LOGICA DIFUSA
Dra. Sandra Luz Canchola Magdaleno
Introducción 1.
Incertidumbre.
2.
Probabilidad.
3.
Se relaciona a la información (falta de información). Cuando no se sabe cuando puede ocurrir cierto evento. No se conoce una teoría que explique el fenómeno. A medida que se dispone de más información la incertidumbre se puede reducir. reducir La ausencia de incertidumbre es tener información total. Es una propiedad física de los objetos, determina la posibilidad de que cierto evento puede ocurrir. Se calcula y verifica por experimentación. La incertidumbre probabilística se disipa con el incremento del número de ocurrencias.
Imprecisión (ambigüedad).
Es una característica del lenguaje de comunicación humano. Esta relacionada con el grado en que el evento ocurre.
Probabilidad
Rango de valores [0,1]
P(X= ) P(X=x)
Ejemplos: P (X = cara) = 0.5
P (X = hombre) = 0.5 ROJO
P (X = ROJO) = 1/3
AZUL VERDE
X
Ambigüedad g
La ambigüedad es incertidumbre determinística Ambigüedad está relacionada con el grado con el cual los eventos ocurren sin importar la probabilidad de su ocurrencia. Por ejemplo, ejemplo el grado de juventud de una persona es un evento difuso sin importar que sea un elemento aleatorio.
Ambigüedad g
Es una característica del lenguaje humano.
Ejemplos: Si
estudias bastante entonces obtendrás buenas notas. El proyecto final está casi terminado. terminado Los alumnos mostraron dedicación en sus proyectos. Profesor mala gente. gente Si el profesor es mala gente entonces el examen será difícil.
Introducción ¾
¾
La Teoría de conjuntos j difusos desarrollada p por L. A. Zadeh (60’s) y las técnicas de inferencia basadas en ella (Lógica difusa) proporcionan una herramienta adecuada para pa a modelar ode a la a incertidumbre ce du b e presente p ese e en e el e lenguaje e guaje natural y emular los mecanismos de razonamiento aproximado utilizados por el cerebro humano. L teoría La t í de d conjuntos j t difusos dif parte t de d la l teoría t í de d los l conjuntos clásicos, añadiendo una función de pertenencia al conjunto, definida como un número entero entre 0 y 1. Los elementos l del d l universo i de d discurso di en ell que está ád definido fi id pueden pertenecer a él en un cierto grado, de acuerdo con su valor de la función de pertenencia.
Historia
Introducción ¾
¾
La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional (Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial. p La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre “absolutamente cierto” y “absolutamente falso”. V
V
F
F Lógica booleana
Lógica difusa
Conjuntos clásicos j
Surgen de forma natural, por la necesidad del ser humano de clasificar objetos y conceptos. Función de pertenencia A(x), x ε U:
U es el Universo de Discurso. Restricción de la Función A: {0,1}.
Conjunto Vacío Φ(x)=0, ∀x ε U Conjunto Universo U(x)=1, ∀x ε U
Conjuntos clĂĄsicos- Ejemplo j j p Conjunto de manzanas
Conjunto de lechugas
1
1
0
0 Frutas que no son manzanas
Lechugas
Manzanas
Grado de pertenencia o funciĂłn de membresĂa
Verduras que no son lechugas l h
Conjuntos clásicos j
El conjunto j universal U ((Universo de discurso)) contiene todos los elementos de cada contexto o aplicación en particular. Los conjuntos clásicos se pueden definir de las siguientes maneras: Método de Lista (Finito) (extensión) Método de Regla A = {x ε U / x cumple ciertas condiciones}} (comprensión) Método de membresía (comprensión)
Conjuntos clásicos -ejemplo j j p U
M
A
L A
B J
C F
D H K
N Extensión: A = {A, {A B, B C, C D D, FF, H H, J} Comprensión: A = {{x / A ≤ x ≤ J & x≠E & x≠G & x≠I}}
1
Membresía: A(x) =
1
si x є {A, {A B, B C, C D D, FF, J, J H}
0
si x є {K, L, M, N}
0
AB C D E F G H I JK L MN
Conjuntos difusos j
Un conjunto difuso en el universo U se caracteriza por la función de membresía A(x) que toma el intervalo [0,1], , , a diferencia de los conjuntos j clásicos que toman el valor de cero o uno {0, 1}. Donde μA((x)) es el grado g de pertenencia p del elemento x al conjunto A. Se pueden simbolizar como: A
= { (μA (x), x) / x ε U} A = { (μA (x)/x) / x ε U}
Conjuntos difusos j Â…
Desde el punto de vista matemĂĄtico, un conjunto difuso puede representarse mediante un conjunto ordenado de p pares que q asignan g un grado g de pertenencia a cada elemento x del universo de discurso U.
Conjuntos difusos j Â…
Desde el punto de vista matemĂĄtico, un conjunto difuso puede representarse mediante un conjunto ordenado de p pares que q asignan g un grado g de pertenencia p a cada elemento x del universo de discurso U.
Conjuntos difusos j
Un conjunto j difuso denotado como:
x es discreto Æ
x es continuo
puede p
ser
alternativamente
Notar que la sumatoria y la integral representan la unión de los grados de membresía y / no significa división.
Conjunto difuso – Ejemplo j j p grado de pertenencia
Conjunto j de jjĂłvenes
1
0
10 15 20 25 30 35 40 45 50
A = {1/10, { / 1/15, / 1/20, / 0.75/25, / 0.25/30, / 0/35 / } A = {( {(1,10),) ((1,15),) ((1,20),) ((0.75,25),) ((0.25,30),) (0,35) ( )}
edad
Variables lingüisticas g
Se denomina variable lingüística a aquella que puede tomar por valor términos del lenguaje natural como mucho,, p poco,, p positivo,, negativo, g , alto,, bajo, etc.
Conjutos clรกsicos vs difusos j
Función de membresía Se pueden definir como:
Una función con parámetros pk(x) del elemento x. μ A ( x) = μ A ( p1 ( x), ) p2 ( x),... ) , pn ( x))
Una enumeración de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto A = ∑ μ A ( x) / x x∈U Donde:
Σ representa una agregación de pares, no suma. A(x)/x representa un par (posibilidad/elemento), no división.
Función de membresía con parámetros p
Considere un conjunto difuso “Sistemas Sistemas Confiables Confiables” que requiere los datos de los sistemas para calificar su p pertenencia a dicho conjunto: j
μ
p1. Tiempo de respuesta. p2. Tiempo de recuperación. p3. Ajuste a requerimientos. p4. Disponibilidad. p5. Tolerancia a fallos.
SistemasConfiables f
( x) = μ
SistemasConfiables f
( p ( x), 1
p
2
( x),
p ( x), p 3
4
( x), p ( x)) 5
Tipos p de función de pertenencia p
La función de pertenencia µA(x) describe el grado de pertenencia de los diferentes elementos del universo al conjunto j difuso. La elección de la forma de la función de pertenencia es subjetiva p j y dependiente p del contexto. No obstante, por razones prácticas, en la literatura se suelen emplear funciones triangulares, trapezoidales o en forma de campana como las que se muestran en la figura.
Tipos p de funci贸n de pertenencia p
Triangular g Triangular ( x; 20,60,80) 1.0 0.5 0.0 0
50
100
⎛ ⎛ x−a c−x⎞ ⎞ Triangular ( x; a, b, c) = max⎜ min⎜ , ⎟,0 ⎟ ⎝ b−a c −b ⎠ ⎠ ⎝ donde : a : Valor inicial b : Valor máximo c : Valor final
Triangular - Ejemplo g j p Triangular a=25,, b=50,, c=100.
Trapezoidal p Trapezoidal ( x;10,20,60,95) 1.0 05 0.5 0.0 0
50
100
⎛ ⎛ x−a d −x⎞ ⎞ Trapezoidal ( x; a, b, c, d ) = max⎜ min⎜ ,1, ⎟,0 ⎟ ⎝b−a d −c ⎠ ⎠ ⎝ donde : a : Valor inicial b : Valor inicial máximo c : Valor final máximo d : Valor final
Trapezoidal - Ejemplo p j p
Trapezoidal
a=10, b=30, c=50 y d=80.
Gaussiana Gaussiana((x;50,20)
10 1.0
05 0.5
0.0 0
50
100
2 ⎛ x−μ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠
Gaussiana ( x; μ , σ ) = e donde : μ : media σ : desviación estándar
Gaussiana - Ejemplo j p
Gaussiana Îź=40 Ďƒ=10
Gaussiana - Ejemplo j p Gaussiana Îź=40 Ďƒ=25
Campana p Campana ( x;50,20,4)
1.0
0.5
Campana ( x; μ , σ , ω ) = 0.0 0
50
100
donde :
μ : media σ : desviación estándar ω : pendiente
1 ⎛ x−μ ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠
2ω
Campana - Ejemplo p j p Campana μ=25 σ=15 ω=5
Campana - Ejemplo p j p Campana μ=25 σ=30 ω=5
Campana - Ejemplo p j p Campana μ=25 σ=30 ω=15
Sigmoide g Simoide (x;50,0.2)
1.0
0.5
Sigmoide( x; μ , ω ) =
0.0 0
50
100
donde : μ : media ω : pendiente
1 1+ e
−ω ( x − μ )
Sigmoide g Sigmoidal μ=100 ω=0.05 ω=0 05
Sigmoide g
Sigmoidal μ=100 ω=0.1
Singletone g ⎧1 si x = Valor único A( x) = ⎨ en otro caso ⎩0
Otros ejemplos j p de funciones de membresĂa 1 Grado de Pertenencia
a1 Bajo 1 Grado de Pertenencia
a2 MĂŠdio
Altura(cm) ( ) Alto
Conjunto “cercano a cero” j
Conjunto “Número razonable de hijos” j j
Propiedades de conjuntos difusos p j
Soporte p El soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U es un conjunto que contiene todos los elementos de U q que tenga g valores de membrecía ≠ 0 en A. Suporte(A) = {x є U / μA(x) > 0}
Soporte p ÎźA(x) 1
x
suporte t
Soporte p
Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set). Si el conjunto soporte está representado por un solo punto en U,, este se denomina singleton p g difuso ((fuzzyy singleton).
Punto de cruce
El punto de cruce (crossover point) de un conjunto difuso es el punto en U donde el valor de membresía en A es 0.5. μA(x) 1 0.5
x Punto de cruce
Núcleo
El conjunto de valores x, donde μA(x) alcanza el valor de 1 se denomina núcleo (core). μA(x) 1
núcleo
x
Altura
La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de membresía logrado por algún punto. En un conjunto difuso normal la altura es 1. El conjunto normal si existe un x tal que μA(x)=1. Conjunto subnormal si para todo x, μA(x) (x)<1. 1. μA(x) altura
x
Valor medio
En un conjunto difuso finito, el valor medio es el promedio de los puntos en los cuales la función de membresía logra g su máximo valor. En un conjunto difuso infinito, el valor medio es el valor más p pequeño q entre todos los p puntos q que logran el máximo valor de membresía.
Operaciones de conjuntos difusos p j
Subconjunto. Complemento. Unión Unión. Intersección. C Corte alfa. lf Corte duro alfa. Producto Cartesiano. Co-producto Cartesiano.
Subconjunto j
Un conjunto A es subconjunto de B si:
A ⊂ B, μA( x) ≤ μB ( x)
Complemento p
El complemento de un conjunto A es el conjunto A tal que:
μA ( x) = 1 − μA( x) A
A
Complemento p
Un punto de equilibrio es aquel donde la función de membresía es igual en A y su complemento.
μA( x) = μA ( x) A
A
Unión
La unión entre los conjuntos difusos A y B, está definida por: μA ∪ B ( x) = max((μA( x), μB ( x))
Intersección
La intersección entre los conjuntos difusos A y B, está definida por: μA ∩ B ( x) = min((μA( x), μB ( x))
Complemento, p , Unión e Intersección
( A ∪ A) ≠ U
( A ∩ A) ≠ ∅ A
A
Corte alfa
Es un conjunto tradicional que contiene aquellos elementos del conjunto difuso A cuya función de membresía es mayor y o igual g a α.
Aα = {x ∈ U μA(x) ≥ α }
A0.60 = {30,40,50,60}
Corte alfa duro
Es un conjunto tradicional que contiene aquellos elementos del conjunto difuso A cuya función de membresía es mayor y a α.
Aα + = {x ∈ U μA(x) > α }
A0.50 + = {30,40,50,60}
Propiedades de los cortes alfa p
Dado un conjunto difuso A definido en U y un par α1 y α2 ∈[0; 1] tal que α1<α2, entonces: Aα 1 ⊇ Aα 2 y Aα 1+ ⊇ Aα 2 + .
( Aα
1
( Aα
1
∪ Aα 2 ) = Aα 1 y ( Aα 1 + ∪ Aα 2 + ) = Aα 1 + .
∩ Aα 2 ) = Aα 2 y ( Aα 1 + ∩ Aα 2 + ) = Aα 2 + .
Conjunto difuso convexo j
Un conjunto j A es convexo si ∀ x 1, x 2 ∈ A , ∀ λ ∈ [0 ,1]; min (μ A ( x 1 ), μ A ( x 2 )) ≤ μ A (λ x 1 + (1 − λ )x 2 ) donde x1 y x2 representan p los límites de un rango. g Alternativamente,, A es convexo si todos sus cortes alfas son convexos. Intuitivamente, se dice que un conjunto convexo es aquel creciente, decreciente o con forma de campana.
Conjunto difuso convexo j
Convexo
No convexo
min (μ A ( x 1 ), μ A ( x 2 )) ≤ μ A (λ x 1 + (1 − λ )x 2 )
Producto Cartesiano
Dados los conjuntos A y B, se puede definir un espacio x-y como: μA × B ( x, y ) = min (μA( x), ) μB ( y ) )
Co-Producto Cartesiano
Dados los conjuntos A y B, se puede definir un espacio x-y como: μA + B ( x, y ) = max(μA( x), ) μB ( y ) )
BIBLIOGRAFIA
Fuzzy Logic with Engineering Applications. Timothy J. Ross. John Wiley & Sons, Ltd. Edición 2. 2004. Capítulo p 5. Redes Neuronales y Sistemas Borrosos. Bonifacio Martín del Brío & Alfredo Sanz Molina. Edit. Alfaomega Ra-Ma. Edición 3. 2007.