Presentación Contenido Temático
ÁNGULO COMPUESTO ÁNGULO DOBLE
Recursos Evaluación
Prof. Aldo Rojas Ponce
Bibliografía
5º de Secundaria
Créditos
MATEMÁTICA
I.E.VIRTUAL PERU-5143
Funciones Trigonométricas de Ángulos Compuestos Un ángulo compuesto es aquel formado por la suma o diferencia de dos o mas ángulos simples (α, β, ..) Determinaremos las F.T. de ángulos de la forma: α+β y α-β En términos de las F.T. de α y β.
Para ello usaremos el círculo trigonométrico y la resolución de triángulos rectángulos vista anteriormente.
B
En el círculo trigonométrico mostrado, BC = sen(α + β) sen(α + β) = BE + EC … (1) En el
α
OBD:
OD = cos β BD = sen β 1
En el A E
D
BE = BD⋅cos α ∴ BE = sen β⋅cos α … (2) En el
O
β α
BED:
OFD:
DF = OD⋅sen α = EC ∴ EC = sen α⋅cos β …(3) C
(2) y (3) en (1):
F sen(α + β) = sen α⋅cos β + cos α⋅sen β
Análogamente se obtiene: cos(α + β) = cos α⋅cos β - sen α⋅sen β Se puede demostrar:
tanα + tanβ tan(α + β) = 1− tanα ⋅ tanβ Para la diferencia se tiene: sen(α - β) = sen α⋅cos β - cos α⋅sen β y:
cos(α - β) = cos α⋅cos β + sen α⋅sen β
tan(α − β) =
tanα − tanβ 1+ tanα ⋅ tanβ
Funciones Trigonométricas del Ángulo Doble Si en las diapositivas anteriores reemplazamos β por α se obtendrá:
sen2α = 2senα ⋅ cos α ........ (1) cos2α = cos2α − sen2α ...... (2a) = 1− 2sen2α ............ (2b) = 2cos2α − 1............ (2c)
2tanα tan2α = .............. (3) 2 1− tan α
Ejemplo Ejemplo: : θ
Doble la esquina inferior derecha de una hoja de papel de 6” de ancho, hasta llegar a la orilla izquierda, como muestra la figura. Determine la longitud L del doblez en función de θ.
L
6”