Relatività

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Relatività ristretta

Relatività generale

Cento anni di Teoria della Relatività Luca Sbano Liceo Scientifico "Vittoria Colonna"

2015/2016

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Figura: Albert Einstein 1879 - 1955

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Biografia essenziale I Nasce ad Ulm in Germania, da una famiglia benestante di religione ebraica.

I Fin da piccolo mostra interesse per la fisica e la matematica.

I Studi principali svolti al Politecnico di Zurigo e poi trova lavoro all’ufficio brevetti di Berna.

I 1905 annus mirabilis, tre lavori cruciali Spiegazione dell’effetto fotoelettrico (Premio Nobel 1921), Descrizione microscopica del moto Browniano (determinazione della dimensione delle molecole), Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento (Relativitá ristretta) I Relativitá Generale, 1916 I Si oppone al nazifascismo e nel 1933 si stabilisce negli Stati Uniti.

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Punti principali

Simulazioni da LIGO Relatività ristretta Sistemi di riferimento in moto relativo La somma di velocità Esperimento di Michelson e Moreley Sincronizzazione degli orologi Il tempo in diversi sistemi di riferimento Principi della Relatività ristretta

Relatività generale Principi della Relatività generale Il Principio di equivalenza Lo spazio curvo Raggi di luce incurvati Geometria e materia

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Per iniziare possiamo guardare i video prodotti da LIGO ossia dal gruppo sperimentale che ha recentemente verificato l’esistenza delle onde gravitazionali...

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Simulazioni da LIGO Ecco alcuni video prodotti dal laser Interferometer Gravitational-wave Observatory, laboratorio che nel febbraio 2016 ha rilevato le prime onde gravitazionali previste dalla relatività generale di Einstein.

I

Collasso di buchi neri (Interstellar) Osservatorio LIGO, “Collasso di due buchi neri”

I

Collasso di buchi neri con produzione di onde gravitazionali Osservatorio LIGO, “Collasso di due buchi neri”

I

Come si osservano le onde gravitazionali Osservatorio LIGO, “L’interferometro”

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Due passaggi teorici: La teoria della Relatività è composta di due parti: I

Teoria della Relativitá ristretta, 1905

I

Teoria della Relativitá generale, 1916

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Relatività ristretta I

Problema: L’asimmetria fra campi elettrici e magnetici.

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Problema: L’asimmetria fra campi elettrici e magnetici.

I

Problema: La somma di velocità

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Problema: L’asimmetria fra campi elettrici e magnetici.

I

Problema: La somma di velocità

I

Previsione: La famosa E = m c 2 .

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Relatività ristretta I

Problema: L’asimmetria fra campi elettrici e magnetici.

I

Problema: La somma di velocità

I

Previsione: La famosa E = m c 2 .

I

Previsione: Spazio e tempo formano un continuo detto lo spazio-tempo in cui la contemporaneità degli eventi ha un carattere relativo.

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Relatività ristretta I

Problema: L’asimmetria fra campi elettrici e magnetici.

I

Problema: La somma di velocità

I

Previsione: La famosa E = m c 2 .

I

Previsione: Spazio e tempo formano un continuo detto lo spazio-tempo in cui la contemporaneità degli eventi ha un carattere relativo.

I

Previsione: La previsione della vita media delle particelle (il muone)

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Sistemi di riferimento in moto relativo La nozione di sistema di riferimento è centrale nell’analisi di Einstein.

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La somma di velocità

Pino

!v2 !v1

Nina

I

Secondo Nina, con quale velocità viaggia la palla lanciata da Pino?

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La somma di velocità I

Noi penseremmo che la velocità della palla sia ~vtotale = ~v1 + ~v2 .

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La somma di velocità I

Noi penseremmo che la velocità della palla sia ~vtotale = ~v1 + ~v2 .

I

Se le velocità sono piccole rispetto alla velocità della luce, la nostra intuzione è corretta, altrimenti...NO

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Non possiamo in questa sede affrontare il problema della somma delle velocità, ma possiamo introdurre l’esperimento che ha posto in crisi la nostra intuizione...

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L’Etere lumifero I

Fino al 1887 si riteneva che la luce, formata da onde elettromagnetiche, viaggiasse in un mezzo l’etere.

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L’Etere lumifero I

Fino al 1887 si riteneva che la luce, formata da onde elettromagnetiche, viaggiasse in un mezzo l’etere.

I

La Terra, orbitando intorno al Sole, era considerata in moto rispetto all’etere.

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L’Etere lumifero I

Fino al 1887 si riteneva che la luce, formata da onde elettromagnetiche, viaggiasse in un mezzo l’etere.

I

La Terra, orbitando intorno al Sole, era considerata in moto rispetto all’etere.

I

Michelson e Moreley cercarono di capire come cambiasse la velocità della luce al variare della direzione in cui si propaga.

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Esperimento di Michelson e Moreley

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Esperimento di Michelson e Moreley

I

La velocità della luce risultava inalterata dal movimento della Terra: la somma di velocità della meccanica classica non può essere applicata alla luce.

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Sincronizzazione degli orologi

I

Usiamo la luce per sincronizzare i nostri orologi.

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Dilatazione dei tempi: l’orologio di luce

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Dilatazione dei tempi: l’orologio di luce

Posto v la velocità del treno e c la velocità della luce, usando le proprietà del triangolo ABC si trova: tstazione 0 ttreno =q 2 1 − vc 2

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Principi della Relatività ristretta I

Le leggi della fisica non cambiano al cambiare di sistema di riferimento in moto relativo ed uniforme.

I

La velocità della luce c ' 300000 km/s è la stessa in tutti i sistemi di riferimento.

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Principi della Relatività ristretta I

Le leggi della fisica non cambiano al cambiare di sistema di riferimento in moto relativo ed uniforme.

I

La velocità della luce c ' 300000 km/s è la stessa in tutti i sistemi di riferimento.

Conseguenze della Relatività ristretta.

I

Il tempo scorre in modo diverso nei sistemi di riferimento in moto relativo.

I

Le lunghezze in moto relativo uniforme si accorciano.

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Einstein impiegò circa dieci anni per generalizzare la Relatività ristretta...

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Relatività generale I

Problema: Generalizzazione del principio di relatività

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Problema: Generalizzazione del principio di relatività

I

Problema: La precessione del perielio di Mercurio (1916).

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Problema: Generalizzazione del principio di relatività

I

Problema: La precessione del perielio di Mercurio (1916).

I

Previsione: Lo spazio-tempo è curvo.

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Problema: Generalizzazione del principio di relatività

I

Problema: La precessione del perielio di Mercurio (1916).

I

Previsione: Lo spazio-tempo è curvo.

I

Previsione: la luce segue si propaga seguendo la curvatura dello spazio-tempo (1919).

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Problema: Generalizzazione del principio di relatività

I

Problema: La precessione del perielio di Mercurio (1916).

I

Previsione: Lo spazio-tempo è curvo.

I

Previsione: la luce segue si propaga seguendo la curvatura dello spazio-tempo (1919).

I

Previsione: Il funzionamento del GPS (Ovviamente questa è una conseguenza molto recente della teoria).

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Problema: Generalizzazione del principio di relatività

I

Problema: La precessione del perielio di Mercurio (1916).

I

Previsione: Lo spazio-tempo è curvo.

I

Previsione: la luce segue si propaga seguendo la curvatura dello spazio-tempo (1919).

I

Previsione: Il funzionamento del GPS (Ovviamente questa è una conseguenza molto recente della teoria).

I

Previsione: esistenza dei buchi neri (evidenze dagli 70’ ad oggi).

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Problema: Generalizzazione del principio di relatività

I

Problema: La precessione del perielio di Mercurio (1916).

I

Previsione: Lo spazio-tempo è curvo.

I

Previsione: la luce segue si propaga seguendo la curvatura dello spazio-tempo (1919).

I

Previsione: Il funzionamento del GPS (Ovviamente questa è una conseguenza molto recente della teoria).

I

Previsione: esistenza dei buchi neri (evidenze dagli 70’ ad oggi).

I

Previsione: esistenza delle onde gravitazionali (2016).

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Principi della Relatività generale I

Le leggi della fisica non cambiano al cambiare di un qualunque sistema di riferimento.

I

Principio di equivalenza: misure locali di accelerazioni non permettono di inferire l’esistenza di forze gravitazionali.

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Il Principio d’equivalenza è legato ad una questione apparentemente semplice...

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Una domanda che spesso imbarazza...

I

Che differenza c’è fra massa e peso?

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Una domanda che spesso imbarazza...

I I

Che differenza c’è fra massa e peso? ~ = m ~g Peso uguale massa per gravità: P

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Una domanda che spesso imbarazza...

I

Che differenza c’è fra massa e peso? ~ = m ~g Peso uguale massa per gravità: P

I

Ma cos’è la massa?

I

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Una domanda che spesso imbarazza...

I

Che differenza c’è fra massa e peso? ~ = m ~g Peso uguale massa per gravità: P

I

Ma cos’è la massa?

I

Ce ne sarebbero due: la massa gravitazionale che fa funzionare la gravità e la massa inerziale che ci crea problemi....quando riempiamo troppo il carrello della spesa...e facciamo fatica a spostarlo...

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Una domanda che spesso imbarazza...

I

Che differenza c’è fra massa e peso? ~ = m ~g Peso uguale massa per gravità: P

I

Ma cos’è la massa?

I

Ce ne sarebbero due: la massa gravitazionale che fa funzionare la gravità e la massa inerziale che ci crea problemi....quando riempiamo troppo il carrello della spesa...e facciamo fatica a spostarlo...

I

Eötvös nel 1889 mostrò che sperimentalmente queste due masse sono equivalenti ossia sono fisicamente la stessa cosa.

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Il Principio di equivalenza

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Il Principio di equivalenza

I

Localmente, in un’ascensore o in un razzo, non c’è differenza fra essere accelerati da un motore o essere su un pianeta soggetti alla gravità.

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Simulazione del Principio di equivalenza

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Lo spazio curvo attorno alla Terra

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Nel 1919, durante un’eclissi, utilizzando dati raccolti in una spedizione in Africa, Arthur Eddington mostrò che la luce è curvata dalla gravità secondo quanto previsto dalla Relatività generale.

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Raggi di luce incurvati

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La descrizione metrica dello spazio-tempo I

La geometria dello spazio-tempo è descritta dalla metrica gµν (x), l’elemento infinitesimo di lunghezza è dato da: 2

d s=

4 X

gµν (x) dx µ dx ν

µ=0,ν=0

ds è la distanza tra due eventi spazio-tempo le cui coordinate differiscono di dx µ . La formula precedente è una generalizzazione del teorema di Pitagora.

Le funzioni gµν (x) descrivono come cambia la metrica nello spazio-tempo.

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La descrizione metrica dello spazio-tempo I

La geometria dello spazio-tempo è descritta dalla metrica gµν (x), l’elemento infinitesimo di lunghezza è dato da: 2

d s=

4 X

gµν (x) dx µ dx ν

µ=0,ν=0

ds è la distanza tra due eventi spazio-tempo le cui coordinate differiscono di dx µ . La formula precedente è una generalizzazione del teorema di Pitagora.

Le funzioni gµν (x) descrivono come cambia la metrica nello spazio-tempo.

I

Per illustrare le proprietà di uno spazio curvo ora utilizzeremo la nozione di trasporto parallelo dei vettori...

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Il trasporto parallelo di un vettore e la curvatura: triangoli nel piano e sulla sfera

C

A B C B

A

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Il trasporto parallelo di un vettore e la curvatura: triangoli nel piano e sulla sfera

C

A B C B

A

Seguite la freccia nel percorso chiuso A −→ B −→ C −→ A....

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Il trasporto parallelo di un vettore e la curvatura: triangoli nel piano e sulla sfera

C

A B C B

A

Seguite la freccia nel percorso chiuso A −→ B −→ C −→ A....

Cosa avviene al vettore nei due casi?

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Il trasporto parallelo di un vettore è un metodo per analizzare la curvatura di uno spazio

C

A B C B

A

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Il trasporto parallelo di un vettore è un metodo per analizzare la curvatura di uno spazio

C

A B C B

I

A

In geometria differenziale si mostra che quanto più il vettore risulta sfasato rispetto alla sua direzione iniziale, tanto più lo spazio è curvo....

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I

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Il trasporto parallelo di un vettore individua spazi curvi, quindi secondo l’intuizione di Einstein le proprietà del trasporto parallelo di vettori deve essere collegato alla massa presente. Tale collegamento è realizzato delle equazioni del campo gravitazionale.

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I

Il trasporto parallelo di un vettore individua spazi curvi, quindi secondo l’intuizione di Einstein le proprietà del trasporto parallelo di vettori deve essere collegato alla massa presente. Tale collegamento è realizzato delle equazioni del campo gravitazionale.

I

Nelle prossime pagine saranno mostrate le equazioni del campo di gravitazionale della Relatività generale.

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I

Il trasporto parallelo di un vettore individua spazi curvi, quindi secondo l’intuizione di Einstein le proprietà del trasporto parallelo di vettori deve essere collegato alla massa presente. Tale collegamento è realizzato delle equazioni del campo gravitazionale.

I

Nelle prossime pagine saranno mostrate le equazioni del campo di gravitazionale della Relatività generale.

I

Evidentemente questa vuole solo essere una provocazione...

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Geometria e materia

Rµν −

1 8πG Tµν , R gµν = 4 2 c

Al primo membro abbiamo i termini che descrivono le caratteristiche geometriche dello spazio-tempo ed a destra la materia e l’energia presenti.

Si ha quindi quanto descritto J. A. Wheeler: la geometria dice alla materia come muoversi la materia dice allo spazio come curvarsi.

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Geometria e materia

1 8πG Rµν − R gµν + Λ gµν = Tµν 2 c4 Λ gµν descrive gli effetti della cosidetta materia oscura.

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Un sogno metafisico...

I

Da Einstein in poi in molti hanno lavorato all’idea di geometrizzare tutta la fisica, ovvero riuscire a descrivere tutte le forze e tutte le particelle attraverso le proprietà geometriche dello spazio tempo.

I

Quest’approaccio ha dato negli anni notevoli contributi ma ha incontrato - al momento - la difficoltà della natura quantistica delle leggi fisiche che governano la materia.

Questa avventura intellettuale continua producendo nuove idee e visioni della struttura dell’universo e delle leggi che lo governano.

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Bibliografia minima I

A. Einstein, Il significato della relatività, Boringhieri, Torino, 1959.

I

A. Einstein, Come io vedo il mondo, N.C. Roma, 1975.

I

A. Einstein, Autobiografia scientifica, Bollati Boringhieri, Torino, 1979.

I

A. Einstein, Pensieri, idee, opinioni (1934-1950), N.C. Roma, 1996.

I

A. Einstein, Pensieri di un uomo curioso, Mondadori, 1997.

I

A. Einstein “Le due Relatività”, Boringhieri 2015.

I

D. F. Styer Capire davvero la relatività Zanichelli