C U R S O: FÍSICA COMÚN MATERIAL: FC-03
CINEMÁTICA II
René Descartes, (La Haye, Francia 1596 - Estocolmo, Suecia 1650) Filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche (1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada salud. Es considerado como el iniciador de la Filosofía Moderna. La educación en La Flèche le proporcionó, durante los cinco primeros años, una sólida introducción a la cultura clásica. Conviene destacar que Aristóteles era entonces el autor de referencia para el estudio, tanto de la física como de la biología. Fue quizá durante los primeros años de su residencia en Holanda cuando Descartes escribió su primera obra importante, Ensayos filosóficos, publicada en 1637. La obra se compone de cuatro partes: un ensayo sobre geometría, otro sobre óptica, un tercero sobre meteoros y el último, el Discurso del método. El método cartesiano, que Descartes propuso para todas las ciencias y disciplinas, consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente más sencillas hasta hallar sus elementos básicos, las ideas simples, que se presentan a la razón de un modo evidente, y proceder a partir de ellas, por síntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relación establecida entre ideas simples la misma evidencia de éstas. En 1649 aceptó la invitación de la reina Cristina de Suecia y se desplazó a Estocolmo, donde murió cinco meses después de su llegada a consecuencia de una neumonía.
Tipos de movimientos i) Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): cuando un cuerpo se desplaza con velocidad constante a lo largo de una trayectoria rectilínea, se dice que describe un MRU.
Como ejemplo supongamos que un automóvil se desplaza por una carretera recta y plana, y su velocímetro siempre indica una rapidez de 60 km/h, lo cual significa que: en 1 h el auto recorrerá 60 km, en 2 h recorrerá 120 km, en 3 h recorrerá 180 km. Si estos datos los llevamos a un gráfico de posición v/s tiempo, su comportamiento sería el siguiente:
x(m)
pendiente =
x = velocidad (v) t
x0 t(s) fig. 1 La ecuación de la recta nos permitirá encontrar la información de cada posición de la partícula en el tiempo. Esta ecuación se denomina ecuación de itinerario.
Nota: la velocidad es constante, ya que la pendiente es única. El signo de la velocidad se debe respetar para el cálculo de desplazamientos. x(t) = x0 + v · t
x0 = posición inicial Si x0 = 0 (m), tenemos x(t) = v · t, conocida como la expresión d=v·t
2
A continuación se mostrarán los comportamientos gráficos de la velocidad y aceleración en el tiempo: v(m/s) pendiente =
v = aceleración (a) t
t(s) fig. 2 Como la velocidad es constante, implica que la aceleración en un MRU siempre es cero a(m/s2) a = 0 (m/s2)
t(s)
fig. 3
ii) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: el movimiento con aceleración más sencillo, es el rectilíneo, en el cual la velocidad cambia a razón constante, lo que implica una aceleración constante en el tiempo.
Nota: Cuando el vector velocidad y aceleración tienen el mismo sentido
y dirección, el
móvil aumenta su rapidez en el tiempo (acelerado). Cuando el vector velocidad y aceleración tienen distinto sentido e igual dirección, el móvil disminuye su rapidez en el tiempo (retardado). Imaginemos un móvil estacionado en una posición x0 a la derecha del origen (posición 0(m)), él comienza a moverse en línea recta, alejándose del origen aumentando su velocidad proporcional con el tiempo, lo cual implica que su aceleración es constante. La situación anterior representa un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, lo cual será analizado gráficamente:
3
x(m)
x0 t(s)
fig. 4 La ecuación itinerario generalizada esta representada por:
x(t) = x0 + v0 · t +
1 a · t2 2
(1)
El comportamiento de la velocidad y aceleración en función del tiempo es el siguiente: a(m/s2)
v(m/s)
t(s)
t(s)
fig. 5
fig. 6
De acuerdo a la figura 5, podemos determinar la velocidad instantánea que posee el móvil, encontrando la ecuación de la recta: v(t) = a · t En la expresión generalizada para la velocidad instantánea, hay que tener en cuenta la velocidad inicial v0 (pues ahora la recta corta el eje de las velocidades en v0 0): v(t) = v0 + a · t
(2)
Las ecuaciones generalizadas (1) y (2), pueden aplicarse correctamente tanto para movimientos uniformes acelerados o retardados. Para ello deben elegirse adecuadamente los signos de las velocidades y aceleraciones de acuerdo al sistema de referencia adoptado. Incluso dichas ecuaciones pueden aplicarse en intervalos de tiempo durante los cuales el móvil invierte su sentido de movimiento. 4
¿Qué indica el área bajo la curva en un gráfico? x(m)
t(s)
fig. 7
Analizando dimensionalmente, el área (grafico X v/s t) genera una multiplicación de posición y tiempo, lo cual en cinemática no implica ningún concepto físico. El cálculo del área (grafico v v/s t) genera una multiplicación de velocidad y tiempo, con lo cuál podemos obtener la distancia recorrida en un intervalo de tiempo determinado, por lo que se debe considerar el valor absoluto del área a calcular. También se puede obtener el desplazamiento total teniendo en cuenta el signo. v(m/s)
v0
fig. 8
t(s)
El cálculo del área (gráfico a v/s t) genera una multiplicación entre aceleración y tiempo, con lo cual se puede obtener la variación de velocidad (respetando los signos). a(m/s2)
fig. 9
5
t(s)
EJEMPLOS 1.
El gráfico de la figura 10 muestra la velocidad en función del tiempo para los móviles A y B, que se mueven sobre una misma recta. Para el intervalo de 0 s a 4 s, es falso afirmar que v(m/s) A B 4
t(s)
fig. 10 A) B) C) D) E) 2.
el movimiento de A es más acelerado que el de B. A recorrió mayor distancia que B. en t = 4 s, ambos se mueven con la misma velocidad. ambos tiene el mismo sentido de movimiento. ambos experimentan desplazamientos distintos.
Un cuerpo que se mueve rectilíneamente con una rapidez 10 m/s, experimenta una retardación constante de magnitud 2 m/s2. ¿Cuántos segundos tarda en detenerse? A) 0,2 B) 2,0 C) 5,0 D) 8,0 E) 10,0
3.
El gráfico posición – tiempo de la figura 11 muestra el movimiento de un cuerpo a lo largo del eje x. Entonces, el cuerpo I) II) III)
se acercó y se alejó del origen con velocidad constante. hasta los 6 s recorrió 30 metros. invirtió el sentido de su movimiento a partir de t = 4 s. x(m)
Es (son) verdadera(s)
20
A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III
6
0 2
4
-10
fig. 11
6
t(s)
4.
El gráfico de la figura 12 muestra la variación de la velocidad en el tiempo para un automóvil con movimiento rectilíneo. Entonces, respecto del automóvil, es falso afirmar que v(m/s) 4 0
5
10
t(s)
fig. 12
A) B) C) D) E)
5.
inicialmente estaba en reposo. la aceleración media fue nula. a los 5 s, cambió su sentido de movimiento. la distancia recorrida fue 20 m. las rapideces medias entre 0 s y 5 s, y entre 5 s y 10 s, fueron iguales.
La figura 13 muestra dos esferas, A y B, que se mueven con rapideces constantes de 5 m/s y 3 m/s, respectivamente. Si las esferas chocan en P, entonces el valor de d es A
B
P 10m
d
fig. 13 A) 1,5 m B) 3,0 m C) 6,0 m D) 12,0 m E) 15,0 m
7
PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE Nivel introductorio: problemas 1 al 6 Nivel intermedio: problemas 7 al 13 Nivel avanzado: problemas 14 y 15 1.
Un ratón avanza 2 m cada 2 s en una carretera rectilínea. De acuerdo a lo anterior, la rapidez media desde el inicio del movimiento hasta los 10 s es A) 1 m/s B) 2 m/s C) 4 m/s D) 8 m/s E) 10 m/s
2.
La figura 14 muestra el gráfico posición – tiempo de un móvil A y velocidad – tiempo de un móvil B. Si ambos inician su movimiento desde la misma posición y luego siguen por la misma carretera, se puede inferir correctamente que x (m)
v (m/s)
A
t1
B
t(s)
t1
t(s)
fig. 14 A) B) C) D) E) 3.
ambos aceleran. ambos se detuvieron en el instante t1. ambos recorrieron la misma distancia. ambos partieron del reposo. A se mueve con velocidad constante y B con aceleración constante.
Si vf y v0 representan velocidades y t un intervalo de tiempo, entonces para que la v v0 ecuación z = F sea dimensionalmente correcta, la magnitud z debe representar Δt
A) B) C) D) E)
tiempo. aceleración. rapidez media. desplazamiento. velocidad. 8
4.
¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores, velocidad (v), aceleración (a) y desplazamiento (x), no es posible para un movimiento rectilíneo?
A) B) C) D) E)
5.
B) C) D) E)
(x)
A B t A+B t B A t B A+ t A B– t
De las siguientes afirmaciones es falso que A) B) C) D) E)
7.
(a)
Un cuerpo avanza sobre una recta a razón de A m/s, y luego de t segundos su velocidad es B m/s. Entonces, su aceleración media, en m/s2, es
A)
6.
(v)
en un MRU, la rapidez es el módulo de la velocidad. la velocidad y la aceleración pueden tener sentidos opuestos. la velocidad media y el desplazamiento son paralelos. una aceleración negativa significa movimiento retardado. la distancia y la rapidez son escalares.
Un tren que se mueve rectilíneamente, disminuye su rapidez uniformemente hasta detenerse. Si recorrió 80 m en 10 segundos, ¿su aceleración en m/s2 fue? A) 1,6 B) 3,2 C) 4,0 D) 8,0 E) 16,0
9
8.
En la figura 15, el vector desplazamiento entre A y B es D
C
A
B fig. 15
A) igual a CB + DB B) igual a AC + CB C) igual a AC + CD + BD D) igual a AD + DB E) igual a BA 9.
En el gráfico velocidad- tiempo de la figura 16 A1, A2, A3, A4 y A5 indican el valor del área. De acuerdo a lo anterior, el desplazamiento entre 2 s y 6 s es v(m/s) A) B) C) D) E)
A1 + A2 A1 + A2 – A5 A3 + A4 – A5 A1 + A2 + A3 + A4 + A5 -A1 + A2 + A3 + A4 – A5
A3
A2 A1
A4
2
A5 6
4
t(s)
fig. 16
10. Un cuerpo se mueve en una recta con una velocidad que varía en el tiempo, tal como se muestra en la figura 17. ¿Qué distancia recorrió durante los primeros 10 segundos? v(m/s) A) 20 B) 40 C) 60 D) 80 E) 120
m m m m m
10
2
4
6
-10
fig. 17 10
8
10
t(s)
11. Un cuerpo realiza diversos desplazamientos a lo largo de la recta de la figura 18. Entonces, para intervalos de tiempo de 5 segundos el módulo de la velocidad media del cuerpo para un cambio de posición desde I) II) III)
X1 = 2m a X2 = -3m, es 1,0 m/s. X1 = -6m a X2 = -1m, es 1,0 m/s. X1 = -1m a X2 = -7m, es -1.2 m/s.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
x (m)
fig. 18 De las afirmaciones anteriores es (son) verdadera (s) A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III
12. Dos automóviles que se mueven sobre una misma recta tienen aceleraciones opuestas. Entonces, I) II) III)
se mueven en sentidos contrarios. pueden tener la misma velocidad. ambos pueden aumentar su rapidez.
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo III Sólo I y III Sólo II y III I, II y III
13. En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado I) II) III)
la velocidad y la aceleración tienen igual sentido. la aceleración es variable. la velocidad aumenta uniformemente con el tiempo.
De las afirmaciones anteriores, es (son) correcta(s) A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III 11
14. La figura 19 muestra dos cuerpos A y B, los cuales descienden de tal forma que siempre se encuentran a la misma distancia del suelo. De acuerdo a lo anterior, siempre es verdadero que
B
A
Suelo fig. 19 A) B) C) D) E)
15.
sus desplazamientos son iguales. sus rapideces son iguales. sus aceleraciones son iguales. sus velocidades medias son iguales. la rapidez media de B es mayor que la rapidez media de A.
La figura 20 muestra el gráfico velocidad – tiempo para un automóvil con movimiento rectilíneo. A partir de este gráfico es falso concluir que, durante su movimiento A) B) C) D) E)
v(m/s)
frenó tres veces. aceleró dos veces. invirtió el sentido 3 veces. la aceleración media fue -2 m/s2. la velocidad media fue 2 m/s.
12 6 0
1 2 3
4 5
-6
fig. 20 Claves de los Ejemplos 1A
2C
3B
4C
5C
12
6
t(s)