Кінематичне дослідження руху небесних тіл

Воронкін О. С. Кінематичне дослідження руху небесних тіл за допомогою математичного пакету MathCad / О.С. Воронкін, А. В. Тимченко // Актуальные вопросы теоретической и прикладной биофизики, физики и химии : матер. VI междунар. науч.-техн. конф. БФФХ-2010, Севастополь, 26-30 апр. 2010 г. – Севастополь, 2010. – С. 371-373.

УДК 681.3 О.С. Воронкін, старший викладач А.В. Тимченко, студент Луганський державний інститут культури і мистецтв, вул. Червона площа, 7, м. Луганськ, Україна, 91055 http://lgiki.com.ua/uk/; E-mail: alex.voronkin@gmail.com КІНЕМАТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ НЕБЕСНИХ ТІЛ ЗА ДОПОМОГОЮ МАТЕМАТИЧНОГО ПАКЕТУ MATHCAD Математичні моделі, що представляють собою системи рівнянь, зустрічаються в математичній економіці, біології, електроніці, фізиці тощо. При вивченні руху небесних тіл та їхніх орбіт, дослідженні траєкторій часто виникає питання можливого зіткнення тіл при перетинанні їхніх траєкторій. Такими питаннями займається небесна механіка, що враховує їхнє тяжіння, збурення й масу, внаслідок чого при зближенні двох тіл може змінитися орбіта одного з них. Але ми не будемо ставити задачу в такому загальному виді й враховувати взаємний вплив тіл. Відомо, що кінематика вивчає механічний рух матеріальних об'єктів з геометричної точки зору. Механічним рухом називається процес безперервної зміни положення тіл або їхніх точок у просторі відносно один одного [1]. Об'єктами вивчення кінематики є матеріальна точка й абсолютно тверде тіло. Абсолютно твердим тілом називається система матеріальних точок, відстані між якими залишаються незмінними в будь-який момент часу. Положення точки або тіла в просторі визначається за допомогою системи координат – системи відліку, незмінно пов'язаної з іншим тілом (тілом відліку). Змоделюємо задачу, для чого небесні тіла будемо вважати матеріальними точками (припустимо, що їхні розміри в багато разів менше, ніж відстань між ними) та визначимо траєкторії їхніх орбіт. В такий спосіб ми зводимо задачу до питань кінематики точки. В зв'язку з тим, що останнім часом глобального поширення набуває розвиток інформаційних технологій та математичних програмних пакетів (MathCad, Mathematica, Maple, Matlab), що розроблюються різними фірмами подальший кінематичний аналіз проведемо за допомогою програми MathCad [2, 3]. x = 4 + 3 sin t

Розглянемо матеріальні точки А і М, рух яких задано рівняннями:  і  y = 2 + 3 cos t  x = 10 sin t − 3 .   3 cos t + 8 y =  4

Визначимо траєкторії їхнього руху, розглянемо питання можливості зіткнення

точок і знайдемо координати точок зіткнення. У початковий момент часу при t=0 координати точок: A (4; 5) й В (-3; 11). Для визначення траєкторій точок А і М, які рухаються за заданими законами, виключимо з рівнянь руху час, для чого виразимо тригонометричні функції часу, зведемо кожне рівняння в квадрат і складаючи їх за членами знайдемо, що траєкторією першої матеріальної точки А є коло із центром у точці з координатами (4; 2) і радіусом 3, траєкторією другої є еліпс із центром у − 13 ≤ x ≤ 7 1 ≤ x ≤ 7 й  5 . − 1 ≤ y ≤ 5  ≤ y ≤ 11

точці (-3; 2) [4]. Областю припустимих значень є: 

 4

 x−4 sin t = 3  y−2  cos t = 3  sin t = x + 3  10  4 cos t = y − 8  3

;

 x−4 ) t = arcsin( 3  y−2  t = arccos( 3 ) ;  t = arcsin( x + 3 )  10  4 t = arccos( y − 8 )  3

 ( x − 4) 2 ( y − 2) 2 + =1   32 32  2 (4 y − 8) 2  ( x + 3) + = 1.  10 2 32 

4

(1)

Отримані результати повністю збігаються із траєкторіями руху, побудованими в MathCad 13 (рис. 1). Із графіка видно, що траєкторія еліпса перетинає траєкторію кола в трьох точках. Дійсно, з розрахунків наведених на рис. 2,а видно, що система рівнянь (1) є сумісною й має 3 розв’язки: (7; 2), (1,079; 2,685) і (1,079; 1,315). Однак зіткнення двох точок можливо лише тоді, коли x − 4 = x + 3 й y − 2 = 4 y − 8 . Запишемо ці додаткові умови в блок 3

10

3

3

Given/Find і знайдемо координати зіткнення двох точок (рис. 2,б). Цими координатами є х=7, у=2, виразивши час t з рівнянь системи (1) знайдемо, що зіткнення відбудеться в момент часу π t = с.

2

Рисунок 1 – Траєкторії руху небесних тіл A і М

а б Рисунок 2 – Вікна MathCad, що містять розв’язок системи рівнянь (а) та пошук координат точки зіткнення двох небесних тіл (б)

υА =

Модулі швидкості та прискорення точок А і М відповідно дорівнюють: 3 (3 cos t ) 2 + ( −3 sin t ) 2 , a А = ( −3 sin t ) 2 + ( −3 cos t ) 2 ; υ М = (10 cos t ) 2 + ( − 3 sin t ) 2 , a M = (−10 sin t ) 2 + (− cos t ) 2 (рис. 3),

а в момент часу t =

4

π 2

с υ А = 3 м/c, a А = 3 м/c2, υ M = 3 м/c, aM = 10 м/c2.

4

4

Рисунок 3 – Графік залежності модуля швидкості (─) й прискорення (····) точки М від часу в MathCad

Таким чином було проведено кінематичне моделювання руху тіл в системі MathCad версії 13, а саме побудовані їхні траєкторії, знайдені швидкість й прискорення точок та координати точки зіткнення цих тіл. Значно складнішим завданням є розв’язання задачі небесної механіки, коли необхідно визначити відносний рух трьох тіл, взаємодіючих за законом тяжіння (наприклад Сонця, Землі й Місяця). У загальному випадку не існує розв’язку такої задачі. На сьогоднішній день відомо лише 5 точних розв’язань для спеціальних початкових швидкостей та координат об'єктів. Бібліографічний список 1. Бертяев В. Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум / В. Д. Бертяев. – СПб. : БХВ-Петербург, 2005. – 752 с.

2. Васильев А. Н. Mathcad 13 на примерах / А. Н. Васильев. – СПб. : БХВ-Петербург, 2006. – 528 c.

3. Баракин В. В. Графика MathCad в физике / В. В. Баракин, Л. С. Вертыпорох, П. А. Сухонос // Актуальные вопросы теоретической и прикладной биофизики, физики и химии : материалы V Междунар. науч.-техн. конф. БФФХ – 2009 (Севастополь, 21 – 25 апр. 2009 г.) / М-во образ. и науки Украины, Севастоп. нац. техн. ун-т. – Севастополь : Cевастоп. нац. техн. ун-т, 2009. – С. 252 – 256.

4. Солопахо А. В. Высшая математика. Краткий курс для экономистов : учеб. пос. / А. В. Солопахо. – Тамбов : Тамб. гос. техн. ун-т, 2007. – 112 с.