Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010 Proba E c) Probă scrisă la MATEMATICĂ
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE ♦ ♦
Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea punctajului obŃinut la 10.
♦
SUBIECTUL I 4 1. ( (1 − i )( i − 1) ) = ( 2i )4 =
30 de puncte 3p
= 16
2.
f ( − x ) = ln
2p 3+ x = 3− x
3− x = ln 3+ x = − f ( x)
3.
−1
= − ln
2p 3− x = 3+ x
2p
x + 2 x − 8 = ( x − 2 )( x + 4 )
1p 2p
x ∈ ( −4,2 )
1p
( −4; 2 ) ∩ ℤ = {−3, −2, −1,0,1}
2p 1p 1p 1p 2p
2
4. 25 de numere sunt divizibile cu 4 20 de numere sunt divizibile cu 5 5 numere sunt divizibile cu 4 şi cu 5 Deci 40 de numere sunt divizibile cu 4 sau cu 5 5. Fie Q ( a, b ) . Avem MQ = ( a − 1) i + ( b + 2 ) j şi NP = 2i + 3 j MNPQ este paralelogram ⇔ MQ = NP ⇔ a − 1 = 2 şi b + 2 = 3 6.
Punctul căutat este Q ( 3, 1)
2p 2p 1p
AABC = 2 14
3p
4 14 5 SUBIECTUL II 1.a) det ( A ) = 0
2p
AD =
30 de puncte 3p
1 −2 = 7 (sau orice alt minor de ordinul 2 nenul), deci rangul matricei A este 2 3 1
2p
b) Minorul caracteristic este nul, deci sistemul este compatibil nedeterminat De exemplu, luând z = α necunoscută secundară se obŃine x = 2α − 3, y = 31 − 3α, z = α c) x = 2α − 3 ≥ 0, y = 31 − 3α ≥ 0, z = α ≥ 0 ⇒ 3 31 ≤α≤ 2 3 α ∈ {2,3, 4,...,10} Sunt 9 soluŃii în ℕ × ℕ × ℕ 2.a) a, b ∈ ℤ 5 şi card ℤ 5 = 5 Deci mulŃimea A are 25 de elemente 1 BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
2p 3p 1p 2p 1p 1p 2p 3p Varianta 9
Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
b)
c)
3ɵ 1ˆ a b 3ɵa − b 3ɵb + a ⋅ = −1ˆ 3ɵ −b a − a − 3ɵb −b + 3ɵa 3ɵa − b 3ɵb + a 0ˆ 0ˆ ɵ = b şi 3b ɵ = −a = dacă 3a − a − 3ɵb −b + 3ɵa 0ˆ 0ˆ 1ɵ 3ɵ Un exemplu: M = −3ɵ 1ɵ
{ }
1p 2p
4ɵ 0ˆ ˆ ɵ 0 4
2p 30 de puncte 3p 2p 2p 2p
FuncŃia f este strict crescătoare pe ( −∞, −1) şi pe ( −1, +∞ )
1p
f '' ( x ) =
−2 ( 2 x + 1)
( 2x
2
)
+ 2x + 1
2
, x ≠ −1
2p 1p
1 2
Din tabelul de variaŃie rezultă că x = − n +1
In =
n +1
1
∫ 2 − x dx = ( 2 x − ln x ) n
1 este punct de inflexiune al funcŃiei f 2
= 2 − ln
n
I n+1 − I n = ln
2p
n +1 n
2p
n +1 n+2 − ln = n n +1
2 n + 1) ( n 2 + 2n + 1 1 = ln = ln 2 = ln 1 + 2 > 0, n ( n + 2) n + 2n n + 2n
c)
0ˆ ⇔ x 2 − y 2 = 1ˆ şi xy = 0ˆ ˆ1
2 x 2 + 2 x + 1 > 0 pentru orice x real, deci f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ \ {−1}
f '' ( x ) = 0 ⇔ x = −
b)
2p
x2 − y 2 y 2ˆ xy 1ˆ 2 = atunci X = I 2 ⇔ ˆ x x 2 − y 2 0ˆ −2 xy ɵ ɵ ; dacă y = 0ˆ ⇒ x 2 = 1ˆ ⇒ x ∈ 1; ˆ 4ɵ Dacă x = 0ˆ ⇒ y 2 = 4ɵ ⇒ y ∈ 2;3
0ˆ 2ɵ 0ˆ 3ɵ 1ˆ 0ˆ ObŃinem matricele , , , − 2ɵ 0ˆ −3ɵ 0ˆ 0ˆ 1ˆ SUBIECTUL III 1.a) π lim f ( x) = x →∞ 4 π Deci y = este asimptota orizontală spre + ∞ . 4 b) 1 f '( x ) = 2 2x + 2x + 1
2.a)
1p
x Dacă X = −y
{ }
c)
2p
1p ∀n ∈ ℕ∗ , deci şirul este strict crescător
n +1 n +1 ≤ 2 < e ⇒ 0 < ln <1 n n n +1 1 < 2 − ln <2 n 1 < I n < 2, ∀n ∈ ℕ ∗ , deci şirul este mărginit 1<
lim n ( 2 − I n ) = lim n ln
n→∞
n→∞
2p 2p 1p
n +1 = n
2 BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
2p
2p
Varianta 9
Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare n
1 = lim ln 1 + = ln e = 1 n →∞ n
3 BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
3p
Varianta 9