Exercícios de exame

Ficha de Prepara¸ c˜ ao para Exame

Matem´ atica

12o Ano de Escolaridade

3 paginas

1. Se f : R → R ´e uma fun¸c˜ao deriv´avel tal que ∀x ∈ R, f (x) = −f (−x) ent˜ao pode concluir-se que:

C. f ′(x) = f ′ (−x) D. f ′(x) = −f ′ (−x)

A. f (x) = cos(x) B. f (x) = sen(x)

2. Na figura seguinte est´a a representa¸c˜ao gr´afica de uma fun¸c˜ao f : [0, d] → R Qual das seguintes afirma¸c˜ oes ´e verdadeira?

A. f ′ (x).f ′′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ ]0, a[.

B. f ′ (x).f ′′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ ]a, b[.

C. f ′ (x).f ′′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ ]b, c[.

D. f ′ (x).f ′′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ ]c, d[.

3. Indique o valor de lim

x→+∞

A. 1

B. e

!

"

1 x ln 1 + x

#$

C. +∞

D. −∞

4. Considere as seguintes proposi¸c˜oes relativas a n´umeros complexos: I ∀z ∈ C |Re (z)| ≤ |z| II ∀z, w ∈ C |z + w| ≤ |¯ z | + |w| ¯ III ∀z ∈ C |¯ z | |z| = 1 IV ∀z ∈ C z 2 = |z|2 Ent˜ao pode afirmar-se que:

A. B. C. D.

I, II s˜ ao verdadeiras e III, I, III s˜ ao verdadeiras e II, II, IV s˜ ao verdadeiras e I, I, II, III s˜ ao verdadeiras e

IV s˜ao falsas.

IV s˜ao falsas.

III s˜ao falsas.

IV ´e falsa.

5. Seja 1 a 55 b... parte de uma linha do triˆangulo de Pascal. O valor de b ´e:

Externato Ribadouro

Quest˜ ao 5 continua. . .

1 /3

Ficha de Prepara¸c˜ ao para Exame (cont.)

A. 330

11/06/2012

B. 210

C. 120

6. O termo independente de x no desenvolvimento de A. 6

B. 20

"

1 x+ x

D. 165 #6

C. 1

D. 15

7. Considere a fun¸c˜ao f definida por f (x) = eax − k · ebx , onde a ̸= b e k ∈ R+ Qual das seguintes op¸c˜ oes ´e um zero de f ?

A.

ln(k) a−b

B.

k a−b

C. ea−b

8. Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere w = unidade imagin´ aria.

Se w ´e um imagin´ ario puro, ent˜ ao qual o valor de k?

A. 2

B.

√

2

D. 0

2 − ki (k ∈ R), onde i representa a k−i

C. 0

D. −1

9. Seja S o espa¸co de resultados associado a uma experiˆencia aleat´oria. Sejam A e B dois acontecimentos poss´ıveis (A ⊂ S, B ⊂ S) % & ¯ 9.a. Prove que P (B) ̸= 0, ent˜ao P A/B = 1 − P (A/B)

9.b. O Jo˜ao contraiu uma infe¸c˜ao e o m´edico prescreveu-lhe um f´armaco que tinha 60% de probabilidades de o curar em menos de uma semana, caso o Jo˜ao tomasse durante cinco dias.

No entanto, o Jo˜ ao ´e muito esquecido e tem 20% de probabilidades de n˜ao tomar o f´armaco em todos os dias recomendados. Se o Jo˜ao n˜ao tomar o f´armaco nos cinco dias recomendados, a probabilidade de recuperar em menos de uma semana ´e 10%.

Ao fim de uma semana o Jo˜ ao ainda n˜ao recuperou.

Qual a probabilidade de o Jo˜ ao se ter esquecido de tomar o f´armaco em todos os dias recomendados pelo m´edico?

10. Seja f a fun¸c˜ao definida por f (x) = |x| e−x , x ∈ [−2, 2]

10.a. Mostre que n˜ao existe derivada de f em x = 0.

10.b. Determine os m´aximos e m´ınimos relativos de f e o seu m´aximo absoluto 10.c. Considere g (x) = |x| f (x) 10.c.1. Mostre que existe g′ (0) 10.c.2. Seja P o ponto do gr´afico de g onde a reta tangente ao seu gr´afico ´e paralela `a corda definida pelos pontos de abcissas 2 e −2. Prove que a abcissa de P ´e solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao x (2 − x) e2−x + e4 = 1

11. Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real, definida em R\{0} por: 1

f (x) = e x

11.a. Estude a fun¸c˜ao f quanto `a existˆencia de ass´ıntotas do seu gr´afico.

11.b. Averigue qual o ponto em que a fun¸c˜ao dada decresce mais rapidamente.

12. Seja n um n´umero natural e f a fun¸c˜ao definida por f (x) = senn (x)cos(nx).

12.a. Mostre que f ′(x) = nsenn−1(x)cos((n + 1)x).

Externato Ribadouro

Quest˜ ao 12 continua. . .

2 /3

Ficha de Prepara¸c˜ ao para Exame (cont.)

11/06/2012

12.b. Utilizando m´etodos exclusivamente anal´ıticos, determine os extremos de f no intervalo ]0, 2[, quando n = 2

13. Considere a fun¸c˜ao f , real de vari´avel real, definida por f (x) =

ex − e−x ex + e−x

13.a. Mostre que f ´e estritamente crescente.

13.b. Determine as ass´ıntotas horizontais do gr´afico de f 13.c. Recorra a`s al´ıneas anteriores para concluir que ∀x ∈ R − 1 < f (x) < 1

13.d. Mostre que a equa¸c˜ao f (x) = 0.5 tem apenas uma u´ nica solu¸c˜ao em ]0, 1[.

14. Seja h a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por: h (x) =

'

mx + b se x ≤ 0 ex − 1 se x > 0

14.a. Determine m e b de modo que h tenha derivada finita em x = 0 4 . ex Mostre que a equa¸ca ˜o h(x) + g(x) = 4 tem uma u ´ nica solu¸c˜ao em R+

14.b. Seja g a fun¸c˜ao de dom´ınio R definida por g(x) = 15. Resolva em C as trˆes al´ıneas seguintes.

4 z

15.a. Seja z = x + yi, x, y ∈ R e seja w = z + , z ̸= 0. Determine, em fun¸c˜ao de x e y, Re(w) e Im(w).

15.b. Resolva a equa¸c˜ao:

( √ ) [(1 + i) z]4 + 8 1 + i 3 = 0

15.c. Represente, no plano de Argand, o conjunto ' " # * 4 M = z ∈ C\ {0} : Im z + ≥0 z + π 2

,

16. Seja θ um n´umero real tal que θ ∈ / − + 2kπ, k ∈ Z .

16.a. Prove que:

1 + sen (θ) + i cos (θ) = sen (θ) + i cos (θ) 1 + sen (θ) − i cos (θ)

16.b. Utilizando a al´ (ınea anterior: (π ) ( π ))5 ( (π ) ( π ))5 16.b.1. Prove que: 1 + sen + i cos + i 1 + sen − i cos =0 5

5

5

5

16.b.2. Represente, no plano de Argand, o conjunto

' " * # 1 + sen (θ) + i cos (θ) π M = z = ρcis (θ) : 0 ≤ arg ≤ ∧ |z − 1| ≤ 1 1 + sen (θ) − i cos (θ) 3

Externato Ribadouro

Fim da ficha

3 /3