Núcleo común 2016

Repartido de matemática Quinto año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart 2016

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Ficha I – Nociones básicas sobre conjuntos

1.

Inclusión de conjuntos: Diremos que un conjunto A está incluido en otro conjunto B (anotamos: A  B o A  B ), si todo elemento de A es elemento de B. a. Completa con los símbolos  o  i. iv.

..........

..........

ii.

..........

iii.

..........

v.

..........

vi.

..........

b. Si A  B y B  A ¿Qué puedes afirmar de A y B? 2.

Unión de conjuntos:

Llamaremos conjunto unión de A y B (anotamos: A  B ) al conjunto formado por los elemento pertenecientes a A o a B. 

a. Determina el conjunto unión en cada caso:





b. Si A  B  A ¿Qué puedes afirmar de A? 3.

Intersección de conjuntos: Llamaremos conjunto intersección de A y B (anotamos: A  B ) al conjunto formado por los elementos pertenecientes a A y a B. i. iv.

4.





ii.



iii.



v.



vi.



Diferencia de conjuntos: Llamaremos conjunto diferencia entre A

Conjunto complemento:

Llamaremos conjunto complemento de C A respecto de B (anotamos: AB ) al conjunto formado por los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.

Investiga la validez de la siguiente proposición: AB  B  A C

paradoja de Russell:

Bertrand

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias: —En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que, si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.

Las Leyes de De Morgan:

y B (anotamos: A  B ) al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. 5.

La

De manera informal pueden entenderse las leyes de De Morgan, como las reglas lógicas: 1) no (A y B)" implica "(no A) o (no B) 2) no (A o B)" implica "(no A) y (no B)

a.

Investiga la igualdad en conjuntos:

b.

1)

 A  B c  Ac  Bc

c.

2)

 A  B c  Ac  Bc

Observación: Si no se hace referencia al subíndice es porque el complemento se está haciendo respecto del espacio total

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Siempre que empezamos una teoría en matemática debemos establecer ciertos puntos de partida. Estos puntos de partida, por no tener antecedente en la teoría que acaba de nacer, deben ser impuestos de manera arbitraria. Definiremos como conceptos primitivos al concepto de conjunto, al de elemento y a la relación de pertenece. Es decir, no los definiremos, simplemente diremos entender qué son. Lo que si deberemos es desarrollar los nuevos conceptos a través de ellos.

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Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ de conjuntos 6. Nombra, en cada caso, los conjuntos como A, B y C. y marca el conjunto Representación mediante diagramas de Venn pedido.

C  ( A  B)  ( B  C)  (C  A)

7.

C  ( A  B)  ( B  C )  (C  A)

Se le realizó a un grupo de 43 estudiantes un cuestionario que contenía las siguientes preguntas: ¿Repite? ; ¿Tiene previas? ¿Posee todos los textos recomendados? Se obtuvieron los siguientes datos: 1) 12 repiten 2) 15 poseen todos los textos 3) 6 repiten y tienen los textos 4) 17 respondieron no a las tres preguntas 5) 1 sí a las tres 6) 10 respondieron sí a solo dos preguntas y 7) 15 solo a una a. De los estudiantes que no repiten ni tienen todos los textos ¿cuántos tienen previas? b. De todo el grupo, ¿cuántos tienen previas?

Notación formal de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B:

A  B  x; x  A o x  B A  B  x; x  A y x  B

A  B  x; x  A y x  B B  A  x; x  A y x  B Conjunto vacío:

8.

En una ciudad los niños recibieron las vacunas A, B y/o C de la siguiente forma: 18% recibió sólo 2 de las vacunas; 7% recibió sólo la B; 30% recibió por lo menos 2 de las vacunas; 42% recibió sólo la C ; 13% recibió sólo la A; 35% recibió la A; 63% recibió la C y 8% no recibió ninguna. a. b. c.

¿Qué porcentaje recibió sólo la vacuna B? ¿Qué porcentaje recibió las vacunas A y B? ¿Qué porcentaje recibió las vacunas A y/o B?

9. Un dentista revisa las consultas de la semana y observa que el 60% de los pacientes consultó por el arreglo de caries y el 40% por extracciones.

Todas las radiografías fueron realizadas para el arreglo de caries o la extracción de muelas. El 25% de los que consultaron por el arreglo de caries también lo hicieron por radiografías.

Sabiendo que las extracciones necesitan una radiografía previa. ¿Qué porcentaje de pacientes consultó caries y extracciones?

  

Cardinal de A: elementos de A

#A

número de

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C  A B C

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Ficha II – Problemas de conteo Técnicas de conteo:

Principio de multiplicación: Si tenemos a opciones para escoger un 1. En cierto país hay varios aeropuertos. Una aerol´ınea ofrece diariamente objeto y b opciones para elegir un vu e l o s directos que conectan cualesquiera dos aeropuertos. Si son segundo objeto, entonces el número total realizados 30 vuelos esta semana. ¿Cuál es la máxima cantidad de aeropuertos de formas de combinar estos objetos es: a · b posible?

2. Una hoja de cartón de 2 mm es doblada por la mitad 50 veces. ¿Qué altura Principio de adición: Si una tarea se alcanza al último pliegue? puede realizar de dos formas posibles, dando la primera m resultados posibles y la segunda n resultados posibles, entonces la tarea completa se puede a. Imaginemos una pareja de conejos, macho y hembra, encerrados en un realizar de m+n formas posibles.

3. La Sucesión de Fibonacci:

campo donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos empiezan a procrear a los dos meses de vida, engendrando siempre un único par machohembra, y a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par Conteo de cartas: más de iguales características. Admitiendo que no muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos pares contendría el cercado al cabo de un año?

Principio de Multiplicación y adición: 4. Un médico clasifica a sus pacientes según: Sexo (M y F), Presión (Alta, baja o media) y grupo sanguíneo (A, B, AB u O) ¿Cuántas clasificaciones son posibles?

5. El código de acceso a una computadora está formado por una cualquiera de las cinco vocales seguida de una de las cifras 1, 2 o 3. Con este criterio ¿cuántos códigos distintos de acceso puedo formar?

6. Disponemos de cinco colores para pintar una bandera en tres franjas verticales. No queremos que en una misma bandera se repitan colores.

Teniendo en cuenta este criterio. ¿cuántas banderas distintas podemos pintar?

7. En un local de comida hay 2 tipos diferentes de entradas, 4 tipos diferentes de platos calientes, 2 postres y 3 bebidas. Cada cliente puede elegir su menú eligiendo, una entrada, un plato caliente, un postre y una bebida. Una persona decide que almorzará en dicho local todos los días, componiendo siempre un menú diferente. ¿Cuándo logrará probarlos todos?

aplicada en el blackjack, consistente en establecer el momento idóneo para elevar la apuesta.

En 1962, aparece en Estados Unidos el libro "Beat the dealer", escrito por Edward O. Thorp, un matemático empleado en IBM. En él, Thorp daba a conocer sus conclusiones, obtenidas a través de pruebas de millones de manos en ordenador.

La aparición del libro de Thorp, representó toda una revolución en la industria del casino en Estados Unidos. Los casinos creyeron ver en esta técnica la forma en que hordas de jugadores se acercarían a sus mesas de blackjack para desvalijar sus arcas, y comenzaron inmediatamente a tomar contramedidas.

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b. Cada número de parejas de conejos que existe por mes es conocida como número de Fibonacci. Realiza el cociente entre dos números consecutivos de Fibonacci (considera el numerador como el mayor de ellos) realiza este procedimiento con los 15 primeros números de Fibonacci. Investiga a qué número te aproximas.

Se denomina conteo de cartas a la técnica

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Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 8. Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Un concursante en un concurso televisivo es requerido para elegir una 9. Una tienda vende las siguientes camisas y corbatas. puerta entre tres (todas cerradas), y su a. ¿Cuántos juegos de camisas y corbatas premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la puerta elegida. Se puedo armar? sabe cierto que una de ellas oculta b.

La tienda tiene, además, cuatro colores un coche, y tras las otras dos hay de pantalón. Negro, gris, Marrón y blanco. una cabra. Una vez que el concursante ha ¿Cuántos juegos de camisa, corbata y pantalón elegido una puerta y le comunica al puedo formar? público y al presentador su elección, Monty (el presentador) abre una de las c.

Por razones económicas, la persona otras puertas y muestra que detrás de ella debe optar entre comprar un juego de camisa y hay una cabra. En este momento se le da corbata o bien por un juego de pantalón y la opción al concursante de cambiar si lo camisa. ¿Entre cuántos juegos puede optar? desea de puerta (tiene dos opciones) ¿Debe el concursante mantener su 10. Desafío: En el mundial de fútbol Brasil 2014, se formaron con las 32 elección original o escoger la otra selecciones participantes 8 grupos. Si el cabeza de serie del grupo A es puerta?

a. ¿Cuántos grupos A podría armar? b. ¿En cuántos grupos, de los hallados anteriormente, está Uruguay y Chile? ¿En cuántos grupos, de los hallados en b, está Uruguay o Chile?

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Brasil.

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Ficha III – Probabilidad

número

par”.

Mientras

que al lanzar una moneda   cara, número y X  número puede ser leído como el suceso: “obtener

número en el lanzamiento de una moneda” Empecemos ahora a formalizar un poco nuestra nueva teoría.

Definición de Laplace: Sea Ω un conjunto no vacío con una cantidad finita de elementos y X un subconjunto de Ω. Llamaremos probabilidad de X respecto de Ω al número

#X  #X   anotamos P  X    #  # 

2. Resuelve, señalando en cada caso los conjuntos Ω y X aplicados a. Se lanza una moneda, calcula la probabilidad de obtener cara b. Se lanza un dado no cargado, calcula la probabilidad de: i. Obtener un dos. ii. Obtener un número par. iii. Obtener un número menor a 3. c. Se lanzan dos monedas, calcula la probabilidad de obtener: i. Una cara y un número. ii. Dos signos iguales. d. Se lanzan dos dados y se suman los resultados obtenidos en cada uno, calcula la probabilidad de obtener: i. Un resultado mayor a 8 ii. Un resultado entre 5 y 8.

Observación: Es importante notar que la definición anterior es válida solo si los sucesos son equiprobables, o sea no es válida esta definición si el dado está cargado.

Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (Ω) asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {cara, sello}

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E={1,2,3,4,5,6} Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E={(c,c),(c,s),(s,c),(s,s)}

Definición de Laplace.

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

P(A)=

número de casos favorables número de casos posibles

Pierre Laplace (1749-1827) Nacido en una familia de granjeros de Normandía, marchó a estudiar a la Universidad de Caen donde fue recomendado a D'Alembert, quien, sorprendido por su habilidad matemática, lo recomendó para un puesto de profesor en la Escuela Militar de París en 1767, donde tuvo entre sus discípulos a Napoleón.

Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era de (d + 1) / (d + 2), donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado.

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Introducción: En el lenguaje ordinario las palabras “probable”, “probabilidad” o “posibilidad” se usan en un sentido muy vago. Por ejemplo, podemos decir que si tiramos un dado es muy probable que el número que obtengamos sea menor a seis, más aún, podríamos afirmar que tenemos cinco posibilidades en seis posibles. Es inmediato suponer que si lanzamos una moneda al aire un razonamiento análogo también sería válido. La probabilidad de obtener cara es de una en dos. Estamos aquí midiendo la probabilidad de un suceso con el cociente de casos favorables sobre el de los casos posibles.

Si bien uno puede llegar a predecir el resultado de un lanzamiento de un dado o de una moneda, si conoce todas las fuerzas que actuarán en él o en ella a la hora de ser lanzado o lanzada, es lógico pensar que en la inmensa mayoría de los casos no contaremos con tal información. Por lo que necesitamos modelar una teoría sobre el azar donde podamos trabajar con la premisa de que es imposible predecir el resultado de los experimentos aleatorios, pero trabajando con que es posible describir cuáles son todos los resultados que puedo obtener en dicho experimento.

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral (anotamos: Ω), mientras que cualquier subconjunto de él, será llamado suceso y lo anotaremos con una letra mayúscula de nuestro alfabeto, por ejemplo X. Así en el experimento de lanzar un dado tenemos que:   1, 2,3, 4,5,6 y X  2, 4,6 , puede ser entendido como el suceso “obtener un

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Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 3. a. Calcula la probabilidad de obtener un número menor o igual a seis en un Propiedades de la probabilidad: lanzamiento de un dado no cargado. b. Calcula la probabilidad de obtener un número mayor a seis en un 1) P    0 y P    1 lanzamiento de dado no cargado. c. ¿Cómo definirías suceso seguro y suceso imposible?

2) 0  P  X   1 4. En un mazo de cartas españolas sin comodines, se toma una carta. a. ¿Cuál es la probabilidad de tomar un as o un basto? b. ¿Cuál es la probabilidad de tomar un basto o una espada? c. ¿Cuál es la probabilidad de tomar un basto y un as?

3) P  A  B   P  A  P  B   P  A  B  donde A y B son sucesos 4) P    A  P( AC )  1  P  A donde A es un suceso

5. Una empresa decide comprar un lote de teléfonos celulares a un mayorista, pero antes harán un control de calidad a la mercadería. La empresa exige que tanto el celular como su batería funcionen perfectamente. Para ello tomarán al azar un celular y lo probarán antes de aceptar el lote. Si sabemos que en el 15% de los casos solo el celular falla, en el 10% de los casos solo la batería falla, y en el 2% de los casos fallan tanto el celular como la batería. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa no acepte el lote?

Ejemplo resuelto: De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: a. Las dos sean copas.

6. Una prueba de matemática consta de dos temas, probabilidad y logaritmo. El 30% del alumnado estudió únicamente probabilidad, el 20% únicamente b. Al menos una sea copas. logarítmo y uno 10% se presentó sin estudiar. a. ¿Cuál es la probabilidad de tomar un alumno al azar y que este haya p(al menos una copa)= 1- p(ninguna copa)= 36 35 estudiado al menos uno de los temas? = 1= 0, 441 48 47 b. ¿Y que este no haya estudiado al menos uno de los temas? c. Una sea copa y la otra espada.

Definición: Dados dos sucesos A y B. Diremos que son complementarios si y solo si P  A  1  P  B  7. Investiga la validez de los siguientes enunciados: a. Si A  B    A y B son complementarios b.

Si A  B      A y B son complementarios A B   

8. En el juego “El 7” un jugador debe tirar dos dados y obtener en la suma de sus caras un 7. Si el jugador obtiene esa numeración gana el doble de lo apostado, en caso contrario pierde la apuesta gana. a. ¿Cuáles es la probabilidad de perder? b. ¿Quién tiene ventaja si se juega varias veces? ¿Cómo medirías el equilibrio de este juego?

9. a. Se lanza un dado no cargado. Prueba que los sucesos “obtener par en un lanzamiento de dado” y “obtener impar en un lanzamiento de dado” son complementarios. b. Se lanzan dos dados no cargados y se suman sus puntos. Prueba que los sucesos “obtener al menos un seis” y “Obtener cinco o menos” son complementarios.

a p(1c  1e) = p(1 c a2 e)  + p(1 e 12 12 =2 = 0,128 48 48

a 2 c) = 

a

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Suceso complementario, excluyente e independiente

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Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 10. En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los Conjunto de partes: Consideremos el fumadores son 40 hombres y 35 mujeres. Si elegimos un empleado al azar, experimento de lanzar una moneda no cargada. Su espacio muestral será calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume.

11. La cantidad de alumnos que asiste a cierto liceo es: Mujeres Varones Total

Mañana 250 120 370

Tarde 200 230 430

Total 450 350

Ω={C,N}. ¿Cuántos sucesos puedo definir bajo este espacio y este experimento?

Este conjunto será: {C,N,,Ω} Este conjunto, el formado por todos los posibles subconjuntos, será llamado conjunto de partes y lo anotaremos, en este caso, como:

a. Calcula la probabilidad de elegir un alumno varón si se toma uno al azar. b. Calcula la probabilidad de no elegir un alumno del turno matutino. c. Calcula la probabilidad de elegir un alumno varón del matutino o una mujer P(Ω)= {C,N,,Ω} de la tarde. donde #P(Ω)=22=4 d. Calcula la probabilidad de elegir una mujer o un alumno de la tarde.

13. Se tiene dos urnas con bolas blancas y negras. La primera tiene dos bolas blancas y tres negras, la segunda tiene 4 blancas y una negra. Se lanza una moneda y se decide, si sale cara se toma al azar una bola de cada urna, si sale número se toman dos bolas de la segunda urna.

Calcula la probabilidad de extraer dos bolas negras en un lanzamiento de moneda.

Definición: Dados dos sucesos A y B. Diremos que A y B son excluyentes o incompatibles si y solo si P  A  B   0 14. Indica tres ejemplos de sucesos excluyentes.

Definición: Dados dos sucesos A y B. Diremos que A y B son independientes si y solo si P  A  B   P( A) P( B) 15. a. En un mazo de cartas españolas sin comodines se extrae una carta.

Estudia la independencia de los siguientes sucesos: A: “Obtener un as” B: “Obtener una espada” C: “Obtener un número mayor o igual a 4” b. Prueba que Ω es independiente con cualquier suceso. c. Prueba que  es independiente con cualquier suceso.

Pensemos ahora en una encuesta con posibles respuesta Si, No, No sabe. Ω={S,N,X} P(Ω)= {S,N,X,{S,N},{S,X},{N,X},,Ω}

donde #P(Ω)=23=8 Observa que en ambos casos, tenemos todos los posibles sucesos de Ω. Así, en el segundo ejemplo el suceso {SX} puede ser entendido como “El encuestado contesta si o no sabe” Observa también que siempre debemos agregar tanto el espacio muestral (el suceso seguro), como el conjunto vacío (suceso imposible). ¿Cuántos sucesos son posibles definir en un lanzamiento de dado no cargado?

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12. Una mesa tiene 4 sillas de las cuales 2 están rotas, 2 personas deciden sentarse en esa mesa. Calcula las siguientes probabilidades: a. Ambas personas se sientan en las sillas sanas. b. Al menos una se sienta en una silla rota. c. Una se sienta en una silla rota y otra en una sana.

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Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 16. Dos tratamientos A y B curan determinada enfermedad en un 20% y 30% de Axioma de probabilidad los casos respectivamente. Sabiendo que ambos actúan de modo Kolmogórov: independiente, calcula la probabilidad de curar la enfermedad si se aplican Andréi (Tambov, 1903Moscú 1987) ambos tratamientos simultáneamente.

a. Gane el segundo partido. b. Gane ambos partidos. c. Gane uno de los partidos. d. Gane el primer partido y empate el segundo.

18. En Uruguay el 52% de los nacimientos son niños y el 48% restante son niñas. Suponiendo independencia entre los nacimientos. Una mujer tiene tres hijos: a.

Calcula la probabilidad de no tener niños. b.

Calcula la probabilidad de tener al menos un niño. c.

Calcula la probabilidad de tener a lo sumo un niño.

Probabilidad condicionada

Dado un espacio muestral Ω. Una probabilidad es una función:

p : P   

Definición: Sea A   y B un subconjunto de Ω. Llamamos probabilidad condicional de B respecto de A al número: P( B / A) 

Axioma de Kolmogorov:

P  A  B P  A

19. a. Se lanzan dos dados no cargados e independientes, uno rojo y otro verde.

Calcula la probabilidad de obtener en ambos un 2.

Calcula la probabilidad anterior sabiendo que en el verde ya has obtenido un 2.

20. Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A 1/4. Determina: a. P A / B b. P B / A c. P B A

B)=

21. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan de multicereales y el 20% consume ambos. Se pide: a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan? b. Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿Cuál es la probabilidad de que coma pan de multicereales? c. Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales, ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma pan integral?

22. En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios es de 0,10. Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad es 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios es del 0,05.

Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa

que cumple:

i.

P  s   0 s P   

ii.

P    1

iii. Si

s1 ,s2 ...sn ... son

sucesos

disjuntos dos a dos entonces la probabilidad de la unión de ellos es igual a la suma de sus probabilidades.

En símbolos 

   P   si    P  si   i 1  i 1

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17. Un cuadro fútbol tiene una probabilidad de ganar de 0.6, una probabilidad de empatar de 0.3 y una probabilidad de perder de 0.1, si este cuadro juega dos partidos independientes, determina la probabilidad de que:

Fue un matemático ruso que hizo progresos importantes en los campos de la teoría de la probabilidad y de la topología. En particular, estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad a partir de la teoría de conjuntos, donde los elementos son eventos.

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Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 23. La probabilidad de que un accidente de tránsito sea grave es de 0,05. esto se ve alterado si la persona involucrada no lleva el cinturón de seguridad en el Ejemplo de probabilidad condicional: accidente de tránsito, ya que, de las personas atendidas en el lugar del Se lanza un dado y se quiere calcular la siniestro el 75% está grave por no haber usado el cinturón de seguridad. probabilidad de obtener un número ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo accidente de tránsito grave el menor o igual a 3. Es relativamente conductor no lleve cinturón de seguridad? sencillo calcular P(A)=3/6. ¿Qué sucede 24. Un estudio que muestra la relación que hay entre la hipertensión y el fumar arrojó los siguientes resultados: 77 de 135 hipertensos fumaban en exceso, 36 fumaban con moderación y el resto no fumaba; 55 de 93 no hipertensos fumaban en exceso, 33 fumaban con moderación y el resto no fumaba. a. ¿Cuál es la probabilidad de tomar un individuo al azar y que este sea fumador dado que es hipertenso? b. ¿Cuál es la probabilidad de tomar un individuo al azar y que este sea hipertenso dado que es fumador?

si sabemos que no se ha obtenido un 2 en el lanzamiento?

Distingamos los sucesos A={1,2,3} como lo que deseo obtener, y B={1,3,4,5,6} como lo que puedo obtener. Realicemos el diagrama correspondiente:

25. En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del altillo. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave intenta abrir el altillo. Se pide: a.

Probabilidad de que se acierte con la llave. b. Probabilidad que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra c. La llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que Los casos favorables serían reducidos a pertenezca al primer llavero A? 1 y 3, mientras que los posibles a 1, 3, 4, 5 y 6.

2 , lo cual puede ser 5 entendido en forma general como:

O sea P  A / B  

Combinatoria: En muchos de los ejercicios de probabilidad, los problemas más grandes al momento de calcular surgen al momento de contar los casos posibles o los favorables. Trataremos ahora de conseguir algunas herramientas que nos permitan contar de forma más sencilla. Para ello necesitaremos la próxima definición:

P  A / B 

P  A  B P( B)

1 si n  0  n ! 1 si n  1  n  1 n  2 n  3 ...3.2.1 n  2     26. Calcula: a. x  3! b. x 

15 !

100 ! 99 ! c. x  13!

99 !

d. x 

 m  n! m!

m  n

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Definición: Llamamos Factorial de n  n  ¥  (anotamos n!) a

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Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Arreglos Deducción de la fórmula de arreglos:





subconjuntos de n elementos que pueden formarse con los m elementos dados, sin elementos repetidos, de tal forma que dichos subconjuntos, difieren entre sí en el orden de colocación de sus elementos o por lo menos en uno de ellos.

Observación: Cuando m=n, en lugar de decir arreglos simples de m elementos tomados de n, diremos permutaciones simples de n elementos  anotamos: Pn  27. Tengo tres lugares disponibles en una estantería para ubicar libros.

a. Si tengo tres libros, ¿de cuántas formas pueden ser ubicados? b. Si tengo cinco libros, ¿de cuántas formas pueden ser ubicados?

Teniendo los cinco libros numerados: c. ¿Cuál es la probabilidad de tener los libros 1,2y 3 en la estantería? d. ¿Cuál es la probabilidad de tener el libro 1 en la estantería? e. ¿Cuál es la probabilidad de tener el libro 1 y el 2 en la estantería? f. ¿Cuál es la probabilidad de tener el libro 1 o el 2 en la estantería?

28. Un candado de combinación está compuesto por cuatro dígitos. ¿Cuál

es la probabilidad de abrirlo en el primer intento si no conocemos su clave?

29. Con las letras de la palabra VERANO se forman palabras, con o sin

sentido, de cinco letras. a. ¿Cuántas palabras puedo formar? b. ¿Cuántas de ellas empiezan con V? c. ¿Cuántas de ellas, empiezan con V y terminan en A? 30. Con cinco deportistas ¿Cuántos podios puedo armar?

31. ¿Cuántas banderas de tres franjas horizontales distintas puedo armar con 10 colores distintos?

32. ¿Cuántas restas puedo realizar con los números los diez primeros naturales?

De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos: 1 , 2 , 3 , 4.

De dos elementos. Se pueden obtener a partir de las de orden uno añadiendo el segundo elemento. Como no se pueden repetir, el segundo elemento puede ser cualquiera de los tres restantes. Así se obtienen: 12 , 13 , 14 , 21 , 23, 24 , 31 , 32 , 34 , 41 , 42 , 43.

De tres elementos. Las obtenemos a partir de las anteriores, añadiendo a cada una de ellas los dos elementos que faltan.

Se obtienen: 123 , 124 , 132 , 134 , 142 , 143 , 213 , 214 , 231 , 234 , 241 , 243 , 312 , 314 , 321 , 324 , 341 , 342 , 412 , 413 , 421 , 423 , 431 , 432.

De cuatro elementos. Se obtienen a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas el elemento que falta. Se obtienen: 1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 , 2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431 , 3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 , 4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321.

Observa entonces que: Siguiendo la construcción ordenada, se ha realizado, una fórmula para obtener el número de arreglos simples: De

orden

uno.

Hay

cuatro.

A14  4

De orden dos. Se han construido añadiendo tres elementos a cada una de las anteriores. A2  4.3  12 .

De orden tres. Se han construido añadiendo dos elementos a cada una de las anteriores.

4

A34  4.3.2  24

33. Prueba que: a. A0m  1

Para construir los arreglos simples, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las variaciones sin repetición posibles.

b. A1m  m

c. Amm  m!

De orden cuatro. Se ha añadido un elemento a las anteriores.

A44  4.3.2.1  24 34. a. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 2 personas en 3 sillas? b. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 3 personas en 3 sillas? c. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 6 personas en 6 sillas? d. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse n personas en n sillas?

A partir de estas fórmulas vemos que, se realiza un producto de factores consecutivos en orden decreciente empezando por m y colocando un número de factores igual a n. En símbolos:

Am n  m  m  1 m  2 K  m  n  1 o

bien A mn 

m!

 m  n !

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Definición: Dado el conjunto matriz M de m elementos, se llama arreglos simples de m elementos tomados de n anotamos: Am a cada uno de los n

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



Combinaciones simples de m elementos tomados de n anotamos: Cm n a cada uno de los subconjuntos de n elementos que pueden formarse con los m elementos dados, sin elementos repetidos, de tal forma que dichos subconjuntos, difieren entre sí por lo menos en un elemento.

35. Se tienen cuatro colores distintos de pinturas: azul, amarillo, rojo y verde. a. ¿Cuántos colores puedo formar mezclando 3 de ellos? b. ¿Qué probabilidad hay de mezclar 3 colores al azar y que esta mezcla sea rojo, amarillo y azul?

36. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 8 puntos en el plano si tres de ellos nunca están alineados?

37. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el 5 de oro en una única jugada?

38. Para realizar una encuesta se seleccionan 6 personas entre 20 dadas. a. ¿Cuál la probabilidad de que Flor y Martín sean seleccionados? b. Una vez seleccionados se los ordena por lugar de trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que queden en lugares contiguos?

39. Miguel, Juan y Pablo forman una batería de murga, bombo platillo y redoblante. a. ¿Cuántas ternas distintas puedo formar? b. Si sabemos que Miguel no toca los platillos, ¿Cuántas ternas son posibles? c. Si elegimos la terna al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que Miguel deba tocar los platillos?

40. A un congreso médico asisten 100 profesionales de los cuales 80 saben inglés y 40 francés ¿Cuántos diálogos entre dos personas pueden hacerse sin intérprete?

41. ¿Cuántas sumas puedo realizar con los diez primeros naturales?

42. Prueba que: a. C0m  1

b. c1m  m

c. Cmm  1

Deducción de la fórmula permutaciones: n! n!

Pn =Ann    n!  n  n !  0 !

Entonces: Pn =n !

Deducción de combinaciones:

la

fórmula

m!

Am n Cm n = Pn



 m  n ! n!



m!

 m  n  !n !

m!

Entonces: Cm n   m  n  !n !

Leonard Euler (1707 - 1783) matemático suizo fue quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica escuela de la matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición y descomposición de enteros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales para el cálculo de configuraciones combinatorias, que es el método de las funciones generadoras

Desafío: Una prueba de opción múltiple presenta, 4 opciones (una sola correcta) por pregunta.

Si la prueba consta de 12 preguntas a. ¿Cuál es la probabilidad, respondiendo al azar, que resulten todas correctas? b. ¿Cuál es la probabilidad, respondiendo al azar, que la mitad sean correctas? c. Si por cada respuesta correcta se resta 1 punto y por cada respuesta correcta se suma 1 punto. ¿Cuál es la probabilidad, respondiendo al azar, de obtener 6 puntos o más?

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Definición: Dado el conjunto matriz M de m elementos, se llama

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Teorema de Probabilidad total y Teorema de Bayes.

Teorema de la probabilidad total: Sea A1 , A2 ..... An una partición sobre el espacio muestral y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P B / Ai , entonces la probabilidad del suceso viene dada por la expresión: P B P B / A1 .P A1 P B / A2 .P A2 ... P B / An .P An 43. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una de las cajas, esta esté fundida?

44. Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos: Carlos, con una probabilidad del 60%. Juan, con una probabilidad del 30% Luis, con una probabilidad del 10%. En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente: Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%. Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%. Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%. ¿Cuál es la probabilidad de que te suban el sueldo?

Observaciones importantes: El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al de Teorema de la probabilidad total: Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

Ejemplo resuelto: En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

Teorema de Bayes: Sea A1 , A2 .. Ai ... An un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y

Donde: P Ai son las probabilidades a priori. P Ai / B es la probabilidad de B Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la en la hipótesis Ai . P Ai / B son las probabilidades a posteriori.

45. Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

Aplicando la formula el teorema de Bayes, tenemos:

P Ai / B

P B / Ai P Ai P B

P A escoja Poesía / B eligió novela 20 60 80 79 60 59 20 60 80 79 80 79

60 237

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exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Tenemos entonces que: Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P B escoja novela P B / Ai . Entonces, la probabilidad P Ai / B viene dada por la expresión: 60 59 20 60 237 P B / Ai P Ai 80 79 80 79 316 P Ai / B P B

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Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 46. Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de Ejemplo resuelto: Un estudiante cuenta, forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% para un examen con la ayuda de un cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la despertador, el cual consigue despertarlo probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que respectivamente, para cada línea. a. Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería realiza el examen es 0.9 y, en caso b. Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería contrario, de 0.5. c. ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una a. Si va a realizar el examen, ¿cuál es la avería?

47. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. a. Calcula la probabilidad de que sea menor de 24 meses. b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Calcula la probabilidad que sea una niña.

probabilidad de que haya oído el despertador?

49. En la emergencia de un hospital se tienen los siguientes números de accidentados en tránsito. El 30% daños serios, el 50% daños medios y el restante daños leves. Se sabe, además, que son de género masculino el 85% de los que ingresan por daños serios, 45% medios y 10% daños leves. Ingresa una persona a la emergencia, determina: a.

La probabilidad de que sea de género masculino b. Si resulta que es de género femenino, determine la probabilidad que presente daños graves.

50. Según el instituto nacional de estadística en Uruguay el 90% de la población es blanca, el 8% afro descendiente, y el 2% tiene descendencia indígena, asiática o no quiso revelarla en el censo. Entre la población blanca el 48% son hombres y el 52% mujeres, entre la población afro descendiente el 49% son hombres y el 51% son mujeres, en el último caso la separación es de 50% para cada género.

Considerando a los 30 senadores uruguayos como representativos de su población, responde: a. ¿Cuál es la probabilidad de tomar un senador al azar y que este sea mujer? b. ¿Cuál es la probabilidad teórica, de tomar un senador (hombre) al azar y que este fuera afro descendiente?

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48. Un corredor vende seguros para casas en tres departamentos de Uruguay, el 20% de su cartera se encuentra en San José, el 30% en canelones y el restante en Montevideo. Entre sus asegurados hay una morosidad en el pago de la cuota del 9%, 15% y 12% en cada departamento respectivamente. La empresa realiza un control sobre el trabajo del corredor tomando al azar clientes de su cartera. b. Si no realiza el examen, ¿cuál es la a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un cliente que deba su cuota si este probabilidad de que no haya oído el no es elegido en San José? despertador? b. Si se sabe que el cliente es moroso, ¿Cuál es la probabilidad de que este sea Montevideano?

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Si un experimento es repetido n veces y queremos obtener k veces un suceso, siendo la probabilidad de éxito p y la de fracaso 1-p en cada repetición, la probabilidad de que el suceso ocurra k veces en n repeticiones es: B  k , n   Ckn . p k . 1  p 

nk

51. a. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado 7 veces, salga exactamente 4 veces el número 1. b. En la misma experiencia calcula la probabilidad de que el número 6 salga no más de 3 veces.

52. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: a. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas? b. ¿Y cómo máximo 2?

53. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a. Las cinco personas. b. Al menos tres. c. Exactamente dos.

54. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

55. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

56. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan abrochado el cinturón de seguridad.

También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección. a. Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones. b. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

Un experimento sigue el modelo de la distribución Binomial si: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario (fracaso).

2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

Ejemplo: El golero de la selección uruguaya tiene un promedio de 1 penal atajado cada 7. En una definición por penales, se patean 5 penales ¿Cuál es la probabilidad de que él ataje al menos dos?

Decir que ataje al menos dos penales es lo mismo que decir que ataje dos o más penales, o bien que NO ataja cero o uno solo.

Definamos entonces los sucesos: Ai: “el golero ataja exactamente i penales”

P(A2UA3UA4UA5)= 1-P(A0U A1) 1 B  0, 1 7   C05 .   7

0

 1 . 1    7

50



5

6 B  0, 1 7   1.1.    0, 463 7 1

1 B 1, 1 7   C15 .   7 1

1 B 1, 1 7   5.   7

 1 . 1    7

5 1

4

6 .    0,386 7

57. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la Entonces: probabilidad de los siguientes sucesos? a. Ningún paciente tenga efectos secundarios. b. Al menos dos tengan P  A2  A3  A4  A5   efectos secundarios.

 1   0, 463  0,386    0,15



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Distribución Binomial

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Ficha IV – Funciones polinómicas Producto cartesiano, relación y función 1.

Determina A×B y B×A siendo A= 1,2,3 y B= 0,1

Definición: Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A por B al conjunto de todos los pares ordenados posibles en donde los primeros componentes pertenecen al conjunto A y los segundos al B. (anotamos: A×B ) Simbólicamente:

Definición: Dados los conjuntos A y B diremos que:  es una relación de A en B (o definida de A en B)    A  B (anotamos  : A  B) Si (a, b)   también escribimos ab . (También decimos que la imagen o correspondiente de a en la relación  es b).

2.

3.

Determina dos relaciones definidas según el producto cartesiano anteriormente hallado.

Interpreta en un sistema de coordenadas las siguientes relaciones: a.

 :A  B;    a, 2a + 1 ; a  A . A= 1 1

b.

  2 :A  B; 2   a, 1 - a2  ; a  A  A=  1,1 y B=  1,1   

y B=

A B 

Ejemplo:

 x, y  / x  A  y  B

A  B con A  a, b, c y

B  1, 2,3, 4 puede ser representado

gráficamente de las siguientes formas, ¿Habrá otra u otras?

Definición: Sean A y B dos conjuntos. Diremos que f es una función de A en B si y solo si es una relación de A en B tal que a todo elemento de A le corresponde un único elemento en B 4.

¿Cuál de las relaciones del ejercicio 3 es función? Justifica tu respuesta.

Definición: Sean n un número natural y a0, a1, a2,….., an números reales.

Decimos que f es una función polinómica en , de coeficientes a0, a1, a2,….., an si f es una función de dominio y codominio y se cumple que: n n-1 f (x) = anx + an-1x + ………..+ a1x + a0 x  Representa gráficamente las siguientes funciones polinómicas: a. f :

 ; f  x  3

b.

f:

 ; f  x  x

c. f :

 ; f  x   3x

d.

f:

 ; f  x   2x  1

e. f :

 ; f  x   x2

f.

f:

 ; f  x   x2  4

g. f :

 ; f  x   x2  2x

h.

f:

 ; f  x   x2  x  2

 ; f  x   x2  2x  1

j.

f:

 ; f  x   2 x2  x  3

i.

6.

f:

Determina imagen y preimagen de cero en las siguientes funciones: a.

f : f  x   3x  1

b.

f : f  x   x2  6x  9

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5.

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Álgebra de funciones polinómicas 7.

Determina, en caso de existir, los puntos de corte de los gráficos de las siguientes funciones.  f : f  x   3x  1 a.   g : g ( x)  x

 f : f  x   x 2  x  2 b.   g : g ( x)  2 x  2

 f : f  x   x 2  1 c.  2  g : g ( x)  x  x

8.

 f : f  x   3x d.   g : g ( x)  3x  1

c.

b. x 2  a 2   x  a   0

9.

Definiciones:  es raíz de f  f    0

Resuelve las siguientes ecuaciones, sabiendo que a  ¡ : a. ax 2  2ax  a  0  a  0 

d.



x

2

 a2

Definición: Sean f una función polinómica en ¡ y a un número real.

Llamamos valor numérico de f para x=a a la imagen de a según la función f, o sea f(a).

 x  a  a  x  a

2

0

 4x  2 a  4x2  4x  1  a  0



Dada la función f : f  x   a 2  1 x2   4a  2  x  1

a

a. Discutir según a  el número de raíces de f.

2. f  x   0 x  b. Discutir según a  : 1. f  x   0 x  c. ¿Existe algún valor de a  para el cuál f presenta concavidad negativa? Justifica tu respuesta. d. Sea g : g  x   2 x  1 determina para que valores de a  el gráfico de g es tangente al de f. e. Sea h : h  x   2 x  1 demuestra que  a  tal que el gráfico de h sea tangente al de f.

 es ordenada en el origen de f   f 0  

Asumiremos que: Dadas f y g dos funciones polinómicas, se cumple x  : f  g :  f  g  x   f  x   g  x  b. f :  bf  x   b. f  x  b  f .g :  f .g  x   f  x  .g  x  f g

f  x  f  :    x  ; g ( x)  0 g ( x) g

10. a. Demuestra que una función polinómica tiene raíz –1 si y solo si los coeficientes de los términos de grado par suman lo mismo que los coeficientes de los términos de grado impar.

c. Demuestra que una función polinómica tiene raíz 1 si y solo si la suma de sus coeficientes es 0 11. Si tomamos a p como dividendo, a d como divisor, a q como cociente y a r como resto de una división entera de polinomios, completa la siguiente tabla: p  x

d  x

6 x3  9 x2  x  1 6 x3  9 x2  x  1

3x 2  2 x  1 x3

6 x3  9 x2  x  1

2x  6

x 4  x3  x 2  1 x5  x3  7

q  x

x3  2 x2  3x  3 x  172

r  x

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b. Demuestra que una función polinómica tiene raíz 0 si y solo si su término independiente es 0.

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Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Definición: Sea f  P, g  P, g   Llamamos cociente q y resto r , de dividir f entre g ,  1. f = g.q + r a dos funciones polinómicas que cumplen:   2. gr  r  < gr  g  o r = σ f : f ( x )  x3  2 x 2  4 x  6 y

12. Considerando las funciones polinómicas g : g  x  x  2 :

a. b. c.

Halla el resto de dividir f entre g Calcula f  2  ¿Qué observas?

Definición: Llamamos polinomio nulo (anotamos:  ) al polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

Prueba que todo número real es raíz del polinomio nulo.

Definición: Dadas f y g funciones polinómicas, diremos que f es divisible entre g si y solo si el resto de dividir f entre g es el polinomio nulo

Jean le Rond D'Alembert (1717 -1783) fue

Teorema del resto o teorema de D’Alembert: Si en una división entera de un matemático, filósofo y enciclopedista francés, uno de funciones polinómicas, el número real  es raíz del divisor, entonces los los máximos valores numéricos del dividendo y del resto para x =  son iguales.    r q   T) f    r     ;  es raíz de g    f

H)

exponentes del movimiento ilustrado.

Es célebre por crear —con Diderot— L'Encyclopédie y por su labor en el campo de las matemáticas, relativo a las ecuaciones diferenciales y a las derivadas parciales.

g

Demostración.: Por definición de división entera:  f  x   q ( x).q ( x)  r ( x); x     f    q( ).q( )  r ( )       es raíz de g  g    0   f    0  r ( )  f    r ( )

b. Demuestra que si f : f ( x)  x150  x3 es divisible entre g : g ( x)  x  1 14. Halla cociente y resto de dividir a p : p( x)  4 x4  3x3  7 x2  11 entre los siguientes polinomios: g1 : g1  x   x  3 g2 : g2  x   x  1

g3 : g3  x   4 x  3

15. Dado p : p( x)  2 x3   a  1 x2 - 9 x  3 con a  , halla a 

g4 : g4  x   x

sabiendo que

p dividido entre g : g  x   x  2 da resto r : r  x   17 .

16. Dada f ( x)  4 x4  2 x3  ax  b donde a, b 

determina a y b sabiendo que

f dividido entre q( x)  x3  3x  2 da como resto r ( x)  12 x2  51x  45 17. Determina a, b

para que h( x)  x3  2x2   a  1 x  b  2 dividido

entre q( x)  x2  5x  6 de resto r ( x)  5x  7

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13. a. Halla el resto de dividir f : f ( x)  x15  6 entre g : g ( x)  x  1

19

Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Paolo Ruffini (1765–1822) fue un matemático y médico italiano.

Si bien es conocido como el descubridor del llamado método de Ruffini, no fue ésta su mayor contribución al desarrollo de la matemática.

Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel.

Sean f : f  x   an x n  ......  a1 x  a0  an  0 

y g : g  x  x 

gr  g   1  gr  r   0 o r    r : r  x   k  k 



gr  f   n     gr  q   n  1 gr  g   1  

Podemos escribir entonces: an xn  ......  a1x  a0 k

x  cn1xn1  ......  c1x  c0

Aplicando la definición de división, tenemos que:





an xn  ......  a1x  a0   x    cn1xn1  ......  c1x  c0  k Desarrollando primero, agrupando después y finalmente igualando se llega a que: an  cn 1  cn 1  an    an 1  cn  2   cn 1  cn  2  an 1   cn 1      a2  c1   c2  c1  a2   c2 a1  c0   c1  c0  a1   c1    a0   c0  k  k  a0   c0

Esto puede resumirse, bajo el nombre de Esquema de Ruffini: an

 an cn1

an 1

an  2

a1

a0

 cn 1

 cn 2

 c1

 c0

a1   c1 c0

a0   c0 k

an 1   cn 1 cn2

an 2   cn 2 cn3

a2   c2 c1

18. a. Determina cociente y resto de dividir f : f  x   3x3  2 x2  5x  1 entre a : a ( x)  x  2

b. Ídem con g : g  x   3x3  2 x2  5x  1 y b : b( x)  x  2 c. Ídem con h : h  x   x3  2x  1 y c : c( x)  x 1 d. ¿Son divisibles h y c? Justifica tu respuesta. e. Apoyándote en las conclusiones obtenidas en el ejercicio 10. Determina todas las raíces de h. f.

Ídem con j : j  x   x3  2x2  2x  1

Niels Henrik Abel (1802 - 1829) fue un matemático noruego.

Es célebre principalmente por haber probado en 1824 que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grados mayores a cuatro en término de sus coeficientes. La prematura muerte, a los 26 años, de este genio de las matemáticas terminó con una brillante y prometedora carrera. Sus investigaciones aclararon algunos de los aspectos más oscuros del análisis y abrieron nuevos campos de estudio, posibilitando numerosas ramificaciones en el conocimiento matemático y alcanzando un notable progreso.

Desafío: Hallar cociente y resto de dividir f : f  x   3x3  2 x2  5x  1 Entre d : d  x   2 x  4 Verifica si tu cociente y resto están bien determinados.

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Esquema de Ruffini (división entre (x – a ))

20

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Teorema de Descartes: Sean f  P y g  P / g  x   x   . f es divisible entre g   es raíz de f Demostración: f es divisible entre g   es raíz de f

f  x   g  x  .q  x     f  x   g  x  .q  x    x    .q  x  x   f es divisible entre g 



 f        .q    0   es raíz de f

(Recíproco)

 es raíz de f



f es divisible entre g

  Por def. de div. entera: f  x    x    q  x   r  x      f    k  r  x   k; k   

para que f sea divisible

entre d : d  x   2 x  1 20. Investiga cuál o cuáles de los siguientes polinomios son divisibles entre d : d  x   2x  2 f : f  x   x3  2 x 2  x

i : i  x   x3  2 x 2

g : g  x   x3  2 x 2  x  2

j : j  x   x3  x 2

h : h  x   x3  2 x 2  x  1

h : h  x   x3  5 x 2  2 x  3

21. Indica entre cuál o cuáles de las siguientes funciones es divisible la función polinómica cuyo gráfico se adjunta.

Opciones: a : a  x   x 1

b : b  x  x  2

c : c  x  x  3 d : d  x  x 1

22. Sea f : f  x   x3  ax2  bx  1 determina a, b  entre d : d  x   x  x  2

a.

f : f  x    x  1

2n

- x 2n - 2 x -1

es

divisible entre g : g ( x)  x( x  1)(2 x  1)

f : f ( x)  x2n - 2 xn  1 es divisible

entre g : g ( x)  x -1 c.

Investiga si f es divisible entre h : h( x)  x  1 .

 r    f es divisible entre g

19. Sea f : f  x   3x3  2 x2  ax  1 determina a 

2

Prueba que:

b.

 es raíz de f  f    0

 k  0  r : r  x   0, x 

Desafío

para que f sea divisible

Évariste Galois (1811 1832) fue un matemático francés nacido en Bourg-la-Reine.

Mientras aún era un adolescente, fue capaz de determinar la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales, dando una solución a un problema que había permanecido sin resolver.

El nacimiento de la teoría de Galois estuvo motivada por el intento de responder a la siguiente cuestión: ¿Por qué no existe una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de quinto grado (o superior) en términos de los coeficientes del polinomio, usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) y la extracción de raíces (raíces cuadradas, cúbicas, etc); tal como existe para las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado?

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(Directo)

21

Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Teorema de Descomposición Factorial H)

T)

f : f ( x)  an x n  an 1x n1  .........  a1x  a0  an  0 

1 ,  2 ,......,  p son raíces distintas entre sí, de f ;  p  n 





f  x    x  1  .  x   2  ...... x   p .q  x  gr  q   n  p, coef de x n p : an

Demostración:

1 es raíz de f



teo de Descartes

f  x  es divisible entre  x  1   f  x    x  1  q1  x     1  n 1 gr  q1   n  1, coef de x : an 

 2 es raíz de f  f  2   0 

   q1  2   0   2 es raíz de q1  teo de  Descartes 0   q1  x  es divisible entre  x   2    q1  x    x   2  q2  x   f  x    x  1  x   2  q2  x   sustituyendo  en 1   2  n2 gr  q2   n  2, coef de x : an  f  2    2  1  q1  2 

Desafío: Demuestra que un polinomio de tercer grado no puede tener más de tres raíces reales distintas.

Escribe las descomposiciones factoriales de las siguientes funciones polinómicas de tercer grado.

 3 es raíz de f  f  3   0

  f  3    3  1  3   2  q2  3    q2  3   0   3 es raíz de q2  teorem de  Descartes 0 0   q2  x  es divisible entre  x   3    q2  x    x   3  q3  x 

 sustituyendo en  2 

f  x    x  1  x   2   x   3  q3  x 

gr  q3   n  3, coef de x n 3 : an Repitiendo el procedimiento con todas las raíces se llega a:   q p es el q de la tesis gr q p  n  p, coef de x n  p : an  

 

23. Escribe la descomposición factorial de un polinomio de tercer grado con coeficiente principal a  3 y raíces x  1, x  2, x  0 24. Escribe la descomposición factorial de un polinomio de tercer grado con coeficiente principal a  2 raíz x  3 y divisible entre d : d  x   x 2  4

25. Dados a, b 

f

y g

y gr  g   3

donde

f : f  x   3x4  13x3  2ax2  52 x  b con

a. Determina a, b  sabiendo que f es divisible entre

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 x   p  q p  x  

f  x    x  1 

22

Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ q : q  x   x  4 y que dividido entre h : h  x   x  5 tiene por resto

al polinomio r : r  x   294 b. Determina la descomposición factorial del polinomio g sabiendo que g x 2  3x , que x  2 es raíz de g  x  y que f 1  g 1  0 20 x  20 q

Teorema: Relación coeficientes y raíces:

entre

Demuestra

H) Sea p : p( x)  ax 2  bx  c con a2  0 p admite raíces 1 y  2

26. Sean f y g donde f : f  x   2 x4  ax3  30 x2  5bx  48 con a, b  ¡ c. Determina a, b 

sabiendo que f es divisible entre q : q  x   x  3

T) 1   2  

y que dividido entre h : h  x   x  4 tiene por resto al polinomio

1. 2 

r : r  x   160

d. Determina t : t  x   mx2  nx  192 sabiendo

f

g

t

 2x  8

y que

b a

c a

Ídem con una función polinómica de tercer grado.

g es divisible entre el polinomio k : k  x   x  3 e. Determina la descomposición factorial de g 27. Sabiendo que el siguiente gráfico corresponde al gráfico de una función polinómica f de tercer grado, se pide: a. descomposición factorial de f b. estudio del signo de f  x 

Observación: Si  ,   ;     S;  .   P Entonces

las

soluciones

de

x  Sx  P  0 son  y  2

Teoremas: Raíces comunes a dos funciones polinómicas Demuestra

28. Halla las raíces de f  x  y g  x  sabiendo que admiten raíces comunes. a.

f : f  x   12 x 4  4 x3  84 x 2  44 x  24 y g : g  x   8 x3  12 x 2  44 x  24

b. f : f  x   6 x 4  5 x3  23x 2  20 x  4 y g : g  x   2 x3  x 2  13x  6 c. f : f  x   5 x3  8 x 2  27 x  18

y

g : g  x   15 x3  52 x 2  19 x  6

h  mf  ng , con f , g  P y m, n      ,  es raíz de f y g    es raíz de h Teorema 2:   r q    ,  es raíz de f y g  f

g

  es raíz de r

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Teorema 1:

23

Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Desafíos: 29. Sea f  x    k  1 x2  2kx  3k  2 . Determina en cada caso, los valores de k para que: a. b. c. d.

La suma de las raíces de f sea -4.

Las raíces de f sean una inversa de la otra.

La suma de los cuadrados de las raíces de f sea 6.

Para cada uno de los valores de k hallados calcula las raíces de f y verifica que cumplen la relación exigida.

30. Halla la descomposición factorial de la función polinómica de g :  ; g ( x)  27 x3  54 x2  36 x  8 sabiendo que admite una raíz real triple.

31. Determina

el

valor

de



para

el

g  x   2 x   x  4 x   sea: sig (g ) : 3

3 2

5

cual 

0 

el 

signo 0

de





32. Observando los siguientes gráficos correspondientes a funciones polinómicas, resuelve las ecuaciones e inecuaciones que se plantean: f  x  0

f  x  g  x  0

f  x  0

1) Determinar m, n,   

mx  mx  n sea: xm   

el signo de f : f ( x) 

Sig ( f )

para que

2

 0  2 

2) Dada la función polinómica f : f ( x)  2 x2   3  4m x  2m determina los valores de m para los cuales se cumple: a. f presenta dos raíces reales distintas y positivas. b. f presenta dos raíces reales distintas y negativas. c. f presenta dos raíces reales distintas, una positiva y la otra negativa.

3) Halla las raíces de la función f  x  g  x

33. a. Halla P función polinómica de segundo grado de coeficiente principal a = 1, tal que P( x)  0 x  y P(x) tiene una raíz común negativa con T :

 ; T ( x)  36 x4  5x2  1

b. Halla S función polinómica de tercer grado, cuya representación gráfica es la siguiente. c. c. Resolver:

P  x S  x

0

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polinómica: f : f  x   x 3  3x 2  2 x  2 3

24

Repartido de matemática – 5toaño Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 34. Halla las raíces independientes del parámetro m (RIP) en la siguientes Clasificación de las funciones: funciones polinómicas:







 

p : p  x    4m  1 x3  2m2  15m  8 x2  17m2  151m  9 x  8m2  120m  72













q : q  x   mx  m  3m  2 x  3m  4m  4 x  6m  4m  16 x  4



2

 8m  16m 2



3

2



2

2

 

35. Sea f : f  x   x3  2 x2  a 2  a  5 x  2a 2  2a  10 a. b.



f : A  B es biyectiva 

36. Se considera la función polinómica f ( x)  ax  bx  bx  a (a  0) 1

Prueba que: 1) f ( )  0  f    0   2) f (-1)  0

x, y  A, x  y  f ( x)  f ( y )

y  B,  x  A; f ( x)  y



3

f : A  B es inyectiva 

f : A  B es sobreyectiva 

Determina las RIP Halla a  sabiendo que f  x   x2  a2 q  x 





2

 f es inyectiva   f es sobreyectiva

  0 

37. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. En caso de ser falsa debes dar un contraejemplo para justificar tu respuesta. a. b. c. d.

Toda función polinómica de grado cero es biyectiva.

Toda función polinómica de primer grado es biyectiva.

Toda función polinómica de segundo grado es biyectiva.

Toda función polinómica de tercer grado es biyectiva.

mx 2  mx  n 38. Determinar m, n,    para que el signo de f : f ( x)  xm





 

39. Considerando a

f : f  x   x3  ax2  bx  c con a, b, c  ¡ , determina

a, b, c  ¡ sabiendo que f  x  2  f  x   6cx2  32 x  44

40. Sea p : p  x   4x3   a  6 x2   a  3 x  b donde a, b  a. Determina a, b ¡ para que p divido entre q : q  x   x  1 tenga por resto a r : r  x   a  37 y dividido entre h : h  x   x  1 tenga por resto a t : t  x   81 b. Determina la descomposición factorial de p  x  c. Resuelve la ecuación p  x   0

1  d. Resuelve la inecuación p  x   2  x    0 2 

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sea: Sig ( f )

 0  2

25

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Ficha V – Número Complejo Definición: Definiremos al número complejo como un par ordenado de números reales que cumple: a  a ' 1.  a, b    a ', b '   b  b ' 2.  :

  ;  a, a '  b, b '   a  b, a ' b '

3.  :

  ;  a, a '  b, b '   ab  a ' b ', ab ' a ' b 

4.

:



 ;k

número i  1 como solución de la ecuación anterior; así obtendríamos que x2  1   x  i  x  i  de donde

 a,b  =  ka,kb 

1. Calcula: a. z = 1, 3   2, -5 b. z = 1, 3   0, 0  2. Calcula: a. z = 1, 3  1,1

Presentación: El número real no cubre todas las necesidades algebraicas, así por ejemplo la ecuación x 2  1  0 no tiene solución real. Podríamos definir un

c. z = 1, 3   -1, -3

3   1 b. z = 1, 3   , -   10 10 

3. Determina: a. Neutro y opuesto de un complejo z =  a,b  en  b. Neutro e inverso de un complejo z =  a,b  en 

concluiríamos que la ecuación tiene solución S  i, i , pero evidentemente esto carece de toda formalidad y nos haría caer en errores como el siguiente: Planteo 1:

i  1  i 2  1 1  i2 

 1 1 

i2  1

Sin entrar en detalles, diremos que los números reales son los números Planteo 2: complejos de la forma z   a, 0  Llamaremos también a los complejos de la forma z   0, b  imaginarios i  1  i 2 



1



2

puros.

 i 2  1

4. Hemos definido los complejos como par ordenado, entonces estos pueden representarse gráficamente en un S.C.C.O. A esos puntos los llamaremos afijos del complejo.

Representa los afijos de los siguientes complejos: a. z = 1, 3 b. z =  -1, -3 c. z = 1, 0  d. z =  0,1

El problema surge en el hecho de usar operaciones definidas en los reales para los complejos, como son la radicación o la potenciación, sin el más mínimo cuidado. Tratemos entonces de definirlos sin caer en errores tan groseros como el presentado.

5. Analiza

siguiente

operación

y contesta las preguntas:  0,1   0,1   0.0 1.1,0.1  1.0   1,0 Nombremos: i 2   1,0 a. ¿Cuál es la solución de x2  1  0 en ? b. ¿Cómo definirías el complejo z  i como par ordenado?

6. Observa que: z =  a,b  = a 1,0  +b 0,1 = a.1+b.i = a +bi Por lo tanto diremos que un complejo puede ser representado en forma de par ordenado como z =  a,b  o bien como z = a + bi donde diremos se encuentra en su forma binómica. Determina el afijo de los complejos: a. z = 2 + 3i b. z = 1 - i c. z = 3i d. z = 3

Repartido de matemática | Prof. Alejandro Oyhenart

la

26

Repartido de matemática – 5to Año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________

Operaciones con números complejos Formas de definir un complejo: 7. Definición: Dado un complejo z  a  bi llamaremos conjugado de z (anotaremos: z ) al Un complejo es en definitiva un par ordenado de reales, si en un plano complejo: z  a  bi

establecemos un S.C.C.O. podemos hacer corresponder a cada complejo z   a, b  un punto P del plano;

Prueba que el producto de dos complejos conjugados es un real.

justamente el de coordenadas

suponiendo

que

son

reales

si

se

cumple:

(1  2i) x  (3  5i) y  1  3i

9. Demuestra las siguientes igualdades: a. Producto en forma binómica:  a  bi  c  di   ac  bd   cb  ad  i

10. Expresa

en

a. 1  i

forma

b. 1  i 3

e. 1  2i

f. (1  2i)3

polar

c. i  i 5

y

representar

los

afijos:

f.

a  bi a  bi

b.

g.

5 3  4i

g. (1  i) n  (1  i) n

2

d. (1  2i)3

e. (1  2i)6

(3  2i)3  (2  i)2

330º

2  cos15º  sen15º 

y

r  a 2  b2 y z  r donde b tan   . a Otro razonamiento, es decir: z  r   z   r cos  , rsen   z  r  cos  ,sen   z  r  cos   i.sen 

12. Completa la siguiente tabla:

3i

semirrectas Ox y OP, tomando como sentido positivo el antihorario Podríamos, entonces, determinar un complejo por el par  r ,   donde

Es así que el complejo z   a, b  puede

(1  2i)2  (1  i)3

1,1

de las

ser escrito en forma polar como:

 2i  c.    3  2i 

Cartesiana

y el ángulo 

llamaremos módulo al real r argumento al ángulo  .

d. 3  i

7

11. Expresa en forma binómica: a. (1  2i)2

que llamaremos afijo de z.

Establecemos de esta forma una biyección entre y los puntos del plano. En consecuencia, determinar el complejo z es equivalente a determinar el punto P. El afijo P queda determinado por su distancia al origen

 r  OP 

b. Cociente en forma binómica:  a  bi  ac  bd  cb  ad  i    c  di  c2  d 2 c2  d 2

 a, b 

Binómica

Polar

Trigonométrica

diremos entonces que z fue escrito en su forma trigonométrica.

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x e y

8. Halla

27

Repartido de matemática – 5to Año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Potencia de un complejo

Definición: Sea: z 

13. a. Calcula:

y k

a. i1 

      

Si z  0 y k  0  z k  0 z  0 Si z  0 y k  0  z k  z 0  1 Si z  0 y k  0  z k  zz k 1 Si z  0 y k  0  z k  z 0 

b. i 2 

c. i 3 

b. Calcula: i 203  c. Generaliza el resultado para i n

d. i 4 

1 z k

e. i 5 

n

b. z 3

c. z 2

Dados, en forma polar, los complejos: z  r y w  m 1.

 r  m   rm    

2.  r  :  m   r m     

Fórmula de De Moivre

14. Si z  a  bi con a y b reales; halla la parte real e imaginaria de: a. z 2

Busca fórmulas trigonométricas para suma y resta de arcos e Investiga las siguientes igualdades:

d.

(26 de mayo de 1667, Champagne - 27 de

1 z2

15. Determinar la raíz cuadrada de un complejo de la forma z  a  bi significa hallar un nuevo complejo w  x  yi tal que:

Calcula:

2

a.

8  6i

b.

1 i

c.

noviembre de 1754, Londres) fue un matemático francés, conocido por la fórmula de De Moivre y por predecir el día de su muerte a través de un cálculo matemático

i

Raíz n- ésima en forma polar:

 z  ; z  r Sea z  , n  ; n  2 queremos definir n z  w  wn  z por lo que debemos H)  k  previamente estudiar sus condiciones de existencia. z  r y w  m m  r     2k  k  ¢     n    2 k    n En conclusión: z  r  £ y n  ¥ ; n  2  n r   k  ¢ ; w  z n   n  m  r wn  z  mn n.  r    n.    2k 

n

Observación:

Como las n raíces n  ésimas de w  r  todas ellas tienen el mismo módulo;

sus afijos pertenecen a una circunferencia de centro en el origen y radio n r y los afijos de las n raíces n- ésimas de z son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de centro en el origen y radio n r

16. Calcula y representa gráficamente: 3 4 16120º c. 5 350º a. i b.

T) z k  r k k .

Demostración por inducción completa a cargo del lector.

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a  bi   x  yi 

28

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Ecuaciones y Funciones Complejas.

17. Resuelve las ecuaciones:

a. z 2  z  2  0

b. z 2  3z  5  0

c. 3z 2  z 10  0

Teorema: Todo polinomio de coeficientes reales con una raíz compleja z, admite su conjugada z como raíz.

18. Resuelve las ecuaciones:

a. z 2  (2  i) z  (1  7i)  0

b. z 2  (3  2i) z  5(1  i)  0

c. (2  i) z 2  (5  i) z  (2  2i)  0

Teorema fundamental del álgebra: Toda función polinómica de grado n admite n raíces complejas.

19. Halla el valor numérico del polinomio:

P( z)  (3  2i) z3  (12  i) z 2  (4  2i) z 1  5i para los siguientes valores de z usando dos métodos (sustitución directa y Ruffini): a. z  1  i b. z  i 20. Resuelve z 4  4z3  11z 2  8z  26  0 sabiendo que 2  3i es raíz.

21. Resuelve z3  (3  2i) z 2  (1  5i) z  2  2i  0 sabiendo que admite una raíz real.

22.Prueba que toda función de segundo grado con término independiente nulo, admite dos raíces reales.

23. Prueba que todo polinomio de coeficientes reales y grado impar tiene al menos una raíz real.

24. Encuentra el error en el siguiente razonamiento:

Gerolamo Cardano (1501-1576) fue un médico notable, además de ser un célebre matemático italiano del Renacimiento, un astrólogo de valía y un estudioso del azar. Este filósofo y destacado enciclopedista, fue autor de una de las primeras autobiografías modernas. Fue el primero en introducir la raíz cuadrada de un número negativo como solución de una ecuación en su obra “Ars Magna” donde dice: “Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea… 40, es evidente que esta cuestión es imposible.

No obstante, se puede resolver” y presenta las soluciones: x = 5 ±

-15

x 1 x i f admite raíces: x 1 y x i como admite x i x i también es raíz de f Ahora: f es de segundo grado f es el polinomio nulo. f tiene 3 raíces : x 1; x i y x i Repartido de matemática | Prof. Alejandro Oyhenart

f:f x

29

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Ficha VI – Potencia y Logaritmo Ecuación Potencial Definimos: Llamamos potencia de base real b y exponente entero c, al número real a; a  bc con b y c no nulos simultáneamente, que cumple:  b0  1  a  b1  b  c b  b. b. b....b  c factores

Propiedades: 1. Muestra que, siempre que la base y el exponente no sean simultáneamente nulos, se cumplirán las siguientes propiedades: a. a m a n  a m  n n c. a m  a m.n

b. a m : a n  a m  n 1 d. a n  an

Ley de Weber-Fechner: La ley establece que: el menor cambio discernible en la magnitud de un estímulo es proporcional a la magnitud del estímulo. Es fácil de entender con un ejemplo. Si estamos sosteniendo en nuestra mano una masa de 100 gramos, tal vez no lo podamos distinguir de otro de 105 gramos, pero sí de uno de 110 gramos. En este caso, el umbral para discernir el cambio de masa es de 10 gramos. Pero en el caso de sostener una masa de 1000 gramos, 10 gramos no serán suficientes para que notemos la diferencia, al ser el umbral proporcional a la magnitud del estímulo. En su lugar, nos hará falta añadir 100 gramos para notar la diferencia.

Esta ley puede interpretarse de forma analítica como:

p

k .L

S S0

Donde: L es el logaritmo neperiano, k es un número, S corresponde a la magnitud del estímulo y

2. Resuelve:

S0 es el nivel de estímulo por

donde debajo no se percibe sensación.

1 a) 2  1 b) 2  2 c) 2  d) 2 x  4 e) 2 x 5  1 f) 2 x 5  4 2 x

x

x

x

1  1  1  1 g)    8 h)     16 i)   2  2  2  2 k)  3

x2

3

5

n) q)

x2

1 1  81 l)     5 5

5 x  6

1  5 x 3 o) 3x 1    25 5 3

 x2  x

1 1  4 j)   :   2 2 x

x

2x

1    2

x2

Ley de crecimiento de las poblaciones: El economista británico Thomas Malthus propuso en 1798 que el crecimiento de una población se puede considerar como un proceso continuo, cuya velocidad de aumento es proporcional a la población ya existente.

x

1 1  1   1 m)        1  3   9   27 

x2

 4 p)

110 11x

 1  11x

x x2 x  1  28 42 x  2  16 r) 5.7  x  35  4 s)    8x x  2 2   7

 

t) 22 x  2 x  2  0 u) 52 x  3.5 x  2  0 v) 9 x  2.3 x  3  0 1

3. a. Investiga qué condiciones de existencia debe cumplir la igual

n

a  an

b. Asumiendo como válida la igualdad anterior expresa en forma de potencia n

ap

4. Ecuación Racional (Ejercicio opcional de repaso) Resuelve: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1  1 ii)  1 iii)  iv)  v)  vi)  x x 1 x x 1 x x2 x  1 x2 x  x  1 x 2 1 1 1 1 1 1 x 2 vii)  viii)  ix)  x)  2 2 x  1 x  1 x  1 x  2 x  2 3 x  3 x 1    x 4 x  x2

i)

x)

1

 x  1

2



1 3 1 4 1 1 3 xi)   xii)   x 1 x x2 x  1 x 1 x  2 x2  x  2

Si P0 es la población inicial (es decir, la existente cuando comenzamos a contar), existe una constante de crecimiento k en cada población, de manera que el número de individuos al cabo de un tiempo t, viene expresado por una ley del tipo kt

P t

P0e

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x

30

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Ecuación Logarítmica Definición: Llamamos logaritmo de a en base b, al número real c que cumple: log a c b c a donde: a 0, b 0, b 1 b 5. Prueba que: a. loga a 1 b. log 1 0 a 0; a 1 b 0; b 1 b 6. Calcula, sin calculadora: a. log 49 7

b. log

1 2 10

c. log 4 1 2

d. log

1 2

Propiedad 3: Observando la propiedad 2, demuestra: logb

a  logb a  logb c c

Número de Euler: El número e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352

2. 3 64

5

7. Resuelve: a. log x 25

2

1 2

b. log x 3

c. log2 x x

2 66249775724709369995.., conocido como número de Euler. El "descubrimiento" de la constante está acreditado al matemático suizo Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto.

8. Resuelve (en los casos posibles): a. 3x  1 b 5x  2

c. 7 x  4 d. 3x  3

e. 4 x  720 f. 8 x  3 / 2

Propiedades

J. Bernoulli (1654 – 1705)

Propiedad 1: log a k  k log a a  0, b  0, b  1, k  ¡ b b

John Napier

log a  X  a  b X  a m   b X   a m  b mX  log a m  mX  b b m

log a m  m log a b b

9. Resuelve: a. log3 32  x

b. log5 53  x

c. log123 1237  x

d. log 2 x7  7

e. log8  x  1  4

f. log 2 2  x

h. log x  2  x   4

i. log 2  x  1  0

g. log 2

5

x

2 5

2

2

Propiedad 2: logb ac  logb a  logb c

En condiciones de existencia logb a  X  a  b X  Sea  Y  logb c  Y  c  b

Demostración: *

2

c bY

Potencia

Definición

a  b X  ac  b X c  a.c  b X bY  ac  b X Y  logb ac  logb a  logb c * multiplicando ambos miembros de la igualdad por el mismo numero se obtiene

1617), matemático escocés, creador de los logaritmos, ha pasado a la posteridad por sus contribuciones en el campo de la matemática. Sin embargo para Napier era ésta una actividad de distracción siendo su preocupación fundamental el estudio del Apocalipsis, llegando mediante razonamientos lógico deductivos, y admitiendo ciertos postulados, a pronosticar el fin del mundo para los años, 1668 a 1700.

Notación:

log X  log10 X L X  loge X Siendo e el número de Euler.

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(1550

Demostración:

31

Repartido de matemática – 5to Año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 10. Propiedad 4: Cambio de base: Uso de la calculadora: log c a log c b

En condiciones de existencia

Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441... según que la base considerada sea 8, 1/8, 2, 1/2, 10, e ...

a. Sabiendo que log 2 8  3 , calcula log16 8 b. Sabiendo que log3 27  3 , calcula log9 27 c. Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcula: log 2 7 y log7 2 11.

Investiga, bajo condiciones de existencia, la validez de las siguientes igualdades:

logb p a 

a.

1 logb a p

d. log b a  2logb a

1  logb a a 1 logb a  log b a 2

e. a  blogb a

logb

b. c.

La calculadora tiene entre sus opciones el cálculo del logaritmo de un número en base 10 o en base e. por lo tanto si queremos calcular el logaritmo del número 3 en base 2

 log2 3 solo debemos realizar el

12. Resuelve: i) log3 x  2

cambio de base conveniente, que para nuestras calculadoras será 10 o e. Calcularemos entonces el logaritmo buscado como:

ii) log x 25  2 iii) log 2 2  3 iv) log3 x  log3 3  2 x

v) log3 x  log3 3  2 vi) log3 x  2  log3 3

vii) log3 x  2.log 5 5

viii) log 2  x  1  3.log 2 4 ix) log 2 x  log 2  x  1  log5 5

log10 3:log10 2

3

x) log x  log  x  1  log1

xi) L2 x  L  x  1  Le

xii) log x  2 log x  2  0

xiii) 3log 2 x  4 log x  1  0

2

13. Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrolla las siguientes expresiones.

3a = 4

a) log (2ab)=

b) log

2  ab

f) log ab 

log

3a 3 b i) log  c





log (a2)3 =

c) log g) log

2a 2  3

x  2y

d) log (a5 b4)=

e)

h) log( 2a b )  4

a c  5a 2b 4 c   j) log = k) log(abc)2 = l) log  2 xy 2  

log 7ab3 5c 2  n) log

2ab  x2 y

Es posible pasar del logaritmo de un número en una base a determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula:

o) log (a2 – b2 )= p) log

3

a2

5

b3



m)

q)

La antigua calculadora: Busca de qué se trató el famoso ábaco neperiano

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logb a 

Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome.

32

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Función exponencial 1  

x

14. a) Dada la función f : f  x   2 x y g : g  x     completa la siguiente tabla 2 de valores e interpreta gráficamente. x<0 x>0 x<0 x f(x) x f(x) x g(x ) -50 50 -50 -20 20 -20 -10 10 -10 -5 5 -5 -4 4 -4 -3 3 -3 -2 2 -2 -1 1 -1

x

x>0 g(x)

50 20 10 5 4 3 2 1

Aplicaciones: El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser modelado con la siguiente ecuación A  t   A0ekt . Si

b) ¿Qué sucede cuando x=0? c) Realiza EA y RG de las funciones anteriores.

15. a) Realiza EA y RG de las siguientes funciones. 1 i) f ( x)  3x ii) f ( x)  3x iii) f ( x)    3

16. Método de ábacos: (Opcional) Resuelve: 1 1 1 i)  e x ii) e x  2 iii) e x  x x x

x

1 iv) f ( x)      3

x

inicialmente había 1000 mosquitos y después de un día la población de éstos aumenta a 1800, ¿cuántos mosquitos habrá en la colonia después de 3 días? ¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?

Un pollo que tiene una temperatura de 40oF es movido a un horno cuya temperatura es de 350oF. Después de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170oF. Si el pollo está listo para comer cuando su temperatura llegue a 185oF, ¿Cuánto tiempo tomará cocinarlo?

iv) x  1  e x v) e x  x2 vi)  e x  x2

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x vii) e x  x viii) e  x

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Función logarítmica.

17. a) Dada la función f : f  x   log2 x y g : g  x   log1 2 x completa la

x

x>0 g(x)

50 20 10 5 4 3 2 1

Aplicaciones: Una escala desarrollada para medir los terremotos se conoce como escala Richter, nombre del sismólogo americano Charles Richter (19001985). La fuerza de un terremoto, de forma simplificada, está dada por la expresión R  log E siendo E la

b) ¿Qué sucede cuando x=0? c) Realiza EA y RG de las funciones anteriores.

18. a) Realiza E.A. y R.G. de las siguientes funciones. 1 i) f ( x)  log10 x ii) f ( x)  log 1 x iii) f ( x)  log10 x iv) f ( x)     3 10

19. Método de ábacos: (opcional) Resuelve: 1 1 1 i)  Lx ii) Lx  iii) L x  2 x x x iv) x  1  Lx v)  Lx  x2 vi)  Lx  x2

vii) Lx  x viii) Lx  x

x

intensidad de las vibraciones del terremoto medido.

El terremoto del año 2010 en chile fue medido en 8.8, Calcula E. El peor terremoto de la historia, 9.5 en escala Richter, se produjo en 1960, también en Chile. Hundió Valdivia 4 metros y provocó la erupción del volcán Puyehue y de un tsunami sobre el pacífico. Compáralo con el peor sismo recibido en Uruguay que fue de 3,9 en 1988 La acidez del agua se mide con una unidad conocida como pH. Mientras mayor es el pH, menor es la acidez.

Mientras menor es el pH, mayor es la acidez. El pH ideal para una piscina es 7.6. Si sube a 7.8, se le debe añadir un químico para bajar el pH. Si baja tanto como a 6.8, entonces, se requiere echarle un químico para subirlo. a) Escribe la fórmula pH = −log[H] en forma exponencial. b) Si el pH del agua es 7.0 (neutral), entonces, ¿cuál es la concentración de iones de hidrógeno en el agua?

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siguiente tabla de valores e interpreta gráficamente. x<0 x>0 x<0 x f(x) x f(x) x g(x ) -50 50 -50 -20 20 -20 -10 10 -10 -5 5 -5 -4 4 -4 -3 3 -3 -2 2 -2 -1 1 -1

34

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Inecuaciones Resuelve las siguientes inecuaciones

1.

2.

3.

x20 x  2 1 x  2  3x  1 x2  10 2

x x 2  3x

11. x  3x  4  0

x  2x

2

8.

x2  1  0

12. x4  3x2  4  0 x 1 0 13.

2x x 1 0 14.

2x x 1 1  15.

2x 2x

9.

x2  25  0

16.

4.

5.

6.

 x  2 x  3  0  x  2 3  x   6

7. 1  x2  0



10. 2 x2  32  0

17.

18.

x 2  3x  4 0 x 1 x 2  3x  4

 x  12

0

x 4  3x 2  4

 x  12

0

2

19.



x 3x  x 2

 0  0

x  2x 5x 1  2 21. x  36 x  6 5x 1  2 22. x  25 x  5 3x 1  x  x  2 x  2 23. x3  x 2  x  1 0 x2 24. x3  x 2 1  2 25. x  2 x  1 x  1 3 1  2  2  x  x  3 x  x  6 26.

4x 1  27. x 2  x  2  x  1  x  2  x  1 2

20.





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Resuelve las siguientes inecuaciones

35

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Ficha VII – Geometría analítica. ¿Qué es el plano Cartesiano? Sean dos y rectas x e y orientadas, perpendiculares en O y una unidad de medida u. Tomamos un punto A en el plano y consideramos sus proyecciones ortogonales A x y A y sobre Py( A) los ejes x e y respectivamente.

O(0, Llamaremos al par ordenado  A x , A y  0) coordenadas de A y lo anotaremos A

A

x

, Ay 

A

x px(A )

René Descartes, también llamado Cartesius.

(Turena francesa 1596 – Estocolmo 1650) Filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacados de la revolución científica, es considerado el creador del sistema de coordenadas que usaremos este año. En su honor es que este sistema lleva el nombre de Cartesiano

Obsérvese entonces que a todo punto del plano le corresponde un par ordenado y a todo par ordenado le corresponde un punto.

2.

Determina los puntos del plano que cumplen: a. La abscisa del punto es 0. Representa gráficamente. b. La ordenada del punto es 0. Representa gráficamente. c. La abscisa y la ordenada son iguales. Representa gráficamente. d. La abscisa y la ordenada son opuestas. Representa gráficamente. e. La abscisa es positiva. f. La ordenada es negativa. g. La abscisa es menor que la ordenada.

Determina en un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, los puntos: a. ( x, y )  2 ;( x, y )  (a, a 2 ) b. ( x, y ) 

3.

2

Desafío: Grafica ( x, y ) 

los 2

puntos:

 cos t sent  ,  ;t  0 t   t

;( x, y )  

¿Corresponde a una función esta representación gráfica? Justifica En el Espacio: Investiga cómo determinar las coordenadas de un punto en el espacio.

 1 ;( x, y )   a,  a  0  a

Escribe como par ordenado ( x, y) 

Caricatura de René Descartes (1596-1650)

2

, los puntos del plano que

corresponden al gráfico de: f : f  x   3x  1 4. Considera y  x 2  1 y analiza el razonamiento planteado: Considero x  2  y  3 , ahora x  3  y  8 repito el procedimiento llegando a que x  8  y  63 . Luego grafico los pares obtenidos. a.

Reproduce el razonamiento con y  x 2 con valor inicial x  0

b.

Reproduce el razonamiento con y  x 2 con valor inicial x 

c.

Reproduce el razonamiento con y  

1 2

1 x con valor inicial x  2 2

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1.

36

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Notaciones: Distancia entre dos puntos del plano: H) A  x0 , y0  punto del plano

T) AB  ( x1  x0 )2  ( y1  y0 )2

B  x1 , y1  punto del plano Demostración:  x0 , y0  y B  x1 , y1 

AB Recta AB AB Medida del segmento AB

del plano; A En el Espacio: Prueba que: d 2  a2  b2  c2

Sea a; a// eje y por A y b; b// eje x por B a  b ={C}. y B dos puntos cualquiera Queda determinado entonces (ABC) rectángulo en C. Por Pitágoras AB2  BC 2  AC 2 Por ser la distancia un real positivo: De 1) y 2) concluimos: AB  ( x1  x0 )2  ( y1  y0 )2 ¿Qué sucede si: Sí A  x0 , y1  y B  x0 , y2  ?

5.

Clasifica

el

1 1 A ,  , B 2 4



triángulo

determinado

Desafío: por

los

puntos



2, 1 y C  2,2 

Apoyándote del resultado obtenido anteriormente, prueba que dados dos A  x0 , y0 , z0  y B  x0 , y0 , z0  puntos en el espacio se cumple:

6.

Sea P(-1,2) determina el simétrico de P respecto a A(-1,0)

7.

Prueba que el triángulo (ABC); A(1,4); B(-2,1) y C(2,-3), es rectángulo.

8.

Prueba que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1,-3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

9.

Determina si los puntos (0,-4) y (3,5) pertenecen a la mediatriz del segmento AB, con A(0,1) y B(3,0)

10. Calcula el perímetro del triangulo formado por los puntos: A(-3,6), B(6,5) y C(1,6).

11. Un triángulo equilátero tiene vértices en A(-3,2) y B(1,2). Determina las coordenadas del tercer vértice.

12. Determina las coordenadas del punto del eje Oy que equidista de los puntos A(5,5) y B(4,2)

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AB  ( x1  x0 )2  ( y1  y0 )2  ( z1  z0 )2

37

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Vectores Antes de continuar nuestro estudio de la geometría analítica Coordenadas del punto medio en el plano: necesitaremos introducir un nuevo A( x0 , y0 )punto del plano  objeto matemático al que llamaremos   x0  x1 y0  y1  B( x1 , y1 )punto del plano   M  , vector. Si bien no entraremos este año  2   2  en una definición rigurosa, M es punto medio AB  necesitaremos saber operar con ellos, Sí M es punto medio de AB, aunque sea en forma básica. entonces d(A,M)=d(M,B) Observaciones: Diremos que dos considerando M(x, y) llegamos a: rectas tienen igual dirección si son x  x0  x1  x paralelas.

Diremos que dos segmentos de recta x x entonces: x  1 0 tienen igual dirección si están incluidos 2 en rectas paralelas. y1  y0 2  x1  x0 y1  y0  , 2   2

Concluimos entonces 

13. Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Tal que A(3,0) y B(4,1).

Determina las coordenadas del centro de la circunferencia que contiene los vértices de ABC 14. O(0,0) y A(3,5) son vértices de un paralelogramo de centro D(3,2).

Determina las coordenadas de sus otros vértices.

15. Determina las coordenadas del centro de simetría sabiendo que el correspondiente de A(-1,3) es B(0,2) 16. Determina la imagen del triángulo ABC tal que A(1,1) B(2,2) y C(1,0) en una simetría central de centro P(-3,2).

17. Determina las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos A   x0 , y0 , z0  y B   x1 , y1 , z1 

18. Determina las coordenadas del simétrico de A(3,5,-2) respecto de B(1,1,1)

Recordemos: Probablemente en el ciclo básico hayas definido a los vectores de la siguiente forma: Definición: vector r Llamaremos (anotamos: v ) a un segmento de recta orientado.

Un vector queda definido por: a. Sentido  Orientación   b. Módulo  Medida del segmento  c. Dirección 

Definición: Diremos que dos vectores u y v son equipolentes si tienen igual sentido, módulo y dirección.

v

u

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análogamente y 

38

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Coordenadas de un vector Todo vector v del plano tiene su vector equipolente con origen en O(0,0) como muestra la figura. Llamaremos a este vector representante equipolente de v y a partir de él es que definiremos las coordenadas de v El representante equipolente de v tiene como todo vector un extremo determinado por un punto de coordenadas  x0 , y0  , diremos entonces que  x0    y0 

el vector v tiene coordenadas  x0 , y0  y lo anotaremos: v  

v

x  x  Observa entonces que si tenemos dos vectores v   0  y u   1  resultará  y1   y0   x0  x1    y0  y1 

que v  u  

De la misma forma si  

  x0   v      y0 

Por último podemos ver que si un vector v tiene por extremos los puntos A

 x0 , y0 

Pierre de Fermat: (Francia 16011665) fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica.

En teoría de números, el último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Utilizando la notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera: Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros a, b y c, tales que se cumpla la igualdad (con a, b, c no nulos):

 x1  x0    y1  y0 

y B  x1 , y1  , o sea v  AB , entonces v  

Pierre de Fermat

 3   4    2  1   3   3  c. v        2   2  a. v     

 3   3    2  1  3  0 d. v        2 0 b. v     

20. Determina en forma gráfica y analítica el vector resultante

3  2

a. v  2  

5  3  1   2 

c. v      

0 0

b. v  2  

El teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor. La búsqueda de una demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX

3   2  2   2 1 

d. v  

21. Determina el módulo (o norma) de un vector de componentes a y b 22. Desafío: Define en forma general un vector en el espacio y determina su módulo.

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19. Determina en forma gráfica y analítica el vector resultante

39

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________

Ecuación de la recta en el plano: Si tenemos tres puntos alineados A, B y C podemos observar que siempre existirá un número real  tal que  AB = AC . Este resultado nos será útil para llegar a la ecuación general de la recta, veamos lo siguiente.

El axioma de Euclides afirma que por un punto exterior a una recta solo es posible trazar una recta paralela. Lo que nos permite afirmar que si tenemos un punto y una dirección tenemos una recta fija.

Operando un poco podemos escribir la ecuación de la recta según el sistema:  x  x0   a que podemos resumir en:   y  y0  b  x  x0   a   y  y0  b

y que llamaremos

ecuación paramétrica de la recta en el plano

que nos da una dirección determinada. Por lo mencionado anteriormente la r recta que pasa por A y tiene la dirección del vector v es única.

Ahora cualquier punto B que esté en la recta tendrá un par de coordenadas B  x, y  que irán variando en la medida que varíe el punto B sobre la recta.

El vector AB variará su módulo en la medida que varíe B sobre la recta, pero siempre podrá ser escrito como AB  .v .

Trabajando

con

esta

 x  x0   x  x0    a  a AB  .v           b   y  y0   y  y0   b   x  x0    x  x0   a x  x0 y  y0  a      y  y   b y  y a b 0 0      b

igualdad. luego

expresión a la que daremos

el nombre de ecuación simétrica de la recta en el plano

1.

a. Determina la ecuación de la recta que pasa por A(2,3) y tiene  2

dirección determinada por v    3 b. Determinar la ecuación de la recta que pasa por A(1,0) y dirección 0

determinada por v    1 

Es importante observar que operando en la ecuación simétrica de la recta podemos llegar a que la ecuación general de la recta tiene la forma Ax  By  C  0 donde A , B y C son números reales como has visto en el curso anterior.

En el caso en que B no sea nulo, tenemos

que:

y

A C x B B

que

probablemente hayas trabajado el año pasado como y  mx  n bajo el nombre de ecuación explícita de la recta Ten presente que si bien esta última ecuación es muy útil por tener solo dos parámetros, deja fuera los casos en que la recta sea paralela al eje de las ordenadas.

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Supongamos entonces que tenemos un punto A  x0 , y0 

a y un vector v    b 

40

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Observaciones importantes: Semiplano: a c 1. ax  by  c  0  y   x   y  mx  n si se determina la Toda recta divide al plano en dos b0

b

b Renombrando

raíz y la ordenada en el origen podemos graficar la recta, como vemos en la representación gráfica adjuntada. Ahora si queremos determinar el ángulo  que determina la recta con el eje Ox basta utilizar trigonometría sobre el triángulo rectángulo que se ha formado, de ahí que tan   m  tan   

semiplanos, llamaremos a uno de ellos semiplano positivo y al otro semiplano negativo.

y  y0 y y a  tan    1  tan   0 1 , llamaremos por b x0  x1 x0  x1

esta razón al número m coeficiente angular de la recta

2. De lo anterior puede deducirse que dos rectas paralelas tendrán igual coeficiente angular y al revés si dos rectas tienen igual



2.

n m

a. Demuestra que el triángulo determinado por las rectas r )3x  4 y 1  0, s) x  7 y 17  0 y p)7 x  y  31  0 es isósceles. b. Determina su perímetro.

3.

4.

5.

6.

a. Determina las coordenadas del cuarto vértice de un rombo ABCD tal que A(1,0); B(0,0) y C(0,1). b. Determina las coordenadas del punto de corte de sus diagonales a. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,1) y B(-1,2) b. Indica la dirección de la recta.

Determinar la intersección de las rectas r : y  2x  1 y s : y  3x  2 a.

Demuestra

que

el

triángulo

determinado

por

las

r )3x  4 y 1  0, s) x  7 y 17  0 y p)7 x  y  31  0 es isósceles.

b. Determina su perímetro.

rectas

Cómo determinar cuál es el positivo y cuál el negativo es relativamente sencillo.

Tomamos un punto cualquiera en el plano, que no esté en la recta, y sustituimos sus coordenadas en la ecuación general de esta recta. Si este resultado es positivo, entonces el punto se encuentra en la región positiva, si en cambio el resultado es negativo es porque el punto seleccionado se encuentra en el semiplano negativo.

Trata de formalizar esta explicación

Preguntas: a. ¿Por qué razón se pide tomar un punto que no esté en la recta en la explicación anterior? b. En la imagen anterior, ¿Cuál de los dos semiplanos fue pintado? c. ¿Cómo resolverías y  2 x  1? d. ¿Cómo resolverías ahora y  2 x  1?

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-n

41

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Paralelismo entre rectas: Es

condición

necesaria

y

suficiente

para

que

dos

rectas

r) ax  by  c  0 y r’) a’x  b’ y  c’  0 sean paralelas que a’b  ab’  0

Demostración: Dos rectas (r y r’) son paralelas si sus ángulos correspondientes a una recta secante son iguales. r r’

Escribamos las rectas en su forma explícita, aquí podrás observar que sus coeficientes angulares deben ser iguales, o sea que si escribimos las rectas como: r) y  mx  n y r’) y  m ' x  n '

a b

Estaremos en condiciones de afirmar que:   

a'  a’b  ab’  0 b'

De lo visto en geometría métrica sabemos que dos rectas r) ax+by+c=0 y r’) a’x+b’y+c’=0 son paralelas si y solo si son coincidentes en todos sus puntos ó en ninguno de ellos. Por lo que debemos pedir ax  by  c  0 que el sistema:  a ' x  b ' y  c '  0 Sea incompatible (no tenga solución) ó compatible indeterminado (infinitas soluciones).

Sí r) // eje y entonces no podemos hablar de tg(m ) , r) será de la forma r)

Definición: Llamaremos haz de rectas paralelas al conjunto de todas las rectas del plano con igual coeficiente angular

Determina la ecuación de la recta paralela a r) 3x  2 y  1  0 por A(1, 2)

Definición: Llamaremos haz de rectas

r x=k y r’) x=k’ en donde se cumple que: a’b  ab’  0b  0b’  0

7.

Observación:

coincidentes por un punto P( x 0 , y 0 ) a

a. Determina la ecuación de la recta paralela a r) y  3x  5 por B(3, 4) b. Determina la ecuación de la recta paralela a r) y  3x  5 por C (1, 2) ¿Qué conclusión puedes extraer?

9.

Determina los vértices de un cuadrado ABCD. Conociendo A(1,2) y B(2,3)

10. Los puntos M(1,1); N(3,2) y P(2.0) son los puntos medios de los lados de un triángulo ABC. Determina las coordenadas de A, B y C. 11. Dado el triángulo (ABC) tal que A(2,0); B(0,5); C(3,6) halla las coordenadas de: el baricentro, el circuncentro y el ortocentro.

todas las rectas del plano que contengan a P.

Aplicaciones de las definiciones: a. Determina el haz de rectas de centro 1 1 A ,  2 4

b. Determina el haz de rectas de centro  1 1 A ,   2 4

c. Determina el haz de rectas paralelas a 3x  5 y  1  0 d. Determina el haz de rectas paralelas m

de coeficiente angular

1 3

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8.

42

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 17. Calcula el área de los triángulos (ABC) en cada caso.

Perpendicularidad entre rectas: Es condición necesaria y suficiente para que dos rectas r r) ax  by  c  0 y r’) a’x  b’ y  c’  0 sean perpendiculares que a’a  b’b  0

1 1 3. A  ,   ; B  2, 3 ; C 1, 0   2 5

Demostración:

18. Determina las coordenadas de los puntos de intersección entre las rectas en cada caso.

A

B C

El triángulo AOC es rectángulo, por lo que aplicando Pitágoras: AC 2  OA2  OC 2 (1) C De igual forma sobre BAO

OA2  AB 2  OB 2  OA2  m2  12  OA  m2  1     Sustituyendo en (1): 2 2 2 2 2 2 2 OC  BC  OB  OC  m '  1  OC  m '  1 

 m  m '

2





  2

m2  1 

 mm '  1 



2

m '2  1  m2  2mm ' m '2  m2  1  m '2  1

a a'  1  aa ' bb '  0 b b'

12. Desafío: Distancia de un punto a una recta: Sea una recta r) ax+by+c=0 y un punto P( x0 , y0 ) del plano.

Definiremos distancia de un punto a una recta como la menor distancia entre el punto P  x0 , y0  y la recta r).

Demuestra que: Si r ) ax  by  c  0 ax0  by0  c   d ( P, r )  P( x0 , y0 )  a 2  b2 13. Determina la ecuación de la perpendicular a 3x  5 y  0 por el origen.

14. Determina la ecuación de la recta perpendicular a y   x por A(5,0).

15. Determina la ecuación de la mediatriz del segmento definido por los puntos A(3,5) y B(-2,,3) 16. Dados los puntos A(2,3); B(3,-3) y C(-1,3) Determina las coordenadas del punto D para que (ABCD) sea paralelogramo

1. r ) y  2 x y s) y  3x  1 2. r ) 3 y  2 x  1 y s) y  4 3. r ) 2 y  2 x  1 y s) x  1 4. r ) 3 y  2 x  1 y s) 5 y  7 x  2

19. Dada la recta de ecuación general r) 2x 

3 y 1  0 2

determina

la

abscisa del punto A perteneciente a la recta tal que su ordenada es – 7 y la ordenada de un punto C cuya abscisa es 2.

20. Representa gráficamente la recta a 3 2

de ecuación y  x  1 .

Determina la ecuación de la recta b paralela a la recta a que pasa por el punto de B (-2, 2 ) Determina la ecuación de la recta c perpendicular a la recta b en B (2, 2 ) 21. Dados los puntos A(1,1) y B(3,3) Determina las coordenadas del punto C para que (ABC) sea rectángulo y su área sea 2 22. Dados los puntos A(2,-2) y O(0,0) Determina las coordenadas de los puntos B y C para que ABCO sea un rombo de área 2.

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Consideremos las rectas escritas en su forma explícita y de manera tal que ambas pasen por O(0,0); esto es: r ) y  mx r ') y  m ' x Consideremos además la recta de ecuación: x = 1 A Quedan entonces definidos en r y r’ respectivamente los vectores: O 1   1  v  yu   O  m  m '  B

3  1. A 1, 1 ; B  3, 2  ; C  ,5  2  1 1 1  2. A  3, 5  ; B  ,  ; C  , 2  5 6 7 

43

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Ecuación de la circunferencia Ecuación general de la circunferencia: Sea C una circunferencia de centro C(, ) y radio r  0

Si

P  x, y   C  x 2  y 2  2x  2y   2   2  r 2  0 P  C (C,r)  d(C,P)  r r  (x   )2  (y   )2  (x   )2  (y   )2  r 2

Operando llegamos a que: C) x 2  y 2  2x  2y   2   2  r 2  0 r

P(x,y )

Definición Métrica: Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

La circunferencia puede ser definida como la sección de un cono circular recto con un plano paralelo a su base, esto ya fue estudiado por Apolonio de Perge cerca del año 200 a.C.

C(, ) Por lo que las coordenadas de todos los puntos que pertenecen a una circunferencia verifican: C)

a  2  x  y  ax  by  c dondeb  2  c   2   2  r 2  2

1.

a. Determina la ecuación de la circunferencia de centro C(1,-1) y radio r=3 b. Determina la ecuación de la circunferencia de diámetro AB, con A(1,2) B(3,-2). c. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,2), B(1,3) y C(2,1)

2.

En cada caso, determina la ecuación general de una circunferencia que cumpla: a.

El centro sea C(0,0) b.

El centro sea C(,0) c.

El centro sea C(0,)

3.

Indica centro y radio de las siguientes circunferencias: a. x2  y 2  1 b. x2  y 2  2 x  1  0 c. x2  y 2  x  y  1  0 d. C : x2  y 2  2 x  3 y  4

Apolonio de Perga (Perge, 262 a. C. Alejandría, 190 a. C.) Se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna.

Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas.

Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de El Gran Geómetra.

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2

44

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Tangente por un punto de una la circunferencia H) C ) : x 2  y 2  ax  by  c  0

Círculo: De una forma muy parecida a la rectas, la circunferencia divide al plano en dos regiones, una positiva y otra negativa.

 x  x0   y  y0   b  c  0  2   2 

T) t ) x0 x  y0 y  a 

Siendo t) la tangente a C) por P, con P(xo, yo); P C

Demostración: La perpendicular a la recta t) por P pasa por el centro C de la circunferencia. Por lo que puedo determinar CP).

Preguntas: a. ¿Cómo definirías la ecuación del círculo de la figura anterior?

b  a b   y0  C ,  2  2 2   coef. angular de m  a  x0  P( x0 , y0 )  2

2

?

  y  y0    b 2   c  0   

Esta ecuación recibe el nombre de “desdoblada” por la manera en que sus coeficientes mantienen relación con los de la circunferencia.

Nota: Sí la tangente es por un punto exterior, se interseca el haz de rectas por el punto con la circunferencia y se pide que el discriminante de esa ecuación sea igual a cero (única solución) 4.

En cada caso determina las coordenadas de los puntos de corte de las siguientes circunferencias con las siguientes rectas. a.

C : x2  y 2  4 con r : y   x b. C : 3x2  3 y 2  6 y  1 con r : y  x  2 c. C : x2  y 2  5 con r :  x  2 y  5  0

5.

2

En caso de existir, determina las coordenadas de los puntos de corte de las siguientes circunferencias. a.

C : x2  y 2  4 con C ' : x2  y 2  x  4 b.

C : x2  y 2  8x  10 y  25  0 con C ' : x 2  y 2  4 x  6 y  23  0

c.

C : x2  y 2  4 con C ' : x2  y 2  1

c. ¿Cómo escribirías la ecuación de un círculo de centro C(1,0) y radio r=1?

Desafío: Observa, en cada caso, qué tienen en común las circunferencias dibujadas y trata de determinar una ecuación general para cada familia.

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1  x  x0 t ) y  y0   ( x  x0 )  t)x 0 x  y0 y  a  m  2

b. ¿Es la ecuación de un círculo: x  y  4

45

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 6. Determina las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto A(4,-4) a la circunferencia C : x2  y 2  6x  2 y  5  0 y muestra que si 1) Si el radio de la circunferencia es T1 y T2 son los puntos de tangencia entonces los segmentos AT1 y AT2 son congruentes 7.

Dado el cuadrado de base O(0,0) y A(1,2) determina la ecuación de la circunferencia circunscrita a él y de la circunferencia inscrita a él.

8.

Determina la ecuación de la circunferencia tangente al eje Ox, sabiendo que pasa por el punto P(2,1) y que su centro pertenece a la recta y  x  1

9.

Dada la circunferencia C : x2  y 2  25 Determina el radio de una circunferencia concéntrica a C tal que el área del anillo que determinan sea 4.

10. Calcula la longitud de la cuerda que determina la recta x = 3 al cortar a la circunferencia de ecuación x2  y 2  4x  6 y  8  0 11. Determina la Ecuación de la Circunferencia de centro C(-1,4) y es tangente al eje de las abscisas.

2

2

12. La ecuación de una circunferencia es x + y = 50. El punto medio

de una cuerda de esta circunferencia es el punto (-2, 4). Hallar la ecuación de la cuerda.

mayor ó igual a cero, llamaremos a la circunferencia “circunferencia real”.

2) Si ese número es cero, la ecuación es la ecuación de un punto o la ecuación de una circunferencia de radio nulo.

3) Si por el contrario el radio de ella es menor a cero esta recibirá el nombre de “circunferencia imaginaria”

Se conoce como circunferencia de los nueve puntos a una circunferencia que se puede construir sobre cualquier triángulo dado. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos son:  el punto medio de cada lado del triángulo,  los pies de las alturas, y  los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.

13. a. Determina la ecuación de la circunferencia de los nueve puntos, definida sobre el triángulo de vértices O(0,0); A(1,-2) y B(1,3). b. Determina su centro y radio.

14. Resuelve:  y  2x  1 a.  2 2 x  y  1

 y  2x 1 b.  2 2 x  y  1

 x 2  y 2  4 c.  2 2  x  y  1

 x 2  y 2  4 d.  2 2  x  y  1

x  0 e.  2 2 x  y  1

x  0  f.  y  0  2 2 x  y  1

y  x  g.  y   x  2 2 x  y  2

2 2  x  y  4 h.  2 2  x  1  y  1

 x  y 14 x  y  25  0 k.  x  y 1  x l.  x  y  25  x  y  4 x  2 y  4  0

i.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 y 2  25  0

Al círculo de los nueve puntos se le conoce también entre otros como círculo de Feuerbach, círculo de Euler, círculo de los seis puntos o círculo medioinscrito.

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Regiones del plano

46

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________

Ficha VIII - Estadística La estadística es una rama de la matemática aplicada que estudia una característica de interés de los miembros de una población. Se ocupa de recopilar datos, organizarlos en tablas y gráficos y analizarlos con un determinado objetivo.

Seguiremos estos pasos: a. Recolección de datos b. Organización de datos (En tablas o gráficos) c. Análisis y medición de datos

Recolección de datos Para esta etapa tomaremos los siguientes conceptos básicos: Población: conjunto de observaciones efectuadas Individuo: cada elemento de la población.

Atributo: Característica investigada en la observación. Estos pueden ser: Cualitativos (sexo, religión, nacionalidad) Cuantitativos: (estatura, peso, área –estos son continuos, se miden en números reales-; número de hijos, número de goles –discretos, se miden en números enteros-) Ejemplo: Si se desea realizar un estudio estadístico de las estaturas de los alumnos de quinto año:

La palabra Estadística procede del vocablo “Estado”, pues era función principal de los Gobiernos de los Estados establecer registros de población, nacimientos, defunciones, impuestos, cosechas, etc. La necesidad de poseer datos cifrados sobre la población y sus condiciones materiales de existencia han debido hacerse sentir desde que se establecieron sociedades humanas organizadas.

En 1.662 un mercader de lencería londinense, John Graunt, publicó un tratado con las observaciones políticas y naturales, donde Graunt pone de manifiesto las cifras brutas de nacimientos y defunciones ocurridas en Londres durante el periodo 1.6041.661, así como las influencias que ejercían las causas naturales, sociales y políticas de dichos acontecimientos.

Puede considerarse el primer trabajo estadístico serio sobre la población.

1. Teniendo presente la clasificación, clasifica los siguientes atributos a. Afiliación política de los habitantes de Montevideo. b. Cantidad de ganado vacuno en el departamento de Canelones c. Religión de los padres de familia de la comunidad educativa d. Ingresos mensuales en pesos de los obreros. e. Cantidad de alumnos de por Bachillerato. f. Sexo de los alumnos de una escuela. g. Estado civil de los habitantes de Uruguay. h. Cantidad de películas nacionales estrenadas durante un año. i. Color de cabellos de los alumnos de un curso. j. Puntaje obtenido por los alumnos que ingresan a una facultad.

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Población: conjunto de estaturas Individuo: cada estatura Atributo: la estatura

47

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ El sistema

Tabulación: puede ser a través de una serie simple, con la presentación de los datos recogidos en forma de tabla ordenada, o a través de la agrupación de datos, este método se utiliza cuando el número de observaciones es muy grande.

2. En un curso de 40 alumnos, se desea estudiar el comportamiento de la variable estatura, registrándose los siguientes valores: 1,52 1,64 1,54 1,64 1,73 1,55 1,56 1,57 1,58 1,58 1,59

1,53

1,60

1,60

1,61

1,61

1,65

1,63

1,79

1,63

1,62

1,60

1,64

1,54

1,65

1,62

1,66

1,76

1,70

1,69

1,71

1,72

1,72

1,55

1,73

1,73

1,75

1,67

1,78

1,63

a. Serie simple: Completa los cuadros siguientes, ordenando los datos obtenidos.

Alumno

Talla

Alumno

Talla

Alumno

Talla

Alumno

1

1,52

11

21

31

2

1,53

12

22

32

3

1,54

13

23

33

4

1,54

14

24

34

5

1,55

15

25

35

6

1,55

16

26

36

7

1,56

17

27

37

8

1,57

18

28

38

9

1,58

19

29

39

10

1,58

20

30

40

Talla

d'Hondt es

un método de promedio mayor para asignar escaños en sistemas de representación proporcional por listas electorales.

Los métodos de promedio mayor se caracterizan por dividir a través de distintos divisores los totales de los votos obtenidos por los distintos partidos, produciéndose secuencias de cocientes decrecientes para cada partido y asignándose los escaños a los promedios más altos.1 2 Fue creado por el jurista belga Victor d'Hondt en 1878.3 4 Los sistemas de representación proporcional intentan asignar los escaños a las listas de manera proporcional al número de votos recibidos. En general, no es posible alcanzar la proporcionalidad exacta, ya que no es posible asignar un número decimal de escaños. De los métodos comúnmente utilizados para la conversión proporcional de votos en escaños, el método d’Hondt, siendo bastante proporcional, tiende a favorecer un poco más que otros a los grandes partidos.5 6 Sin embargo, hay dos circunstancias que favorecen muchísimo más a dichos partidos: las circunscripciones pequeñas y la barrera electoral.7 Al menos estos países utilizan el método d’Hondt para el reparto de votos en escaños: Albania, Argentina, Austria, Bélg ica, Brasil, Bulgaria, Camboya, Cabo Verde, Chile,Colombia, República Dominicana, Croacia, República Checa, Ecuador, España, Estonia, Finlandi a, Guatemala, Hungría, Islandia, Israel, Ja pón, Kosovo,Luxemburgo, Macedonia, M oldavia, Montenegro, Países Bajos, Paraguay, Perú, Polonia, Portugal, Rumanía, Escocia, Serbia, Eslovenia, Turq uía, Uruguay, Venezuela yGales.

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Organización de los datos

48

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Se registra la frecuencia de cada valor de la variable. La frecuencia puede ser absoluta (f), número que indica la cantidad de veces que la variable toma un cierto valor, relativa (fr), cociente entre la frecuencia absoluta de cada valor de la variable y el número total de observaciones; relativa porcentual que es el porcentaje de la fr; frecuencia Acumulada la suma de la fi y la acumulada porcentual, que el la suma de fr% .

Volviendo al ejemplo anterior, completa la tabla de serie de frecuencias. x (tallas)

Absoluta fi

Relativa fr = f/n

Acumulada Fa

1/40 = 0,025

Relativa Porcentual (100.fr) % 2,5 %

1

Ac. Porcentual Fa % 2,5%

1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79

1 1

1/40 = 0,025

2,5%

2

5%

2

2/40 = 0,05

5%

4

10%

i. ¿Cuánto suma el total de la columna de frecuencias absolutas? ¿Por qué? ii. ¿Cuánto suma el total de la columna de frecuencias relativas? ¿Por qué? iii. ¿Y el total de la columna de porcentajes?

Tabla de frecuencias nacionales 2014

elecciones

Fórmula presidencial

fi

fr%

Partido Coalició n

Tabaré Vázquez Raúl Sendic

1.134.

187

47,81 %

Frente Amplio

Luis Lacalle Jorge Larrañaga

732.6 01

30,88 %

Partido Nacional

Pedro Bordaberry Germán Coutinho

305.6 99

12,89 %

Partido Colorado

Pablo Mieres Conrado Ramos

73.37 9

3,09 %

Partido Independ iente

Gonzalo Abella Gustavo López

26.86 9

1,13 %

Unidad Popular

17.83 5

0,75 %

Partido Ecologist a Radical Intransig ente

3.218

0,13 %

Partido de los Trabajad ores

César Vega Richard Álvarez Rafael Fernández Andrea Revuelta

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b. Agrupación de datos por serie o distribución de frecuencias:

49

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ c. Agrupación de datos por intervalos de clase: intervalos iguales en los La ley de los grandes números: que se divide el número total de observaciones. Es conveniente utilizar los Cuando hablamos de la Ley de los grandes intervalos de clase cuando se tiene un gran número de datos de una números, estamos hablando del primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad. Y variable continua. ¿Cómo saber cuántos intervalos considerar? ¿Cómo determinar su amplitud?

Primero debemos determinar el rango de los datos, que es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores obtenidos.

Rango = xmáx – xmín Luego debemos establecer el número de intervalos (N) y determinar la amplitud (A) de los mismos.

A = rango /N (N lo eliges tú, pero es conveniente que no sea muy pequeño) 3. a. Calcula el rango de los datos de nuestro ejemplo. b. Si queremos trabajar con 10 intervalos, ¿cuál es, para nuestro caso, la amplitud de cada uno de ellos? De ser necesario, podemos aproximar el valor hallado c. Siendo el primer intervalo [1,52 ; 1.55) completa la tabla con todos los restantes. Observa que el extremo izquierdo del intervalo se usa un corchete “ [ “, lo que indica que tomamos este valor, en cambio en el derecho usamos “ ) “ que nos indica que el intervalo es abierto, o sea, no se toma este valor. La Marca de clase es el promedio aritmético de los extremos del intervalo.

Marca de clase (MC)

[1,52 ; 1.55)

1,535

[1,55 ; 1,58)

1,565

[1,58 ; 1,61)

1,595

Totales

fi

fr

fr%

Fa

Uno de los ejemplos simples más conocido es el lanzamiento de una moneda. Considerando que el experimento se produce siempre bajo las mismas condiciones, cuantas más veces lancemos la moneda al aire, más clara veremos la tendencia. Si la moneda no tiene defectos la cara habrá caído hacia arriba el mismo número de veces que la cruz. De esta manera podemos afirmar que tenemos un 50% de posibilidades de que en una tirada salga cara o salga cruz. Uno de los aspectos más llamativos de esta teoría es que cuantas más veces se repita el experimento más claro será la tendencia.

Un ejemplo claro de utilización de esta teoría en el ámbito de los juegos de azar es el clan de los Pelayo.

Fa%

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Tallas

como se trata de probabilidades, esta ley establece que al observar continuadamente en el tiempo un experimento cuyo resultado es aleatorio los resultados tienden a estabilizarse.

Y así tendremos una tendencia clara de la probabilidad de obtener uno u otro resultado.

50

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 4. Investiga sobre el número de hermanos de cada alumno de tu curso y dispone los datos obtenidos en una serie o distribución de frecuencias.

Ejercicio resuelto:

5. Estas son las notas obtenidas por los 100 candidatos que se presentaron a un concurso:

En una clase de quinto hemos medido la altura de los 25 alumnos. Sus medidas, en cm, son:

38

51

32

65

25

28

34

12

29

43

1

62

50

37

8

24

19

47

81

53

16

62

50

37

4

17

75

94

6

25

55

38

46

16

72

64

61

33

59

21

13

92

37

43

58

52

88

27

74

66

63

28

36

19

56

84

38

6

42

50

98

51

62

3

17

43

47

54

58

26

12

42

34

68

77

45

60

31

72

23

18

22

70

34

5

59

20

68

55

49

33

52

14

40

38

54

50

11

41

76

Elabora una tabla que represente estos resultados con sus frecuencias absolutas, relativas y porcentajes.

Toma intervalos de amplitud 5 cm comenzando por 150.

Solución: Alturas F. absolutas [150, 155) 3 [155, 160) 7 [160, 165) 6 [165, 170) 4 [170, 175) 5

Presenta dichos datos en una tabla de intervalos de clase.

F. relativas 0,12 0,28 0,24 0,16 0,2

Porcentajes 12% 28% 24% 16% 20%

6

4

2

8

18

16

10

6

7

5

12

8

9

12

17

11

9

16

19

18

18

16

14

12

7

10

3

11

7

12

5

9

11

15

9

4

1

6

11

7

8

10

15

3

2

13

9

11

17

13

12

8

Confecciona una tabla de intervalos de clase.

7. Las edades de veinte chicos son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12, 10 y15. a. Organiza los datos en una tabla de frecuencias. b. ¿Qué porcentaje de chicos tienen 12 años? c. ¿Cuántos chicos tienen menos de 14 años?

8. En cada día del mes de enero, en el camping Iglú hubo la siguiente cantidad de turistas: 12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58. Construye una tabla de frecuencias para estos datos.

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6. En una cierta ciudad, se registra el número de nacimientos ocurridos por semana durante las 52 semanas del año, siendo los siguientes los datos obtenidos:

51

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Gráficos: La recopilación de datos y la tabulación pueden traducirse gráficamente mediante representaciones convenientemente elegidas: barras, sectores circulares, mapas, curvas, etc.

El índice de desarrollo humano en gráficos

Los gráficos permiten visualizar e interpretar el fenómeno que se estudia, en forma más clara.

Las barras se utilizan generalmente para representar atributos cualitativos o cuantitativos discreto. La longitud es igual a la frecuencia de cada observación. Pueden ser barras simples o múltiples, según se trate de representar uno o más atributos.

Las barras pueden ser horizontales o verticales.

Gráf. de barras: Evaluación de gestión X

neutra negativa positiva

0

20

40

60

Gráfico de barras compuesto: Remuneraciones medias (año Z)

500

Industrial

400

Bancario Adm. Pública

300

Educativo

200

Comercio

100 0 Enero

Febrero

Marzo

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600

52

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Los gráficos circulares o gráficos de torta son útiles para comparar datos pues, en general, trabajan con porcentuales. El área de cada sector representa En la siguiente tabla se muestra la el porcentaje que corresponde a la frecuencia de un cierto valor de la variable. participación en mundiales de fútbol de Esta representación es conveniente cuando el número de sectores es pequeño cada selección. ¿Cuál es la y sus áreas están bien diferenciadas. interpretación gráfica que consideras más conveniente? Justifica y realízala.

Evaluación de gestión

positiva negativa neutra

Evaluación de gestión positiva negativa neutra

El histograma se utiliza para representar una tabla de frecuencias de intervalos de clase.

Sobre el eje horizontal se representan los intervalos de clase y sobre el eje vertical, las frecuencias de los intervalos.

El gráfico consiste en un conjunto de rectángulos adyacentes cuya base representa un intervalo de clase y cuya altura representa la frecuencia del intervalo.

El polígono de frecuencias se construye uniendo los puntos medios de los lados opuestos de las bases de cada rectángulo. Si se quiere cerrar el rectángulo, se agregan dos intervalos: uno anterior y otro posterior al último y se prolonga el polígono hasta los puntos medios de estos intervalos.

Variación del valor de las importaciones y exportaciones de la Argentina en millones de dólares

1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

importación de la Argentina exportación de la Argentina

9. Construye el histograma y el polígono de frecuencias para el ejercicio 3.

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Las curvas se utilizan generalmente para representar la variación de una variable a través del tiempo (años, meses, horas, etc.). Sobre el eje horizontal figuran los períodos de tiempo.

53

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________

Análisis y medición de datos Para describir un conjunto de datos, se calculan algunas medidas que resumen la información y que permiten realizar comparaciones.

12. Las distribuciones de las edades de los socios de un club deportivorecreativo son las siguientes:

Medidas de posición: se utilizan para encontrar un valor que represente a todos los datos. Las más importantes son: la media aritmética, la moda y la mediana.   

La media aritmética o promedio ( x ) de varios números se calcula como el cociente entre la suma de todos esos números y la cantidad de números que sumamos.

La moda (Mo) es el valor que más se repite. Puede suceder que haya más de una moda o ninguna (si todos los valores tienen igual frecuencia).

La mediana (Me) es el valor que ocupa el lugar central al ordenar los datos de menor a mayor. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos valores centrales.

10. Los sueldos de cinco empleados de una empresa son: $ 20000, $30000, $45000, $60000 y $350000. Calcula el sueldo medio, la moda, si es que existe, y la mediana e indica cuál representa mejor a los datos.

Cada una de las seis graficas tienen una media ( x ) y una desviación típica (s).

Sus valores son, dados en otro orden, los siguientes:

x b) x c) x d) x e) x f) x a)

Diego

61,7

61,7

62,3

62,9

63,1

Tomás

61,5

62,9

62,9

63,7

63,7

Sergio

60,7

62,4

62,7

62,7

63,2

Para poder decidir, calcula las medidas de posición de cada uno.

Diego

promedio

moda

mediana

62,34

61,7

62,3

Tomás Sergio

En promedio, los nadadores más rápidos son ................................ y ................................., pero esto no significa que hayan tenido el mismo rendimiento; por eso necesitamos las otras medidas de posición: de ellos dos, tanto la moda como la mediana indican que ................................ fue más veloz. Sin embargo, para elegir el nadador adecuado, no basta con considerar las medidas de posición, ya que también es necesario que su rendimiento sea parejo, es decir, que los tiempos de sus 100 m libres no tengan mucha dispersión.

= 58, s = 12 = 46, s = 5,5 = 41, s = 16 = 16, s = 5 = 25, s = 8

= 33, s = 13 Asocia que par de parámetros corresponde a cada actividad.

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11. El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de sus integrantes para la próxima competencia de estilo libre. Según los tiempos en segundos que obtuvieron los postulantes de las cinco últimas carreras de 100 m de estilo libre, ¿qué nadador le conviene elegir?

54

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ 13. Las estaturas de los jugadores de basquetbol de cuatro clubes tienen los Ejercicio resuelto: parámetros y las gráficas que se dan a continuación. Asocia a cada gráfica Dada la distribución de frecuencias: el par de parámetros correspondiente.

x s

A 198,5

B 198,1

C 193

D 193,4

9,7

3,9

4,6

8,1

14. Las siguientes distribuciones tienen la misma media (5 aprox) y sus desviaciones típicas son 1, 2, 3 y 4. ¿Cuál es la de cada una?

xi 1 2 3 4 5 6

ni 9 22 13 23 8 25

a) Construye una tabla en la que aparezcan frecuencias absolutas, frecuencias relativas, frecuencias acumuladas absolutas b) Representa mediante un diagrama de barras la distribución dada y su correspondiente polígono de frecuencias.

Solución: a) xi

ni

fi

Ni

1 2 3 4 5 6

9 22 13 23 8 25

0,09 0,22 0,13 0,23 0,08 0,25

9 31 44 67 75 100

100

1

b) Las medidas de dispersión solo corresponden a las variables cuantitativas.

16. La estatura (en cm), el número de zapato y el peso (en Kg) de seis alumnas del colegio se dan en la siguiente tabla: Estatura 164 158 162 166 168 172 Zapato 37 37 36 38 39 41 Peso 51 53 55 57 49 56 a) Halla la media y la desviación típica de cada conjunto de datos. b) ¿Qué conjunto es más disperso, el de las alturas, el de número de zapatos o

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15. Las desviaciones típicas de las cuatro distribuciones siguientes son: 3,2; 4,3; 5,2 y 6,8. ¿Cuál corresponde a cada una?¿Cuál es la media en cada una de ellas?.

55

Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Media, varianza y desviación estándar Medidas de dispersión: nos informan cómo están distribuidos los datos. La más importante es el desviación estándar (), que mide la dispersión de los datos con respecto al promedio. Cuanto menor es el desvío estándar, menos dispersos están los datos con respecto al promedio.

Se medirán las alturas a la cruz (en milímetros) de los siguientes perros:

Para calcular el desvío estándar, seguimos los siguientes pasos:    

Calculamos la diferencia entre cada uno y el promedio.

Elevamos al cuadrado cada una de las diferencias anteriores.

Sumamos todos los valores hallados en el paso anterior y dividimos el resultado por la cantidad de datos. Así obtenemos la varianza.

Calculamos el desviación estándar () como la raíz cuadrada de la varianza.

  xi  x  n



media 

600  470  170  430  300 1970   394 5 5

Así que la altura media es 394 mm.

2

i 1

Las alturas (hasta los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.

Calcularemos la media, la varianza y la desviación estándar.

n: número de datos

n

17. Diego y Sergio, dos de los nadadores del ejercicio anterior, obtuvieron el mismo promedio y sin embargo sus tiempos están distribuidos de manera diferente. Calcula los desvíos estándares de los tiempos de los nadadores:

xi

(xi – x)

61,7

-0,64

61,7

-0,64

62,3

-0,04

62,9

0,56

63,1

0,76

Tiempos de Sergio (xi – x)2

total

Entonces:  Diego 

(xi – x)

xi

(xi – x)2

total

5



 Sergio 

5



Para calcular la varianza, tomamos cada diferencia, la elevamos al cuadrado, y hacemos la media: 2 2 2062  762   224   362   94  varianza  5 108520   21704 5 Así que la varianza es 21704.

Como la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que: Desviación estándar: s = σ = √21704 = 147 Ahora veremos qué alturas están a una distancia menor que la desviación típica (147mm) de la media:

Podemos ver que el desvío estándar de ................................... es menor que el de ................................., lo cual indica que el promedio representa mejor los datos de ................................., porque sus tiempos fueron menos dispersos.

Entonces, aunque cinco datos son muy pocos para hacer estadística, si con esa información hay que elegir un nadador de ese equipo para la próxima competencia, conviene que sea .......................................

Así que usando la desviación típica tenemos una manera de saber qué es normal, o extra grande o extra pequeño.

Los Rottweiler son perros grandes. Y los Dachshund son un poco menudos.

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Tiempos de Diego

Ahora calcularemos la diferencia de cada altura con la media:

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Cálculos de estadígrafos en datos tabulados Si los datos están agrupados ya sea en tablas de frecuencias simples o en intervalos de clase, debemos utilizar un criterio diferente para calcular los distintos estadígrafos. Analicemos el siguiente ejemplo: Consideremos la siguiente distribución de frecuencias que corresponden a los puntajes de 50 alumnos en una prueba.

Intervalos

M.C. (x)

fi

f·x

Fa

[60 – 65)

62,5

5

312.5

5

[65 – 70)

67,5

5

337.5

10

[70 – 75)

72,5

8

580

18

[75 – 80)

77,5

12

930

30

 Intervalo mediano

[80 – 85)

82,5

16

1320

46

 Intervalo modal

[85 – 90)

87,5

4

350

50

50

3830

TOTALES

x

 f ·x  x  3830  76.6 ptos 50 f

 77 ptos.

Coeficiente (C.V.)

de

variación

La dispersión no puede determinarse exclusivamente a partir de la desviación estándar, pues no siempre una desviación típica mayor indica una mayor dispersión. Por ejemplo, la desviación típica del peso de un grupo de 5 caballos suele ser mayor que la desviación típica del peso de un grupo de 5 conejos. Se debe tener en cuenta las medias de los pesos de ambos grupos de animales, para establecer algún tipo de comparación relativa o proporcional.

Una medida de la dispersión relativa de los conjuntos de datos es el coeficiente de variación, que se define como:

CV 

s x

Para interpretar el coeficiente de variación hay que saber:

1) Dados dos conjuntos, aquel que tenga un coeficiente de variación n  Dónde: L es el límite inferior del intervalo mediano. mayor es el más disperso, el más   Fa ·A heterogéneo. Además su valor no 2  Me  L   Fa es la frecuencia acumulada hasta antes del depende de la unidad de medida fi utilizada, pues la media y la desviación intervalo mediano. típica se ven afectadas igualmente.

El CV suele darse en fi es la frecuencia absoluta del intervalo 2) En el ejemplo, la cantidad de datos es 50, luego 50: 2 = 25, y la Fa 25 se s mediano. .100 encuentra en el intervalo [75 – 80) ya que el 25 está aquí, en cambio en la porcentajes: CV  x A es la Amplitud del[75 intervalo. anterior (18) no está. Luego el intervalo mediano es – 80) 3) Un CV mayor del 30% indica que la media es poco representativa Entonces: L = 75 (límite inferior) como medida del promedio, fi = 8 debiéndose optar por la mediana o la moda.

A = 5 (80 – 75 = 5) Fa = 18 (frecuencia acumulada del intervalo anterior)

 50    18 ·5 2   75  7·5  75  4.375  79.375  79ptos Me  75   8 8

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Para calcular La Mediana necesitamos la siguiente fórmula:

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Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ y finalmente, para calcular la Moda en datos agrupados, utilizamos la siguiente fórmula, teniendo presente que la clase modal es la que tiene mayor frecuencia, y esta es la Frecuencia Modal.

Mo  L 

d1 ·A d1  d 2

L: Límite real inferior de la clase modal. d1: es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia anterior.

d2: es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia siguiente.

L = 80 (intervalo modal [80 – 85), ya que la frecuencia es 16, que es la A: amplitud del intervalo mayor) d1= 16 – 12 = 4 (diferencia con la frecuencia anterior) d2= 16 – 4 = 12 (diferencia con la frecuencia siguiente) A=5 Luego,

Mo  80 

4 20 · 5  80   81,25 4  12 16

puntos.  81

puntos.

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Se estima que el valor más repetido de los puntajes de esta prueba fue el 81.

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Índice Ficha I – Nociones básicas sobre conjuntos _________________________________________________________ 3 1. Inclusión de conjuntos: ______________________________________________________________________________ 2. Unión de conjuntos: _________________________________________________________________________________ 3. Intersección de conjuntos ____________________________________________________________________________ 4. Diferencia de conjuntos ______________________________________________________________________________ 5. Conjunto complemento: _____________________________________________________________________________ Las Leyes de De Morgan: ________________________________________________________________________________

3 3 3 3 3 3

Ficha II – Problemas de conteo___________________________________________________________________ 5 Técnicas de conteo: _____________________________________________________________________________________ 5 Principio de Multiplicación y adición: _____________________________________________________________________ 5

Ficha III – Probabilidad ________________________________________________________________________ 7 DEFINICIÓN DE LAPLACE: _________________________________________________________________________________ 7 Suceso complementario, excluyente e independiente __________________________________________________________ 8 Propiedades de la probabilidad: __________________________________________________________________________ 8 Probabilidad condicionada _____________________________________________________________________________ 10 Combinatoria: ________________________________________________________________________________________ 11 ARREGLOS ____________________________________________________________________________________________ 12 COMBINACIONES: ______________________________________________________________________________________ 13 Teorema de Probabilidad total y Teorema de Bayes. ________________________________________________________ 14 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: _____________________________________________________________________ 14 TEOREMA DE BAYES:____________________________________________________________________________________ 14 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ________________________________________________________________________________ 16

Producto cartesiano, relación y función ___________________________________________________________________ Álgebra de funciones polinómicas ________________________________________________________________________ TEOREMA DEL RESTO O TEOREMA DE D’ALEMBERT:____________________________________________________________ ESQUEMA DE RUFFINI ___________________________________________________________________________________ TEOREMA DE DESCARTES: ________________________________________________________________________________ TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL __________________________________________________________________ TEOREMA: RELACIÓN ENTRE COEFICIENTES Y RAÍCES: __________________________________________________________ TEOREMAS: RAÍCES COMUNES A DOS FUNCIONES POLINÓMICAS ___________________________________________________

17 18 19 20 21 22 23 23

Ficha V – Número Complejo____________________________________________________________________ 26 DEFINICIÓN: __________________________________________________________________________________________ Operaciones con números complejos _____________________________________________________________________ FORMAS DE DEFINIR UN COMPLEJO: _________________________________________________________________________ POTENCIA DE UN COMPLEJO ______________________________________________________________________________ RAÍZ N- ÉSIMA EN FORMA POLAR: __________________________________________________________________________ Ecuaciones y Funciones Complejas. ______________________________________________________________________

26 27 27 28 28 29

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Ficha IV – Funciones polinómicas _______________________________________________________________ 17

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Repartido de matemática – 5to año Núcleo Común Prof. Alejandro Oyhenart _______________________________________________________________________________________________ Ficha VI – Potencia y Logaritmo ________________________________________________________________ 30 Ecuación Potencial ____________________________________________________________________________________ DEFINIMOS: ___________________________________________________________________________________________ PROPIEDADES: _________________________________________________________________________________________ Ecuación Logarítmica __________________________________________________________________________________ DEFINICIÓN: __________________________________________________________________________________________ PROPIEDADES _________________________________________________________________________________________ Función exponencial ___________________________________________________________________________________ Función logarítmica. ___________________________________________________________________________________

30 30 30 31 31 31 33 34

Inecuaciones _________________________________________________________________________________ 35 Ficha VII – Geometría analítica. ________________________________________________________________ 36 ¿QUÉ ES EL PLANO CARTESIANO? __________________________________________________________________________ DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO: __________________________________________________________________ COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO EN EL PLANO: ______________________________________________________________ COORDENADAS DE UN VECTOR ____________________________________________________________________________ Ecuación de la recta en el plano: _________________________________________________________________________ PARALELISMO ENTRE RECTAS: ____________________________________________________________________________ PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS: _______________________________________________________________________ Ecuación de la circunferencia ___________________________________________________________________________ ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA: ________________________________________________________________ TANGENTE POR UN PUNTO DE UNA LA CIRCUNFERENCIA _________________________________________________________ CÍRCULO: _____________________________________________________________________________________________ Regiones del plano ____________________________________________________________________________________

36 37 38 39 40 42 43 44 44 45 45 46

Recolección de datos ___________________________________________________________________________________ Organización de los datos _______________________________________________________________________________ TABULACIÓN: _________________________________________________________________________________________ GRÁFICOS: ____________________________________________________________________________________________ Análisis y medición de datos ____________________________________________________________________________ MEDIDAS DE POSICIÓN: __________________________________________________________________________________ MEDIDAS DE DISPERSIÓN: ________________________________________________________________________________ Media, varianza y desviación estándar _____________________________________________________________________ Cálculos de estadígrafos en datos tabulados ________________________________________________________________ Coeficiente de variación (C.V.) __________________________________________________________________________

47 48 48 52 54 54 56 56 57 57

Índice _______________________________________________________________________________________ 59

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Ficha VIII - Estadística _______________________________________________________________________ 47

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