El principio de la biyecciรณn como principio de conteo por Eduardo Adam Navas Lรณpez
Objetivo General El objetivo de este material es «Comprender la noción de conteo» a partir de la construcción de biyecciones entre conjuntos.
Introducción
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El proceso de «contar» es algo que puede parecer muy intrascendente ya que es algo muy cotidiano y no parece tener nada de especial. Sin embargo, es muy interesante comprender lo que significa «contar». En este material presentamos una breve explicación de dicho proceso comenzando desde cómo lo hacían nuestros ancestros prehistóricos hasta cómo lo concebimos modernamente. Hacia el final hay un ejemplo de cómo se utiliza una biyección (una función biyectiva que relaciona dos conjuntos) para mostrar que dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos. Y al final se explica una asignación que le permitirá al lector experimentar ese proceso de construcción. Ejercicio: ¿Cuántos ojos tienes? ¿Cuántos dedos tienes en una mano? ¿Cuántos dedos tienes entre las dos manos?
¿Cómo se contaba en la prehistoria? En la prehistoria nuestros ancestros cazadores-recolectores no conocían los números naturales. Nos podríamos preguntar entonces: ¿No sabían contar?
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Ejercicio: Imagina que vives en la prehistoria y un amigo te pregunta ¿qué tan grande es tu familia? ¿Cómo le contestarías?
¿Cómo se cuenta ahora?
Papá
1
Mamá
2
Pedrito
3
Laura
4
...
...
En la actualidad, para contar los elementos de un conjunto, hacemos las asociaciones de cada uno de los objetos con los números que llamamos «naturales», es decir el 1, el 2, el 3, etc. Siguiendo con la analogía de la tira cómica:
Ejercicio: Realiza una asociación entre los miembros de tu familia con los números naturales tal como en el diagrama. No olvides a ningún miembro.
La noción matemática del conteo Desde el punto de vista matemático moderno, «contar» los elementos de un conjunto significa decir que ese conjunto tiene la misma cantidad de elementos que otro conjunto conocido (generalmente conjuntos de los primeros números naturales): Si decimos que en una mano tenemos cinco dedos, significa que el conjunto de dedos de esa mano tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto {1,2,3,4,5} . Si decimos que la semana tiene siete días, significa que el conjunto de los días de la semana, {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto {1,2,3,4,5,6,7 } .
Ejercicio: ¿Cuántos años tienes? ¿Qué significa la respuesta que acabas de dar?
Como ya habíamos adelantado, como consecuencia del hecho que «contar» significa que dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, significa que se puede realizar una asociación entre los elementos de los dos conjuntos que se conoce como «Correspondencia uno a uno» o bien «Función Biyectiva». Ver https://es.wikipedia.org/wiki/Función_biyectiva. En el ejemplo del diagrama de la página anterior, «Papá» está asociado con el número 1, «Mamá» con el número 2, «Pedrito» con el número 3 y «Laura» con el número 4. Recíprocamente el número 1 está asociado con «Papá», el número 2 con «Mamá», etc. Ejercicio: ¿Cuántos cuadernos usas para tus clases? Establece una relación de correspondencia uno a uno con tus cuadernos y los primeros números naturales. En algunos países existe la tradición de comer 12 uvas en la media noche del 31 de diciembre para saber el futuro. Investiga esta tradición si no la conoces y explica entre qué conjuntos se hace la correspondencia uno a uno.
Ejemplo Vamos a dar un salto importante para demostrar un hecho curioso de los números naturales: «La cantidad de números naturales es la misma cantidad de números naturales pares». Primero definamos los conjuntos que queremos asociar: ℕ={1,2,3,4,5,…} y P={2,4,6,8,10,…} .
Ahora debemos asociar los elementos de ambos conjuntos de forma que a cada elemento de ℕ le correspondencia uno y sólo uno de P , y viceversa, que a cada elemento de P le correspondencia uno y
ℕ
P
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
...
...
sólo uno de ℕ .
Está claro que a cada número natural le corresponde el número que es igual al doble de sí mismo, y a cada número par le corresponde el número que es igual a la mitad de sí mismo.
Tarea Medite el ejemplo anterior y utilícelo como base para explicar por qué la cantidad de números naturales, ℕ={1,2,3,4,5,…} , es la misma cantidad de números enteros: ℤ={…,−5,−4,−3,−2,−1,0,+ 1,+ 2,+ 3,+ 4,+5,…} .