 de forma inyectiva (o uno a
Como exp z exp( z 2 i) exp( z 4 i) ... , entonces es posible extender el teorema 1 a otras bandas del plano z. Así, para cada b , se define
S b z x i y / b 2 y b como la banda horizontal de altura 2 cuyo borde superior es la recta horizontal y b . Por lo tanto, dicha generalización se puede establecer mediante:
11
Teorema 2. La función exponencial mapea toda banda horizontal S b del plano z hacia el plano punteado w , 0 de forma inyectiva (o uno a uno). En particular, la recta horizontal y b es mapeada hacia el rayo determinado por el ángulo b y que se extiende desde el origen w 0 . La figura 8 ilustra la interpretación del teorema 2. Imagen de Malla a través de w = e
Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [pi/4,9pi/4]
z
8
2.5 7
2 1.5 Eje Imaginario v
Eje Imaginario y
6 5 4 3 2
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2
1
-2.5 0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2.5
-2
-1.5
-1
Eje Real x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Eje Real u
Figura 9. La banda S 9 z x iy / 4
-0.5
4
y
9 y su imagen inyectiva exp( S 9 ) 4 4
0
2. DEFINICION DE LOGARITMO La definición se puede obtener a través del problema de resolver para w la ecuación ew z donde z es un complejo NO nulo. Sea w u iv , y z rei donde . La ecuación dada se transforma entonces en:
eu ei v r ei , donde
r e u , v 2n Arg ( z) 2n , n
Ahora bien, r e u si sólosi u ln r , por lo tanto e w z se satisface siempre que w u i v ln r i( 2n ) ln r i( Arg ( z ) 2n )
, n
Así, la función logarítmica de la variable compleja no nula z rei se define como: log z ln r i ( Arg ( z) 2n )
, n
12
Nótese que la función log z es una función Multivaluada, ya que z rei rei ( 2 ) rei ( 4 )
,
y sus valores a través de log z son todos números complejos diferentes: log z ln r i log z ln r i( 2 ) log z ln r i( 4 )
La razón anterior obedece a la definición de arg z , 2 , 4 , 6 ,... que es de infinitos valores distintos. Para obtener de log z una función univaluada, procederemos así: Sea S la banda horizontal del plano w dada por
S w u i v / v y tomemos z 0 como ( r 0, )
z re i
Ahora bien, ya con la restricción de arg z Arg z definimos log z log rei ln r i
Nótese que log z definido así, es una función univaluada para todo z 0 y con valores en la banda horizontal S , pues u ln r y v . Por lo tanto, podemos escribir
log :
0 S
Esta función, con la restricción es definida como la rama principal del logaritmo (ver figura 10). Usualmente para propósitos de continuidad, se requiere una restricción más fuerte sobre : . En la siguiente sección se analizará este hecho. De manera más general, una rama de logaritmo se define mediante una banda horizontal elegida S b en el plano w , luego de acuerdo con la restricción de que arg z satisfaga
b 2 b se define log z ln r i de manera usual. Así, lo anterior nos define una función hacia una banda en el plano w , en este caso la banda S b :
log :
0 S b
Importante: bandas diferentes S b dan lugar a funciones o „ramas‟ log z distintas. La clave en muchos problemas es elegir una rama apropiada del logaritmo.
13
Imagen de Malla Circular a través de w = logz
Malla Sector Circular
4
2
3
1.5
2
Eje imaginario v
Eje imaginario y
1 0.5 0 -0.5
1 0 -1
-1
-2
-1.5
-3
-2 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -2.5
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Eje Real u
Eje Real x
Figura 10. Rama principal del logaritmo.
log z : 0 S . Nótese como una pequeña porción del
plano (figura de la izquierda) es mapeada a la banda de la derecha S w u iv / v . Las coordenadas del sector circular son r 0, . Esta rama del logaritmo resulta ser la inversa de la función exponencial dentro de la restricción impuesta al argumento ( arg( z ) Arg ( z ) ).
Se pueden construir otras ramas como por ejemplo cuando b 4 . Ver figura 11. Reflexiónese sobre las infinitas ramas que se podrían construir por cada valor de b . Malla Sector Circular
Imagen de Malla Circular a través de w = logz
2
13
1.5
12
1
Eje imaginario v
Eje imaginario y
11
0.5 0 -0.5
9
8
-1
7
-1.5 -2 -2
10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Eje Real x
Figura 11. Rama de logaritmo se restringe el argumento a
1
1.5
2
6 -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Eje Real u
log z : 0 S 4 . Esta rama es la inversa de la exponencial cuando
2 4 . Aquí S4 w u iv / 2 v 4 .
¿Cuántas ramas diferentes se podrían construir para la raíz cuadrada? ¿Cuántas ramas diferentes se podrían construir para la raíz cúbica, o cuartica?
14
LA SUPERFICIE DE RIEMANN PARA w log z La superficie de Riemann para la función multivaluada w log z es similar a la de la raíz cuadrada, cubica, o cuartica. Sin embargo, en este caso se requieren infinitas copias de planos z, 0 sin el eje real negativo, que se rotularán como Sk , k .., 2, 1,0,1, 2,... . Ahora colocando o apilando los planos anteriores uno encima del otro tal que los puntos correspondientes tengan la misma posición y uniendo S k con Sk 1 así: para cada entero k, el borde del semiplano superior de la hoja S k se une con el borde del semiplano inferior de la hoja Sk 1 . La superficie de Riemann para el dominio de log z toma la forma de una escalera en espiral que extiende hacia arriba las hojas S1 , S2 , S3 ... y hacia abajo las hojas S1 , S2 , S3 ... como se muestra en la figura 12. Usando coordenadas polares para cada S k , z rei r(cos i sin ) donde r z
y 2k 2k y tomando la rama de
log z sobre cada hoja:
log z ln r i( ) , donde r z y 2k 2k
se llega a la siguiente ilustración grafica
Figura 12. Superficie de Riemann para w log z
De igual forma como se operó con la función log z , se pueden construir otras ramas con la función raíz cuadrada especificando un valor de argumento de z dado por arg( z ) en el intervalo 2 . La correspondiente rama, notada como f se define así:
f ( z ) r 2 cos i sin donde z r e i 0 y 2 2 2 1
Cuando se tiene la rama raíz cuadrada principal:
f ( z ) r 2 cos i sin 2 2 1
r z
, y, Arg ( z ) tal que <
15
Ejemplos: 1. Sea z 1 e0 e2 i e4 i Para la rama principal se tiene que log1 ln1 i 0 i 0 En otro sentido si elegimos la rama del logaritmo como la determinada por 3 , entonces debido a que 1 e2 i se tiene que log1 ln1 2 i 2 i . Nótese que para esta rama log1 S 3 . 2. Cuál es el valor de log i ? Para la rama principal arg i
2
, así que log i
Para la rama determinada por 3 5 se tiene que i 9 i . El valor de log z depende de la rama elegida. 2 3. Si z 1 i entonces para la principal de logaritmo 1 log z ln r i ln 2 i ln 2 i 4 2 4 4. Log 0 no está definido.
9 , 2
así
2
i.
que
log i
Algunas Propiedades del Logaritmo. De la ecuación original ew z si reemplazamos w log z entonces:
e log z z
z0
Mostremos que en el caso en que se invierta el orden de las funciones exponencial y logarítmica la ecuación anterior cambia a: log(e z ) z 2n i
n 0, 1, 2, 3,....
Demostración: sabemos que, log z ln r i ( Arg ( z ) 2n ) ln z i arg(z ) Ahora cambiando z por e z se tiene log e z ln e z i arg(e z ) . Pero por la propiedad (d),
e z e x y arg( e z) y 2 n ( n 0, 1, 2, 3.... )
z x iy . Ahora bien, reemplazando en la ecuación de arriba se llega a: log e z ln e x i ( y 2n ) ( x iy) 2n i z 2n i , n 0, 1, 2, 3,....
Así,
log(e z ) z 2n i
n 0, 1, 2, 3,....
Nótese, como el valor principal de log z se puede definir a partir de log z ln r i ( Arg ( z) 2n ) , n
con
16
cuando n 0 :
Log z ln r i Arg ( z ) ln z i Arg ( z) , funcion univaluada Cuando z rei 0 es un real positivo entonces Log z ln r es decir Log r ln r lo que significa que el logaritmo principal coincide con el logaritmo natural del cálculo real, viéndose este como un caso especial del logaritmo complejo. La función logarítmica en términos del valor principal: log z ln r i ( Arg ( z ) 2n ) Log z i Arg ( z ) i ( Arg ( z ) 2n )
, n 0, 1, 2, 3,...
Log z 2n i log z Log z 2n i
, n 0, 1, 2, 3,...
En el análisis real es imposible calcular el logaritmo de números reales negativos mientras que aquí en el análisis complejo es posible hacer este cálculo (otra diferencia entre el logaritmo del cálculo real y el del cálculo complejo): log(1) ln1 i( 2n ) (2n 1) i , n 0, 1, 2, 3,... log(5) ln 5 i( 2n ) Log (1) i , Log (5) ln 5 i 1 Ejercicio 2(c) - pagina 97. Mostrar que log(1 3 i) ln 2 2 n i 3
,n
3. MÁS SOBRE RAMAS Y DERIVADAS DE LOGARITMOS. Si z rei es un complejo no nulo, donde toma valores del conjunto 2n / n con Arg ( z ) . Entonces la definición de la función logarítmica multivaluada: log z ln r i ( 2n ) ,
n 0, 1, 2, 3,....
se puede reescribir como: log z ln r i
con arg( z)
Si se limita o restringe arg z a 2 con log z ln r i
,
, la función
( r 0, 2 )
se convierte en una función univaluada y continua en el dominio especificado. Nótese como en los puntos del haz la función deja de ser continua. Ver figura 13.
17
El haz se definirá más adelante como corte de rama o de ramificación de la función logarítmica. y
z
4
u (r , ) ln r v(r , )
z1
4
v
f ( z1 )
2
f ( z ) ln r i
4
x
4 u
ln r Figura 13. La exclusión de
para la continuidad de log z obedece a que lim(log z ) no existe. z
La función log z lnr i , (r 0, 2 )no sólo es continua sino también analítica en su dominio dado, pues basta ver que las derivadas parciales de primer orden son continuas y satisfacen la forma polar de las ecuaciones de Cauchy – Riemann:
rur v u rvr
, de fácil comprobación a través de
1 , u 0 r v(r , ) vr 0, v 1
u (r , ) ln r ur
Una rama de una función multivaluada f es cualquier función univaluada F que es analítica en cada punto z para el cual el valor F ( z ) es igual a uno de los valores de f . El requerimiento de analiticidad, evita que F tome de manera aleatoria los valores de f . Importante: Para cada fijo, la función univaluada log z ln r i , ( r 0, 2 ) es una rama de la función multivaluada log z ln r i donde 2n ,
n 0, 1, 2, 3,....
En particular, cuando n 0 , y, , la función Log z ln r i ,
( r 0,
)
se denomina la rama principal de la función multivaluada log z . Un corte de rama o de ramificación es una porción de línea o curva que se introduce con el propósito de definir una rama F de una función multivaluada f . Los puntos sobre el corte de rama F son puntos singulares de F , y cualquier punto que sea común a todos los cortes de rama de f se denomina punto de rama. El origen y el rayo constituyen el corte de ramificación para la rama de la función logarítmica: log z ln r i ,
( r 0, 2 )
18
El corte de ramificación para la rama principal Log z ln r i , ( r 0, ) consiste en el origen y el rayo . El origen evidentemente es un punto de ramificación para las ramas de la función logarítmica multivaluada. Cuando se usan las ramas de la función logarítmica, se debe tener precaución en su manejo, especialmente con identidades que involucren logaritmos debido a que no siempre operan como en el análisis real. El siguiente ejemplo es una muestra de lo anterior. Ejemplo. Usando la rama principal se puede ver que: Log(i3 ) 3Log(i) Log(i 3 ) Log(i) ln1 i
2
2
i
,y,
3Log(i) 3(ln1 i
2
)
3 i 2
Por lo tanto, Log(i3 ) 3Log(i)
4. IDENTIDADES QUE INVOLUCRAN LOGARITMOS. (a) log(z1z2 ) = log(z1 ) log(z2 )
z (b) log 1 = log(z1 ) log(z 2 ) z2 (c) z n e n log z 1
1 log z
(d) z n e n
n 0, 1, 2, 3,... n 1, 2,3,... , z 0
5. EXPONENTES COMPLEJOS Cuando z 0 y el exponente c es cualquier complejo, la función z c se define así:
z c e c log z donde log z es la función logarítmica multivaluada. La definición es consistente con los resultados dados arriba en (c) y (d) cuando c n , n 0, 1, 2, 3,... ,y, cuando 1 c n 1, 2, 3,... n Ejemplo.
Calcular i 2i :
Por definición
1 Pero, log i ln1 i 2n 2n i 2 2
i 2i e( 2i log i ) .
, n 0, 1, 2, 3,....
19
1 Entonces 2i log i 2i 2n i 4n 1 2
Y por lo tanto i 2i e( 2i log i ) e 4n 1
, n 0, 1, 2, 3,....
, n 0, 1, 2, 3,.... . ( valores multivaluados).
Si z rei y es cualquier real, la rama log z ln r i , ( r 0, 2 ) de la función logarítmica es univaluada y analítica en el dominio indicado. Cuando esta rama es usada, entonces la función z c e c log z resulta univaluada y analítica en el mismo dominio. La derivada de tal rama de la función z c se puede obtener mediante regla de cadena así: ( c 1) d c d c log z c c log z c e c log z z e e log z e c log z c log z ce (c 1) log z c elog z cz c 1 dz dz z e e
d c z cz c 1 dz
Así,
, ( z 0, 2 )
El valor principal de z c se obtiene cuando log z se reemplaza por Log z en z c e c log z : Esto es, valor principal de z c ec Log z La rama principal de la función z c se define como ec Log z donde ( z 0, Arg ( z) )
Cuando la Base es constante: Cuando c es un complejo no nulo y además constante la función exponencial con base c se define como
c z e z log c Nótese que la interpretación usual de e z ocurre cuando el valor principal del logaritmo es considerado en la expresión de arriba , así , e z e z Log e Log e log e 1. d z d z log c c e e z log c log c c z log c dz dz d z c c z log c dz
20
6. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Por las fórmulas de Euler se sabe que: ei x cos x i sin x
e i x cos x i sin x
,
Sumando y restando se puede ver que: cos x
e i x e i x 2
, x sin x
;
e i x e i x 2i
Para el caso de la variable compleja z las funciones coseno y seno se definen de forma e i z e i z e i z e i z natural como: cos z ; sin z 2 2i Imagen de Malla a través de w = sin z
Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [-3,3] 3
2.5 2
2
Eje Imaginario v
Eje Imaginario y
1.5 1
0
-1
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5
-2
-2 -2.5
-3 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-2.5
1
-2
-1.5
-1
-0.5
Figura 14. La acción de la función
Como las derivadas de
0
0.5
1
1.5
2
Eje Real u
Eje Real x
sen( z )
d iz e iei z dz
sobre una malla rectangular. Nótese como
y
d sin z cos z dz
sen( z ) 1 .
d i z e iei z entonces es fácil ver que dz d cos z sin z dz
y
Igualmente se puede ver que las funciones seno y coseno siguen siendo pares e impares sin( z) sin z
IDENTIDADES:
y
cos( z) cos z
sen( z1 z2 ) senz1 cos z2 cos z1 senz2 cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 senz1 senz2
sen2 z 2senz cos z ,
cos2 z cos2 z sen2 z
sen2 z cos2 z 1
2.5
21
Las funciones senz , cos z son de periodo 2 (ver figura 15):
sen( z 2 ) senz cos( z 2 ) cos z Malla de 40x40 celdas sobre [-,] x [-3,3]
Imagen de Malla a través de w = sin z
3 2.5 2
2
1
Eje Imaginario v
Eje Imaginario y
1.5
0
-1
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5
-2 -2 -2.5
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Eje Real x
Figura 15. La acción de la función senz por cada segmento de longitud
0.5
1
1.5
2
2.5
2
repite la figura anterior.
sen( z ) senz
Otras identidades: Cuando y
0
Eje Real u
cos( z ) cos z
las funciones hiperbólicas se definen así:
e y e y senhy 2
e y e y ; cos hy 2
Relaciones entre las funciones trigonométricas y las hiperbólicas reales:
sen(iy) i senhy
; cos(iy) cosh y
Las ecuaciones anteriores permiten establecer:
senz senx cosh y i cos x senh y cos z cos x cosh y i senx senh y senz sen( x iy) senx cos(iy) cos xsen(iy) senx cosh( y) i cos xsenh( y) cos z cos( x iy) cos x cos(iy) senxsen(iy) cos x cosh( y) i senxsenh( y) Módulos:
sen z sen2 x senh2 y 2
;
cos z cos2 x senh2 y 2
22
senz sen 2 x cosh 2 y cos 2 x senh 2 y sen 2 x cosh 2 y (1 sen 2 x ) senh 2 y sen 2 x(cosh 2 y senh 2 y ) senh 2 y sen 2 x senh 2 y Así,
sen z sen2 x senh2 y . 2
Un cero de f ( z ) se define como aquel numero z 0 tal que f ( z0 ) 0 No es difícil mostrar que f ( z ) senz 0 z n
,n
senz 0 sen2 x senh2 y 0 senx 0 , y, senh y 0 x n , y 0 z n , n Ahora mostremos que
f ( z ) cos z 0 z
2
n
,n
cos z 0 cos 2 x senh 2 y 0 cos x 0 , y, senh y 0 cos x 0 , y, senh y 0 x z
2
2
n , y 0 n
,n
Otras funciones trigonométricas de variable compleja z: tan z
sin z cos z
, cot z
cos z 1 , sec z , sin z cos z
d d tan z sec2 z , cot z csc2 z , dz dz d d sec z sec z tan z , csc z csc z cot z dz dz
csc z
1 sin z
23
Malla de 40x40 celdas sobre [-/2,/2] x [-3,3]
Imagen de Malla a través de w = tan z
3
1 0.8
2
1
Eje Imaginario v
Eje Imaginario y
0.6
0
-1
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
-2
-0.8 -1
-3 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
1.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
Eje Real x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Eje Real u
Figura 16. La acción de la función tangente sobre una malla rectangular.
LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS: cosh z d cosh z sinh z ; dz
d sinh z cosh z ; dz
e z e z 2
;
sinh z
e z e z 2
d tanh z sech 2 z dz
Relaciones de las trigonométricas con las funciones hiperbólicas caso complejo:
isenh(iz ) senz
;
cosh(iz ) cos z
isen(iz ) senhz
;
cos(iz ) cosh z
Par e impar:
senh( z ) senhz,
cosh( z ) cosh z .
Identidades fundamentales:
cosh 2 z senh 2 z 1 senh( z1 z2 ) senhz1 cosh z2 cosh z1senhz2 cos h( z1 z2 ) cos hz1 cosh z2 senhz1senhz2 Módulos:
senhz senh2 x sen2 y , cos hz senh2 x cos2 y 2
2
d d tanh z sech 2 z ; coth z csc h 2 z dz dz d d sech z sech z tanh z ; cschz csch z coth z dz dz
1
24
INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS
eiw eiw entonces w arcsen z z senw . Pero por definición, senw 2i eiw eiw z 2iz eiw eiw 2iz eiw (ei 2 w 1) 2izeiw ei 2 w 1 2i luego, (e ) 2iz (e ) 1 0 entonces e iw 2
iw
iw
2iz (4 z 2 4)1/2 iz (1 z 2 )1/2 2
donde (1 z ) se refiere a las dos raíces de 1 z . 2
2 1/2
eiw iz (1 z 2 )1/2 iw log[iz (1 z 2 )1/2 ] w i log[iz (1 z 2 )1/2 ] arcsen z i log[iz (1 z 2 )1/2 ]
Así ,
A continuación, una ilustración de la función multivaluada arcsenz. Malla de 40x40 celdas sobre [-10,10] x [0,10]
Imagen de Malla a través de w = arcsin z
10
3.5
9 3
8 2.5
Eje Imaginario v
Eje Imaginario y
7 6 5 4 3
2
1.5
1
2 0.5
1 0 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Eje Real x
Figura 17. La acción de la función
10
0
-1
-0.5
0
0.5
1
Eje Real u
arcsen( z )
sobre una malla rectangular.
De forma análoga al procedimiento de arriba se puede mostrar que:
arccos z i log[ z i(1 z 2 )1/2 ] i iz arctan z log 2 iz Cuando se especifican las ramas para la raíz cuadrada y el logaritmo, las tres inversas definidas anteriormente se convierten en funciones univaluadas y analíticas.
25
Como ejercicio final mostrar que:
d 1 arcsenz dz (1 z 2 )1/2
,
d 1 d 1 , arctan z arccos z dz 1 z2 dz (1 z 2 )1/2
1 1 z arctanh z log . 2 1 z
f(z) = z 1/3
f(z) = z 1/2
1 1
0.5 0.5
0 0
-0.5
-0.5
1 0.5
-1 -1
-1 1 0.5
0 -0.5
0
0.5
1
-1
1 0.5
0
-0.5
0
-0.5
Eje y
Eje y
Eje x
-0.5 -1
-1
Eje x
f(z) = z 1/4
1
0.5
0
-0.5
-1 1 0.5
1 0.5
0
0
-0.5 Eje y
Figura 18. Ilustración de
-0.5 -1
-1
Eje x
f ( z ) z1/2 , f ( z ) z1/3 y f ( z ) z1/4
real ( f ( z ))
y el color como la
imag ( f ( z )) .
usando el eje z como