Rossmery PĂŠrez
RECORDEMOS
¿Qué es un producto cartesiano?
Sean A y B conjuntos no vacíos Producto cartesiano entre A y B es un conjunto de “pares ordenados” donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B y se denota por A x B.
A B x, y / x A y B 1era Componente
2da Componente
Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b} A x B consta de los 6 pares de la lista (1, a) (2, a) (3, a) (1, b) (2, b) (3, b) Rossmery Pérez
Reflexiona 1) En general, ¿será cierto que A x B = B x A? Piénsalo y contesta
Respuestas: 1) No son iguales ... Por ej., sean los conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2} A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) } B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }
Rossmery Pérez
¿Qué es una relación binaria? Sean A y B conjuntos no vacíos •Una relación R de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B y requiere de una regla de correspondencias •R es una relación de A en B, si y sólo si R está incluido en AxB. ( R ⊂ AxB).
Notación
R : A B R AxB
•En particular, cualquier subconjunto de A x A es una relación binaria en A. Ejemplo: Sea A = {a, e} A x A = {(a,a), (e,e), (a,e), (e,a)} Rossmery Pérez
Por ejemplo 1 Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Hagamos una lista de los elementos de A x B. Solución: Primero vamos a hallar el producto cartesiano A x B consta de los 12 pares de la lista (1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 0) (3, 1) (3, 2) (3, 3) Si observas: El producto cartesiano A x B tiene 12 elementos y estos corresponden al producto de 3 x 4, donde 3 son el número de elementos de A y 4 el número de elementos de B. Rossmery Pérez
Representemos al subconjunto que cumple con la regla R = { (x, y) A x B / x + y 3} Regla de correspondencia
A x B consta de los 12 pares de la lista (1, 0) (1, 1) (1, 2) 1+0 3 1+1 3 1+2 3 (2, 0) (2, 1) (2, 2) 2+0 3 2+1 3 2+2 ≥ 3 (3, 0) (3, 1) (3, 2) 3+0 3 3+1 ≥ 3 3+2 ≥ 3
(1, 3) 1+3 ≥ 3 (2, 3) 2+3 ≥ 3 (3, 3) 3+3 ≥ 3
Si observas: Los ejemplos pintados de rojo no cumplen con la condición x + y 3; entonces los elementos que corresponden al subconjunto A x B, es decir los elementos de la relación son A R B = { (1, 0) Rossmery (1, 1) Pérez (1, 2) (2, 0) (2, 1) (3, 0)}
Si
A = x/x N 0 x 4 B = x/x N 0 x 6 Regla de correspondencia: y = 2x
Solución: Los elementos de A son: 1; 2; 3 Los elementos de B son: 1; 2; 3; 4; 5 A x B = { (1,1) (1;2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2;2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3;2) (3,3) (3,4) (3,5)} Los elementos que corresponden a la relación: y = 2x (el segundo componente tiene que ser el doble del primer componente) A R B = (1;2) Pues 2 es el doble de 1 (2,4) Pues 4 es el doble de 2 Rossmery Pérez
Si A = { 2; 4, 5; 8 } Y B = { 2; 3; 4, 5 } Regla de correspondencia: R1 : A → B / R1 ={ (x; y) ϵ A x B / x + y > 10} Solución: Los elementos de A son: 2; 4; 5; 8 Los elementos de B son: 2; 3; 4; 5 A x B = { (2,2) (2;3) (2,4) (2,5) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5;2) (5,3) (5,4) (5,5) (8;2) (8,3) (8,4) (8,5)} Los elementos que corresponden a la relación: x + y > 10 (los pares ordenados tienen que cumplir esta operación) A R B ={(8;3) Pues 8 + 3 > 10 (8,4) Pues 8 + 4 > 10 (8,5)} Pues 8 + 5 > 10 Rossmery Pérez
Si A = { x N / 1 x 5 } B = { 3, 4, 5 } Regla de correspondencia: R1 : A → B / R1 ={ (x; y) ϵ A x B / x + y 5} por extensión A = {1, 2, 3, 4, 5 } 1+3=45 1+4=5=5 1+5=65 2+3=5=5 2+4=65 2+5=75 3+3=65 3+4=75
(1, 3) R (1, 4) R (1, 5) R (2, 3) R (2, 4) R (2, 4) R (3, 3) R (3, 4) R
A •1 •2 •3 •4
R
3+5=85 4+3=75 4+4=85 4+5=95 5+3=85 5+4=95 5 + 5 = 10 5
B •3 •4 •5
(3, 5) R (4, 3) R (4, 4) R (4, 5) R (5, 3) R (5, 4) R (5, 5) R
B 5
R = {(1, 3), (1, 4), (2, 3) } AxB
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
4
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
3
R
•5 en Diagrama de Venn Rossmery Pérez
1
2
3
4
5
En Gráfico cartesiano
A
Dominio y Rango de una Relaci贸n
Dominio:
Rango:
El Dom(R) es el conjunto formado por las primeras componentes de la relaci贸n.
El Ran(R) es el conjunto formado por las segundas componentes de la relaci贸n.
Ejemplo:
R = {(3,4); (7,3); (11,2); (15,1)} Dom(R) = {3, 7, 11, 15} y Ran(R) = {1, 2, 3, 4}
Un caso particular: DIAGRAMA SAGITAL Por ejemplo, dada la relaci贸n: R = {(1,5); (2,4); (3,7)} Podemos establecer un conjunto de partida (los de color rojo) y un conjunto de llegada (los de color amarillo) en el que, a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un valor del rango. Conjunto de Partida
Conjunto de Llegada
1
4
2
5
3
7
Si A = { x N / 1 x 5 } B = { 3, 4, 5 } Regla de correspondencia: R1 : A → B / R1 ={ (x; y) ϵ A x B / x + y 5} A R B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3) } R
A •1 •2 •3
•4
•5 Conjunto de Partida
B •3 •4
B 5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
4
•5 Conjunto de Llegada
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
3
R 1
en Diagrama de Venn
AxB
2
3
4
5
En Gráfico cartesiano
A
El dominio son los elementos del conjunto de partida que se han relacionado D= { 1; 2} El rango son los elementos del conjunto de llegada que se han relacionado R= { 3; 4} Rossmery Pérez
Dados los conjuntos A= { 5; 8; 11} , B={4; 7; 8} se define la relación R1 = { (x; y) Є A x B / x < y} Expresar a R1 como un conjunto de pares ordenados e indicar su dominio y rango
Propiedades de las Relaciones Vamos a estudiar tres propiedades que pueden cumplirse en una relación y son : La propiedad reflexiva, simétrica y transitiva
1) Propiedad Reflexiva Cada elemento del conjunto A se relaciona consigo mismo A •a •b
Es Reflexiva x : x A (x, x) R para todo elemento x se verifica que si x pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (x, x) pertenece a la Relación R. En el ejemplo son : (a; a) y (b; b). Cada elemento se relaciona consigo mismo. Rossmery Pérez
Si algún(os) elemento(s) de A se relaciona(n) consigo mismo. A •a
•b
No es reflexiva
x / x A (x, x) R existe(n) x tal que x pertenece al conjunto A y el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R En el ejemplo: (a; b) y (b; b). Como no está (a; a), entonces no es reflexiva.
2) Propiedad simétrica
Es Simétrica Si para cada par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, el par simétrico también pertenece a la relación Para todo “x” e “y” A (x, y) R (y, x) R En el ejemplo: (a; b) (b; a) (b, b). Para (a; b) hay (b; a) y para (b; b) hay (b; b) que es el mismo, por tanto e simétrico.
A •a
•b •c
Es Asimétrica Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene par simétrico que también pertenece a la relación Para todo “x” e “y” A (x, y) R (y, x) R En el ejemplo: (a; b) (b; a) (a; c) (b; b) Para (a; c) no hay (c; a) por o tanto o es simétrica es decir asimétrica. Rossmery Pérez
A
•a
•b •c
3) Propiedad transitiva
Es transitiva
A
Si para todos los elementos x, y, z que verifican que (x,y) R y (y,z) R entonces el par ordenado (x, z) R
•b
•a •c
En el ejemplo (a; b) (b; c) (a; c) , entonces, como hay (a; c) Por lo tanto es transitiva
No transitiva Si algunos de los elementos x, y, z verifican que (x,y) R y (y,z) R pero el par ordenado (x, z) R, por lo tanto no es transitiva.
A •d
•a
•b •c
En el ejemplo (a; b) (b; c) (a; c) (c; d) para (a;b) (b;c) hay (a;c), pero para (a;c) (c;d) no hay (a;d) por lo tanto no es transitiva. Rossmery Pérez
Relación de equivalencia Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de equivalencia si satisface las tres propiedades:
R es reflexiva
R es simétrica
R es transitiva
Rossmery Pérez
PRACTIQUEMOS
Calcular la suma de los elementos del dominio de la relaci贸n
Rossmery P茅rez
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