CINEMATICA 3 by aldosivi98

C U R S O: FÍSICA COMÚN MATERIAL: FC-04 CINEMÁTICA III

Galileo Galilei (Pisa, 15 de febrero de 1564 - Florencia, 8 de enero de 1642 ), fue un astrónomo, filósofo, matemático y físico que estuvo relacionado estrechamente con la revolución científica. En 1581 Galileo ingresó en la Universidad de Pisa, donde se matriculó como estudiante de medicina por voluntad de su padre. Cuatro años más tarde, sin embargo, abandonó la universidad sin haber obtenido ningún título, aunque con un buen conocimiento de Aristóteles. Entretanto, se había producido un hecho determinante en su vida: su iniciación en las matemáticas, al margen de sus estudios universitarios, y la consiguiente pérdida de interés por su carrera como médico. De vuelta en Florencia en 1585, Galileo pasó unos años dedicado al estudio de las matemáticas, aunque interesado también por la filosofía. Todavía estudiante, descubre la ley de la isocronía de los péndulos, primera etapa de la que será el descubrimiento de una nueva ciencia: la mecánica. En mayo de 1609, Galileo recibe de París una carta del francés Jacques Badovere, uno de sus antiguos alumnos, quien le confirma un rumor insistente: la existencia de un telescopio que permite ver los objetos lejanos. Fabricado en Holanda, este telescopio habría permitido ya ver estrellas invisibles a simple vista. Con esta única descripción, Galileo construye su primer telescopio. Al contrario que el telescopio holandés, éste no deforma los objetos y los aumenta 6 veces, o sea el doble que su oponente. Rápidamente, observando las fases de la Luna, descubre que este astro no es perfecto como lo quería la teoría aristotélica.

CAÍDA LIBRE En cinemática, la caída libre es un movimiento dónde solamente influye la gravedad. En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. Según Galileo Galilei (1564 – 1642), la aceleración instantánea es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si soltamos un coche y una pulga, ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad (g). Esto último implica que, si dejamos caer (en t = 0s) cuerpos de diferentes masas desde la misma altura, llegarán al suelo con la misma velocidad y en el mismo instante. Antes de analizar las ecuaciones, es conveniente hacer algunos comentarios generales. En problemas que tratan con cuerpos en caída libre y lanzamientos verticales, es demasiado importante elegir una dirección como la positiva y seguir este criterio en forma consistente al sustituir los valores conocidos. El signo de la respuesta es necesario para determinar desplazamiento y velocidad en tiempos específicos, no así cuando se desea determinar distancia recorrida y rapidez, ya que en ese caso tomamos el módulo (magnitud) del resultado. Si la dirección ascendente se elige como positiva, un valor positivo para x(t) indica un desplazamiento por arriba del punto de partida; si x(t) es negativo, representa un desplazamiento por debajo el punto de partida. En forma similar los signos de v0 (velocidad inicial) y la velocidades instantáneas v(t). La figura 1 muestra el comportamiento de un cuerpo en caída libre.

Por simplicidad en los cálculos, se tomará x0 = 0 m g

t=0

V0 = 0 x(t) = -

1 · g · t2 2

v(t) = -g · t

V1 > V0

a(t) = -g = cte V2 > V1 Nota: El signo negativo aparece porque se ha tomado negativo hacia abajo V3 > V2 fig. 1

LANZAMIENTOS VERTICALES El lanzamiento vertical hacia abajo es similar a la caída libre (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado), con la diferencia que la velocidad inicial es diferente de cero (v0  0). El lanzamiento vertical hacia arriba, es un movimiento rectilíneo uniformemente retardado. Si tomamos positivo hacia arriba las ecuaciones que rigen a estos movimientos son las siguientes: 1 · g · t2 2 v(t) = v0 – g · t

x(t) = v0 · t –

a(t) = -g = cte

Nota: recuerda que por convención, si la velocidad inicial es positiva el lanzamiento es vertical hacia arriba y viceversa, todo esto para el cálculo de desplazamiento y velocidad instantánea. En el caso que se requiera distancia recorrida o rapidez instantánea, debes tomar la magnitud del resultado. Para la mayoría de los ejercicios se usará g  10 m/s2. Análisis del movimiento de ida y vuelta:

v=0

xmax = hmax

Al observar la figura 2, existe una simetría en el movimiento, lo que implica que el tiempo de ida y vuelta son los mismos; la distancia total recorrida, equivale al doble de la altura máxima alcanzada por el cuerpo. Importante destacar que la aceleración siempre está actuando, y en la altura máxima sólo se anula la velocidad instantánea. Las expresiones que se dan a continuación nos permiten calcular el tiempo de subida y la altura máxima alcanzada por el cuerpo.

tsubida =

x0 = 0 -v0

fig. 2

v0 g

hmax =

v20 2g

En las expresiones anteriores se muestra que, en estos movimientos, la masa del cuerpo es indiferente. El tiempo de subida es proporcional con la velocidad inicial, y la altura máxima es proporcional con la velocidad inicial al cuadrado.

EJEMPLOS Para los ejemplos y ejercicios, use g = 10 m/s2 En los problemas desprecie fuerzas externas, salvo que se diga lo contrario. 1.

Un cuerpo es dejado caer libremente desde un acantilado de altura h demorando un tiempo t en tocar el suelo. El tiempo que demora en tocar el suelo si lo dejamos caer desde un acantilado de altura 4h es A) t B) 2t C) 4t D) 8t E) 10t

En el planeta “Gorky” la gravedad es la mitad que la nuestra. Si lanzamos verticalmente hacia arriba un cuerpo a 10 m/s en la Tierra y en “Gorky” a 20 m/s las alturas máximas respectivamente son A) 5 m y 10 m B) 10 m y 20 m C) 5 m y 40 m D) 40 m y 5 m E) 40 m y 10 m

Si se lanza una Pera verticalmente hacia abajo con una velocidad de 40 m/s podemos afirmar correctamente que I) la aceleración es constante. II) el tiempo de caída depende de la forma de la Pera. III) transcurrido 1 s la rapidez será 80 m/s. A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III

Una bola de billar es lanzada verticalmente hacia arriba desde la base de un edificio de 80 m de altura. Si la velocidad inicial es 40 m/s, es correcto afirmar que transcurridos A) B) C) D) E)

4 4 4 8 8

s s s s s

regresa al lugar de lanzamiento. se encuentra en la parte superior del edificio. la aceleración es nula. la velocidad media es 2 m/s. la rapidez media es nula. 4

PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE Nivel introductorio: problemas 1 al 8 Nivel intermedio: problemas 9 al 14 Nivel avanzado: problemas 15 1.

La caída libre de un cuerpo es un movimiento en el cual I) II) III) A) B) C) D) E)

La rapidez varía uniformemente con la distancia recorrida. En tiempos iguales, los cambios de velocidad son iguales. El desplazamiento es directamente proporcional con el cuadrado del tiempo.

Sólo III Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con rapidez 2v, éste alcanza una altura 4H. Al lanzarlo en el mismo lugar con rapidez inicial 4v, la diferencia de alturas máximas entre ambos casos es A) H B) 2H C) 4H D) 12H E) 16H

Al lanzar verticalmente hacia abajo una canica ésta tiene I) II) III)

velocidad inicial cero. aceleración constante. velocidad y aceleración con igual sentido y dirección, durante su recorrido.

Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) 4.

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

Si se deja caer una piedra desde un helicóptero en reposo, entonces al cabo de 20 s la rapidez de la piedra es igual a A) 2 m/s B) 20 m/s C) 200 m/s D) 400 m/s E) 2000 m/s 5

En el lanzamiento de un cuerpo, verticalmente hacia arriba, podemos encontrar que su velocidad y su aceleración son A) B) C) D) E)

iguales a cero cuando alcanza su altura máxima. constantes mientras el cuerpo sube. constantes mientas el cuerpo baja. tales que aumentan mientras el cuerpo cae. tales que la primera varía y la segunda es constante durante todo el movimiento.

Una manzana es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 30 m/s, en un planeta que posee una aceleración de gravedad de módulo 5 m/s 2. La altura máxima que alcanzará en éste planeta es A) 900 m B) 450 m C) 90 m D) 36 m E) 18 m

Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de masa 2m con una rapidez inicial de 50 m/s, ¿cuál será la altura máxima que alcanzará la pelota y cuanto demorará en volver a su punto de partida? A) B) C) D) E)

25 125 125 250 250

m m m m m

y y y y y

10 5 10 15 30

s s s s s

Una pelota de fútbol de 7 kg se deja caer desde una altura de 80 m. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al piso? A) 2 s B) 4s C) 8s D) 12 s E) 16 s

Los tiempos de subida para un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba en la Tierra y en el planeta “Alfa” están en la razón 3:1 respectivamente. Si son lanzados con la misma velocidad inicial, la aceleración del cuerpo en “Alfa” es A) B) C) D) E)

g/9 g/3 g 2g 3g 6

10. Referente a un cuerpo en caída libre es correcto afirmar que I) II) III) A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

durante cada segundo de caída su velocidad aumenta en 10 m/s. la velocidad adquirida por el cuerpo dependerá de su masa y aceleración de gravedad. la distancia que cae varía uniformemente con el tiempo.

I II III I y II I Y III

11. Una pelota (X) se deja caer libremente y otra (Y) se deja caer 3 s después. Transcurridos 4 s desde el lanzamiento de (X), la razón entre las distancias recorridas por X e Y, respectivamente, es A) 4 : 1 B) 8 : 1 C) 16 : 1 D) 32 : 1 E) 64 : 1 12. En la figura 3, el cuerpo A tiene el doble de masa que B. Si en un mismo instante soltamos A y lanzamos B verticalmente hacia arriba con rapidez inicial v0, de manera que en C quede en reposo por un instante, entonces I) II) III)

ambos cuerpos experimentan la misma aceleración. ambos tardan el mismo tiempo en recorrer la distancia H. ambos impactan el suelo con rapidez v0. A De estas apreciaciones es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III I, II y III

H fig. 3

13. Cuando dejamos caer un cuerpo de 20 kg, vemos que su rapidez mientras el cuerpo cae. El aumento en su rapidez se debe a I) II) III)

la altura de la cual se deja caer el cuerpo. los 20 kg de masa. la aceleración de gravedad.

De las afirmaciones anteriores, es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

I II III I y II II y III 7

B va aumentando

14. Desde la azotea de un edificio de 45 m se suelta libremente una pelota de 5 kg. Cuando lleve recorrido 20 m la rapidez instantánea en m/s será A) B) C) D) E)

5 10 15 20 30

15. En la figura 4 una pelota (B), es soltada desde el reposo en el mismo instante en que otra pelota de tenis (A), es golpeada fuertemente de manera horizontal. Si ambas se encontraban a la misma altura, podemos afirmar que B

fig. 4

A) B) C) D) E)

la pelota B tendrá distinta aceleración que A, mientras está en el aire. la pelota A golpea primero el suelo. ambas golpean el suelo con la misma velocidad. ambas rebotan con la misma velocidad ambas golpean el suelo simultáneamente.

Claves de los Ejemplos 1B