Esercizi sulle Disequazioni Esercizio 1 Trova le soluzioni alle seguenti disequazioni: 1.1) x2 −1 > 0 1.2)
2− x ≤0 x+4
1.3)
x2 −1 3 < x+3 x+3
1.4)
x2 − 6x + 9 <0 x 2 ( x 2 + 4 x + 4)
1.5)
x 2 ( x 2 + 10 x + 25)( x 2 + 6 x + 9) ≥ 0
1.6)
2x − 3 1 1 > + 2 x − 25 x − 5 x + 5
1.7)
8 x 2 + 4 x − 14 <2 4x2 −1
1.8)
x +1 >0 x − 3x + 1
1.9)
− x 2 + 3x − 10 >0 x3 + x
2
Esercizio 2 Trova le soluzioni alle seguenti disequazioni: x2 − 4 2.1) ≥ x +1 x −1 2.2)
x2 + 2x − 3 ≥ x +1 x+3
2.3)
x 2 − 3 x − 18 ≤0 x 2 − 12 x + 32
:
1
2.4)
x 2 − 12 x + 32 >0 x 2 − 3x − 18
2.5)
x 2 − 12 x + 32 >0 x2 + 9
2.6)
x −1 > x −3 x−6
2.7)
x3 + 2x − 3 ≥ x 2 + 5x − 1 x+3
2.8)
x3 − 4 ≥ x 2 + 3x −1 x −1
2.9)
x3 + 2x − 3 ≥ x2 + 6x − 4 x+3
Esercizio 3 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni 3.1)
3.2)
3.3)
3.4)
3.5)
3.6)
x+ 2 > 3 2 x − 1 > x + 5 ( x + 2)( x − 1) >0 3 1 3 x + 1 < x −1 2 2 1+ x ≥0 1− x 2 x(3 − x ) ≤ 0 x 2 − x − 2 ≥ 0 2 16 − x > 0 x +1 x −1 2 − 3 >0 3x + 1 −1 > 0 3 x + 2 > −5 x − 1 x 2 − 6 x + 5 > 0 2 x − 2x − 3 < 0 x2 − 4 > 0
2
Soluzioni Al fine di risolvere le disequazione sarà spesso utile trasformarle in altre ad esse equivalenti. Queste trasformazioni possono essere effettuate utilizzando i due principi di equivalenza per le disequazioni che ricordiamo: I Principio: sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa quantità si ottiene un’altra disequazione equivalente alla data. II Principio: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa quantità positiva si ottiene un’altra disequazione equivalente alla data; moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa quantità negativa si ottiene un’altra disequazione equivalente alla data se si cambia il verso della disuguaglianza. Esercizio 1 1.1)
Consideriamo la disequazione x2 −1 > 0
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo in binomio e avremo x 2 − 1 > 0 ⇒ ( x − 1)( x + 1) > 0 quindi studieremo la disequazione nella forma ( x − 1)( x + 1) > 0 . Avremo x − 1 > 0 per x + 1 > 0 per
–1
x >1 x > −1
+
1 –
+
La soluzione sarà quindi x < −1 1.2)
e
x >1
Consideriamo la disequazione 2− x ≤ 0. x+4
Avremo 2 − x ≤ 0 per x + 4 < 0 per
− 2 + x ≥ 0 per x < −4
–4
x≥2 – 3
2
+
–
La soluzione sarà quindi x < −4 1.3)
e x≥2
Consideriamo la disequazione x2 −1 3 < x+3 x+3
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x 2 −1 3 x 2 −1 3 x 2 −1 − 3 x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) < ⇒ − <0⇒ <0⇒ <0⇒ <0 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 quindi studieremo la disequazione nella forma ( x − 2)( x + 2) < 0. x+3 Avremo x − 2 < 0 per
x<2
x + 2 < 0 per x + 3 < 0 per
x < −2 x < −3
–2
–3
–
+
2
–
+
La soluzione sarà quindi x < −3 1.4)
e −2< x< 2
Consideriamo la disequazione x2 − 6x + 9 <0 x 2 ( x 2 + 4 x + 4)
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. •
Numeratore: x 2 − 6 x + 9 x1, 2 =
6 ± 36 − 4 ⋅ 9 6± 0 6±0 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1 = x 2 = 3 2 2 2
4
quindi x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 . Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente. •
Denominatore: x 2 ( x 2 + 4 x + 4) . Scomponiamo il secondo fattore x1, 2 =
− 4 ± 16 − 4 ⋅ 4 −4± 0 −4±0 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1 = x2 = −2 2 2 2
quindi
x 2 + 4 x + 4 = (x + 2)2 . Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente. Studieremo allora la disequazione nella forma ( x − 3) 2 < 0. x 2 ( x + 2) 2 Avremo ( x − 3) 2 < 0 per nessun val ore di x x2 < 0
per nessun val ore di x
( x + 2) 2 < 0 per nessun val ore di x Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto non sarà mai negativo quindi questa disequazione NON AMMETTE SOLUZIONI. 1.5)
Consideriamo la disequazione x 2 ( x 2 + 10 x + 25)( x 2 + 6 x + 9) ≥ 0
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore. •
x 2 + 10 x + 25 x1, 2 =
− 10 ± 100 − 4 ⋅ 25 − 10 ± 0 − 10 ± 0 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1 = x2 = −5 2 2 2
quindi
5
x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5) 2 . Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente. •
x2 + 6x + 9 x1, 2 =
− 6 ± 36 − 4 ⋅ 9 −6± 0 −6±0 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1 = x2 = −3 2 2 2
quindi x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) 2 . Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente. Studieremo allora la disequazione nella forma x 2 ( x + 5) 2 ( x + 3) 2 ≥ 0 . Avremo x2 ≥ 0
per ogni valore di x
( x + 5) ≥ 0 per ogni valore di x 2
( x + 3) 2 ≥ 0 per ogni valore di x Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto sarà sempre positivo quindi questa disequazione E’ SEMPRE VERIFICATA. 1.6)
Consideriamo la disequazione 2x − 3 1 1 < + 2 x − 25 x − 5 x + 5
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli 2x − 3 1 1 2x − 3 1 1 2 x − 3 − ( x + 5) − ( x − 5) > + ⇒ − − >0⇒ >0⇒ 2 x − 25 x − 5 x + 5 ( x − 5)( x + 5) x − 5 x + 5 ( x − 5)( x + 5) ⇒
2x − 3 − x − 5 − x + 5 −3 > 0⇒ >0 ( x − 5)( x + 5) ( x − 5)( x + 5)
quindi studieremo la disequazione nella forma −3 > 0. ( x − 5)( x + 5) 6
Avremo −3 > 0
per nessun val ore di x
x −5 > 0 x+5 > 0
per per
5
–5
x>5 x > −5
–
+
–
La soluzione sarà quindi −5 < x < 5 1.7)
Consideriamo la disequazione
8 x 2 + 4 x − 14 <2 4x 2 −1 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli 8 x 2 + 4 x − 14 8 x 2 + 4 x − 14 8 x 2 + 4 x − 14 − 2(4 x 2 − 1) < 2 ⇒ − 2 < 0 ⇒ <0⇒ 4x2 −1 4x 2 −1 4x 2 −1 ⇒
8 x 2 + 4 x − 14 − 8 x 2 + 2 4 x − 12 4( x − 3) x −3 <0⇒ 2 <0⇒ <0⇒ <0 2 4x −1 4x −1 (2 x − 1)(2 x + 1) (2 x − 1)(2 x + 1)
quindi studieremo la disequazione nella forma x −3 < 0. (2 x − 1)(2 x + 1) Avremo x −3 < 0
per x < 3
2x −1 < 0
per
x<
2x +1 < 0
per
x<−
1 2 –
1 2
+
La soluzione sarà quindi x<− 1.8)
3
1/2
– 1/2
1 2
e
Consideriamo la disequazione 7
1 < x<3 2
–
+
x +1 >0 x − 3x + 1 2
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio al denominatore. •
Denominatore: x 2 − 3 x + 1 .
x1, 2
3− 5 ≈ 0,38 x1 = 3± 9 −4 3± 5 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 x = 3 + 5 ≈ 2,62 2 2
quindi
3 − 5 3 5 x − + x 2 − 3 x + 1 = x − 2 . 2 Studieremo allora la disequazione nella forma x +1 ≥0. 3 − 5 3 + 5 x − x − 2 2
Avremo x +1 > 0 3− 5 >0 x − 2 35 5 >0 x − 2
per x > −1 per
x>
3− 5 2
per
x>
3+ 5 2
3− 5 2
–1
–
+
La soluzione sarà quindi
−1 ≤ x < 1.9)
3− 5 2
e
x>
Consideriamo la disequazione
− x 2 + 3x − 10 >0 x3 + x
8
3+ 5 2
3+ 5 2
–
+
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi al numeratore e al denominatore •
Numeratore: − x 2 + 3x − 10 = − ( x 2 − 3x + 10) x1, 2 =
3 ± 9 − 4 ⋅10 3 ± − 31 ⇒ x1, 2 = 2 2
Abbiamo quindi che ∆ < 0 . Quando ∆ < 0 il trinomio di secondo grado è sempre positivo se il coefficiente di x 2 è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di x 2 è negativo. Nel nostro caso il trinomio è x 2 − 3 x + 10 e quindi il coefficiente di x 2 è 1 che è positivo, quindi il trinomio x 2 − 3 x + 10 è positivo per ogni valore di x e di conseguenza − ( x 2 − 3x + 10) sarà negativo per ogni valore di x . •
Denominatore: x 3 + x x 3 + x = x( x 2 + 1) .
Studieremo allora la disequazione nella forma − ( x 2 − 3 x + 10) >0. x( x 2 + 1) Avremo − ( x 2 − 3 x + 10) > 0 per nessun val ore di x x>0 per x > 0 x2 +1 > 0
per ogni valore di x
0
+
–
La soluzione sarà quindi x<0
Esercizio 2 2.1)
Consideriamo la disequazione x2 − 4 ≥ x +1 x −1
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
9
x2 − 4 x2 − 4 x 2 − 4 − ( x + 1)( x − 1) ≥ x +1 ⇒ − ( x + 1) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x −1 x −1 x −1 ⇒
x 2 − 4 − ( x 2 − 1) x2 − 4 − x2 +1 −3 ≥0⇒ ≥0⇒ ≥0 x −1 x −1 x −1
quindi studieremo la disequazione nella forma −3 ≥0. x −1 Avremo −3≥ 0 x −1 > 0
1
per nessun val ore di x per x > 1
+
–
La soluzione sarà quindi
x <1 2.2)
Consideriamo la disequazione x2 + 2x − 3 ≥ x +1 x+3
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x2 + 2x − 3 x2 + 2x − 3 x 2 + 2 x − 3 − ( x + 1)( x + 3) ≥ x +1 ⇒ − ( x + 1) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 x+3 ⇒
x 2 + 2 x − 3 − ( x 2 + 3 x + x + 3) x2 + 2x − 3 − x2 − 4x − 3 − 2x − 6 ≥0⇒ ≥0⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 x+3
⇒
− 2( x + 3) ≥ 0 ⇒ −2 ≥ 0 x+3
quindi studieremo la disequazione nella forma −2 ≥ 0 ma siccome – 2 non può essere positivo questa disequazione non ammette soluzione. 2.3)
Consideriamo la disequazione
10
x 2 − 3 x − 18 ≤0 x 2 − 12 x + 32 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. •
Numeratore: x 2 − 3 x − 18 x1, 2 =
3 ± 9 − 4 ⋅ (−18) 3 ± 81 3 ± 9 x1 = −3 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2 x2 = 6
quindi x 2 − 3x − 18 = ( x + 3)( x − 6) . •
Denominatore: x 2 − 12 x + 32 x1, 2 =
12 ± 144 − 4 ⋅ 32 12 ± 16 12 ± 4 x1 = 4 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2 x2 = 8
quindi x 2 − 12 x + 32 = ( x − 4)( x − 8) . Studieremo allora la disequazione nella forma ( x + 3)( x − 6) ≤ 0. ( x − 4)( x − 8) Avremo x+3≤0 x−6 ≤ 0 x−4<0 x −8 < 0
per per per per
x ≤ −3 x≤6 x<4
–3
4
8
x <8 +
–
e
6≤ x<8
La soluzione sarà quindi
2.4)
6
−3≤ x < 4 .. Consideriamo la disequazione
11
+
–
+
x 2 − 12 x + 32 >0 x 2 − 3x − 18 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. •
Numeratore: x 2 − 12 x + 32 x1, 2 =
12 ± 144 − 4 ⋅ 32 12 ± 16 12 ± 4 x1 = 4 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2 x2 = 8
quindi x 2 − 12 x + 32 = ( x − 4)( x − 8) . •
Denominatore: x 2 − 3 x − 18 x1, 2 =
3 ± 9 − 4 ⋅ (−18) 3 ± 81 3 ± 9 x1 = −3 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2 x2 = 6
quindi x 2 − 3x − 18 = ( x + 3)( x − 6) . Studieremo allora la disequazione nella forma ( x − 4)( x − 8) > 0. ( x + 3)( x − 6) Avremo x−4>0 x −8 > 0 x+3> 0
per per per
x−6 >0
per
x>4 x >8
–3
x > −3 x>6
+
4
–
La soluzione sarà quindi x < −3 2.5)
4< x<6
.. Consideriamo la disequazione
12
x >8
6
+
8
–
+
x 2 − 12 x + 32 >0 x2 + 9 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio del numeratore e analizziamo quello al denominatore. •
Numeratore: x 2 − 12 x + 32 x1, 2 =
12 ± 144 − 4 ⋅ 32 12 ± 16 12 ± 4 x1 = 4 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2 x2 = 8
quindi x 2 − 12 x + 32 = ( x − 4)( x − 8) . •
Denominatore: x 2 + 9 . In questo caso il denominatore è sempre positivo perché non si annulla mai e qualunque valore si sostituisca troviamo sempre un numero positivo. In generale, un polinomio del tipo x 2 + a , con a positivo è sempre positivo.
Studieremo allora la disequazione nella forma ( x − 4)( x − 8) > 0. x2 + 9 Avremo x−4>0 x −8 > 0
per per
x>4 x >8
4
8
x 2 + 9 > 0 per ogni valore di x +
–
+
La soluzione sarà quindi x<4
e x>8
.. 2.6)
Consideriamo la disequazione x −1 > x −3 x−6
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli
13
x −1 x −1 x − 1 − ( x − 3)( x − 6) x − 1 − ( x 2 − 6 x − 3x + 18) > x −3⇒ − ( x − 3) > 0 ⇒ >0⇒ >0⇒ x−6 x−6 x−6 x−6 ⇒
x − 1 − x 2 + 9 x − 18 − x 2 + 10 x − 19 − ( x 2 − 10 x + 19) x 2 − 10 x + 19 >0⇒ >0⇒ >0⇒ < 0. x−6 x−6 x−6 x−6
A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: x 2 − 10 x + 19 x1, 2 =
x = 5 − 6 ≈ 2,55 10 ± 100 − 4 ⋅19 10 ± 24 10 ± 2 6 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = 5 ± 6 ⇒ 1 2 2 2 x2 = 5 + 6 ≈ 7,45
quindi x 2 − 10 x + 19 = ( x − (5 − 6 ))( x − (5 + 6 )) quindi studieremo la disequazione nella forma ( x − (5 − 6 ))( x − (5 + 6 )) < 0. x−6 Avremo x − (5 − 6 ) < 0
per
5− 6 4
x < (5 − 6 )
x − (5 + 6 ) < 0 per x < (5 + 6 ) x−6 < 0 per x < 6
–
5+ 6 4
6
+
–
+
La soluzione sarà quindi x < 5− 6 2.7)
6< x < 5+ 6
e
Consideriamo la disequazione x3 + 2x − 3 ≥ x 2 + 5x − 1 x+3
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x3 + 2x − 3 x3 + 2x − 3 x 3 + 2 x − 3 − ( x 2 + 5 x − 1)( x + 3) 2 2 ≥ x + 5x − 1 ⇒ − ( x + 5 x − 1) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 x+3
14
x 3 + 2 x − 3 − ( x 3 + 3 x 2 + 5 x 2 + 15 x − x − 3) x 3 + 2 x − 3 − x 3 − 8 x 2 − 14 x + 3 ≥0⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 − 8 x 2 − 12 x − 4 x(2 x + 3) ⇒ ≥0⇒ ≥0 x+3 x+3 ⇒
quindi studieremo la disequazione nella forma − 4 x(2 x + 3) ≥0. x+3 Avremo −4 ≥ 0 x≥0
per nessun val ore di x per x ≥ 0 3 2 x + 3 ≥ 0 per x ≥ − 2 x + 3 > 0 per x > −3
–3
+
– 3/2
–
0
+
–
La soluzione sarà quindi
x < −3
2.8)
e −
3 ≤x≤0 2
Consideriamo la disequazione x3 − 4 ≥ x 2 + 3x −1 x −1
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x3 − 4 x3 − 4 x 3 − 4 − ( x 2 + 3 x − 1)( x − 1) 2 2 ≥ x + 3x −1 ⇒ − ( x + 3x − 1) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x −1 x −1 x −1 x 3 − 4 − ( x 3 − x 2 + 3x 2 − 3 x − x + 1) x3 − 4 − x3 − 2x 2 + 4x −1 ⇒ ≥0⇒ ≥0⇒ x −1 x −1 − 2x2 + 4 x − 5 − (2 x 2 − 4 x + 5) 2x2 − 4x + 5 ⇒ ≥0⇒ ≥0⇒ ≤0 x −1 x −1 x −1 A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: 2 x 2 − 4 x + 5
15
x1, 2 =
4 ± 16 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 4 ± − 24 ⇒ x1, 2 = . 4 4
Abbiamo quindi che ∆ < 0 . Quando ∆ < 0 il trinomio di secondo grado è sempre positivi se il coefficiente di x 2 è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di x 2 è negativo. Nel nostro caso il coefficiente di x 2 è 2 che è positivo, quindi il trinomio 2 x 2 − 4 x + 5 è positivo per ogni valore di x . Quindi studieremo la disequazione nella forma 2x2 − 4 x + 5 ≤0 x −1 e avremo 1
2x − 4 x + 5 < 0 2
per nessun val ore di x
x −1 < 0
per
x <1
–
+
La soluzione sarà quindi x <1 2.9)
Consideriamo la disequazione x3 + 2x − 3 ≥ x2 + 6x − 4 x+3
e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x3 + 2x − 3 x3 + 2x − 3 x 3 + 2 x − 3 − ( x 2 + 6 x − 4)( x + 3) ≥ x2 + 6x − 4 ⇒ − ( x 2 + 6 x − 4) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 x+3 x 3 + 2 x − 3 − ( x 3 + 3x 2 + 6 x 2 + 18 x − 4 x − 12) x 3 + 2 x − 3 − x 3 − 9 x 2 − 14 x + 12 ≥0⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 − 9 x 2 − 12 x + 9 − 3(3x 2 + 4 x − 3) ⇒ ≥0⇒ ≥0 x+3 x+3 ⇒
A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: 3 x 2 + 4 x − 3 x1, 2 =
− 4 ± 16 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−3) − 4 ± 52 − 4 ± 2 13 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 6 6 6
16
x ⇒ x1, 2
− 2 − 13 ≈ −1,87 x1 = − 2 ± 13 3 = ⇒ 3 x = − 2 + 13 ≈ 0,54 2 3
quindi − 2 − 13 − 2 + 13 x − 3 x 2 + 4 x − 3 = 3 x − 3 3 e avremo − 2 − 13 − 2 + 13 x − − 3 ⋅ 3 x − 2 3 3 − 3(3 x + 4 x − 3) ≥0⇒ ≥0 x +3 x +3
e quindi studieremo la disequazione nella forma − 2 − 13 − 2 + 13 x − − 9 x − 3 3 ≥ 0. x+3
Avremo −9 ≥ 0
per nessun val ore di x
− 2 − 13 ≥0 x − per 3 − 2 + 13 ≥0 x − per 3 x + 3 > 0 per x > −3
− 2 − 13 x≥ 3 x≥
− 2 + 13 3
+
La soluzione sarà quindi
x ≤ −3
e
− 2 − 13 − 2 + 13 ≤x≤ 3 3
Esercizio 3 3.1)
Consideriamo il seguente sistema
17
− 2 + 13 3
− 2 − 13 3
–3
–
+
–
x+ 2 > 3 2 x − 1 > x + 5 e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1. x + 2 > 3 x + 2 > 3 ⇒ x > 3 −1 ⇒ x > 2 quindi la soluzione della prima disequazione è
x>2 2. 2 x − 1 > x + 5 2x −1 > x + 5 ⇒ 2x − x > 5 + 1 ⇒ x > 6 quindi la soluzione della seconda disequazione è
x>6 Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente 1
x >1 x > 6
6
quindi la soluzione del sistema è
x>6 3.2)
Consideriamo il seguente sistema ( x + 2)( x − 1) >0 3 1 3 x + 1 < x −1 2 2
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1.
( x + 2)( x − 1) >0 3
18
( x + 2)( x − 1) > 0 ⇒ ( x + 2)( x − 1) > 0 . 3 Studiamo la disequazione nella forma ( x + 2)( x − 1) > 0 e avremo x+2>0 x −1 > 0
per per
–2
x > −2 x >1
+
1 –
+
quindi la soluzione della prima disequazione è
x < −2
2.
e
x >1
1 3 x + 1 < x −1 2 2 1 3 1 3 x − 3x − 2x x + 1 < x − 1 ⇒ x − x < −1 − 1 ⇒ < −2 ⇒ < −2 ⇒ − x < −2 ⇒ x > 2 2 2 2 2 2 2
quindi la soluzione della seconda disequazione è
x>2 Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente x < −2 e x > 1 x>2
–2
quindi la soluzione del sistema è
x>2 3.3)
Consideriamo il seguente sistema 1+ x ≥0 1− x 2 x(3 − x ) ≤ 0
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo
19
1
2
1+ x ≥0 1− x
1.
Avremo 1+ x ≥ 0
per
x ≥ −1
1− x > 0
per
−1 + x < 0
–1 per
x <1
1
–
+
–
quindi la soluzione della prima disequazione è
−1 ≤ x < 1 2. 2 x(3 − x ) ≤ 0 2 x(3 − x ) ≤ 0 ⇒ x(3 − x) ≤ 0 . Studiamo la disequazione nella forma x (3 − x ) ≤ 0 . Avremo x ≤ 0 per x ≤ 0 3 − x ≤ 0 per − 3 + x ≥ 0
0 per
x≥3
3
–
+
–
quindi la soluzione della seconda disequazione è
x≤0
e
x≥3
Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente −1 ≤ x < 1 x ≤ 0 e x ≥ 3
–1
quindi la soluzione del sistema è
−1 ≤ x ≤ 0 3.4)
Consideriamo il seguente sistema x 2 − x − 2 ≥ 0 2 16 − x > 0
20
0
1
3
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1. x 2 − x − 2 ≥ 0 . Scomponiamo il trinomio x 2 − x − 2 x1, 2 =
1 ± 1 − 4 ⋅ (−2) 1± 9 1 ± 3 x1 = −1 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2 x2 = 2
quindi x 2 − x − 2 = ( x + 1)( x − 2) . Studieremo quindi la disequazione nella forma ( x + 1)( x − 2) ≥ 0 . Avremo x +1 ≥ 0 x−2≥0
per per
–1
x ≥ −1 x≥2
2
+
–
+
quindi la soluzione della prima disequazione è
x ≤ −1
e
x≥2
2. 16 − x 2 > 0 . 16 − x 2 > 0 ⇒ (4 − x )(4 + x) > 0 quindi studiamo la disequazione nella forma (4 − x)(4 + x ) > 0 e avremo –4 4− x > 0 4+ x > 0
per per
−4+ x < 0 x > −4
per
4
x<4 –
la soluzione della seconda disequazione è
−4 < x < 4 Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente
21
+
–
x ≤ −1 e x ≥ 2 −4< x< 4
–4
–1
2
4
quindi la soluzione del sistema è
− 4 < x ≤ −1 3.5)
e
2≤x<4
Consideriamo il seguente sistema x +1 x −1 2 − 3 >0 3x + 1 −1 > 0 3 x + 2 > −5 x − 1
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1.
x +1 x −1 − >0 2 3 x +1 x −1 3( x + 1) − 2( x − 1) − >0⇒ > 0 ⇒ 3x + 3 − 2 x + 2 > 0 ⇒ x + 5 > 0 ⇒ x > −5 2 3 6
quindi la soluzione della prima disequazione è
x > −5
2.
3x + 1 −1 > 0 3 3x + 1 3x + 1 − 3 2 −1 > 0 ⇒ > 0 ⇒ 3x − 2 > 0 ⇒ x > 3 3 3
quindi la soluzione della seconda disequazione è 2 3
x> 3. x + 2 > −5 x − 1
22
x + 2 > −5 x − 1 ⇒ x + 5 x > −1 − 2 ⇒ 6 x > −3 ⇒ x > −
1 2
quindi la soluzione della terza disequazione è x>−
1 2
Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente x > −5 2 x> 3 x > − 1 2
–5
– 1/2
2/3
quindi la soluzione del sistema è 2 3
x>
3.6)
Consideriamo il seguente sistema x 2 − 6 x + 5 > 0 2 x − 2x − 3 < 0 x2 − 4 > 0
e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1. x 2 − 6 x + 5 > 0 . Scomponiamo il trinomio x 2 − 6 x + 5 x1, 2 =
6 ± 36 − 4 ⋅ 5 6 ± 16 6 ± 4 x1 = 1 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2 x2 = 5
quindi x 2 − 6 x + 5 = ( x − 1)( x − 5) . Studieremo quindi la disequazione nella forma ( x − 1)( x − 5) > 0 .
23
Avremo x −1 > 0
per
x >1
x −5 > 0
per
x>5
1
5
+
–
+
quindi la soluzione della prima disequazione è
x <1
x>5
e
2. x 2 − 2 x − 3 < 0 Scomponiamo il trinomio x 2 − 2 x − 3 x1, 2 =
2 ± 4 − 4 ⋅ (−3) 2 ± 16 2 ± 4 x1 = −1 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2 x2 = 3
quindi x 2 − 2 x − 3 = ( x + 1)( x − 3) . Studieremo quindi la disequazione nella forma ( x + 1)( x − 3) < 0 . Avremo x +1 < 0 x −3 < 0
per per
–1
x < −1 x<3
+
3 –
+
quindi la soluzione della seconda disequazione è
−1 < x < 3 3.. x 2 − 4 > 0 . x 2 − 4 > 0 ⇒ ( x − 2)( x + 2) > 0 quindi studiamo la disequazione nella forma ( x − 2)( x + 2) > 0 e avremo x−2>0 x+2>0
per per
x>2 x > −2
–2 + 24
2 –
+
la soluzione della terza disequazione è
x < −2
e
x>2
Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente x <1 e x > 5 −1 < x < 3 x < −2 e x > 2
–2 –1
1
2 3
5
Poiché nessun intervallo soddisfa tutte e tre le disequazioni contemporaneamente il sistema NON AMMETTE SOLUZIONE.
25