Arte matemático

Arte Matemático Generado por Computadora

Eduardo Adam Navas López

2014 – 2015

Arte Matemático Generado por Computadora Eduardo Adam Navas López 2014 – 2015 Esta obra está inspirada por el deseo de comunicar la belleza de la matemática como lenguaje del universo; está compuesta por obras que incluyen conceptos de aritmética compleja, lógica, trigonometría, geometría euclídea, geometría fractal, geometría hiperbólica, geometría proyectiva, geometría afín, análisis numérico, estadística descriptiva, probabilidad, modelos de color, cálculo multivariable, algoritmia, topología, teselaciones, etc.; y que fueron hechas con programación estructurada, programación funcional, recursividad, etc., en los lenguajes Python, CFDG, Logo (kturtle) y SageMath.

Sitio web del autor: http://profesor-ues.blogspot.com/ Contacto: eduardo.navas.sv@gmail.com Dirección del álbum en Flickr: https://flic.kr/s/aHsk8rHNRi Código QR del álbum en Flickr:

Esta colección de obras es publicada bajo los términos de la Licencia Creative Commons ReconocimientoCompartirIgual 3.0 (CC BY-SA 3.0)

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1

Índice (es) Las cuatro nobles verdades

4

(es) El viaje del caballo por Mesoamérica

6

(es) El arco del triunfo de Cantor

8

(es) Perfección

10

(es) Homenaje al Doctor Alberto Sánchez

12

(es) Fiordos helados

14

(es) Anillo de fuego

16

(es) Homenaje al gato sin hogar

18

(es) Las campanas del príncipe

20

(es) Girasol áurea

22

(es) Claroscuro multicolor

24

(es) El jardinero de Neruda

26

(es) Las curvas de Melissa

28

(lat) Mandelbrotus Warholensis

30

(es) Las mariposas de El Mozote

32

(es) Latido mestizo

34

(es) Planeta fractal

36

(es) Miel hiperbólica

38

(es) Solamente pi

40

(es) El gemido del bosque de Prípiat

42

(es) Psicodelia

44

(sv) Ragnarök

46

(es) Proyección ortogonal del cubo RGB

48

(es) San Romero estudiante

50

2

(es) El baile de los primos

52

(es) Sexo oral

54

(es) La batalla de Esmolensco

56

(es) Torbellinos de pasiรณn

58

(es) Delirio

60

(es) El desfile de los primos

62

3

(es) Las cuatro nobles verdades (eo) La kvar noblaj veraˆoj

Descripción artística: Una vista de Buda sentado en posición de loto.

Motivación: Un documental sobre las maravillas del mundo budista.

Las cuatro nobles verdades son: 1. Toda existencia es sufrimiento: Nacer es sufrir, enfermar es sufrir, envejecer es sufrir, morir es sufrir, amar es sufrir, perder al ser amado es sufrir, etc. Todo conlleva sufrimiento, la existencia y sus partes son sufrimiento.

2. La causa del sufrimiento es el apego, el deseo.

3. El apego y el deseo pueden suprimirse extinguiendo su causa.

4. El apego y el deseo pueden extinguirse por medio del noble camino óctuple: a) b) c) d) e) f) g) h)

Comprensión correcta Pensamiento correcto Palabra correcta Acción correcta Ocupación correcta Esfuerzo correcto Atención correcta Concentración correcta

Descripción técnica: Una vista de alta resolución de un conjunto basado en el de Mándelbrot, conocido como Búdabrot, dibujado con la traza de los puntos de las sucesiones requeridas para determinar la pertenencia de puntos aleatorios c en el conjunto de Mándelbrot. Es decir, se toman puntos complejos c aleatorios. Luego se determina su pertenencia al conjunto de Mándelbrot de la manera estándar: El conjunto de Mándelbrot es el conjunto M de todos los puntos c del plano complejo tal que la sucesión zn+1 = zn2 + c (con z0 = 0 + 0i) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si zk , con k ≤ N , tiene un módulo mayor que 2, es decir |zk | > 2 (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot).

Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: N . Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al N -ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La imagen está dividida en cuatro partes. Las de los “cuadrantes” I y III fue construida haciendo N = 200 iterando 1, 54 × 1010 puntos aleatorios c del plano complejo. Las de los “cuadrantes” II y IV fue construida haciendo N = 2000 iterando 3, 1 × 109 puntos aleatorios c del plano complejo. En todos los casos c ∈ [−1.5, 0.5] × [−1i, 1i].

4

Vista reducida:

(es) Las cuatro nobles verdades (eo) La kvar noblaj veraˆoj http://profesor-ues.blogspot.com/2015/07/4-nobles-verdades.html

5

(es) El viaje del caballo por Mesoamérica

ˆ (eo) Cevalvojaˆ go tra Mezameriko

Descripción artística:

Es un tablero de ajedrez con una ruta del caballo escrita con números mayas.

Motivación:

El recuerdo de un programa desarrollado durante los años de juventud del autor... un programa que utiliza fuerza bruta para encontrar una ruta del caballo.

Descripción técnica:

Es una ruta del caballo escrita con números mayas, comenzando con se (uno) en la esquina inferior izquierda, luego ume (dos) dos casillas a la derecha y una arriba, luego yey (tres) dos casillas a la derecha y una abajo, . . . y así sucesivamente, hasta llegar a yey pual nawi (64) en la casilla abajo de la esquina superior derecha.

6

Vista reducida:

(es) El viaje del caballo por Mesoamérica ˆ (eo) Cevalvojaˆ go tra Mezameriko http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/el-viaje-del-caballo.html

7

(es) El arco del triunfo de Cantor (eo) Triumfarko de CANTOR

Descripción artística: Una ilustración del conjunto de Cantor en forma de Arco de Triunfo.

Motivación: Los grandes logros intelectuales de Georg Cantor.

Descripción técnica: La forma geométrica de describir el conjunto de Cantor es la siguiente: 1. Se toma un segmento de longitud 1. Se puede considerar como el intervalo [0,1].

2. A este segmento se le quita el tercio medio del segmento. Se puede considerar que al intervalo [0,1] se le resta el intervalo abierto 13 , 32 , con lo que queda el intervalo 0, 13 ∪ 32 , 1 .

3. A cada uno de los dos segmentos disjuntos restantes se les resta el intervalo abierto equivalente a su tercio interior. En este momento quedan cuatro intervalos cerrados disjuntos.

4. A cada uno de los intervalos se les resta el intervalo abierto equivalente a su tercio interior. Y este paso se repite hasta el infinito.

5. La unión de todos los segmentos o intervalos cerrados resultante es el conjunto de Cantor.

Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos, ya que es un conjunto de medida nula (es decir que la suma de todos los segmentos resultantes es cero), pero no es vacío ni numerable, es decir, que además es infinito.

8

Vista reducida:

(es) El arco del triunfo de Cantor (eo) Triumfarko de Cantor http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/el-arco-del-triunfo-de-cantor.html

9

(es) Perfección (eo) Senerareco

Descripción artística: Una circunferencia perfecta.

Motivación: Una circunferencia puede considerarse como la figura geométrica más perfecta.

Descripción técnica: Es una circunferencia dibujada con el algoritmo de línea de Bresenham.

Algoritmo básico para dibujar una circunferencia de un pixel de grueso (en lenguaje C):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

// Función auxiliar void m a r c a r P i x e l e s C i c u n f e r e n c i a ( int x , int y , int xc , int yc ) { marcarPixel ( x + xc , y + yc ) ; marcarPixel ( x + xc , - y + yc ) ; marcarPixel ( - x + xc , y + yc ) ; marcarPixel ( - x + xc , - y + yc ) ; marcarPixel ( y + xc , x + yc ) ; marcarPixel ( y + xc , - x + yc ) ; marcarPixel ( - y + xc , x + yc ) ; marcarPixel ( - y + xc , - x + yc ) ; } void c i r c u n f e r e n c i a _ p u n t o _ m e d i o ( int xc , int yc , int radio ) { int x ,y , d ; x =0; y = radio ; d =1 - radio ; m a r c a r P i x e l e s C i c u n f e r e n c i a (x ,y , xc , yc ) ; while (y > x ) { if (d <0) { d += x * 2 + 3; } else { d += ( x - y ) * 2 + 5; y - -; } x ++; m a r c a r P i x e l e s C i c u n f e r e n c i a (x ,y , xc , yc ) ; } }

10

Vista reducida:

(es) Perfecciรณn (eo) Senerareco http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/perfeccion.html

11

(es) Homenaje al Doctor Alberto Sánchez

(eo) Omaˆgo al Doktoro Alberto SÁNCHEZ

Descripción artística:

Homenaje al Doctor Alberto Sánchez, salvadoreño, quien descubrió el trazo de la curva Cornoide en 1895.

Motivación:

El trabajo de un salvadoreño que aportó la identificación de una curva de construcción relativamente simple que todos los grandes matemáticos de la historia pasaron por alto. La Escuela de Matemática de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad de El Salvador, lleva su nombre en su honor.

Descripción técnica:

Una vieja imagen del Doctor Alberto Sánchez en la que cada pixel fue cambiado por una pequeña curva Cornoide con más o menos pasos intermedios con colores rojo, azul y verde para provocar los puntos correspondientes en una escala mayor.

12

Vista reducida:

(es) Homenaje al Doctor Alberto Sรกnchez (eo) Omaห go al Doktoro Alberto Sรกnchez http://profesor-ues.blogspot.com/2015/03/homenaje-al-doctor-sanchez.html

13

(es) Fiordos helados

(eo) Malvarmaj fjordoj

Descripción artística:

Una vista aérea de unos fiordos nevados, sus delgadas costas de arena oscura y el mar profundamente azul.

Motivación:

Los fiordos tienen una forma fractal natural.

Descripción técnica:

Una vista de un conjunto de Julia con semilla c = −1.384286 + 0.004286i en el intervalo de los reales: [0.01,0.09] y en los imaginarios: [0.02,0.10].

El conjunto de Julia con semilla c es el conjunto Jc de todos los puntos z del plano complejo tal que la sucesión zn+1 = zn2 + c (con z0 = z) diverge (o más pragmáticamente tal que es no acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si zk , con k ≤ N , tiene un módulo mayor que 2, es decir |zk | > 2 (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot).

Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: N . Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al N -ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La coloración de esta obra tiene un tinte constante al igual que la saturación, pero el brillo es variable en función del número de pasos en donde se determina que el punto pertenece o no pertenece al conjunto.

14

Vista reducida:

(es) Fiordos helados (eo) Malvarmaj fjordoj http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/fiordos-helados.html

15

(es) Anillo de fuego

(eo) Fajroringo

Descripción artística:

Un anillo de fuego que emana calor.

Motivación:

Una lectura parcial del libro Indra’s Pearls (ISBN: 0 521 35253 3), y curiosidad sobre las transformaciones de Möbius (https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation).

Descripción técnica:

La imagen es una coloración particular de la traza del grupo θ-Schottky con θ = límite en amarillo intenso.

π 4

enfatizando su conjunto

Los cuatro círculos grandes son los círculos generadores (discos de Schottky). Luego se dibujan las imágenes de cada tres de ellos al interior del cuarto (dadas unas transformaciones de Möbius). Este proceso se repite una y otra vez hasta el infinito. Todos estos círculos se conocen como el grupo de Schottky. Al conjunto de puntos resultantes del proceso (una especie de polvo) se le conoce como El Conjunto Límite del grupo.

El conjunto límite del grupo dibujado es exactamente una circunferencia.

El intervalo dibujado es [−1.3, −1.3] × [1.3, 1.3].

16

Vista reducida:

(es) Anillo de fuego (eo) Fajroringo http://profesor-ues.blogspot.com/2015/07/anillo-de-fuego.html

17

(es) Homenaje al gato sin hogar (eo) Omaˆgo al senhejmaj gekatoj

Descripción artística: Un gato sentado viendo a lo lejos en dirección del observador.

Motivación: Hay una gran cantidad de gatos y gatas que son abandonados y/o maltratados por los humanos. Frecuentemente porque no tienen los medios económicos para darles el cuido correcto y en otras ocaciones por falta de humanidad.

Si los humanos no desean lidiar con la procreación de sus mascotas, deben esterilizarlas.

Descripción técnica: Perfil de un gato delineado con curvas cúbicas de Bézier.

Dados cuatro puntos P0 , P1 , P2 , P3 (que pueden ser unidimensionales, bidimensionales, tridimensionales, etc.), llamados puntos de control, se define la curva de Bézier de la siguiente manera:

B(t) = (1 − t)3 P0 + 3t(1 − t)2 P1 + 3t2 (1 − t)P2 + t3 P3 , 0 6 t 6 1

Las curvas de Bézier son ampliamente usadas para la modelación por computadora por su simplicidad de cálculo frente a cualquier técnica de interpolación polinomial o racional.

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Vista reducida:

(es) Homenaje al gato sin hogar (eo) OmaË&#x2020;go al senhejmaj gekatoj http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/homenaje-al-gato-sin-hogar.html

19

(es) Las campanas del príncipe

(eo) Sonoriloj de la princo

Descripción artística:

El resonar de las campanas del Príncipe de las Matemáticas.

Motivación:

La curva normal es fundamental en la naturaleza.

Descripción técnica:

Una gran cantidad de campanas de Gauss (curvas de distribución de probabilidad normal), con diferente amplitud, media, desviación y color. Las curvas más distantes son más oscuras y las más próximas al observador son más brillantes.

20

Vista reducida:

(es) Las campanas del prĂ­ncipe (eo) Sonoriloj de la princo http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/las-campanas-del-principe.html

21

(es) Girasol áurea

(eo) Ora sunfloro

Descripción artística:

El centro de una flor de girasol pero con los colores del arcoiris.

Motivación:

Una flor de girasol.

Descripción técnica:

Es una espiral polar paramétrica de la forma (r(t), θ(t)), con θ =

√ 2π t, y r = 2 t, con 1 ≤ t ≤ 2000 y φ2

t ∈ N. Para cada t se dibujó un círculo de un color del arcoiris.

Esta espiral, dependiente tanto de π como de φ (la proporción áurea), permite que los objetos se acumulen más cerca entre sí y con menos desperdicio de espacio.

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Vista reducida:

(es) Girasol รกurea (eo) Ora sunfloro http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/girasol-aurea.html

23

(es) Claroscuro multicolor

(eo) Multkolora helmalhelaˆo

Descripción artística:

Una serie de cuadrados con cambio de color en el tinte en el eje X, y brillo y saturación en el eje Y.

Motivación:

Fue uno de los primeros experimentos del autor con el lenguaje CFDG.

Descripción técnica:

Cada fila y cada columna de cuadros rota 90 grados de un extremo al otro. Aunque pueda parecer lo contrario, los centros de todos los cuadrados forman una cuadrícula perfecta.

Desde arriba, los cuadros tienen un brillo constante (máximo) pero una saturación incremental. Al llegar al centro hay un cambio y los cuadros tienen una saturación constante (máxima) pero un brillo decreciente.

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Vista reducida:

(es) Claroscuro multicolor (eo) Multkolora helmalhelaË&#x2020;ď&#x161;žo http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/claroscuro-multicolor.html

25

(es) El jardinero de Neruda

(eo) La gˆardenisto de NERUDA

Descripción artística:

Un jardín de plantas fractales rodeando un gran árbol cuadrado que representa una Ceiba.

Motivación:

El recuerdo de un capítulo nunca hecho del libro de Graficación por Computadora del autor (http://profesorues.blogspot.com/2010/03/una-humilde-introducciona-la.html)... Sería un capítulo sobre fractales biológicos.

Descripción técnica:

Se han utilizado cuatro algoritmos recursivos determinísticos que dibujan “ramas que tienen ramas”. Uno de los algoritmos divide sus ramas en dos ramas, otro divide sus ramas en tres ramas, otro en cuatro y el último en cinco.

Cada árbol depende además de una posición, ángulos de las ramas divididas, tamaño, proporciones entre las ramas y sus ramas hijas, la cantidad de subdivisiones (niveles), posiciones relativas de los brotes de las ramas hijas y el color.

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Vista reducida:

(es) El jardinero de Neruda (eo) La gË&#x2020;ardenisto de NERUDA http://profesor-ues.blogspot.com/2015/07/el-jardinero.html

27

(es) Las curvas de Melissa (eo) Kurboj de Melissa

Descripción artística: Una curva de Lissajous delineando una figura femenina.

Motivación: Una hermosa muchacha llamada Melissa, con una encantadora sonrisa y precioso cabello negro ondulado.

Descripción técnica: Una versión alterada de la curva rectangular paramétrica: (x, y) = (sin(21 · θ), sin(4 · θ)), con 0 ≤ θ ≤ 2π.

La amplitud de la curva en el eje horizontal se alteró con un Polinomio Interpolante de Lagrange de orden k − 1, que tiene la forma:

L(x) =

k X

yj `j (x)

j=1

donde,

`j (x) =

k Y i=1,i6=j

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(x − xi ) (xj − xi )

Vista reducida:

(es) Las curvas de Melissa (eo) Kurboj de Melissa http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/las-curvas-de-melissa.html

29

(lat) Mandelbrotus Warholensis

Descripción artística:

Una cuadrícula de cuatro conjuntos de Mándelbrot de relativamente baja resolución con colores pop-art de la escuela de Andy Warhol.

Motivación:

El arte pop del estilo de Andy Warhol.

Descripción técnica:

Una vista de baja resolución del conjunto de Mándelbrot formada por triángulos, rombos y círculos.

El conjunto de Mándelbrot es el conjunto M de todos los puntos c del plano complejo tal que la sucesión zn+1 = zn2 + c (con z0 = 0 + 0i) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si zk , con k ≤ N , tiene un módulo mayor que 2, es decir |zk | > 2 (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot).

Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: N . Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al N -ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

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Vista reducida:

(lat) Mandelbrotus Warholensis http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/mandelbrotus-warholensis.html

31

(es) Las mariposas de El Mozote

(eo) Papilioj de El Mozote

Descripción artística:

Las mariposas del perdón revoloteando en el cielo azul con nubes blancas.

Motivación:

Un capítulo de la amarga historia de nuestro querido El Salvador.

Descripción técnica:

θ Se han dibujado una serie de mariposas –con la ecuación polar m(θ) = − 2 cos(4θ) + sin 12 0 ≤ θ ≤ 10π– sobre una nube generada por un algoritmo recursivo probabilístico. ecosθ

32

5 , con

Vista reducida:

(es) Las mariposas de El Mozote (eo) Papilioj de El Mozote http://profesor-ues.blogspot.com/2015/03/las-mariposas-de-el-mozote.html

33

(es) Latido mestizo

(eo) Mestiza korbato

Descripción artística:

Un corazón humano latiendo al interior de un exterior mestizo.

Motivación:

El autor es mestizo.

Descripción técnica:

Una vista girada del conjunto de Mándelbrot en el que los puntos que no pertenecen al conjunto se dibujan como capas blancas y grices (según si el número de pasos requerido para determinar que no pertenecen es par o impar), mientras que para los puntos c que sí pertenecen se dibujan como puntos rojos con brillo máximo y con saturación igual a la expresión cos(32(<(c)2 + =(c)2 )).

El conjunto de Mándelbrot es el conjunto M de todos los puntos c del plano complejo tal que la sucesión zn+1 = zn2 + c (con z0 = 0 + 0i) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si zk , con k ≤ N , tiene un módulo mayor que 2, es decir |zk | > 2 (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot).

Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: N . Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al N -ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

34

Vista reducida:

(es) Latido mestizo (eo) Mestiza korbato http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/latido-mestizo.html

35

(es) Planeta fractal

(eo) Fraktalplanedo

Descripción artística:

Un mundo fractal.

Motivación:

Una revisión de las diferentes variantes conocidas de fractales de la familia Mándelbrot.

Descripción técnica:

Una vista de resolución de alta un conjunto fractal similar al de Mándelbrot, pero con ecuación recursiva zn2 − 1, 00001zn zn+1 = exp . c3 El conjunto de Mándelbrot es el conjunto M de todos los puntos c del plano complejo tal que la sucesión zn+1 = zn2 + c (con z0 = 0 + 0i) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si zk , con k ≤ N , tiene un módulo mayor que 2, es decir |zk | > 2 (procedimiento estándar para los conjuntos de Julia y de Mándelbrot).

Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: N . Si la sucesión no “diverge” antes de llegar al N -ésimo término de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

36

Vista reducida:

(es) Planeta fractal (eo) Fraktalplanedo http://profesor-ues.blogspot.com/2015/07/planeta-fractal.html

37

(es) Miel hiperbólica

(eo) Hiperbola mielo

Descripción artística:

Un acercamiento de un panal de miel.

Motivación:

Lectura de un artículo sobre geometría hiperbólica y otra lectura sobre teselaciones.

Descripción técnica:

Una teselación hexagonal en geometría euclídea de fondo y en frente una teselación hexagonal en geometría hiperbólica proyectada sobre el disco de Poincaré.

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Vista reducida:

(es) Miel hiperbรณlica (eo) Hiperbola mielo http://profesor-ues.blogspot.com/2015/03/miel-hiperbolica.html

39

(es) Solamente pi

(eo) Nur pi

Descripción artística:

Dibujo de muchos decimales de π con una circunferencia, un diámetro y un radián.

Motivación:

La maravilla de π y su omniprescencia en la naturaleza.

Descripción técnica:

En el fondo una circunferencia de longitud L y un diámetro de longitud D que proveen la definición de L π= .

D Luego está sombreado un segmento circular de un radián de amplitud. Un radián es la medida del ángulo central en una circunferencia que abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio.

Encima de todo están los primeros decimales de π.

40

Vista reducida:

(es) Solamente pi (eo) Nur pi http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/solamente-pi.html

41

(es) El gemido del bosque de Prípiat (eo) La gˆemo de la arbaro ˆce Pripjat (uk) Стогiн прип’ятського лiсу (Se agradece a Leonid Valeri Fessenko, por la traducci´on al ucraniano)

Descripción artística: Es un bosque enfermo en los alrededores de la ciudad de Pr´ıpiat. Esta ciudad fantasma (abandonada) es conocida porque sufri´o los efectos del peor accidente de la historia de la energ´ıa nuclear el 26 de abril de 1986, cuando se produjo el sobrecalentamiento y explosi´on del reactor n´ umero 4 de la Central Nuclear de Chern´obil durante una prueba de apagado.

Motivación: Un documental detallado sobre el desastre nuclear de la central de energ´ıa nuclear de Chern´obil. Ver enlace: http://youtu.be/kJMPERF41P8.

Descripción técnica: Una vista de un conjunto de Julia con semilla c = −0.381966 + 0.618034i en el intervalo de los reales: [-0.052857,0.188571] y en los imaginarios: [-0.105714,0.135714].

El conjunto de Julia con semilla c es el conjunto Jc de todos los puntos z del plano complejo tal que la sucesi´on zn+1 = zn2 + c (con z0 = z) diverge (o m´as pragm´aticamente tal que es no acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si zk , con k ≤ N , tiene un m´odulo mayor que 2, es decir |zk | > 2 (procedimiento est´andar para los conjuntos de Julia y de M´andelbrot).

Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: N . Si la sucesi´on no “diverge” antes de llegar al N -´esimo t´ermino de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La coloraci´on de esta obra tiene un tinte variable aleatorio entre 60 y 74, una saturaci´on aleatoria variable entre 0.41 y 0.66, y un brillo m´aximo aleatorio variable entre 0.32 y 0.35 para los puntos que no pertenecen al conjunto.

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Vista reducida:

(es) El gemido del bosque de Pr´ıpiat (eo) La gˆemo de la arbaro ˆce Pripjat (uk) Стогiн прип’ятського лiсу http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/el-gemido-del-bosque-de-pripiat.html

43

(es) Psicodelia (eo) Psikedelo

Descripción artística:

Un horizonte de colores psicod´elicos, con colores predominantemente c´alidos en el “cielo” y predominantemente fr´ıos en la “tierra”.

Motivación:

La cultura Hippie de los a˜ nos 60’s que influy´o enormemente en el desarrollo de la tecnolog´ıa de finales del siglo 20.

Descripción técnica:

Una vista girada del conjunto de M´andelbrot en el que los puntos que no pertenecen al conjunto se dibujan como capas de colores variables en funci´on del n´ umero m´aximo de iteraciones para determinar la no pertenencia y el valor del complejo final de la sucesi´on.

Mientras que para los puntos que s´ı pertenecen se dejaron los puntos negros.

El conjunto de M´andelbrot es el conjunto M de todos los puntos c del plano complejo tal que la sucesi´on zn+1 = zn2 + c (con z0 = 0 + 0i) no diverge (es decir, tal que es acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si zk , con k ≤ N , tiene un m´odulo mayor que 2, es decir |zk | > 2 (procedimiento est´andar para los conjuntos de Julia y de M´andelbrot).

Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: N . Si la sucesi´on no “diverge” antes de llegar al N -´esimo t´ermino de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

44

Vista reducida:

(es) Psicodelia (eo) Psikedelo http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/psicodelia.html

45

(sv) Ragnarök (es) El ocaso de los dioses (eo) Ekfiniˆgo de la dioj

Descripción artística:

Un escenario ´aspero, afilado y n´ordico que ilustra el cataclismo del Ragnar¨ok, que es el apocalipsis vikingo.

Motivación:

La historia del violento apocalipsis vikingo.

Descripción técnica:

Una vista de un conjunto de Julia con semilla c = −1.4 + 0.0i en el intervalo de los reales: [-0.6,0.6] y en los imaginarios: [-0.6,0.6].

El conjunto de Julia con semilla c es el conjunto Jc de todos los puntos z del plano complejo tal que la sucesi´on zn+1 = zn2 + c (con z0 = z) diverge (o m´as pragm´aticamente tal que es no acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si zk , con k ≤ N , tiene un m´odulo mayor que 2, es decir |zk | > 2 (procedimiento est´andar para los conjuntos de Julia y de M´andelbrot).

Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: N . Si la sucesi´on no “diverge” antes de llegar al N -´esimo t´ermino de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La coloraci´on de esta obra tiene un brillo blanco variable m´as alto mientras m´as r´apido se determina que los puntos no pertenecen al conjunto. Los puntos que s´ı pertenecen al conjunto son negros.

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Vista reducida:

(sv) Ragnar¨ok (es) El ocaso de los dioses (eo) Ekfiniˆgo de la dioj http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/ragnarok.html

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(es) Proyección ortogonal del cubo RGB

(eo) Orta projekcio de la kubo RGB

Descripción artística:

Un cubo hecho de cubitos de los colores brillantes del arcoiris.

Motivación:

Fue una de las primeras ideas de experimento del autor aprendiendo el lenguaje CFDG aunque su concreci´on requiri´o m´as madurez y m´as experiencia en el lenguaje.

Descripción técnica:

Es la vista clara del cubo de color RGB, proyectado ortogonalmente.

El modelo de color RGB (Red-Green-Blue) es el modelo de colores aditivos m´as usado y usado en las pantallas emisoras de luz (monitores de computadora, televisores, tel´efonos, etc.).

En este modelo los colores est´an determinados por su combinaci´on de luz roja, luz verde y luz azul. La combinaci´on m´axima de los tres tipos de luz produce el color blanco. La ausencia de los tres tipos de luz produce el color negro.

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(es) Proyecci´on ortogonal del cubo RGB (eo) Orta projekcio de la kubo RGB http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/proyeccion-cubo-rgb.html

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(es) San Romero estudiante

(eo) Sankta Romero studento

Descripción artística:

Una fotograf´ıa de Óscar Arnulfo Romero y Galdámez en su ´epoca de estudiante/seminarista.

Motivación:

La noticia de confirmaci´on de canonizaci´on de San Romero de Am´erica.

Descripción técnica:

Una fotograf´ıa de Óscar Arnulfo Romero y Galdámez que en lugar de estar formada por pixeles (cuadrados) est´a formada por una teselaci´on rombitrihexagonal.

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(es) San Romero estudiante (eo) Sankta Romero studento http://profesor-ues.blogspot.com/2015/03/san-romero-estudiante.html

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(es) El baile de los primos (eo) Primobalo

Descripción artística: Los n´ umeros primos danzando junto con los n´ umeros compuestos al rededor del n´ umero uno.

Motivación: Una lectura sobre la Esprial de Sacks y sus curiosidades.

Descripción técnica: √ √ Es una espiral polar de la forma (r(ρ), θ(ρ)), con θ = ρ, y r = ρ, con 1 ≤ ρ ≤ 10000, ρ ∈ N y θ medido en revoluciones. Para cada ρ se dibuj´o un c´ırculo de color negro si es primo y griz si es compuesto.

Esta construcci´on se conoce como la Espiral de Sacks.

Alineaciones libres de números primos: Semirrecta horizontal derecha: cuadrados perfectos, es decir n´ umeros de la forma n2 .

L´ınea inmediatamente inferior a la anterior: n´ umeros de la forma n2 − 1, divisibles siempre por n + 1 y n − 1.

Semirrecta horizontal izquierda: n´ umeros de la forma n2 + n (excepto el 2), divisibles siempre por n y n + 1.

Curvas aparentemente densas en números primos: Una espiral que, en la ilustraci´on, termina cerca de la parte inferior del disco: n´ umeros de la forma n2 + n + 41, el polinomio descubierto por Euler.

Otra espiral situada varios lugares por encima de la anterior: n´ umeros de la forma n2 + n + 17.

L´ınea inmediatamente superior a la semirrecta horizontal izquierda: n´ umeros de la forma n2 + n − 1.

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(es) Sexo oral

(eo) Buˆsa seksumado

Descripción artística:

Una vista de cunnilingus.

Motivación:

Ver el nombre.

Descripción técnica:

y2 Una serie segmentos de rectas tangentes a la elipse x2 + = 1 que pasan por la circunferencia x2 +y 2 = 49, 2 m´as el dibujo de la elipse.

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(es) Sexo oral (eo) BuË&#x2020;sa seksumado http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/sexo-oral.html

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(es) La batalla de Esmolensco (eo) La batalo de Smolensko (be) Смаленская бiтва

Descripción artística:

Un ba˜ no de sangre sobre el suelo helado de Esmolensko (Смаленск).

Motivación:

Una serie de documentales sobre la Segunda Guerra Mundial, particularmente sobre la Operaci´on Barbarroja y c´omo se desarrollaron los hechos del avance alem´an en suelo sovi´etico en el per´ıodo de 1941-1943.

Descripción técnica: Una vista de un conjunto de Julia con semilla c = 0.39 − 0.252857i en el intervalo de los reales: [-0.21,0.63] y en los imaginarios: [-0.865714,-0.025714].

El conjunto de Julia con semilla c es el conjunto Jc de todos los puntos z del plano complejo tal que la sucesi´on zn+1 = zn2 + c (con z0 = z) diverge (o m´as pragm´aticamente tal que es no acotada).

El criterio usado para determinar si las sucesiones divergen o no, es si zk , con k ≤ N , tiene un m´odulo mayor que 2, es decir |zk | > 2 (procedimiento est´andar para los conjuntos de Julia y de M´andelbrot).

Puesto que no puede evaluarse hasta el infinito, se usa una cota: N . Si la sucesi´on no “diverge” antes de llegar al N -´esimo t´ermino de las sucesiones, se considera que no diverge, es decir que es acotada.

La coloraci´on de esta obra son puntos de tono rojo y brillo m´aximo con saturaci´on m´as baja para los puntos mientras m´as r´apido se determine que no pertenecen al conjunto, y m´as alta mientras m´as se tarde en determinar la no pertenencia. Los puntos que s´ı pertenecen al conjunto se pintan como rojo intenso.

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Vista reducida:

(es) La batalla de Esmolensco (eo) La batalo de Smolensko (be) Смаленская бiтва http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/la-batalla-de-esmolensco.html

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(es) Torbellinos de pasión (eo) Pasiokirloj

Descripción artística: Dos torbellinos entrelazados girando en la misma direcci´on.

Motivación: Una lectura parcial del libro Indra’s Pearls (ISBN: 0 521 35253 3), y la b´ usqueda de comprender las espirales loxodr´omicas y los lox´odromos en s´ı (https://en.wikipedia.org/wiki/Rhumb_line).

Descripción técnica: La imagen es una serie de proyecciones de l´ıneas de rumbo (lox´odromos) que se construyen en la esfera de Riemann girada sobre su centro, sobre el plano, por medio de una proyecci´on estereogr´afica.

El proceso de construcci´on es el siguiente: Las l´ıneas de rumbo se inician como espirales exponenciales complejas, de la forma: Tn (z) = an z, donde n ∈ Z y a, z ∈ C. Para que las espirales formen una familia como en la imagen, deben tener el mismo valor π π 4 cos + i sin . de a. En este caso a = 5 2 2 Para que estas espirales se conviertan en dobles espirales, se les aplica la siguiente transformaci´on de M¨obius Tˆn (z) = R ◦ Tn ◦ R−1 (z), con R(z) =

z−1 z+1

a los n´ umeros complejos z de la forma cos α + i sin α, con α ∈ n ∈ {−20, −19, −18, −17, . . . , 27, 28, 29, 30}.

π 4

− 0.3, π4 + 0.3 , y

N´otese que R(0) = −1, R(∞) = 1. Es decir, lo que hace R es tomar un punto del plano complejo, lo proyecta en la esfera de Riemann, luego rota la esfera respecto de su centro (con eje de giro paralelo al eje complejo) y finalmente lo proyecta sobre el plano compleo de nuevo.

Para los colores, se utiliz´o una t´ecnica de interpolaci´on lineal segmentada pasando por los colores primarios sustractivos (amarillo, cyan y magenta) asoci´andolos al paso de α.

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Vista reducida:

(es) Torbellinos de pasi´on (eo) Pasiokirloj http://profesor-ues.blogspot.com/2015/07/torbellinos.html

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(es) Delirio

(eo) Deliro

Descripción artística:

Una espiral formada por la cinta enrrollada de una M´aquina de Turing binaria. En el centro de la imagen est´a el motor de la m´aquina.

Motivación:

Los recuerdos del curso de Teor´ıa Matem´atica de la Computaci´on.

Descripción técnica:

Dos espirales exponenciales entrelazadas con ecuaciones r = ± contiene un bit y tiene igual probabilidad de ser uno o cero.

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11 10

θ , con 0 ≤ θ ≤ 20π. Cada celda

Vista reducida:

(es) Delirio (eo) Deliro http://profesor-ues.blogspot.com/2015/02/delirio.html

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(es) El desfile de los primos (eo) Primoparado

Descripción artística: Los n´ umeros primos desfilando al rededor del n´ umero uno.

Motivación: Una lectura sobre la Esprial de Ullam y sus curiosidades.

Descripción técnica: Es una espiral cuadrada de cien vueltas con los n´ umeros primos resaltados. El numero uno se ha marcado con rojo.

Esta construcci´on se conoce como la Espiral de Ullam.

N´otese c´omo los n´ umeros primos se tienden a acumular en segmentos diagonales y tambi´en en segmentos horizontales intermitentes.

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Vista reducida:

(es) El desfile de los primos (eo) Primoparado http://profesor-ues.blogspot.com/2015/03/el-desfile-de-los-primos.html

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