DINAMICA 2 by aldosivi98

C U R S O: FÍSICA COMÚN MATERIAL: FC-07 DINÁMICA II

Joseph-Louis de Lagrange (Turín, 1736-París, 1813) Matemático francés de origen italiano. Sus padres tuvieron 11 hijos de los cuales sólo el menor, Lagrange, llegó a sobrevivir. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Lagrange era de mediana altura, complexión débil, con ojos azul claro y un color de piel pálida. Era de un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia, y al evitarla de buena gana permitió a otros tener crédito por cosas que él había hecho. Su actividad mental durante unos veinte años que paso en Prusia fue asombrosa, no sólo por el hecho de producir su espléndida Mécanique analytique, sino por contribuir, con doscientos trabajos, a las Academias de Berlín, Turín, y París. Algunos de éstos realmente son tratados, y todos, sin excepción, son de una extraordinaria calidad. Salvo un corto tiempo cuando él estaba enfermo en que produjo aproximadamente un artículo por término medio al mes. Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números. Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica (1788).

Cuando se golpea una pelota de golf en el campo de juego, una gran fuerza F actúa sobre la pelota durante un corto intervalo de tiempo t, haciendo que ésta se acelere desde el reposo hasta una velocidad final. Es en extremo difícil medir tanto la fuerza como la duración de su acción; pero el producto de ambas F · t puede calcularse en función del cambio de velocidad resultante de la pelota de golf. A partir de la segunda ley de Newton, sabemos que F=m·a usando la definición de aceleración F=m· Multiplicando por t se obtiene:

v t

F · t = m · (vf – vi)

de donde se tiene

F · t = m · vf – m · vi

A partir de esta relación definiremos momentum lineal e impulso: Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento se define mediante la siguiente expresión: p=m·v

El momentum lineal p es una cantidad vectorial, de igual dirección y mismo sentido que el vector velocidad v, como muestra la figura 1. Por la definición en el SI la unidad de medida del momentum lineal es Kg m/s. v m

fig. 1

Impulso I se define mediante la expresión: I = F · t Observemos en la figura 2, que I es un vector que tiene la misma dirección y el mismo sentido que F. Por la impulso es N · s.

expresión anterior vemos que en el SI la unidad de medida del I t1

t = t2  t1

fig. 2

Relación entre Impulso y Momentum Lineal En la figura 3 un cuerpo de masa m, se mueve con una velocidad v1. Si una fuerza F, constante, actúa sobre el cuerpo durante un intervalo de tiempo t , observaremos que su velocidad sufrirá una variación, pasando a ser v2 al final del intervalo. v1

fig. 3

A partir de las definiciones anteriores en la siguiente relación: F · t = m · v2 – m · v1 se observa: F · t Representa el impulso I que recibió el cuerpo. m · v2 Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, p2, al final del intervalo t. m · v1 Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, p1, al inicio del intervalo t. lo que implica I = p2 – p1 I = p Esta es la relación que existe entre el impulso y el momentum, es decir, el impulso es el responsable de la variación del momentum del cuerpo.

Fuerzas internas y externas Las fuerzas que actúan en un sistema de partículas se pueden clasificar

en internas y

externas. Si una partícula del sistema ejerce una fuerza sobre otra que también pertenece al sistema, aquella será una fuerza interna. Por otra parte, si la fuerza que actúa sobre una partícula del sistema fuese ejercida por un agente que no pertenece al sistema, se tratará entonces de una fuerza externa. Las fuerzas internas pueden producir variaciones en las cantidades de movimiento de las partículas de un sistema, pero no producen variación en la cantidad de movimiento del sistema.

Choques en una dimensión Choques elásticos e inelásticos: una colisión es elástica cuando los cuerpos que chocan no sufren deformaciones permanentes durante el impacto o cuando se conserva su energía cinética. Dos bolas de billar, por ejemplo, experimentan choques que se pueden considerar elásticos. En caso contrario, si los cuerpos presentan deformaciones debido a la colisión estamos en presencia de un choque inelástico y no se conserva la energía cinética del sistema. Por ejemplo, si chocan dos automóviles y se mueven pegados después de la colisión, aunque en el caso que los cuerpos continúan pegados, más bien se habla de choque totalmente inelástico.

Principio de conservación del momentum lineal en los choques En los casos que no existen fuerzas externas que actúen sobre los cuerpos que chocan, la cantidad de movimiento del sistema se conserva, si sobre él sólo actúan fuerzas internas. Por lo tanto la cantidad de movimiento de un sistema de cuerpos que chocan, inmediatamente antes de la colisión, es igual a la cantidad de movimiento, inmediatamente después del choque. En la figura 4 vemos un ejemplo de un choque elástico, para explicar la conservación de momentum.

v2A

v1A ( A N TES)

(D U R A N TE)

F21 · t

F12 · t

v1D

v2D

(D ES PU ES)

fig. 4 Consideremos una colisión directa entre las masas m1 y m2, como lo muestra la figura 4. Suponga que las superficies están libres de fricción. Indicamos sus velocidades antes del impacto v1A y v2A ; y después del impacto como v1D y v2D. El impulso de la fuerza F12 que actúa sobre la masa m2 es

F12 · t = m2 · v2D – m2 · v2A

En forma similar, el impulso de la fuerza F 21 sobre la masa m1 es F21 · t = m1 · v1D – m1 · v1A

Durante el intervalo de tiempo t, F12 = -F21, de modo que F12 · t = -F21 · t O bien, m2 · v2D – m2 · v2A =(m1 · v1D – m1 · v1A) Y, finalmente, reagrupando los términos m1 · v1A + m2 · v2A = m1 · v1D + m2 · v2D PSISTEMA(ANTES)

PSISTEMA(DESPUÉS) 5

EJEMPLOS

Un móvil cambia de posición en el tiempo, tal como lo muestra la figura 5. Si la masa del móvil es de 8 kg, entonces el momentum que posee a los 10 s, expresado en unidades del SI, es x(m) 5

A) 2 B) 4 C) 10 D) 40 E) 200

t(s)

fig. 5 2.

Un mismo objeto es mostrado en tres situaciones distintas. En I se encuentra en reposo, en II está bajando por un plano inclinado con velocidad constante y en III está cayendo libremente. Respecto al cuerpo, es correcto decir que tendrá un momentum distinto de cero I)

A) B) C) D) E)

sólo sólo sólo sólo sólo

en en en en en

II)

III)

I. II. III. I y II. II y III.

En los casos I, II y III se muestran cuerpos con distinta masa y distinta velocidad, al respecto se afirma que al comparar las cantidades de movimiento de los cuerpos es correcto concluir que son iguales los casos I)

II)

III)

m = 2 kg v = 12 m/s A) B) C) D) E)

m = 4 kg v = 6 m/s

I y II. I y III. II y III. I, II y III. ninguno de ellos. 6

m = 2 kg v = 12 m/s

PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1.

Un cuerpo avanza en línea recta de modo que su momentum es p 0. El mismo cuerpo a partir de cierto momento reduce su masa a la mitad y cuadruplica su rapidez, por lo tanto, ahora su momentum es A) B) C) D) E)

p0/4. p0/2. p0. 2p0. 4p0.

En el gráfico que muestra la figura 6, se observa como varía la cantidad de movimiento versus la velocidad de una pelota, en base a él, se puede afirmar que la masa de la pelota, expresada en kg, es p (kg · m/s)

A) B) C) D) E)

A·B A/B B/A A·B/2 2·A·B

v(m/s)

fig. 6 3.

Un cuerpo de masa constante está bajando por un plano inclinado, y el gráfico de la figura 7 muestra cómo se comporta su momentum en función del tiempo. De la observación del gráfico, es verdadero concluir que el cuerpo p A) B) C) D) E)

está bajando con velocidad constante. está sometido a una fuerza neta mayor que cero. no posee momentum. experimenta una aceleración constante mayor que cero. está aumentando su momentum.

t fig. 7

Dos cuerpos A y B, son soltados desde los 20 m y los 5 m de altura, respectivamente. Considerando que las respectivas masas de A y B son 2 kg y 4 kg, será correcto afirmar que al comparar sus cantidades de movimiento, p A y pB, cuando cada uno está llegando al suelo, se cumple que A B 2 kg 4 kg A) pA = pB B) pA = 2pB 20 m 10 m C) pA = 4pB D) 4pA = pB E) 2pA = pB fig. 8 7

Respecto a la cantidad de movimiento se afirma que    

es una magnitud vectorial. sólo depende de la velocidad. si se duplica la masa, el momentum disminuye a la mitad. la unidad de medida del momentum en el SI es el kg · m/s.

¿Cuántas afirmaciones son correctas? A) B) C) D) E)

0 1 2 3 4

Si Z y W representan, respectivamente, la velocidad y el momentum de un cuerpo, es posible entonces que de las tres situaciones mostradas sea(n) correcta(s) I)

II)

Z W

A) B) C) D) E)

III)

Z W

sólo I sólo II. sólo III. todas ellas. ninguna de ellas.

Juan y José están parados sobre patines en una pista de patinaje en hielo, Juan tiene una masa de 80 kg y José de 60 kg. En cierto instante Juan empuja horizontalmente a José y este adquiere una velocidad de 0,8 m/s. Entonces, con respecto a Juan es correcto decir que después del empujón se A) B) C) D) E)

quedará quieto. moverá con sentido moverá con sentido moverá con sentido moverá con sentido

opuesto opuesto opuesto opuesto

a a a a

José José José José

y y y y

rapidez rapidez rapidez rapidez

de de de de

0,4 0,6 0,8 1,0

m/s. m/s. m/s. m/s.

Dos carritos pueden moverse sobre rieles horizontales en el laboratorio. El roce entre los carritos y los rieles es despreciable. Inicialmente el carrito (1) está en reposo y el carrito (2) que se mueve con velocidad constante va a chocar con el (1). Considere T el instante del choque. El momentum total del sistema de carritos está mejor representado por el gráfico A)

El gráfico de la figura 9 muestra la variación del módulo del momentum de una partícula en función del tiempo, entonces es correcto afirmar que p (kg · m/s) 10

0,2

fig. 9 A) B) C) D) E)

se mueve por un plano inclinado. sobre el cuerpo actúa la fuerza de roce. la velocidad disminuye hasta parar. sobre el cuerpo actúa una fuerza variable. el gráfico puede representar una caída libre.

t(s)

10. Un cuerpo rectangular se mantiene en reposo en el espacio hasta que en cierto momento, debido a una explosión que ocurre en su interior, se fracciona en dos partes A y B, que salen disparadas hacia el espacio. Respecto a estas partes, se afirma correctamente que

A fig. 10

A) B) C) D) E)

A y B salen hacia el Sur. A y B salen hacia el Norte. si A sale hacia el Sur, B sale hacia el Oeste. si A sale hacie el Este, B sale hacia el Oeste. los dos trozos pueden salir hacia el mismo lado o hacia lados distintos.

11. ¿Cuál afirmación es falsa respecto al impulso? A) B) C) D) E)

Es una magnitud vectorial. Siempre produce una variación en la cantidad de movimiento. Al chocar dos partículas se ejercen impulsos iguales. Tiene la misma dirección y sentido de la fuerza. Mientras mayor sea el tiempo de aplicación de la fuerza sobre un cuerpo, mayor será el impulso sobre él.

12. La figura 11 muestra un gráfico de fuerza versus tiempo, obtenida de un móvil que estaba siendo empujado. En base al gráfico, es correcto decir que el impulso ejercido sobre el móvil es F (N) A) B) C) D) E)

0,1 0,2 1,0 2,0 5,0

Ns Ns Ns Ns Ns

0,1

fig. 11

t(s)

13. Un carrito de 1,8 kg que se encuentra en reposo, es golpeado horizontalmente por una bolita de plasticina de 0,2 kg, quedando adherida al carrito. Si el conjunto tiene una rapidez de 1 m/s, la rapidez con la fue lanzada la plasticina es A) 2 m/s B) 5 m/s C) 10 m/s D) 18 m/s E) 20 m/s

14. ¿En cuál de los siguientes casos se conserva el momentum de una partícula de masa constante? A) B) C) D) E)

15.

En una caída libre. En un lanzamiento vertical hacia arriba. Al lanzar un cuerpo por un plano horizontal sin roce. En un plano inclinado sin roce. En un bus que está siendo frenado.

El momentum siempre tendrá la misma dirección y sentido que la A) B) C) D) E)

velocidad y la aceleración. fuerza y el desplazamiento. velocidad y el desplazamiento. aceleración y el desplazamiento. fuerza y la aceleración.

16. La figura 12 muestra un gráfico de velocidad versus tiempo, construido con valores tomados de un camión en movimiento, al respecto es correcto afirmar que el camión A) B) C) D) E)

disminuyó su cantidad de movimiento. mantuvo constante su impulso y su momentum. no fue sometido a ningún impulso. conservó su momentum. ninguna de las anteriores.

v(m/s)

t(s) fig. 12

CLAVES DE LOS EJEMPLOS 1B