Fundamentos de Inferência Estatística by Fernando Almeida

2019

Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada Estimação e Teste de Hipóteses Este livro pretende ser uma breve referência na área de inferência estatística, no qual se introduzem conceitos e cenários de aplicabilidade da estimação pontual, intervalar e teste de hipóteses. O livro encontra-se organizado em 8 capítulos de forma a facilitar e guiar o leitor ao longo da obra. Em cada capítulo um cenário base de estimação da classificação dos alunos numa dada unidade curricular é instanciado e adaptado de acordo com as condições de estimação e cenários formulados. O processo de resolução de cada exercício é apresentado e discutido, de forma a evidenciar a metodologia adotada e principais dificuldades na sua resolução. Por fim, apresenta-se os princípios fundamentais e utiliza-se a distribuição normal, t de Student, binomial, qui-quadrado e F de Snedecor no processo de resolução dos exercícios.

Fernando Almeida, PhD. e Nelson Amoêdo, MSc. Universidade do Porto, INESC TEC e ISPGaya 3/21/2019

Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Índice de Conteúdos Índice de Figuras ........................................................................................................................... 4 Acrónimos ..................................................................................................................................... 5 Glossário ........................................................................................................................................ 6 Simbologia ..................................................................................................................................... 7 1. Introdução ................................................................................................................................. 8 1.1 Contextualização ................................................................................................................................... 8 1.2 Objetivos ............................................................................................................................................... 9 1.3 Estrutura do Livro .................................................................................................................................. 9 2. Parâmetro de Estimação: média ............................................................................................. 11 2.1 Estimação pontual ............................................................................................................................... 11 2.2 Estimação intervalar............................................................................................................................ 12 2.2.1 População normal com desvio padrão populacional conhecido ................................................. 13 2.2.2 População normal com desvio padrão populacional desconhecido ............................................ 15 2.2.3 População normal ou não normal com desvio padrão populacional desconhecido ................... 17 2.3 Teste de hipóteses .............................................................................................................................. 18 2.3.1 População normal com desvio padrão populacional conhecido ................................................. 20 2.3.2 População normal com desvio padrão populacional desconhecido ............................................ 21 2.3.3 População normal ou não normal com desvio padrão populacional desconhecido ................... 22 2.4 Erros tipo I e tipo II .............................................................................................................................. 23 2.4.1 Cenário I ....................................................................................................................................... 24 2.4.2 Cenário II ...................................................................................................................................... 24 2.4.3 Cenário III ..................................................................................................................................... 25 3. Parâmetro de Estimação: diferença entre duas médias ......................................................... 26 3.1 Estimação pontual ............................................................................................................................... 26 3.2 Estimação intervalar............................................................................................................................ 27 3.2.1 Populações normais com desvio padrão populacional conhecido .............................................. 27 3.2.2 Populações normais com desvio padrão populacional desconhecido e igual ............................. 28 3.2.3 Populações normais com desvio padrão populacional desconhecido e diferente ...................... 29 3.2.4 Populações normais ou não com desvio padrão populacional desconhecido ............................ 31 3.2.5 Populações normais com dados dependentes ou emparelhados ............................................... 31

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 3.3 Teste de hipóteses .............................................................................................................................. 32 3.3.1 Populações normais com desvio padrão populacional conhecido .............................................. 32 3.3.2 Populações normais com desvio padrão populacional desconhecido e igual ............................. 34 3.3.3 Populações normais com desvio padrão populacional desconhecido e diferente ...................... 35 3.3.4 Populações normais ou não com desvio padrão populacional desconhecido ............................ 36 3.3.5 Populações normais com dados dependentes ou emparelhados ............................................... 37 4. Parâmetro de Estimação: proporção ...................................................................................... 39 4.1 Estimação pontual ............................................................................................................................... 39 4.2 Estimação intervalar............................................................................................................................ 40 4.3 Teste de hipóteses .............................................................................................................................. 41 5. Parâmetro de Estimação: diferença entre duas proporções .................................................. 43 5.1 Estimação pontual ............................................................................................................................... 43 5.2 Estimação intervalar............................................................................................................................ 43 5.3 Teste de hipóteses .............................................................................................................................. 44 6. Parâmetro de Estimação: distribuição binomial ..................................................................... 47 6.1 Estimação pontual ............................................................................................................................... 48 6.2 Estimação intervalar............................................................................................................................ 49 6.3 Teste de hipóteses .............................................................................................................................. 50 7. Parâmetro de Estimação: variância ou desvio padrão ............................................................ 54 7.1 Estimação pontual ............................................................................................................................... 55 7.2 Estimação intervalar............................................................................................................................ 55 7.3 Teste de hipóteses .............................................................................................................................. 56 8. Parâmetro de Estimação: razão de duas variâncias ou desvios padrão ................................. 61 8.1 Estimação pontual ............................................................................................................................... 62 8.2 Estimação intervalar............................................................................................................................ 63 8.3 Teste de hipóteses .............................................................................................................................. 64 Bibliografia .................................................................................................................................. 67 ANEXOS ....................................................................................................................................... 69

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Índice de Figuras Figura 1 - Processo de inferência estatística (Martins M. , 2006) ................................................................... 8 Figura 2 - Distribuição da média por três amostras (Martins, 2012) ........................................................... 11 Figura 3 - Representação do nível de confiança e nível de significância (University of Delaware) ............. 12 Figura 4 - Definição dos limites de estimação com base no erro (Bessegato, 2016) .................................... 12 Figura 5 - Comportamento da distribuição t de Student para diferentes graus de liberdade (Ganter, 2011) ....................................................................................................................................................................... 15 Figura 6 - Teste unilateral à direita ............................................................................................................... 18 Figura 7 - Teste bilateral................................................................................................................................ 19 Figura 8 – Análise gráfica do erro tipo I e tipo II ........................................................................................... 20 Figura 9 - Populações com a mesma variância (Fogo, 2016) ........................................................................ 26 Figura 10 - Populações com variância diferente (Fogo, 2016) ...................................................................... 26 Figura 11 - Exemplo de proporção I (AlgoSobre, 2016) ................................................................................ 39 Figura 12 - Exemplo de proporção II (AlgoSobre, 2016) ............................................................................... 39 Figura 13 - Exemplo de proporção III (AlgoSobre, 2016) .............................................................................. 39 Figura 14 - Distribuição binomial (Galileu, 2016) .......................................................................................... 47 Figura 15 - Distribuição binomial (Galileu, 2016) .......................................................................................... 48 Figura 16 - Distribuição de Qui-quadrado (ThinkFinance, 2016) .................................................................. 54 Figura 17 - Distribuição F de Snedecor (Pó, 2016) ........................................................................................ 62

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Acrónimos Bin - distribuição binomial DP - Desvio Padrão ET - Estatística de Teste GL - Graus de Liberdade IC - Intervalo de Confiança Med - Mediana N - distribuição normal Var - Variância TLC - Teorema do Limite Central

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Glossário Amostra - subcolecção de elementos extraídos de uma população e deverá ser considerada finita. A amostra deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo que ela represente todas as características da população. Estimador - medida numérica que descreve uma característica determinada na amostra, uma função de seus elementos. Parâmetro - medida numérica que descreve uma característica de uma população. Geralmente é representada por uma letra grega. População - coleção completa de todos os elementos a serem estudados (valores, pessoas, medidas, etc). A população é o conjunto Universo, podendo ser finita ou infinita. Simetria - uma distribuição é dita simétrica quando apresenta o mesmo valor para a moda, a média e a mediana. Variáveis - características que são medidas, controladas ou manipuladas em uma pesquisa. Diferem em muitos aspetos, principalmente no papel que a elas é dado em uma pesquisa e na forma como podem ser medidas.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Simbologia - média da amostra µ - média da população S2 - variância da amostra S'2 - variância corrigida da amostra σ2 - variância da população S - desvio padrão da amostra S' - desvio padrão corrigido da amostra σ - desvio padrão da população p* - proporção na amostra p - proporção na população n - número de elementos na amostra Z - valor de referência obtido na tabela normal t - valor de referência obtido na tabela t de Student α - nível de significância π - estimação populacional da proporção q - valor representativo de 1-p E0 - erro máximo

- qui-quadrado

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 1. Introdução 1.1 Contextualização A Estatística pode ser definida como um conjunto de métodos especialmente apropriados à recolha, à apresentação (organização, resumo e descrição), à análise e à interpretação de dados de observação, tendo como objetivo a compreensão de uma realidade específica para a tomada da decisão (Duarte, 2016). A estatística preocupa-se essencialmente com as seguintes áreas:  Recolha, organização, sintetização e apresentação de dados, quer seja em forma tabular ou gráfica;  Calculo de estatísticas amostrais sobre os dados, considerando medidas de posição e de variabilidade dos dados;  A estimativa dos parâmetros da população e a determinação da precisão das estimativas;  A aplicação dos testes de hipótese em relação aos parâmetros;  A análise da relação entre duas (correlação bivariada) ou mais variáveis (correlação multivariada). Desta forma, uma das principais áreas de estudo da estatística passa pela análise da variabilidade apresentada pelos dados. Esta informação permite-nos tirar conclusões a partir dos dados, mas também exprimir o grau de confiança, que devemos ter nessas conclusões. Esta é uma parte fundamental do processo de inferência estatística. A inferência estatística pode ser entendida como o processo pelo qual é possível tirar conclusões acerca da população usando informação de uma amostra, constituindo questão central, saber como usar os dados da amostra para obter conclusões acerca da população. Segundo (Huot, 2002) a estatística inferencial permite a generalização, a uma população, de informações obtidas a partir de uma amostra representativa e a tomada de decisão. Assim sendo, (Reis, Andrade, & Calapez, 1999) argumentam que a base da inferência estatística consiste na possibilidade de se tomarem decisões sobre os parâmetros de uma população, sem que seja necessário proceder a um recenseamento de toda a população. Quando se pretende estimar um determinado parâmetro da população podemos usar os elementos da amostra na sua determinação. A esses elementos da amostra damos o nome de estatística que é uma caraterística da amostra. Por oposição, o parâmetro representa uma caraterística numérica da população. Na figura 1 temos uma ilustração desta situação.

Figura 1 - Processo de inferência estatística (Martins M. , 2006)

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 1.2 Objetivos Este livro tem por objetivo servir como referência fundamental na área de inferência estatística. Para o efeito o livro aborda os seguintes conteúdos académicos:  Estimação pontual de estatísticas amostrais (média, variância, desvio padrão, etc.);  Estimação intervalar de estatísticas amostrais (média, variância, desvio padrão, etc.);  Teste de hipóteses tendo por base estatísticas amostrais (média, variância, desvio padrão, etc.);  Determinação de estimativas populacionais tendo por base proporções;  Estimação populacional tendo como referência a distribuição de bernoulli e binomial;  Aplicações da distribuição normal, t de Student, qui-quadrado e F de Snedecor.

1.3 Estrutura do Livro Este livro encontra-se organizado em 8 capítulos, conforme se apresente a sua estrutura:  Capítulo 1 "Introdução" - realiza-se um breve enquadramento da pertinência da inferência estatística em estudos estatísticos, apresenta-se os objetivos concretos desta obra e descreve-se a sua estrutura;  Capítulo 2 "Parâmetro de Estimação - média" - efetua-se estimações pontuais, intervalares e teste de hipóteses tendo por base a média de uma amostra;  Capítulo 3 "Parâmetro de Estimação: diferença entre duas médias" - efetua-se estimações pontuais, intervalares e teste de hipóteses tendo por base a média de duas amostras independentes ou dependentes/emparelhados;  Capítulo 4 "Parâmetro de Estimação: proporção" - realiza-se estimações pontuais, intervalares e teste de hipóteses tendo por base proporções numa amostra;  Capítulo 5 "Parâmetro de Estimação: diferença entre duas proporções" - realiza-se estimações pontuais, intervalares e teste de hipóteses tendo por base proporções de duas amostras;  Capítulo 6 "Parâmetro de Estimação: distribuição binomial" - efetua-se estimações pontuais, intervalares e teste de hipóteses tendo por base a distribuição binomial. Realiza-se, igualmente, aproximações da distribuição binomial pela distribuição normal no processo de estimação;  Capítulo 7 "Parâmetro de Estimação: variância ou desvio padrão" - realiza-se estimações pontuais, intervalares e teste de hipóteses tendo por base o comportamento da variância ou desvio padrão. Aplicação a distribuição de qui quadrado;  Capítulo 8 "Parâmetro de Estimação: razão de duas variâncias ou desvios padrão" - realiza-se estimações pontuais, intervalares e teste de hipóteses tendo por base duas variâncias ou desvios padrão. Aplica-se a distribuição F de Snedecor;  "Bibliografia" - apresenta-se o material bibliográfico de suporte que serviu de apoio na elaboração deste livro;  "Anexo I" - tabela da distribuição normal;

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019  "Anexo II" - tabela da distribuição t de Student;  "Anexo III" - tabela da distribuição binomial;  "Anexo IV" - tabela da distribuição de qui-quadrado;  "Anexo V" - tabela da distribuição F de Snedecor.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 2. Parâmetro de Estimação: média A média aritmética ou simplesmente média é a mais importante medida de tendência central. Esta medida representa o centro do conjunto de dados, ou seja, o seu ponto de equilíbrio. A média pode ser facilmente calcula através da fórmula: A média tem ainda a particularidade de dar uma boa indicação do centro da amostra quando a distribuição dos dados for aproximadamente simétrica. Na figura 2 é possível ver o comportamento da média conforme a distribuição dos elementos de cada uma das três amostras.

Figura 2 - Distribuição da média por três amostras (Martins, 2012)

No histograma do lado esquerdo temos uma figura aproximadamente simétrica, pelo que o centro está bem definido. No histograma do centro o enviesamento para a direita provoca uma deslocação da média para a direita; finalmente no histograma da direita o enviesamento para a esquerda provoca uma deslocação da média para a esquerda. Importa referir que média pode ser representada de duas formas:  - representa a média extraída de uma amostra;  µ - representa a média da população. Neste caso, todos os valores da população são considerados.

2.1 Estimação pontual A estimação pontual considera um único ponto, ou valor único, usado para aproximar um parâmetro populacional. No caso da estimação pontual da média devemos considerar que a média amostral é a melhor estimativa pontual para a média populacional. Enunciado I Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Determine a estimativa pontual da média populacional. Na resolução do Enunciado I devemos calcular em primeiro lugar a média amostral. Para o efeito determinamos: = (14,5+15,3+10,6+18,7+12,3)/5 = 14,28 De seguida, e atendendo a que pretendemos obter uma estimativa pontual, podemos afirmar que µ = logo µ = 14,28.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 O processo de resolução, qualquer que seja o tamanho da amostra, é sempre idêntico. Obviamente que o grau de precisão de uma estimativa pontual é necessariamente baixo, sendo que esta precisão é cada vez mais baixa à medida que se diminui o número de elementos de uma amostra.

2.2 Estimação intervalar A estimação intervalar consiste na determinação de um intervalo onde, com uma certa confiança ou probabilidade, se encontra o parâmetro em causa desconhecido. Para se construir um intervalo de confiança é necessário indicar um dado grau de confiança que é uma medida da nossa certeza de que o intervalo considerado contém o parâmetro populacional. Esta probabilidade é dada por 1-α, onde α representa a probabilidade da média estar em uma das caudas. Esta situação é ilustrada na Figura 3.

Figura 3 - Representação do nível de confiança e nível de significância (University of Delaware)

Uma situação que emerge da determinação do nível de confiança é o processo de cálculo do erro associado à estimativa. O erro é denotado por (E). Na figura 4 vemos precisamente esta situação e como o erro estabelece a definição do limite inferior e superior da estimativa.

Figura 4 - Definição dos limites de estimação com base no erro (Bessegato, 2016)

Por fim, e tendo por base o valor do erro máximo que pretendemos aceitar num processo de estimação, podemos determinar qual o valor mínimo que o tamanho da amostra deve possuir. Esta situação é pertinente em diversos estudos estatísticos, uma vez que tipicamente na maioria dos estudos estatísticos temos restrições significativas no acesso a amostras de elevada dimensão.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 2.2.1 População normal com desvio padrão populacional conhecido Quando sabemos que a população é normal com desvio padrão populacional conhecido então devemos usar a fórmula abaixo.

Enunciado II Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Determine a estimativa intervalar da média populacional, considerando que o desvio população é conhecido e igual a 2,3 valores. Considere também para o efeito um intervalo de confiança de 95%.

Na resolução do Enunciado II devemos calcular em primeiro lugar a média amostral, que já é do nosso conhecimento atendendo ao exemplo anterior. De seguida, devemos consultar a tabela normal para determinar o valor de Z a partir da sua função de distribuição cumulativa normal. Considerando um Intervalo de Confiança (IC) de 95%, isto significa que o nível de significância é igual a 0,05 ou 5%. Assim temos: =

= 1,96

Neste momento já temos todos os valores pré-calculados para determinar a estimativa intervalar da população. Assim temos: µ = 14,28 ± 1,96 .

µ = 14,28 ± 2,016

µ = [12,264 ; 16,296]

No caso de aumentarmos o tamanho do intervalo de confiança para 99% então teremos um intervalo estimado da população superior. Esta situação é reportada no cálculo abaixo: µ = 14,28 ± 2,575 .

µ = 14,28 ± 2,649

µ = [11,631 ; 16,929]

No caso de diminuirmos o tamanho do intervalo de confiança para 90% então teremos um intervalo estimado da população inferior. Esta situação é reportada no cálculo abaixo: µ = 14,28 ± 1,645 .

µ = 14,28 ± 1,692

µ = [12,588 ; 15,972]

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Enunciado III Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Determine a estimativa intervalar da média populacional, considerando que o desvio população é conhecido e igual a 2,3 valores. Considere também para o efeito um nível de significância de 2% e que a população tem distribuição normal.

Na resolução do Enunciado III devemos determinar em primeiro lugar a média amostral, que já é do nosso conhecimento atendendo aos exemplos anteriores. De seguida, devemos consultar a tabela normal para determinar o valor de Z a partir da sua função de distribuição cumulativa normal. Considerando um nível de significância (α) de 0,02, implica que o Intervalo de Confiança (IC) é de 98. Assim temos: =

= 2,326

Neste momento já temos todos os valores pré-calculados para determinar a estimativa intervalar da população. Assim temos: µ = 14,28 ± 2,326 .

µ = 14,28 ± 2,393

µ = [11,887 ; 16,673]

Enunciado IV Determine quantos alunos devemos ter numa turma de forma a garantir que o erro máximo da classificação obtida na prova de Estatística é de 1 valor. Considere que o desvio padrão populacional é de 2,3 valores. Considere também um nível de confiança de 98% e que a população tem distribuição normal. Na resolução do Enunciado IV devemos usar a fórmula abaixo. 2

Vamos determinar o valor de Z da tabela normal considerando as condições do enunciado: =

= 2,326

Nesta fase podemos então substituir todos os valores na expressão acima:

n = 28,62

Assim, e de forma a não se ultrapassar o erro máximo de 1 valor, devemos ter pelo menos 29 alunos na amostra.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 2.2.2 População normal com desvio padrão populacional desconhecido Quando sabemos que a população é normal, mas com desvio padrão populacional desconhecido, então teremos igualmente que prestar atenção ao tamanho da população. No caso de n ser igual ou superior a 30 elementos então podemos usar a distribuição normal (conforme explicado na secção 2.2.3); se n é inferior a 30 elementos então temos que usar a distribuição t de Student. Esta distribuição é aplicada em cenários de análise com pequenas amostras. Graficamente a distribuição t de Student é semelhante à distribuição normal, mas o seu comportamento tem em consideração o número de graus de liberdade da variável em análise (Figura 5).

Figura 5 - Comportamento da distribuição t de Student para diferentes graus de liberdade (Ganter, 2011)

A distribuição t de Student possui as seguintes propriedades:  O seu comportamento é distinto consoantes os graus de liberdade;  É simétrica, mas reflete a maior variabilidade esperada em pequenas amostras;  Possui média centrada em zero e o seu desvio padrão varia de acordo com o tamanho da amostra, mas é sempre superior a 1;  Quanto maior é o valor de "n", maior é a sua aproximação em relação à distribuição normal. Para n>30 podemos utilizar a distribuição normal, em detrimento da distribuição t de Student; Devemos ter igualmente presente as condições de utilização da distribuição t de Student:  Tamanho da amostra pequena (n<30);  Desvio padrão populacional desconhecido;  População original pode ser aproximada por uma distribuição normal. Em detrimento do desvio padrão como estimador deveremos usar o desvio padrão corrigido que garante uma maior consistência dos dados (não tendencioso) e que deve ser utilizado quando não estão disponíveis volumes elevados de dados (Fernandes, 2013). Verificadas as condições expostas acima poderemos usar a fórmula de cálculo abaixo:

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Enunciado V Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Determine a estimativa intervalar da média populacional, considerando que o desvio população é desconhecido. Considere também para o efeito um intervalo de confiança de 95% e a população tem distribuição normal.

Na resolução do Enunciado V devemos calcular em primeiro lugar a média amostral, que já é do nosso conhecimento atendendo aos exemplos anteriores. De seguida, devemos consultar a tabela t de Student para um IC de 95%. Na consulta da tabela t de Student devemos ter o seguinte cuidado:  O valor da área t de Student deve ser dividido por 2 tal como acontece com a distribuição normal, considerando que ela também é simétrica;  O valor t de Student leva em consideração os graus de liberdade que assume o valor n-1. Assim sendo, podemos obter o valor t de Student a partir de: =

= 2,776

Temos também que calcular o desvio padrão corrigido dos elementos da amostra, usando a fórmula abaixo:

Calculando o valor dos desvio padrão corrigido amostral temos: S' =

S' = 3,086

Neste momento já temos todos os valores pré-calculados para determinar a estimativa intervalar da população. Assim temos: µ = 14,28 ± 2,776 .

µ = 14,28 ± 3,831

µ = [10,449 ; 18,111]

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Enunciado VI Determine quantos alunos devemos ter numa turma de forma a garantir que o erro máximo da classificação obtida na prova de Estatística é de 2 valores. Considere que numa amostra de 12 alunos se encontrou um desvio padrão de 3,5 valores. Considere também um nível de confiança de 95%. Na resolução do Enunciado VI devemos usar a fórmula abaixo. 2

Vamos determinar o valor t de Student considerando as condições do enunciado: =

= 2,201

Nesta fase podemos então substituir todos os valores na expressão acima:

n = 14,84

Assim, e de forma a não se ultrapassar o erro máximo de 2 valores, devemos ter pelo menos 15 alunos nessa amostra. 2.2.3 População normal ou não normal com desvio padrão populacional desconhecido Independentemente do tipo de população, e tendo por base o teorema do limite central, podemos considerar que uma distribuição com 30 ou mais elementos, as médias das amostras têm distribuição aproximadamente normal (Nóia, 2016). Assim sendo, poderemos usar a fórmula de cálculo abaixo:

Enunciado VII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação apresentada na tabela abaixo no exame de Estatística: 10,5 12,7 14,7 15,2 9,5 9,8 10,2 18,8 19,5 12,6 14,2 14,5 15,0 12,5 12,0 8,5 6,5 15,5 15,8 16,0 10,8 12,3 14,0 18,2 7,5 9,0 12,0 18,0 14,0 14,6 16,2 16,5 17,0 17,5 14,0 18,5 16,5 12,5 10,8 13,0 Determine a estimativa intervalar da média populacional, considerando que o desvio população é desconhecido. Considere também para o efeito um intervalo de confiança de 95%

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Na resolução do Enunciado VII devemos calcular em primeiro lugar a média amostral. Para o efeito devemos somar todas as notas da turma e dividir pelo número de alunos (n=40). Logo a média amostra é igual: = 13,67 De igual forma também precisamos de calcular o desvio padrão corrigido dos elementos da amostra. S' =

S' = 3,256

Neste momento já temos todos os valores pré-calculados para determinar a estimativa intervalar da população. Assim temos: µ = 13,670 ± 1,96 .

µ = 13,670 ± 1,009

µ = [12,661 ; 14,679]

2.3 Teste de hipóteses Na duas secções anteriores vimos como estimar um parâmetro populacional desconhecido a partir de uma amostra, nomeadamente usando a técnica de estimação pontual e estimação intervalar. Contudo, diversas situações práticas têm uma natureza diferente, requerendo que em função dos valores observados se tomem decisões acerca de diversos parâmetros da população. A condução de um teste de hipóteses pressupõe a existência de duas hipóteses envolvidas, respetivamente:  A hipótese alternativa (H1), que é, em geral, a hipótese proposta pelo investigador. A este tipo de proposta associamos os operadores: "<"; ">" ou "≠". Nas duas primeiras situações temos um teste unilateral à esquerda ou à direita; na última situação temos um teste bilateral;  A hipótese nula (H0), que corresponde à negação da hipótese anterior. A este tipo de proposta associamos o operador: "=". Na figura 6 temos o exemplo de um teste unilateral à direita e na figura 7 temos um exemplo de um teste bilateral. Note-se que no caso de um teste bilateral temos que dividir o nível de significância (α) por 2.

Figura 6 - Teste unilateral à direita

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Figura 7 - Teste bilateral

Por exemplo, e usando um cenário de aplicação proposto por (Pires, 2000), para se decidir se um novo processo de fabrico é melhor do que o anterior o gestor de produção da fábrica formula as seguintes hipóteses:  Ho (hipótese nula): não há diferença entre os dois processos de fabrico;  H1 (hipótese alternativa): o novo processo de fabrico é melhor do que o anterior (teste unilateral à direita). Existem dois tipos de erro que podem ser cometidos aquando da elaboração de um teste de hipóteses, respetivamente:  Erro tipo I: rejeitar H0 sendo H0 verdadeira (erro de rejeição);  Erro tipo II: não rejeitar H0 sendo H0 falsa (erro de não rejeição). A situação acima reportada encontra-se agregada na tabela 1.

Tabela 1 - Tipos de erro num teste de hipóteses (Pires, 2000) As probabilidades associadas aos erros acima podem ser determinadas de acordo com as seguintes regras (Sarabando, 2016):  α = P(erro tipo I) - é chamado o nível de significância do teste;  β = P(erro tipo II) - assume o valor de 1-β, e é chamado de potência do teste. Ao executar um teste de hipóteses é preciso ter controle dos erros tipo I e erros tipo II para que a decisão seja precisa na medida do possível. A situação ideal é aquela em que ambas as probabilidades, α e β, são próximas de zero. No entanto, é fácil verificar-se que ao diminuímos o valor de α, então o β aumenta. Esta situação é apresentada na Figura 8.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Figura 8 – Análise gráfica do erro tipo I e tipo II

Em resumo, o processo de condução de um teste de hipóteses, é constituído por quatro passos fundamentais: 1. Formular a hipótese nula (H0) e a hipótese alternativa (H1); 2. Escolher a estatística de teste a usar, de acordo com o parâmetro a ser testado e as condições do próprio enunciado; 3. Calcular o valor observado da estatística de teste; 4. Determinar a região de rejeição e decidir pela rejeição de H1 ou não rejeição de H1. 2.3.1 População normal com desvio padrão populacional conhecido Enunciado VIII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Determine se podemos considerar que a média da turma é superior a 14 valores usando um intervalo de confiança de 95%. Considere que o desvio padrão populacional é conhecido e igual a 2,3 valores. Na resolução do Enunciado VIII devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: µ = 14 H1: µ > 14 Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2: Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem que a população é normal com desvio padrão populacional conhecido então devemos usar a estatística de teste da distribuição normal, que é dada pela fórmula abaixo:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. ET =

ET =

ET = 0,272

Passo 4: Considerando um IC de 95% temos que a região de rejeição é quando Z0 > 1,645, cujo valor foi obtido a partir da tabela normal. Assim teremos o seguinte cenário de análise.

Como ET < Z0 podemos rejeitar H1 e concluir que a média da turma não é superior a 14 valores. 2.3.2 População normal com desvio padrão populacional desconhecido Enunciado IX Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Determine se podemos considerar que a média da turma é superior a 14 valores usando um intervalo de confiança de 95%. Considere que o desvio padrão populacional é desconhecido. Na resolução do Enunciado IX devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: µ = 14 H1: µ > 14 Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem que o desvio padrão populacional é desconhecido conhecido então devemos usar a estatística de teste da distribuição t de Student, que é dada pela fórmula abaixo:

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. Note-se que para além da média da amostra precisamos de pré-calcular o desvio padrão corrigido dos dados da amostra. Este valor também já tinha sido calculado e é igual a: S' = 3,086 ET =

ET =

ET = 0,203

Passo 4: Considerando um IC de 95% temos que a região de rejeição é quando t0 > 2,132, cujo valor foi obtido a partir da tabela normal. Assim teremos o seguinte cenário de análise.

Como ET < t0 podemos rejeitar H1 e concluir que a média da turma não é superior a 14 valores. 2.3.3 População normal ou não normal com desvio padrão populacional desconhecido Enunciado X Os alunos de uma dada no exame de Estatística: 10,5 12,7 14,7 14,2 14,5 15,0 10,8 12,3 14,0 16,2 16,5 17,0

turma obtiveram a classificação apresentada na tabela abaixo 15,2 12,5 18,2 17,5

9,5 12,0 7,5 14,0

9,8 8,5 9,0 18,5

10,2 6,5 12,0 16,5

18,8 15,5 18,0 12,5

19,5 15,8 14,0 10,8

12,6 16,0 14,6 13,0

Determine se podemos considerar que a média da turma é diferente de 14 valores usando um intervalo de confiança de 95%. Na resolução do Enunciado X devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Passo 1: H0: µ = 14 H1: µ ≠ 14 Estamos perante um teste bilateral. Passo 2: Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem que o desvio padrão populacional é desconhecido, mas em que n ≥ 30, então devemos usar a estatística de teste da distribuição normal, que é dada pela fórmula abaixo:

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. Temos também já pré-calculado o valor respeitante ao desvio padrão corrigido da amostra que assume o valor: S' = 3,256 ET =

ET =

ET = -0,225

Passo 4: Considerando um IC de 95% temos que a região de rejeição é quando ET < 1,96 ou ET > 1,96, cujo valor foi obtido a partir da tabela normal. Assim teremos o seguinte cenário de análise.

Como -Z0 < ET < Z0 podemos rejeitar H1 e concluir que a média da turma não é diferente de 14 valores.

2.4 Erros tipo I e tipo II Passamos também a explicar como calcular o erro tipo I e tipo II conforme definido na Tabela I e ilustrado na Figura 8. Para o efeito consideramos três cenários com pequenas nuances no intervalo de confiança e valor da média.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 2.4.1 Cenário I Este cenário considera que: µ = 12,8 ; S’ = 2,356 e IC = 95% O erro do tipo I é sempre igual ao nível de significância. Logo α = 0,05 Para calcular o erro tipo II, em primeiro lugar convertemos da distribuição normal padrão para a distribuição normal. Z(-α/2) = -1,96 =

Z(α/2) = 1,96 =

= 14 – 1,96*(2,356/

= 14 + 1,96*(2,356/

)

= 11,94

= 16,07

Voltamos a converter para normal reduzido com o novo µ = 12,8 Z(-α/2) =

Z(α/2) =

= (11,94-12,8)/ (2,356/

)

= (16,07-12,8)/ (2,356/

)

= -0,82

= 3,10

β = P( > 11,94) - P( > 16,07) = P(Z > -0,82) - P (Z > 3,10) = 0,7939 – 0,001 = 0,7929 Logo erro tipo II é igual a 0,7929. A potência do teste é igual a 1-β. Neste caso a potência de teste é igual a 0,2071. 2.4.2 Cenário II Este cenário considera que: µ = 12,8 ; S’ = 2,356 e IC = 90% O erro do tipo I é sempre igual ao nível de significância. Logo α = 0,10 Para calcular o erro tipo II, em primeiro lugar convertemos da distribuição normal padrão para a distribuição normal. Z(-α/2) = -1,645 =

Z(α/2) = 1,645 =

= 14 – 1,645*(2,356/

)

= 14 + 1,645*(2,356/

)

= 12,27

= 15,73

Voltamos a converter para normal reduzido com o novo µ = 12,8 Z(-α/2) =

= (12,27-12,8)/ (2,356/

)

= -0,50

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Z(α/2) =

= (15,73-12,8)/ (2,356/

)

= 2,78

β = P( > 12,27) - P( > 15,73) = P(Z > -0,50) – P (Z > 2,78) = 0,6915 – 0,0027 = 0,6888 Logo erro tipo II é igual a 0,6888. A potência do teste é igual a 1-β. Neste caso a potência de teste é igual a 0,3112. Verifica-se que um aumento do erro tipo I faz com que diminua o erro tipo II. 2.4.3 Cenário III Este cenário considera que: µ = 12,0 ; S’ = 2,356 e IC = 95% O erro do tipo I é sempre igual ao nível de significância. Logo α = 0,05 Para calcular o erro tipo II, em primeiro lugar convertemos da distribuição normal padrão para a distribuição normal. Estes valors já tinham sido calculados no cenário I. Temos apenas que converter para normal reduzido o novo µ = 12,0 Z(-α/2) =

Z(α/2) =

= (11,94-12,0)/ (2,356/

)

= (16,07-12,0)/ (2,356/

)

= -0,06

= 3,86

β = P( > 11,94) - P( > 16,07) = P(Z > -0,06) - P (Z > 3,86) = 0,5239 Logo erro tipo II é igual a 0,5239. A potência do teste é igual a 1-β. Neste caso a potência de teste é igual a 0,4761. A potência de teste é tanto maior, quanto maior for a diferença entre o parâmetro de H0 e o novo parâmetro µ.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 3. Parâmetro de Estimação: diferença entre duas médias Quando temos amostras independentes de cada uma de duas populações, podemos sumarizá-las pelas suas médias, desvios padrão e tamanhos amostrais. Um estimador não viciado para (µA - µB) é dado pela estatística ( obtida conforme três situações (Fogo, 2016):

) e a sua distribuição amostral é

 Populações independentes com variâncias conhecidas;  Populações independentes com variâncias desconhecidas, porém, iguais;  Populações independentes com variâncias diferentes e desconhecidas. Graficamente a variância de duas populações pode ser vista conforme exposto na Figura 9 e Figura 10. Na figura 8 temos duas população com a mesma variância; na figura 9 temos a população B com uma variância superior a A. Esta situação pode ser facilmente percecionada analisando o comportamento da distribuição da figura 9.

Figura 9 - Populações com a mesma variância (Fogo, 2016)

Figura 10 - Populações com variância diferente (Fogo, 2016)

3.1 Estimação pontual O melhor estimador pontual para a diferença populacional de duas médias é a própria diferença da média de duas amostras independentes.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Enunciado XI Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações nesse exame de Estatística: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Determine a estimativa pontual da diferença da média entre as duas turmas. Na resolução do Enunciado XI devemos calcular em primeiro lugar ambas as médias. No caso da 1ª turma já tínhamos este valor calculado e . No caso da 2ª turma temos que determinar esse valor, calculando: =11,71 Logo a estimativa pontual da diferença da média populacional é dada por:

µA - µB =

µA - µB = 14,28 - 11,71

µA - µB = 2,57

3.2 Estimação intervalar 3.2.1 Populações normais com desvio padrão populacional conhecido Quando sabemos que a população é normal com desvio padrão populacional conhecido então devemos usar a fórmula abaixo:

Enunciado XII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações nesse exame de Estatística: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Determine a estimativa intervalar da diferença da média entre as duas turmas, considerando que a variância populacional da turma A é de 1,8 valores e de 1,5 valores para a turma B. Considere um IC de 95%. Na resolução do Enunciado XII devemos calcular em primeiro lugar ambas as médias. Estes valores já tinham sido calculados anteriormente, sendo de 14,28 para a turma A e de 11,71 para a turma B. Nesta altura já temos todos os valores disponíveis para determinar a estimativa intervalar, que é dada por:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 µA - µB = 14,28 - 11,71

µA - µB = 2,57

µA - µB = [1,12 ; 4,02]

Enunciado XIII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações nesse exame de Estatística: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Determine a estimativa intervalar da diferença da média entre as duas turmas, considerando que o desvio padrão populacional da turma A é de 1,3 valores e de 0,85 valores para a turma B. Considere um IC de 98%.

Na resolução do Enunciado XIII devemos calcular em primeiro lugar ambas as médias. Estes valores já tinham sido calculados anteriormente, sendo de 14,28 para a turma A e de 11,71 para a turma B. Nesta altura já temos todos os valores disponíveis para determinar a estimativa intervalar, que é dada por: µA - µB = 14,280 - 11,712

µA - µB = 2,568

µA - µB = [1,046 ; 4,090]

3.2.2 Populações normais com desvio padrão populacional desconhecido e igual Quando sabemos que a população é normal com desvio padrão populacional desconhecido e igual, e o tamanho da 1ª amostra ou da 2ª amostra é menor do que 30 elementos, então devemos usar a fórmula abaixo:

Um dos elementos da fórmula acima apresentada diz respeito ao cálculo do SP2, que pode ser determinado da seguinte forma:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Enunciado XIV Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações nesse exame de Estatística: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Determine a estimativa intervalar da diferença da média entre as duas turmas, considerando que o desvio padrão populacional é desconhecido, mas que será idêntico para as duas turmas. Considere um IC de 95%. Na resolução do Enunciado XIV devemos em primeiro lugar determinar o valor relativo a SP2. Para o efeito precisamos de calcular o desvio padrão corrigido para cada uma das turmas. Este valor já tinha sido previamente para calculado para a turma A e correspondia a 3.086 valores. Em relação à turma B teremos que calcular pela 1ªvez o seu valor, usando a expressão abaixo: S' = 2,205

S' =

Nesta fase podemos então iniciar com o processo de cálculo do SP2. Para o efeito atendemos à expressão abaixo:

S P2 =

SP2 = 2,525

Nesta fase, e para prosseguirmos com o cálculo da estimativa intervalar da diferença das duas médias precisamos de determinar o valor da tabela t de Student correspondente ao intervalo de confiança estabelecido no enunciado. =

= 2,201

Agora podemos então substituir todos os elementos na expressão inicial, ficando com: µA - µB = 14,280 - 11,712

µA - µB = 2,568

µA - µB = [0,574 ; 4,562]

3.2.3 Populações normais com desvio padrão populacional desconhecido e diferente Quando sabemos que a população é normal com desvio padrão populacional desconhecido e diferente, e o tamanho da 1ª amostra ou da 2ª amostra é menor do que 30 elementos, então devemos usar a fórmula abaixo:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Enunciado XV Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações nesse exame de Estatística: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Determine a estimativa intervalar da diferença da média entre as duas turmas, considerando que o desvio padrão populacional é desconhecido e diferente para as duas turmas. Considere um IC de 95%. Na resolução do Enunciado XV devemos em primeiro lugar determinar os valores do desvio padrão corrigido dos alunos da turma A e turma B. Estes valores já tinham sido calculados anteriormente, sendo de: S'A = 3,086 e S'B = 2,205. Contudo, a determinação dos graus de liberdade da distribuição t de Student associada ao cenário em análise torna-se mais complexa, uma vez que deve ser usada a fórmula abaixo no seu cálculo:

Efetuando o cálculo acima chegamos à expressão abaixo:

m = 6,577

Temos, portanto, estabelecido que os graus de liberdade será igual ao valor arredondado ao inteiro mais próximo, que neste caso diz-nos que GL = 7. Portanto, podemos ir agora consultar o seu valor na tabela t de Student: = 2,365 Agora podemos então substituir todos os elementos na expressão inicial, ficando com: µA - µB = 14,280 - 11,712

µA - µB = 2,568

µA - µB = [-1,181 ; 6,317]

Conforme seria de esperar, e considerando o cenário da secção anterior, o intervalo de estimação tornase bem maior. Isto acontece porque se indica que o desvio padrão populacionais são desconhecidos, o que origina um maior grau de incerteza no processo de estimação.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 3.2.4 Populações normais ou não com desvio padrão populacional desconhecido Quando temos duas amostras em que o tamanho de ambos é superior a 30, e Independentemente do comportamento da distribuição da população, então podemos usar a fórmula abaixo:

Na expressão acima estamos a usar no processo de cálculo o desvio padrão corrigido amostral de ambas as amostras, uma vez que neste cenário se assume que o desvio padrão populacional é desconhecido. Enunciado XVI No exame de Estatística a turma A obteve uma média de 15,6 valores e a turma B de 14,1 valores. O desvio padrão corrigido amostral da turma A é de 2,8 valores e para a turma B de 1,3 valores. Sabe-se, também, que a turma A é constituída por 32 alunos e a turma B por 38 alunos. Determine a estimativa intervalar da diferença da média entre as duas turmas, considerando um IC de 90%. Na resolução do Enunciado XVI devemos em primeiro lugar consultar a tabela normal e determinar o seu valor considerando um nível de significância bilateral de 10%: =

= 1,645

Agora podemos usar a expressão acima e determinar o intervalo de confiança da resposta: µA - µB = 15,6 - 14,1

µA - µB = 1,5

µA - µB = [0,615 ; 2,385]

3.2.5 Populações normais com dados dependentes ou emparelhados Quando temos duas amostras em que os dados se encontram dependentes ou emparelhados devemos usar a fórmula abaixo:

A fórmula acima aplica-se quando o tamanho da amostra é menor do que 30, daí usar-se a distribuição t de Student.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Enunciado XVII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística e de Análise Numérica: Disciplina Ana Pedro Paulo Tiago Rita Estatística 14,5 15,3 11,5 18,7 12,3 Análise 12,5 13,5 10,6 15,5 9,0 Numérica Determine a estimativa intervalar da diferença entre as duas médias dos exames, considerando um intervalo de confiança de 98%. Na resolução do Enunciado XVII devemos em primeiro lugar verificar que os dados se encontram emparelhados, já que é o mesmo aluno a realizar os dois exames. De seguida, devemos consultar a tabela t de Student com um nível de significância bicaudal igual a 0,02. Obtém-se que: = 3,747. Fica ainda a faltar calcular a média amostral da diferença entre as duas classificações nos exames ( ). Para o efeito vamos pegar na tabela acima e acrescentar uma nova linha com os vários Di. De forma a termos todos os seus valores positivos vamos proceder ao seu cálculo em módulo. Disciplina Estatística Análise Numérica Di

Ana 14,5 12,5

Pedro 15,3 13,5

Paulo 11,5 10,6

Tiago 18,7 15,5

Rita 12,3 9,0

2,0

1,8

0,9

3,2

3,3

O somatório dos diversos Di dá o valor: 11,2 e é igual a 2,24. Fica ainda em falta o cálculo do desvio padrão corrigido da variável (D). Esta valor pode ser calculo da seguinte forma: SD' = 1,011

SD' =

Por fim, podemos substituir todos os valores na expressão final: µD = 2,24

µD = 2,24

µD = [0,55 ; 3,93]

3.3 Teste de hipóteses 3.3.1 Populações normais com desvio padrão populacional conhecido Enunciado XVIII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma obteve as seguintes classificações nesse exame de Estatística: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Formule um teste de hipóteses de forma a averiguar se a diferença entre as médias das duas turmas é superior a 2 valores. Considere que o desvio padrão populacional da turma A é de 1,8 valores e de 1,5 valores para a turma B. Adote um IC de 95%.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Na resolução do Enunciado XVIII devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: µ1- µ2 = 2 H1: µ1- µ2 > 2 Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2: Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem que o desvio padrão populacional é conhecido devemos usar a estatística de teste da distribuição normal, que é dada pela fórmula abaixo:

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. ET =

ET =

ET = 0,591

Passo 4: Considerando um IC de 95% temos que a região de rejeição é quando ET > 1,645, cujo valor foi obtido a partir da tabela normal. Assim teremos o seguinte cenário de análise.

Como ET < Z0 podemos rejeitar H1 e concluir que a diferença da média das duas turmas não é superior a 2 valores.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 3.3.2 Populações normais com desvio padrão populacional desconhecido e igual Enunciado XIX Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações nesse exame de Estatística: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Efetue um teste de hipóteses de forma a verificar se a diferença entre as duas médias é superior a 1 valor. Considere que o desvio padrão populacional é desconhecido, mas que será idêntico para as duas turmas. Considere um IC de 95%.

Na resolução do Enunciado XIX devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: µ1- µ2 = 1 H1: µ1- µ2 > 1 Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2: Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem que o desvio padrão populacional é desconhecido, mas que será idêntico, devemos usar a estatística de teste da distribuição t de Student, que é dada pela fórmula abaixo:

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. Para o efeito podemos ir buscar o valor de

S P2

que já se encontrava calculado anteriormente. Assim

dispensamos calcular novamente esse valor e temos que: SP ET =

ET =

= 2,525 (ver exemplo XIV) ET = 1,025

Passo 4:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Considerando um IC de 95% temos que a região de rejeição é dada por: =

= 1,796

Como ET < t0 podemos rejeitar H1 e concluir que a diferença da média das duas turmas não é superior a 1 valor. 3.3.3 Populações normais com desvio padrão populacional desconhecido e diferente Enunciado XX Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações nesse exame de Estatística: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Efetue um teste de hipóteses de forma a averiguar se é possível considerarmos que a diferença entre as duas médias é superior a 0,2 valores. Considere que o desvio padrão populacional é desconhecido e diferente para as duas turmas. Considere um IC de 90%. Na resolução do Enunciado XX devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: µ1- µ2 = 0,2 H1: µ1- µ2 > 0,2 Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2: Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem que o desvio padrão populacional é desconhecido, mas que será idêntico, devemos usar a estatística de teste da distribuição t de Student, que é dada pela fórmula abaixo:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. Para o efeito podemos ir buscar o valor do desvio padrão de cada uma das amostra que já se encontra calculado, cujo valor é igual a: S'A = 3,086 e S'B = 2,205 ET =

ET =

ET = 1,495

Passo 4: Nesta fase precisamos de ir buscar o valor de m que também já se encontra previamente calculado. Temos que: m = 6,577 (ver exemplo XV). Considerando um IC de 90% temos que a região de rejeição é dada por: =

= 1,415

Como ET > t0 aceitamos H1 e concluir que a diferença da média das duas turmas é superior a 0,2 valores. 3.3.4 Populações normais ou não com desvio padrão populacional desconhecido Enunciado XXI No exame de Estatística a turma A obteve uma média de 15,6 valores e a turma B de 14,1 valores. O desvio padrão corrigido amostral da turma A é de 2,8 valores e para a turma B de 1,3 valores. Sabe-se, também, que a turma A é constituída por 32 alunos e a turma B por 38 alunos. Efetue um teste de hipóteses de forma a aferir se a diferença entre as duas médias é diferente de 1 valor para um IC de 98%. Na resolução do Enunciado XXI devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: µ1- µ2 = 1 H1: µ1- µ2 ≠ 1 Estamos perante um teste bilateral. Passo 2:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem que o desvio padrão populacional é desconhecido, e considerando que ambas as amostras possuem um tamanho superior a 30 elementos, devemos usar a estatística de teste da distribuição normal, que é dada pela fórmula abaixo:

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. Para o efeito usar o desvio padrão de cada uma das amostra, cujo valor é conhecido a partir do enunciado, respetivamente: S'A = 2,8 e S'B = 1,3 ET =

ET =

ET = 0,928

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar a tabela normal. Considerando um IC de 98% temos que a região de rejeição é dada por: =

= 2,326

Como Z0 > ET > Z0 rejeitamos H1 e concluir que a diferença da média das duas turmas não é diferente de 1 valor. 3.3.5 Populações normais com dados dependentes ou emparelhados Enunciado XXII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exames: Disciplina Ana Pedro Paulo Tiago Rita Estatística 14,5 15,3 11,5 18,7 12,3 Análise 12,5 13,5 10,6 15,5 9,0 Numérica Efetue um teste de hipóteses de forma a verificar se a diferença na média dos dois exames é inferior a 1 valor. Considere um IC de 90%.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Na resolução do Enunciado XXII devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: µ1- µ2 = 1 H1: µ1- µ2 < 1 Estamos perante um teste bilateral. Passo 2: Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem que os dados se encontram emparelhados, ou seja, que dizem respeito ao mesmo aluno, devemos usar a fórmula abaixo:

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. Para o efeito devemos calcular o valor de e também o seu desvio padrão. Estes valores já tinham sido determinado previamente, respetivamente: = 2,24 e S'D = 1,011 ET =

ET =

ET = 2,743

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar a tabela t de Student. Considerando um IC de 90% temos que a região de rejeição é dada por: =

= 1,533

Como ET > t0 rejeitamos H1 e podemos concluir que a diferença das médias é idêntica.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 4. Parâmetro de Estimação: proporção A proporção se refere a uma determinada relação entre as partes que mantêm uma ordem entre si capaz de serem especificadas. O termo pode ser aplicado de diversas formas e em várias áreas, mas é utilizado especialmente em algumas disciplinas, como é o caso da estatística (Conceitos, 2016). Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Esta situação pode ser visualizada na figura 11.

Figura 11 - Exemplo de proporção I (AlgoSobre, 2016)

Sabemos também que uma proporção não se altera ao alterarmos os sues meios, ou os seios extremos, conforme pode ser visualizado na figura 12.

Figura 12 - Exemplo de proporção II (AlgoSobre, 2016)

Por fim, numa proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu respetivo consequente. Esta situação é apresentada na figura 13.

Figura 13 - Exemplo de proporção III (AlgoSobre, 2016)

4.1 Estimação pontual O melhor estimador pontual para a diferença populacional de duas médias é a própria diferença da média de duas amostras independentes. Enunciado XXIII Numa dada faculdade existem 150 alunos inscritos na unidade curricular de Estatística. Sabe-se que 120 alunos obtiveram classificação positiva no exame final da unidade curricular. Determine a estimativa pontual da proporção de alunos que a nível nacional obtiveram aprovação à unidade curricular de Estatística. Na resolução do Enunciado XXIII devemos calcular em primeiro lugar a proporção de alunos que obtiveram aprovação à UC de Estatística, usando a fórmula abaixo: p* =

p* =

p* = 0,8

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Logo, e considerando que a melhor estimativa pontual da proporção populacional é a sua estimativa amostral, podemos afirmar que: p = p* = 0,8

4.2 Estimação intervalar Enunciado XXIV Numa dada faculdade existem 150 alunos inscritos na unidade curricular de Estatística. Sabe-se que 120 alunos obtiveram classificação positiva no exame final da unidade curricular. Determine a estimativa intervalar da proporção de alunos que a nível nacional obtiveram aprovação à unidade curricular de Estatística. Considere um nível de significância de 5%. Na resolução do Enunciado XXIV devemos usar a proporção de elementos da amostra, cujo valor já tinha sido determinado anteriormente, sendo p*=0,8. De seguida temos que adotar a fórmula abaixo:

O valor de q* é dado por 1-p*, logo q* = 0,2. Substituindo todos os valores na expressão temos: p = 0,8

p = 0,8

p = [0,736 ; 0,864]

Vamos agora considerar um enunciado ligeiramente distinto em que o tamanho da amostra é menor do que 40. Enunciado XXV Numa dada faculdade existem 30 alunos inscritos na unidade curricular de Estatística. Sabe-se que 27 alunos obtiveram classificação positiva no exame final da unidade curricular. Determine a estimativa intervalar da proporção de alunos que a nível nacional obtiveram aprovação à unidade curricular de Estatística. Considere um nível de significância de 10% e considere que a nível nacional existem 250 alunos inscritos em Estatística. Na resolução do Enunciado XXV, e uma vez que o tamanho da amostra é finito e inferior a 40, devemos usar a fórmula abaixo, no qual se acrescentou um fator de correção. Para além disso, e para se usar a fórmula abaixo tem-se que garantir que n ≥ 5% N.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Para além disso, e para se usar a fórmula abaixo tem-se que garantir que n ≥ 5% N. Esta condição é respeitada atendendo aos dados do enunciado. Podemos agora calcular o intervalo estimado populacional da proporção: p = 0,9

p = 0,9

p = [0,815 ; 0,985]

Enunciado XXVI Considere que numa prova de Estatística estiveram presentes 35 alunos tendo tido aproveitamento 25 desses alunos. Determine quantos alunos devemos ter numa outra turma de forma a garantir que o erro máximo é inferior a 0,1 com 95% de confiança.

Na resolução do Enunciado XXVI devemos usar a fórmula abaixo.

O valor de p* é igual a: p*=25/35 = 0,714. Vamos também determinar o valor de Z da tabela normal considerando as condições do enunciado: =

= 1,96

Nesta fase podemos então substituir todos os valores na expressão acima:

n = 1,962

n = 78,45

Assim, e de forma a não se ultrapassar o erro máximo de 0,1 devemos ter pelo menos 79 alunos na amostra.

4.3 Teste de hipóteses Enunciado XXVII Numa dada faculdade existem 150 alunos inscritos na unidade curricular de Estatística. Sabe-se que 120 alunos obtiveram classificação positiva no exame final da unidade curricular. Efetue um teste de hipóteses de forma a determinar se a proporção de alunos aprovados é superior a 50%. Considere um intervalo de confiança de 98%.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Na resolução do Enunciado XXVII devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: p = 0,5 H1: p > 0,5 Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2: Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem a existência de uma proporção tendo por base uma distribuição de Bernoulli (dois eventos mutuamente exclusivos: o aluno é aprovado ou reprovado), devemos usar a fórmula abaixo:

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. ET =

ET =

ET = 9,09

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar a tabela normal. Considerando um IC de 98% temos que a região de rejeição é dada por: =

= 2,055

Como ET > Z0 aceitamos H1 e podemos concluir que a proporção de alunos aprovados é superior a 50%.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 5. Parâmetro de Estimação: diferença entre duas proporções A estimação também pode levar em consideração cenários em que temos duas proporções independentes e pretendemos estimar a diferença populacional entre elas. Este cenário é em tudo idêntico à estimação da diferença entre duas médias independentes, mas ajustado o processo de cálculo com elementos incorporados em proporções.

5.1 Estimação pontual A melhor estimativa pontual da diferença populacional entre duas proporções é a diferença delas mesmo considerando uma dada amostra. Enunciado XXVIII Numa dada faculdade existem 150 alunos inscritos na unidade curricular (UC) de Estatística e 220 alunos inscritos na UC de Análise Numérica . Sabe-se que 120 alunos obtiveram classificação positiva no exame final da UC de Estatística e 130 obtiveram aprovação à UC de Análise Numérica. Determine a estimativa pontual da diferença populacional das duas proporções. Na resolução do Enunciado XXVIII devemos calcular em primeiro lugar a proporção de alunos que obtiveram aprovação à UC de Estatística e à UC de Análise Numérica, usando a fórmula abaixo: p1* =

p2* =

p1* =

p2* =

p1* = 0,8

p2* = 0,591

De seguida determinamos a diferença das duas proporções considerando os elementos da amostra: p*=p1*-p2*

p* = 0,8-0,591

p* = 0,209

Logo, e considerando que a melhor estimativa pontual da diferença populacional de duas proporções é a sua estimativa amostral, podemos afirmar que: p = p* = 0,209

5.2 Estimação intervalar Quando temos duas proporções e pretendemos realizar uma estimação intervalar devemos usar a fórmula abaixo:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Enunciado XXIX Numa dada faculdade existem 150 alunos inscritos na unidade curricular (UC) de Estatística e 220 alunos inscritos na UC de Análise Numérica . Sabe-se que 120 alunos obtiveram classificação positiva no exame final da UC de Estatística e 130 obtiveram aprovação à UC de Análise Numérica. Determine a estimativa intervalar da diferença populacional entre as duas proporções considerando um intervalo de confiança de 95%. Na resolução do Enunciado XXIX devemos em primeiro lugar consultar a tabela normal e determinar o seu valor considerando um nível de significância bilateral de 5%: =

= 1,96

Agora podemos usar a expressão acima e determinar o intervalo de confiança da resposta. Salienta-se que as proporções da amostra (p1 e p2) já se encontravam devidamente calculadas. p1 - p2 = 0,8 - 0,591

p1 - p2 = 0,209

p1 - p2 = [0,118 ; 0,3]

5.3 Teste de hipóteses Enunciado XXX Numa dada faculdade existem 150 alunos inscritos na unidade curricular (UC) de Estatística e 220 alunos inscritos na UC de Análise Numérica . Sabe-se que 120 alunos obtiveram classificação positiva no exame final da UC de Estatística e 130 obtiveram aprovação à UC de Análise Numérica. Efetue um teste de hipóteses de forma a aferir se a diferença entre as duas proporções é superior a 0,1 valores considerando um nível de significância de 10%. Na resolução do Enunciado XXX devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: p1-p2 = 0,1 H1: p1-p2 > 0,1 Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2: Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem a existência da diferença entre duas proporções, devemos usar a fórmula abaixo:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. ET =

ET =

ET = 2,344

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar a tabela normal. Considerando um IC de 90% temos que a região de rejeição é dada por: = = = 1,282

Como ET > Z0 aceitamos H1 e podemos concluir que a diferença da proporção de alunos aprovados nas duas provas é superior a 0,1 valores. Enunciado XXXI Numa dada faculdade existem 150 alunos inscritos na unidade curricular (UC) de Estatística e 220 alunos inscritos na UC de Análise Numérica . Sabe-se que 120 alunos obtiveram classificação positiva no exame final da UC de Estatística e 130 obtiveram aprovação à UC de Análise Numérica. Efetue um teste de hipóteses de forma a aferir se a proporção de alunos aprovados em ambas as provas é igual. Considere um IC de 95%. Na resolução do Enunciado XXXI devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: p1 = p2 H1: p1 ≠ p2 Ou seja, esta situação pode ser representada como: Ho: p1-p2 = 0

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 H1: p1-p2 ≠ 0 Estamos perante um teste bilateral. Passo 2: Nesta situação e considerando as condições de enunciado que estabelecem a existência da diferença entre duas proporções, devemos usar a fórmula abaixo:

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste. Contudo, e para que isso seja possível temos que determinar em 1º lugar o valor relativo a .

Substituindo os valores do enunciado na expressão acima temos: 0,676 Nesta fase podemos então determinar o valor respetivo da estatística de teste: ET =

ET =

ET = 4,214

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar a tabela normal. Considerando um IC de 95% temos que a região de rejeição é dada por: = = = 1,96

Como ET > Z0 aceitamos H1 e podemos concluir que a diferença da proporção de alunos aprovados nas duas provas é diferente, ou seja, p1 ≠ p2

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 6. Parâmetro de Estimação: distribuição binomial A distribuição binomial é aplicada frequentemente para descrever controle estatístico de qualidade de uma população. Aplica-se fundamentalmente quando estamos perante duas categorias: item defeituoso ou insatisfatório versus item bom ou satisfatório e sucesso e falha que tenham ocorrido em uma amostra de tamanho fixo. A distribuição binomial é aplicada a eventos provenientes de uma série de experimentos aleatórios, que constituem o chamado Processo de Bernoulli, que foi apresentado no capítulo anterior, no qual a prob. q é dada por 1-p. Numa distribuição binomial aplicam-se as seguintes suposições:  Cada experiência é considerada como uma tentativa. Numa distribuição binomial existem uma série de alternativas, cada uma tendo dois resultados: sucesso ou insucesso;  A probabilidade de sucesso é igual a um dado valor constante para todas as tentativas;  Os resultados sucessivos são estaticamente independentes. A probabilidade de sucesso numa próxima tentativa não varia, não importando quantos sucessos ou falhas tenham sido obtidos anteriormente. A figura 14 ilustra a função massa de probabilidade para alguns valores dos parâmetros de uma distribuição binomial.

Figura 14 - Distribuição binomial (Galileu, 2016)

A distribuição binomial é usada em experiências dicotômicas que são de grande importância em muitas áreas de investigação, como na área médica (sobreviveu ou não), na agronômica (germinou ou não, ocorreu doença ou não) ou no controle de qualidade (com defeito ou não). Essas ocorrências são aleatórias, as unidades de observação frequentemente são independentes e o interesse recai sobre o número de sucessos ocorridos em n observações.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 A distribuição binomial assume uma posição central tendo uma elevada conectividade com outras distribuições como a distribuição de bernoulli, Poisson, normal ou hipergeométrica. Esta situação é genericamente ilustrada na figura 15.

Figura 15 - Distribuição binomial (Galileu, 2016)

6.1 Estimação pontual A melhor estimativa pontual populacional da probabilidade associada a uma distribuição binomial é o seu resultado considerando uma amostra. Enunciado XXXII Um aluno do secundário realizou 10 provas de matemática de treino para os exames nacionais tendo sido aprovado em 8 delas. Qual é a probabilidade do aluno ser aprovado no exame final de matemática? Qual é o valor esperado e desvio padrão do seu resultado no exame final? Na resolução do Enunciado XXXII devemos calcular em primeiro lugar a probabilidade do aluno ser aprovado num exame considerando os elementos da amostra acima. Assim temos: p* =

p* =

p* = 0,8

Desta forma, e considerando uma estimativa pontual, podemos assumir que p = p* = 0,8. Resta agora determinar o valor esperado (média) e o valor da variância. Sabemos que numa distribuição binomial temos:

Assim calculando o valor esperado do aproveitamento do aluno no exame de matemática temos: µ = E(x) = n.p

E(x) = 10.0,8

E(x) = 8

Podemos agora calcular o valor da variância e desvio padrão:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 ơ2 = S'2 = n.p.q ơ = S'2

S'2 = 10.0,8.0,2 ơ=

S'2 = 1,6

ơ = 1,265

6.2 Estimação intervalar Enunciado XXXIII Os alunos de uma dada turma do ensino secundário realizaram um total de 220 provas de matemática tendo tido aprovação em 150 delas. Determine a estimativa intervalar do número de alunos aprovados no exame final de matemática. Considere um nível de significância de 5% e aproxime a distribuição binomial pela normal no processo de cálculo. Na resolução do Enunciado XXXIII devemos calcular em primeiro lugar a taxa de aprovação nas provas de matemática considerando os elementos da amostra. Assim temos que: = n.p

= 220.(150/220)

= 220.0,682

= 150,04

Para conseguirmos realizar a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal precisamos de cumprir com as seguintes premissas: n.p ≥ 5 e n.(1-p) ≥ 5 Considerando os elementos do nosso enunciado verificamos que: n.p = 220*0,682 = 150,04 > 5 n.(1-p) = 220*(1-0,682) = 59,96 > 5 Logo verificamos que se encontram reunidas as condições indispensáveis para se realizar a aproximação da distribuição binomial pela normal. Vamos determinar o valor esperado de X e também a sua variância, que são os dois parâmetros recebidos por uma distribuição normal. E(x) = n.p Var(x) = n.p.q Nesta fase sabemos então que podemos aproximar a nossa variável em estudo (X) por uma distribuição normal: X~N(150,04;47,713) A estimativa intervalar do comportamento da média populacional é dada pela fórmula abaixo:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

µ = 150,04 ± 1,96 .

µ = 150,04 ± 0,913

µ = [149,127 ; 150,953]

6.3 Teste de hipóteses Enunciado XXXIV Um aluno de uma dada turma realizou 10 provas de matemática, tendo sido aprovado em 5 delas. Um outro aluno realizou o mesmo conjunto de provas, mas foi aprovado em 7 delas. Podemos concluir que a taxa de aproveitamento é idêntica para ambos os alunos? Considere um IC de 95%. Na resolução do Enunciado XXXIV devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: π = 5/10 = 0,5 H1: π ≠ 0,5 Estamos perante um teste bilateral. Passo 2: Nesta situação, e considerando as condições de enunciado que cumprem as premissas definidas para aplicação da distribuição binomial, podemos afirmar que: X~Bin(10; 0,5). Apresentamos agora a distribuição binomial com n=10 e p=0,5:

Passo 3: Analisando o gráfico acima e os valores provenientes da distribuição binomial podemos determinar o valor p. A probabilidade de significância ou valor p representa a probabilidade da estatística do teste acusar um resultado tão (ou mais) distante do esperado quando o resultado ocorrido na amostra

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 observada. Este valor p é usado para avaliar a possibilidade do resultado obtido ter ocorrido por mero acaso. No contexto do nosso enunciado o valor p corresponde ao somatório de P(x≥7) + P(x≤3), já que estamos perante um teste bilateral. Assim temos: p = (0,117+0,044+0,010+0,001)*2

0,344

Passo 4: Para se extrair conclusões devemos verificar as seguintes situações:  Se p < α, rejeita-se H0 e prova-se H1. Os dados mostram que há evidência estatística suficiente para provar H1;  Se p ≥ α, aceita-se H0 e não se prova H1. Os dados não mostram evidência estatística suficiente para se provar H1. Considerando as condições do enunciado temos o seguinte cenário para análise:

Como p > 0,05 podemos rejeitar H1 e aceitar H0 e concluir que não há evidências suficientes para concluir que o desempenho dos alunos seja diferente. Enunciado XXXV Um aluno de uma dada turma realizou 12 provas de matemática, tendo sido aprovado em 9 delas. Um outro aluno realizou o mesmo conjunto de provas, mas foi aprovado em todas elas. Podemos concluir que a taxa de aproveitamento do 2º aluno é superior ao 1º aluno? Considere um IC de 90%. Na resolução do Enunciado XXXV devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: π = 9/12 = 0,75 H1: π > 0,75 Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2: Nesta situação, e considerando as condições de enunciado que cumprem as premissas definidas para aplicação da distribuição binomial, podemos afirmar que: X~Bin(12; 0,75). Apresentamos agora a distribuição binomial com n=12 e p=0,75:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Passo 3: Analisando o gráfico acima e os valores provenientes da distribuição binomial podemos determinar o valor p. Assim temos: p = 0,032 Passo 4: Considerando as condições do enunciado temos o seguinte cenário para análise:

Como p < 0,10 podemos aceitar H1 e rejeitar H0 e concluir que há evidências suficientes para concluir que o desempenho do 2º aluno é superior ao do 1º aluno. Enunciado XXXVI Um aluno de uma dada turma realizou 25 provas de matemática, tendo sido aprovado em 20 delas. Um outro aluno realizou o mesmo conjunto de provas, mas foi aprovado em todas elas. Podemos concluir que a taxa de aproveitamento do 2º aluno é diferente da do 1º aluno? Considere um IC de 98%. Na resolução do Enunciado XXXVI devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: π = 20/25 = 0,8 H1: π ≠ 0,8 Estamos perante um teste bilateral. Passo 2:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Nesta situação, e considerando as condições de enunciado que cumprem as premissas definidas para aplicação da distribuição binomial, podemos afirmar que: X~Bin(12; 0,75). Apresentamos agora a distribuição binomial com n=25 e p=0,8:

Passo 3: Analisando o gráfico acima e os valores provenientes da distribuição binomial podemos determinar o valor p. Assim temos: p = p(x=0) + p(x=25)

= 0 + 0.00378

0,00378

Passo 4: Considerando as condições do enunciado temos o seguinte cenário para análise:

Como p < 0,02 podemos aceitar H1 e rejeitar H0 e concluir que há evidências suficientes para concluir que o desempenho do 2º aluno é diferente da do 1º aluno.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 7. Parâmetro de Estimação: variância ou desvio padrão A variância permite medir o grau de espalhamento dos elementos da amostra. A variância é um dos descritores principais de uma distribuição, e descreve o quão longe ou afastado os números estão da média. A variância é geralmente utilizada em conjunto com desvio padrão, que pode ser facilmente obtido a partir da raiz quadrada da variância (WkiHow, 2016). Na estimação populacional da variância devemos usar a variância corrigida, uma vez que se trata de um estimador não-tendencioso. Na construção de um intervalo de confiança para a variância populacional é necessário conhecer um novo modelo probabilístico denominado por qui-quadrado, sendo representado pela letra grega:  A distribuição de qui-quadrado é contínua e a sua função de densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada pela expressão abaixo:

O seu aspecto gráfico depende do parâmetro relativo aos seus graus de liberdade. Na Figura 16 podemos ver o seu comportamento dependendo dos diversos graus de liberdade envolvidos.

Figura 16 - Distribuição de Qui-quadrado (ThinkFinance, 2016)

A distribuição de qui-quadrado possui as seguintes propriedades:  Curva positiva e não simétrica. Isto significa que tem um comportamento distinto da distribuição normal ou t de Student, que como vimos são simétricas;  O valor esperado é dado por: E(x)=n. Por seu lado, a variância é dada por: Var(x)=2n;  A soma de funções com distribuição de qui-quadrado tem distribuição de qui-quadrado com graus de liberdade igual à soma dos graus de liberdade dessas distribuições, isto é:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Por seu lado, o coeficiente de qui-quadrado é uma medida de dispersão para duas variáveis de escala nominal. Esta medida diz-nos em que medida em que medida é que os valores observados se desviam do valor esperado, caso as duas variáveis não estivessem correlacionadas. Assim sendo, quanto maior o quiquarado, mais significante é a relação entre a variável dependente e a variável independente (ThinkFinance, 2016).

7.1 Estimação pontual A melhor estimativa pontual da variância populacional é a variância corrigida da amostra. Enunciado XXXVII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Determine a estimativa pontual da variância populacional.

Na resolução do Enunciado XXXVII devemos calcular em primeiro lugar a variância corrigida dos elementos da amostra. A fórmula de cálculo da variância corrigida é dada por:

O valor da variância corrigida da amostra (S'2)é igual a 9,522. Assim sendo podemos afirmar que: ơ2 = S'2

ơ2 = 9,522

Se quisermos calcular a estimativa pontual do desvio padrão populacional podemos determinar facilmente o seu valor a partir da expressão acima. Assim teremos: ơ = S'2

ơ=

ơ = 3,086

7.2 Estimação intervalar Enunciado XXXVIII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Determine a estimativa intervalar da variância populacional. Considere um IC de 95%.

Na resolução do Enunciado XXXVIII sabemos que a estimação intervalar da variância implica a determinação do valor de qui-quadrado, conforme é apresentado na fórmula abaixo:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Desta forma, devemos em primeiro lugar consultar a tabela de qui-quadrado e determinar o seu valor considerando um nível de significância bilateral de 5%. Temos que ir buscar dois valores, uma vez que a distribuição de qui-quadrado não é simétrica. Assim temos:

α0,05/2,4 =0,025,4  α(1-0,05/2),4 =0,975,4  Agora podemos usar a expressão acima e determinar o intervalo de confiança da variância:

No caso de pretendemos estimar o desvio padrão podemos usar a fórmula acima e aplicar a raiz quadrada a cada um dos seus termos. Assim teríamos:

7.3 Teste de hipóteses Enunciado XXXIX Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Efetue um teste de hipóteses de forma a aferir se a variância populacional é diferente de 5 valores. Considere um IC de 95%. Na resolução do Enunciado XXXIX devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0:

H1:

≠5

Estamos perante um teste bilateral. Passo 2: Nesta situação, e considerando as condições de enunciado que estabelecem uma estimação da variância, devemos usar a fórmula abaixo:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste: ET =

ET =

ET = 7,618

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar de Qui-Quadrado. Considerando um IC de 95% temos que a região de rejeição é dada por:

α0,05/2,4 =0,025,4  α(1-0,05/2),4 =0,975,4 





Como  ≤ ET ≤  aceitamos H0 e podemos concluir que a variância não é diferente de 5 valores. Enunciado XL Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Efetue um teste de hipóteses de forma a aferir se o desvio padrão populacional é diferente de 1,2 valores. Considere um IC de 98%. Na resolução do Enunciado XL devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0:

= 1,2

H1:

≠ 1,2

Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2: Nesta situação, e considerando as condições de enunciado que estabelecem uma estimação do desvio padrão, devemos usar a mesma fórmula já adotada para o cálculo da variância.

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste: ET =

ET =

ET = 26,45

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar de Qui-Quadrado. Considerando um IC de 98% temos que a região de rejeição é dada por:

α0,02/2,4 =0,01,4  α(1-0,02/2),4 =0,99,4 



Como ET >  aceitamos H1 e podemos concluir que o desvio padrão é diferente de 1,2 valores. Enunciado XLI Uma turma constituída por 28 alunos obteve uma média de 12,5 valores e um desvio padrão igual a 1,75 valores no exame final de Estatística. Efetue um teste de hipóteses de forma a aferir se o desvio padrão populacional é superior a 2,5 valores. Considere um IC de 95%. Na resolução do Enunciado XLI devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0:

= 2,5

H1:

> 2,5

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste: ET =

ET =

ET = 13,23

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar de Qui-Quadrado. Considerando um IC de 98% temos que a região de rejeição é dada por:

α(1-0,05),27 =0,95,27 



Como ET <  rejeitamos H1 e podemos concluir que o desvio padrão não é superior a 2,5 valores. Enunciado XLII Uma turma constituída por 28 alunos obteve uma média de 12,5 valores e uma variância igual a 9,5 valores no exame final de Estatística. Efetue um teste de hipóteses de forma a aferir se a variância populacional é inferior a 10 valores. Considere um IC de 95%. Na resolução do Enunciado XLII devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0:

= 10

H1:

< 10

Estamos perante um teste unilateral à esquerda. Passo 2: Nesta situação, e considerando as condições de enunciado que estabelecem uma estimação da variância, devemos usar a fórmula abaixo:

Pág. 59

Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste: ET =

ET =

ET = 25,65

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar de Qui-Quadrado. Considerando um IC de 95% temos que a região de rejeição é dada por:

α0,05,27 =



Como ET >  aceitamos H0 e podemos concluir que a variância não é inferior a 10 valores.

Pág. 60

Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 8. Parâmetro de Estimação: razão de duas variâncias ou desvios padrão Quando pretendemos estimar o comportamento da razão de duas variâncias ou desvios padrão temos que analisar implicitamente o comportamento da variância ou desvio padrão de duas amostras independentes. Como vimos anteriormente temos neste cenário temos duas distribuições independentes definidas como (Portal Action, 2016):

A razão da variância ou desvio padrão de duas variáveis independentes pode ser aproximada por uma distribuição de F de Snedecor conforme apresentado abaixo:

A distribuição F de Snedecor possui n1-1 graus de liberdade no numerador e n2-1 graus de liberdade no denominador, daí que seja vulgarmente representada como F(n1-1,n2-1). A distribuição F de Snedecor possui as seguintes propriedades (Pó, 2016):  O comportamento das curvas é determinada pelos graus de liberdade no numerador e no denominador (V1 e V2);  São representadas graficamente de forma positiva;  A área sob cada curva de uma distribuição F de Snedecor é sempre igual a 1;  Os valores da distribuição são sempre iguais ou maiores que zero;  Para todas as distribuições F de Snedecor, o valor médio da distribuição é aproximadamente 1. Desta forma, e graficamente, a distribuição F de Snedecor varia bastante de acordo com os seus graus de liberdade conforme se pode ver na figura 17.

Pág. 61

Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Figura 17 - Distribuição F de Snedecor (Pó, 2016)

As tabelas F de Snedecor são necessariamente limitadas, daí que seja importante referir um processo que permita trocar os graus de liberdade do numerador e denominador. Para isso podemos usar a expressão abaixo:

Sabe-se, também, que se o maior valor ficar no numerador, ou seja, F≥1, os testes unicaudais serão à direita e para os testes bicaudais basta encontrar o valor crítico à direita, considerando que o nível de significância é dividido por 2.

8.1 Estimação pontual A melhor estimativa pontual da razão de duas variâncias populacionais é a mesma estatística aplicada a uma amostra. Enunciado XLIII Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações no exame de Análise Numérica: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Determine a estimativa pontual da razão da variância populacional. Na resolução do Enunciado XLIII devemos calcular em primeiro lugar a variância corrigida dos elementos provenientes das duas amostras. De exemplos anteriores tínhamos determinado a variância corrigida destas duas amostras, sendo iguais a: S'A = 3,086 e S'B = 2,205. Sabendo isso, podemos facilmente determinar a variância corrigida destas duas amostras, uma vez que a variância é igual ao quadrado do desvio padrão. Assim temos que: S2'A = 9,523 e S2'B = 4,862 Pág. 62

Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

Se quisermos calcular a estimativa pontual da razão do desvio padrão populacional podemos determinar facilmente o seu valor, como apresentado abaixo: =

= 1,40

8.2 Estimação intervalar Enunciado XLIV Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações no exame de Análise Numérica: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Determine a estimativa intervalar da razão da variância populacional considerando um intervalo de confiança de 95%. A estimação intervalar da razão da variância implica a determinação do valor de F de Snedecor, conforme é apresentado na fórmula abaixo:

Na resolução do Enunciado XLIV devemos em primeiro lugar consultar a tabela de F de Snedecor e determinar o seu valor considerando um nível de significância bilateral de 5%. Temos que ir buscar dois valores, uma vez que a distribuição de F de Snedecor não é simétrica. Assim temos: F F  F





Agora podemos usar a expressão acima e determinar o intervalo de confiança da razão da variância:

No caso de pretendemos estimar o desvio padrão podemos usar a fórmula acima e aplicar a raiz quadrada a cada um dos seus termos. Assim teríamos:

Pág. 63

Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

8.3 Teste de hipóteses Enunciado XLV Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações no exame de Análise Numérica: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Efetue um teste de hipóteses de forma a verificar se podemos concluir que exista diferença entre as variabilidades das notas nas duas unidades curriculares. Considere um nível de significância de 10%. Na resolução do Enunciado XLV devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: H0: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22 Estamos perante um teste bilateral. Passo 2: Nesta situação, e considerando as condições de enunciado que estabelecem uma estimação da razão de duas variâncias, devemos usar a fórmula abaixo:

Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste: ET =

ET = 1,959

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar a tabela F de Snedecor. Considerando um IC de 90% temos que a região de rejeição é dada por:

Pág. 64

Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 F F  F







Como Finf ≤ ET ≤ Fsup aceitamos H0 e podemos concluir que a variabilidade dos elementos da amostra não é diferente entre as duas turmas. Enunciado XLVI Os alunos de uma dada turma obtiveram a classificação abaixo no exame de Estatística: 14,5 ; 15,3 ; 10,6 ; 18,7 ; 12,3 Outra turma de um dado estabelecimento de ensino obtido as seguintes classificações no exame de Análise Numérica: 12,8 ; 11,3 ; 15,5 ; 10,5 ; 8,6 ; 9,5 ; 12,5 ; 13,0 Efetue um teste de hipóteses de forma a verificar se podemos concluir que a variabilidade das notas das unidades curriculares é superior à razão dada por ơ12 = 15 e ơ12 = 3,5. Considere um nível de significância de 5%.

Na resolução do Enunciado XLVI devemos considerar as diversas fases de um teste de hipóteses. Passo 1: Antes de prosseguimos com a definição das hipóteses convém determinar a estimativa da razão dada para o comportamento das duas populações. Assim temos que: σ12/ σ22 = 15 / 3,5 = 4,286 H0: σ12/ σ22 = 4,286 H1: σ12/ σ22 > 4,286 Estamos perante um teste unilateral à direita. Passo 2: Nesta situação, e considerando as condições de enunciado que estabelecem uma estimação da razão de duas variâncias, devemos usar a fórmula abaixo:

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019 Passo 3: Usando a fórmula acima podemos então determinar o valor observado da estatística de teste: ET =

ET =

ET = 0,457

Passo 4: Nesta fase precisamos de consultar a tabela F de Snedecor. Considerando um IC de 95% temos que a região de rejeição é dada por: F F 

Como ET ≤ Ftab aceitamos H0 e podemos concluir que a variabilidade dos elementos da amostra não é superior à razão dada (ơ12/ ơ22 )por ơ12 = 15 e ơ12 = 3,5

Pág. 66

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Fundamentos de Inferência Estatística Aplicada 2019

ANEXOS Tabela da distribuição normal Tabela da distribuição t de Student Tabela da distribuição binomial Tabela da distribuição de qui-quadrado Tabela da distribuição F de Snedecor

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TABELA III Distribuição Normal Padrão Os valores tabelados correspondem à área abaixo representada: P(Z≤x) 0,5

0 -6

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 x F(x) 2[1-F(x)]

0 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 1.282 0.90 0.20

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997 1.645 0.95 0.10

00 0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997

1.96 0.975 0.05

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

2.326 0.99 0.02

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

2.576 0.995 0.01

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 3.090 0.999 0.002

0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 3.291 0.9995 0.001

0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997 4.891 0.99995 0.0001

0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 4.417 0.999995 0.00001

133

TABELA IV Distribuição t de Student - tn Os valores tabelados correspondem aos pontos x tais que: P(tn≤x)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

0,600 0,325 0,289 0,277 0,271 0,267 0,265 0,263 0,262 0,261 0,260 0,260 0,259 0,259 0,258 0,258 0,258 0,257 0,257 0,257 0,257 0,257 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,255 0,254 0,254 0,253

0,750 1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683 0,681 0,679 0,677 0,674

0,900 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282

P(tn≤x) 0,950 0,975 6,314 12,706 2,920 4,303 2,353 3,182 2,132 2,776 2,015 2,571 1,943 2,447 1,895 2,365 1,860 2,306 1,833 2,262 1,812 2,228 1,796 2,201 1,782 2,179 1,771 2,160 1,761 2,145 1,753 2,131 1,746 2,120 1,740 2,110 1,734 2,101 1,729 2,093 1,725 2,086 1,721 2,080 1,717 2,074 1,714 2,069 1,711 2,064 1,708 2,060 1,706 2,056 1,703 2,052 1,701 2,048 1,699 2,045 1,697 2,042 1,684 2,021 1,671 2,000 1,658 1,980 1,645 1,960

0,990 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326

0,995 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576

0,9995 636,619 31,598 12,924 8,610 6,869 5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,768 3,745 3,725 3,707 3,689 3,674 3,660 3,646 3,551 3,460 3,373 3,291

TABELA I Distribuição Binomial ⎛n⎞ Valores da função de probabilidade: f X ( x) = P( X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p ) n − x ⎝ x⎠ n

p x 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95

0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000 0,4500 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500

0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500

0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 0,2025 0,1600 0,1225 0,0900 0,0625 0,0400 0,0225 0,0100 0,0025

0,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,5000 0,4950 0,4800 0,4550 0,4200 0,3750 0,3200 0,2550 0,1800 0,0950

0,0025 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1225 0,1600 0,2025 0,2500 0,3025 0,3600 0,4225 0,4900 0,5625 0,6400 0,7225 0,8100 0,9025

0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 0,0911 0,0640 0,0429 0,0270 0,0156 0,0080 0,0034 0,0010 0,0001

0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,3750 0,3341 0,2880 0,2389 0,1890 0,1406 0,0960 0,0574 0,0270 0,0071

0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,3750 0,4084 0,4320 0,4436 0,4410 0,4219 0,3840 0,3251 0,2430 0,1354

0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0429 0,0640 0,0911 0,1250 0,1664 0,2160 0,2746 0,3430 0,4219 0,5120 0,6141 0,7290 0,8574

0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 0,0410 0,0256 0,0150 0,0081 0,0039 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000

0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,2500 0,2005 0,1536 0,1115 0,0756 0,0469 0,0256 0,0115 0,0036 0,0005

0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,3750 0,3675 0,3456 0,3105 0,2646 0,2109 0,1536 0,0975 0,0486 0,0135

0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,1115 0,1536 0,2005 0,2500 0,2995 0,3456 0,3845 0,4116 0,4219 0,4096 0,3685 0,2916 0,1715

0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0150 0,0256 0,0410 0,0625 0,0915 0,1296 0,1785 0,2401 0,3164 0,4096 0,5220 0,6561 0,8145

0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 0,0185 0,0102 0,0053 0,0024 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000

0,2036 0,3281 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3124 0,2592 0,2059 0,1563 0,1128 0,0768 0,0488 0,0284 0,0146 0,0064 0,0022 0,0005 0,0000

0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,3125 0,2757 0,2304 0,1811 0,1323 0,0879 0,0512 0,0244 0,0081 0,0011

0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,3125 0,3369 0,3456 0,3364 0,3087 0,2637 0,2048 0,1382 0,0729 0,0214

0,0000 0,0005 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0488 0,0768 0,1128 0,1563 0,2059 0,2592 0,3124 0,3602 0,3955 0,4096 0,3915 0,3281 0,2036

0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0053 0,0102 0,0185 0,0313 0,0503 0,0778 0,1160 0,1681 0,2373 0,3277 0,4437 0,5905 0,7738

0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156 0,0083 0,0041 0,0018 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

0,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359 0,0938 0,0609 0,0369 0,0205 0,0102 0,0044 0,0015 0,0004 0,0001 0,0000

0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780 0,2344 0,1861 0,1382 0,0951 0,0595 0,0330 0,0154 0,0055 0,0012 0,0001

0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032 0,3125 0,3032 0,2765 0,2355 0,1852 0,1318 0,0819 0,0415 0,0146 0,0021

0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861 0,2344 0,2780 0,3110 0,3280 0,3241 0,2966 0,2458 0,1762 0,0984 0,0305

0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609 0,0938 0,1359 0,1866 0,2437 0,3025 0,3560 0,3932 0,3993 0,3543 0,2321

0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0018 0,0041 0,0083 0,0156 0,0277 0,0467 0,0754 0,1176 0,1780 0,2621 0,3771 0,5314 0,7351

0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078 0,0037 0,0016 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,2573 0,3720 0,3960 0,3670 0,3115 0,2471 0,1848 0,1306 0,0872 0,0547 0,0320 0,0172 0,0084 0,0036 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000

0,0406 0,1240 0,2097 0,2753 0,3115 0,3177 0,2985 0,2613 0,2140 0,1641 0,1172 0,0774 0,0466 0,0250 0,0115 0,0043 0,0012 0,0002 0,0000

0,0036 0,0230 0,0617 0,1147 0,1730 0,2269 0,2679 0,2903 0,2918 0,2734 0,2388 0,1935 0,1442 0,0972 0,0577 0,0287 0,0109 0,0026 0,0002

0,0002 0,0026 0,0109 0,0287 0,0577 0,0972 0,1442 0,1935 0,2388 0,2734 0,2918 0,2903 0,2679 0,2269 0,1730 0,1147 0,0617 0,0230 0,0036

0,0000 0,0002 0,0012 0,0043 0,0115 0,0250 0,0466 0,0774 0,1172 0,1641 0,2140 0,2613 0,2985 0,3177 0,3115 0,2753 0,2097 0,1240 0,0406

0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0036 0,0084 0,0172 0,0320 0,0547 0,0872 0,1306 0,1848 0,2471 0,3115 0,3670 0,3960 0,3720 0,2573

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0016 0,0037 0,0078 0,0152 0,0280 0,0490 0,0824 0,1335 0,2097 0,3206 0,4783 0,6983

0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039 0,0017 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,2793 0,3826 0,3847 0,3355 0,2670 0,1977 0,1373 0,0896 0,0548 0,0313 0,0164 0,0079 0,0033 0,0012 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

0,0515 0,1488 0,2376 0,2936 0,3115 0,2965 0,2587 0,2090 0,1569 0,1094 0,0703 0,0413 0,0217 0,0100 0,0038 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000

0,0054 0,0331 0,0839 0,1468 0,2076 0,2541 0,2786 0,2787 0,2568 0,2188 0,1719 0,1239 0,0808 0,0467 0,0231 0,0092 0,0026 0,0004 0,0000

0,0004 0,0046 0,0185 0,0459 0,0865 0,1361 0,1875 0,2322 0,2627 0,2734 0,2627 0,2322 0,1875 0,1361 0,0865 0,0459 0,0185 0,0046 0,0004

0,0000 0,0004 0,0026 0,0092 0,0231 0,0467 0,0808 0,1239 0,1719 0,2188 0,2568 0,2787 0,2786 0,2541 0,2076 0,1468 0,0839 0,0331 0,0054

0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0217 0,0413 0,0703 0,1094 0,1569 0,2090 0,2587 0,2965 0,3115 0,2936 0,2376 0,1488 0,0515

0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0033 0,0079 0,0164 0,0313 0,0548 0,0896 0,1373 0,1977 0,2670 0,3355 0,3847 0,3826 0,2793

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0017 0,0039 0,0084 0,0168 0,0319 0,0576 0,1001 0,1678 0,2725 0,4305 0,6634

0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,0020 0,0008 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,2985 0,3874 0,3679 0,3020 0,2253 0,1556 0,1004 0,0605 0,0339 0,0176 0,0083 0,0035 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0629 0,1722 0,2597 0,3020 0,3003 0,2668 0,2162 0,1612 0,1110 0,0703 0,0407 0,0212 0,0098 0,0039 0,0012 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

0,0077 0,0446 0,1069 0,1762 0,2336 0,2668 0,2716 0,2508 0,2119 0,1641 0,1160 0,0743 0,0424 0,0210 0,0087 0,0028 0,0006 0,0001 0,0000

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0,0000 0,0008 0,0050 0,0165 0,0389 0,0735 0,1181 0,1672 0,2128 0,2461 0,2600 0,2508 0,2194 0,1715 0,1168 0,0661 0,0283 0,0074 0,0006

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12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0045 0,0113 0,0259 0,0540 0,1029 0,1787 0,2774 0,3672 0,3512

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0,0259 0,1142 0,2056 0,2501 0,2402 0,1943 0,1366 0,0845 0,0462 0,0222 0,0093 0,0033 0,0010 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0037 0,0349 0,0998 0,1720 0,2202 0,2290 0,2022 0,1549 0,1040 0,0611 0,0312 0,0136 0,0049 0,0014 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0004 0,0078 0,0352 0,0860 0,1468 0,1963 0,2178 0,2066 0,1701 0,1222 0,0762 0,0408 0,0183 0,0066 0,0018 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0013 0,0093 0,0322 0,0734 0,1262 0,1759 0,2066 0,2088 0,1833 0,1398 0,0918 0,0510 0,0232 0,0082 0,0020 0,0003 0,0000 0,0000

0,0000 0,0002 0,0019 0,0092 0,0280 0,0618 0,1082 0,1574 0,1952 0,2095 0,1952 0,1574 0,1082 0,0618 0,0280 0,0092 0,0019 0,0002 0,0000

0,0000 0,0000 0,0003 0,0020 0,0082 0,0232 0,0510 0,0918 0,1398 0,1833 0,2088 0,2066 0,1759 0,1262 0,0734 0,0322 0,0093 0,0013 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0066 0,0183 0,0408 0,0762 0,1222 0,1701 0,2066 0,2178 0,1963 0,1468 0,0860 0,0352 0,0078 0,0004

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0014 0,0049 0,0136 0,0312 0,0611 0,1040 0,1549 0,2022 0,2290 0,2202 0,1720 0,0998 0,0349 0,0037

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0033 0,0093 0,0222 0,0462 0,0845 0,1366 0,1943 0,2402 0,2501 0,2056 0,1142 0,0259

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0019 0,0056 0,0141 0,0317 0,0634 0,1134 0,1802 0,2501 0,2912 0,2570 0,1229

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0009 0,0027 0,0073 0,0181 0,0407 0,0832 0,1539 0,2539 0,3559 0,3593

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0008 0,0024 0,0068 0,0178 0,0440 0,1028 0,2288 0,4877

0,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0134 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,3658 0,3432 0,2312 0,1319 0,0668 0,0305 0,0126 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,1348 0,2669 0,2856 0,2309 0,1559 0,0916 0,0476 0,0219 0,0090 0,0032 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0307 0,1285 0,2184 0,2501 0,2252 0,1700 0,1110 0,0634 0,0318 0,0139 0,0052 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0049 0,0428 0,1156 0,1876 0,2252 0,2186 0,1792 0,1268 0,0780 0,0417 0,0191 0,0074 0,0024 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0006 0,0105 0,0449 0,1032 0,1651 0,2061 0,2123 0,1859 0,1404 0,0916 0,0515 0,0245 0,0096 0,0030 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0019 0,0132 0,0430 0,0917 0,1472 0,1906 0,2066 0,1914 0,1527 0,1048 0,0612 0,0298 0,0116 0,0034 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000

0,0000 0,0003 0,0030 0,0138 0,0393 0,0811 0,1319 0,1771 0,2013 0,1964 0,1647 0,1181 0,0710 0,0348 0,0131 0,0035 0,0005 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0005 0,0035 0,0131 0,0348 0,0710 0,1181 0,1647 0,1964 0,2013 0,1771 0,1319 0,0811 0,0393 0,0138 0,0030 0,0003 0,0000

0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0034 0,0116 0,0298 0,0612 0,1048 0,1527 0,1914 0,2066 0,1906 0,1472 0,0917 0,0430 0,0132 0,0019 0,0000

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0030 0,0096 0,0245 0,0515 0,0916 0,1404 0,1859 0,2123 0,2061 0,1651 0,1032 0,0449 0,0105 0,0006

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0024 0,0074 0,0191 0,0417 0,0780 0,1268 0,1792 0,2186 0,2252 0,1876 0,1156 0,0428 0,0049

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0016 0,0052 0,0139 0,0318 0,0634 0,1110 0,1700 0,2252 0,2501 0,2184 0,1285 0,0307

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0032 0,0090 0,0219 0,0476 0,0916 0,1559 0,2309 0,2856 0,2669 0,1348

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0047 0,0126 0,0305 0,0668 0,1319 0,2312 0,3432 0,3658

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0047 0,0134 0,0352 0,0874 0,2059 0,4633

0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0048 0,0125 0,0277 0,0537 0,0923 0,1419 0,1954 0,2397 0,2581 0,2362 0,1720 0,0852 0,0173

TABELA V Distribuição do Qui-Quadrado - χ n2 Os valores tabelados correspondem aos pontos x tais que: P( χ n ≤x) 2

(

P χ 2n ≤ x

)

0,005

0,01

0,025

0,05

0,1

0,25

0,5

0,75

0,9

0,95

0,975

0,99

0,995

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

3,93E-05 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 20,707 27,991 35,534 43,275 51,172 59,196 67,328

0,000157 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,647 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,878 13,565 14,256 14,953 22,164 29,707 37,485 45,442 53,540 61,754 70,065

0,000982 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 24,433 32,357 40,482 48,758 57,153 65,647 74,222

0,003932 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 26,509 34,764 43,188 51,739 60,391 69,126 77,929

0,016 0,211 0,584 1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 5,578 6,304 7,041 7,790 8,547 9,312 10,085 10,865 11,651 12,443 13,240 14,041 14,848 15,659 16,473 17,292 18,114 18,939 19,768 20,599 29,051 37,689 46,459 55,329 64,278 73,291 82,358

0,102 0,575 1,213 1,923 2,675 3,455 4,255 5,071 5,899 6,737 7,584 8,438 9,299 10,165 11,037 11,912 12,792 13,675 14,562 15,452 16,344 17,240 18,137 19,037 19,939 20,843 21,749 22,657 23,567 24,478 33,660 42,942 52,294 61,698 71,145 80,625 90,133

0,455 1,386 2,366 3,357 4,351 5,348 6,346 7,344 8,343 9,342 10,341 11,340 12,340 13,339 14,339 15,338 16,338 17,338 18,338 19,337 20,337 21,337 22,337 23,337 24,337 25,336 26,336 27,336 28,336 29,336 39,335 49,335 59,335 69,334 79,334 89,334 99,334

1,323 2,773 4,108 5,385 6,626 7,841 9,037 10,219 11,389 12,549 13,701 14,845 15,984 17,117 18,245 19,369 20,489 21,605 22,718 23,828 24,935 26,039 27,141 28,241 29,339 30,435 31,528 32,620 33,711 34,800 45,616 56,334 66,981 77,577 88,130 98,650 109,141

2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,645 12,017 13,362 14,684 15,987 17,275 18,549 19,812 21,064 22,307 23,542 24,769 25,989 27,204 28,412 29,615 30,813 32,007 33,196 34,382 35,563 36,741 37,916 39,087 40,256 51,805 63,167 74,397 85,527 96,578 107,565 118,498

3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 55,758 67,505 79,082 90,531 101,879 113,145 124,342

5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,195 44,461 45,722 46,979 59,342 71,420 83,298 95,023 106,629 118,136 129,561

6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892 63,691 76,154 88,379 100,425 112,329 124,116 135,807

7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 48,290 49,645 50,994 52,335 53,672 66,766 79,490 91,952 104,215 116,321 128,299 140,170

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

TABELA VI Distribuição do F de Snedcor - Fnm

(

)

Os valores tabelados correspondem aos pontos x tais que: P Fn ≤ x =0.9

120

∞

1 2

39,86

49,50

53,59

55,83

57,24

58,20

58,91

59,44

59,86

60,19

60,71

61,22

61,74

62,00

62,26

62,53

62,79

63,06

63,33

8,53

9,00

9,16

9,24

9,29

9,33

9,35

9,37

9,38

9,39

9,41

9,42

9,44

9,45

9,46

9,47

9,48

9,49

5,54

5,46

5,39

5,34

5,31

5,28

5,27

5,25

5,24

5,23

5,22

5,20

5,18

5,17

5,16

5,15

5,14

5,13

4,54

4,32

4,19

4,11

4,05

4,01

3,98

3,95

3,94

3,92

3,90

3,87

3,84

3,83

3,82

3,80

3,79

3,78

3,76

4,06

3,78

3,62

3,52

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3,30

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3,24

3,21

3,19

3,17

3,16

3,14

3,12

3,10

3,78

3,46

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3,18

3,11

3,05

3,01

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2,96

2,94

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2,84

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2,78

2,76

2,74

2,72

3,59

3,26

3,07

2,96

2,88

2,83

2,78

2,75

2,72

2,70

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2,63

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2,58

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2,47

3,46

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2,92

2,81

2,73

2,67

2,62

2,59

2,56

2,54

2,50

2,46

2,42

2,40

2,38

2,36

2,34

2,32

2,29

3,36

3,01

2,81

2,69

2,61

2,55

2,51

2,47

2,44

2,42

2,38

2,34

2,30

2,28

2,25

2,23

2,21

2,18

2,16

3,29

2,92

2,73

2,61

2,52

2,46

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2,38

2,35

2,32

2,28

2,24

2,20

2,18

2,16

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2,11

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2,06

3,23

2,86

2,66

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2,45

2,39

2,34

2,30

2,27

2,25

2,21

2,17

2,12

2,10

2,08

2,05

2,03

2,00

1,97

3,18

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2,61

2,48

2,39

2,33

2,28

2,24

2,21

2,19

2,15

2,10

2,06

2,04

2,01

1,99

1,96

1,93

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2,76

2,56

2,43

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2,28

2,23

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2,16

2,14

2,10

2,05

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1,98

1,96

1,93

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1,88

1,85

3,10

2,73

2,52

2,39

2,31

2,24

2,19

2,15

2,12

2,10

2,05

2,01

1,96

1,94

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1,83

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3,07

2,70

2,49

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2,27

2,21

2,16

2,12

2,09

2,06

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1,85

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2,24

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2,42

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2,04

2,00

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1,72

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2,06

2,02

1,98

1,96

1,91

1,86

1,81

1,79

1,76

1,73

1,70

1,67

1,63

2,97

2,59

2,38

2,25

2,16

2,09

2,04

2,00

1,96

1,94

1,89

1,84

1,79

1,77

1,74

1,71

1,68

1,64

1,61

2,96

2,57

2,36

2,23

2,14

2,08

2,02

1,98

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1,83

1,78

1,75

1,72

1,69

1,66

1,62

1,59

2,95

2,56

2,35

2,22

2,13

2,06

2,01

1,97

1,93

1,90

1,86

1,81

1,76

1,73

1,70

1,67

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1,60

1,57

2,94

2,55

2,34

2,21

2,11

2,05

1,99

1,95

1,92

1,89

1,84

1,80

1,74

1,72

1,69

1,66

1,62

1,59

1,53

2,93

2,54

2,33

2,19

2,10

2,04

1,98

1,94

1,91

1,88

1,83

1,78

1,73

1,70

1,67

1,64

1,61

1,57

1,55

2,92

2,53

2,32

2,18

2,09

2,02

1,97

1,93

1,89

1,87

1,82

1,77

1,72

1,69

1,66

1,63

1,59

1,56

1,52

2,91

2,52

2,31

2,17

2,08

2,01

1,96

1,92

1,88

1,86

1,81

1,76

1,71

1,68

1,65

1,61

1,58

1,54

1,50

2,90

2,51

2,30

2,17

2,07

2,00

1,95

1,91

1,87

1,85

1,80

1,75

1,70

1,67

1,64

1,60

1,57

1,53

1,49

2,89

2,50

2,29

2,16

2,06

2,00

1,94

1,90

1,87

1,84

1,79

1,74

1,69

1,66

1,63

1,59

1,56

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2,89

2,50

2,28

2,15

2,06

1,99

1,93

1,89

1,86

1,83

1,78

1,73

1,68

1,65

1,62

1,58

1,55

1,51

1,47

2,88

2,49

2,28

2,14

2,05

1,98

1,93

1,88

1,85

1,82

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1,72

1,67

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1,50

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2,09

2,00

1,93

1,87

1,83

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1,71

1,66

1,61

1,57

1,54

1,51

1,47

1,42

1,38

2,79

2,39

2,18

2,04

1,95

1,87

1,82

1,77

1,74

1,71

1,66

1,60

1,54

1,51

1,48

1,44

1,40

1,35

1,29

120 2,75

2,35

2,13

1,99

1,90

1,82

1,77

1,72

1,68

1,65

1,60

1,55

1,48

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1,37

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2,30

2,08

1,94

1,85

1,77

1,72

1,67

1,63

1,60

1,55

1,49

1,42

1,38

1,34

1,30

1,24

1,17

1,00

m n

∞

2,71

Distribuição do F de Snedcor - Fnm

(

)

Os valores tabelados correspondem aos pontos x tais que: P Fn ≤ x =0.95

120

n 1 2

161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 243,90 245,95 248,02 249,05 250,10 251,14 252,20 253,25 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,89

8,85

8,81

8,79

8,74

8,70

8,66

8,64

8,62

8,59

8,57

8,55

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

6,00

5,96

5,91

5,86

5,80

5,77

5,75

5,72

5,69

5,66

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

4,82

4,77

4,74

4,68

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4,56

4,53

4,50

4,46

4,43

4,40

5,99

5,14

4,76

4,53

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4,28

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4,15

4,10

4,06

4,00

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3,84

3,81

3,77

3,74

3,70

5,59

4,74

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4,12

3,97

3,87

3,79

3,73

3,68

3,64

3,57

3,51

3,44

3,41

3,38

3,34

3,30

3,27

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,50

3,44

3,39

3,35

3,28

3,22

3,15

3,12

3,08

3,04

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3,07

3,01

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2,75

4,96

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3,71

3,48

3,33

3,22

3,14

3,07

3,02

2,98

2,91

2,85

2,77

2,74

2,70

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2,62

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3,20

3,09

3,01

2,95

2,90

2,85

2,79

2,72

2,65

2,61

2,57

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2,45

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3,49

3,26

3,11

3,00

2,91

2,85

2,80

2,75

2,69

2,62

2,54

2,51

2,47

2,43

2,38

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3,41

3,18

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2,92

2,83

2,77

2,71

2,67

2,60

2,53

2,46

2,42

2,38

2,34

2,30

2,25

4,60

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3,34

3,11

2,96

2,85

2,76

2,70

2,65

2,60

2,53

2,46

2,39

2,35

2,31

2,27

2,22

2,18

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2,90

2,79

2,71

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2,59

2,54

2,48

2,40

2,33

2,29

2,25

2,20

2,16

2,11

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,66

2,59

2,54

2,49

2,42

2,35

2,28

2,24

2,19

2,15

2,11

2,06

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

2,70

2,61

2,55

2,49

2,45

2,38

2,31

2,23

2,19

2,15

2,10

2,06

2,01

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,58

2,51

2,46

2,41

2,34

2,27

2,19

2,15

2,11

2,06

2,02

1,97

4,38

3,52

3,13

2,90

2,74

2,63

2,54

2,48

2,42

2,38

2,31

2,23

2,16

2,11

2,07

2,03

1,98

1,93

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

2,60

2,51

2,45

2,39

2,35

2,28

2,20

2,12

2,08

2,04

1,99

1,95

1,90

4,32

3,47

3,07

2,84

2,68

2,57

2,49

2,42

2,37

2,32

2,25

2,18

2,10

2,05

2,01

1,96

1,92

1,87

4,30

3,44

3,05

2,82

2,66

2,55

2,46

2,40

2,34

2,30

2,23

2,15

2,07

2,03

1,98

1,94

1,89

1,84

4,28

3,42

3,03

2,80

2,64

2,53

2,44

2,37

2,32

2,27

2,20

2,13

2,05

2,01

1,96

1,91

1,86

1,81

4,26

3,40

3,01

2,78

2,62

2,51

2,42

2,36

2,30

2,25

2,18

2,11

2,03

1,98

1,94

1,89

1,84

1,79

4,24

3,39

2,99

2,76

2,60

2,49

2,40

2,34

2,28

2,24

2,16

2,09

2,01

1,96

1,92

1,87

1,82

1,77

4,23

3,37

2,98

2,74

2,59

2,47

2,39

2,32

2,27

2,22

2,15

2,07

1,99

1,95

1,90

1,85

1,80

1,75

4,21

3,35

2,96

2,73

2,57

2,46

2,37

2,31

2,25

2,20

2,13

2,06

1,97

1,93

1,88

1,84

1,79

1,73

4,20

3,34

2,95

2,71

2,56

2,45

2,36

2,29

2,24

2,19

2,12

2,04

1,96

1,91

1,87

1,82

1,77

1,71

4,18

3,33

2,93

2,70

2,55

2,43

2,35

2,28

2,22

2,18

2,10

2,03

1,94

1,90

1,85

1,81

1,75

1,70

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,33

2,27

2,21

2,16

2,09

2,01

1,93

1,89

1,84

1,79

1,74

1,68

4,08

3,23

2,84

2,61

2,45

2,34

2,25

2,18

2,12

2,08

2,00

1,92

1,84

1,79

1,74

1,69

1,64

1,58

4,00

3,15

2,76

2,53

2,37

2,25

2,17

2,10

2,04

1,99

1,92

1,84

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1,70

1,65

1,59

1,53

1,47

120

3,92

3,07

2,68

2,45

2,29

2,18

2,09

2,02

1,96

1,91

1,83

1,75

1,66

1,61

1,55

1,50

1,43

1,35

Distribuição do F de Snedcor - Fnm

(

)

Os valores tabelados correspondem aos pontos x tais que: P Fn ≤ x =0.975 m

120

n 1

647,79 799,48 864,15 899,60 921,83 937,11 948,20 956,64 963,28 968,63 976,72 984,87 993,08 997,27

38,51 39,00

17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,34 14,25 14,17 14,12 14,08 14,04 13,99 13,95

12,22 10,65

9,98

9,60

9,36

9,20

9,07

8,98

8,90

8,84

8,75

8,66

8,56

8,51

8,46

8,41

8,36

10,01

8,43

7,76

7,39

7,15

6,98

6,85

6,76

6,68

6,62

6,52

6,43

6,33

6,28

6,23

6,18

6,12

6,07

8,81

7,26

6,60

6,23

5,99

5,82

5,70

5,60

5,52

5,46

5,37

5,27

5,17

5,12

5,07

5,01

4,96

4,90

8,07

6,54

5,89

5,52

5,29

5,12

4,99

4,90

4,82

4,76

4,67

4,57

4,47

4,41

4,36

4,31

4,25

4,20

7,57

6,06

5,42

5,05

4,82

4,65

4,53

4,43

4,36

4,30

4,20

4,10

4,00

3,95

3,89

3,84

3,78

3,73

7,21

5,71

5,08

4,72

4,48

4,32

4,20

4,10

4,03

3,96

3,87

3,77

3,67

3,61

3,56

3,51

3,45

3,39

6,94

5,46

4,83

4,47

4,24

4,07

3,95

3,85

3,78

3,72

3,62

3,52

3,42

3,37

3,31

3,26

3,20

3,14

6,72

5,26

4,63

4,28

4,04

3,88

3,76

3,66

3,59

3,53

3,43

3,33

3,23

3,17

3,12

3,06

3,00

2,94

6,55

5,10

4,47

4,12

3,89

3,73

3,61

3,51

3,44

3,37

3,28

3,18

3,07

3,02

2,96

2,91

2,85

2,79

6,41

4,97

4,35

4,00

3,77

3,60

3,48

3,39

3,31

3,25

3,15

3,05

2,95

2,89

2,84

2,78

2,72

2,66

6,30

4,86

4,24

3,89

3,66

3,50

3,38

3,29

3,21

3,15

3,05

2,95

2,84

2,79

2,73

2,67

2,61

2,55

6,20

4,77

4,15

3,80

3,58

3,41

3,29

3,20

3,12

3,06

2,96

2,86

2,76

2,70

2,64

2,59

2,52

2,46

6,12

4,69

4,08

3,73

3,50

3,34

3,22

3,12

3,05

2,99

2,89

2,79

2,68

2,63

2,57

2,51

2,45

2,38

6,04

4,62

4,01

3,66

3,44

3,28

3,16

3,06

2,98

2,92

2,82

2,72

2,62

2,56

2,50

2,44

2,38

2,32

5,98

4,56

3,95

3,61

3,38

3,22

3,10

3,01

2,93

2,87

2,77

2,67

2,56

2,50

2,44

2,38

2,32

2,26

5,92

4,51

3,90

3,56

3,33

3,17

3,05

2,96

2,88

2,82

2,72

2,62

2,51

2,45

2,39

2,33

2,27

2,20

5,87

4,46

3,86

3,51

3,29

3,13

3,01

2,91

2,84

2,77

2,68

2,57

2,46

2,41

2,35

2,29

2,22

2,16

5,83

4,42

3,82

3,48

3,25

3,09

2,97

2,87

2,80

2,73

2,64

2,53

2,42

2,37

2,31

2,25

2,18

2,11

5,79

4,38

3,78

3,44

3,22

3,05

2,93

2,84

2,76

2,70

2,60

2,50

2,39

2,33

2,27

2,21

2,14

2,08

5,75

4,35

3,75

3,41

3,18

3,02

2,90

2,81

2,73

2,67

2,57

2,47

2,36

2,30

2,24

2,18

2,11

2,04

5,72

4,32

3,72

3,38

3,15

2,99

2,87

2,78

2,70

2,64

2,54

2,44

2,33

2,27

2,21

2,15

2,08

2,01

5,69

4,29

3,69

3,35

3,13

2,97

2,85

2,75

2,68

2,61

2,51

2,41

2,30

2,24

2,18

2,12

2,05

1,98

5,66

4,27

3,67

3,33

3,10

2,94

2,82

2,73

2,65

2,59

2,49

2,39

2,28

2,22

2,16

2,09

2,03

1,95

5,63

4,24

3,65

3,31

3,08

2,92

2,80

2,71

2,63

2,57

2,47

2,36

2,25

2,19

2,13

2,07

2,00

1,93

5,61

4,22

3,63

3,29

3,06

2,90

2,78

2,69

2,61

2,55

2,45

2,34

2,23

2,17

2,11

2,05

1,98

1,91

5,59

4,20

3,61

3,27

3,04

2,88

2,76

2,67

2,59

2,53

2,43

2,32

2,21

2,15

2,09

2,03

1,96

1,89

5,57

4,18

3,59

3,25

3,03

2,87

2,75

2,65

2,57

2,51

2,41

2,31

2,20

2,14

2,07

2,01

1,94

1,87

5,42

4,05

3,46

3,13

2,90

2,74

2,62

2,53

2,45

2,39

2,29

2,18

2,07

2,01

1,94

1,88

1,80

1,72

5,29

3,93

3,34

3,01

2,79

2,63

2,51

2,41

2,33

2,27

2,17

2,06

1,94

1,88

1,82

1,74

1,67

1,58

120

5,15

3,80

3,23

2,89

2,67

2,52

2,39

2,30

2,22

2,16

2,05

1,94

1,82

1,76

1,69

1,61

1,53

1,43

39,17

1001

10006

1010

1014

39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,49 8,31

Distribuição do F de Snedcor - Fnm

(

)

Os valores tabelados correspondem aos pontos x tais que: P Fn ≤ x =0.99 m

5625

5764

5859

5928

5982

6022

6056

6106

6157

6209

6235

6261

6287

6313

120

n 1

1052 4999.5

5403

98,50 99,00

99,16

6339

34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,05 26,87 26,69 26,60 26,50 26,41 26,32 26,22

21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,37 14,20 14,02 13,93 13,84 13,75 13,65 13,56

16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05

9,89

9,72

9,55

9,47

9,38

9,29

9,20

9,11

13,75 10,92

9,78

9,15

8,75

8,47

8,26

8,10

7,98

7,87

7,72

7,56

7,40

7,31

7,23

7,14

7,06

6,97

12,25

9,55

8,45

7,85

7,46

7,19

6,99

6,84

6,72

6,62

6,47

6,31

6,16

6,07

5,99

5,91

5,82

5,74

11,26

8,65

7,59

7,01

6,63

6,37

6,18

6,03

5,91

5,81

5,67

5,52

5,36

5,28

5,20

5,12

5,03

4,95

10,56

8,02

6,99

6,42

6,06

5,80

5,61

5,47

5,35

5,26

5,11

4,96

4,81

4,73

4,65

4,57

4,48

4,40

10,04

7,56

6,55

5,99

5,64

5,39

5,20

5,06

4,94

4,85

4,71

4,56

4,41

4,33

4,25

4,17

4,08

4,00

9,65

7,21

6,22

5,67

5,32

5,07

4,89

4,74

4,63

4,54

4,40

4,25

4,10

4,02

3,94

3,86

3,78

3,69

9,33

6,93

5,95

5,41

5,06

4,82

4,64

4,50

4,39

4,30

4,16

4,01

3,86

3,78

3,70

3,62

3,54

3,45

9,07

6,70

5,74

5,21

4,86

4,62

4,44

4,30

4,19

4,10

3,96

3,82

3,66

3,59

3,51

3,43

3,34

3,25

8,86

6,51

5,56

5,04

4,69

4,46

4,28

4,14

4,03

3,94

3,80

3,66

3,51

3,43

3,35

3,27

3,18

3,09

8,68

6,36

5,42

4,89

4,56

4,32

4,14

4,00

3,89

3,80

3,67

3,52

3,37

3,29

3,21

3,13

3,05

2,96

8,53

6,23

5,29

4,77

4,44

4,20

4,03

3,89

3,78

3,69

3,55

3,41

3,26

3,18

3,10

3,02

2,93

2,84

8,40

6,11

5,19

4,67

4,34

4,10

3,93

3,79

3,68

3,59

3,46

3,31

3,16

3,08

3,00

2,92

2,83

2,75

8,29

6,01

5,09

4,58

4,25

4,01

3,84

3,71

3,60

3,51

3,37

3,23

3,08

3,00

2,92

2,84

2,75

2,66

8,18

5,93

5,01

4,50

4,17

3,94

3,77

3,63

3,52

3,43

3,30

3,15

3,00

2,92

2,84

2,76

2,67

2,58

8,10

5,85

4,94

4,43

4,10

3,87

3,70

3,56

3,46

3,37

3,23

3,09

2,94

2,86

2,78

2,69

2,61

2,52

8,02

5,78

4,87

4,37

4,04

3,81

3,64

3,51

3,40

3,31

3,17

3,03

2,88

2,80

2,72

2,64

2,55

2,46

7,95

5,72

4,82

4,31

3,99

3,76

3,59

3,45

3,35

3,26

3,12

2,98

2,83

2,75

2,67

2,58

2,50

2,40

7,88

5,66

4,76

4,26

3,94

3,71

3,54

3,41

3,30

3,21

3,07

2,93

2,78

2,70

2,62

2,54

2,45

2,35

7,82

5,61

4,72

4,22

3,90

3,67

3,50

3,36

3,26

3,17

3,03

2,89

2,74

2,66

2,58

2,49

2,40

2,31

7,77

5,57

4,68

4,18

3,85

3,63

3,46

3,32

3,22

3,13

2,99

2,85

2,70

2,62

2,54

2,45

2,36

2,27

7,72

5,53

4,64

4,14

3,82

3,59

3,42

3,29

3,18

3,09

2,96

2,81

2,66

2,58

2,50

2,42

2,33

2,23

7,68

5,49

4,60

4,11

3,78

3,56

3,39

3,26

3,15

3,06

2,93

2,78

2,63

2,55

2,47

2,38

2,29

2,20

7,64

5,45

4,57

4,07

3,75

3,53

3,36

3,23

3,12

3,03

2,90

2,75

2,60

2,52

2,44

2,35

2,26

2,17

7,60

5,42

4,54

4,04

3,73

3,50

3,33

3,20

3,09

3,00

2,87

2,73

2,57

2,49

2,41

2,33

2,23

2,14

7,56

5,39

4,51

4,02

3,70

3,47

3,30

3,17

3,07

2,98

2,84

2,70

2,55

2,47

2,39

2,30

2,21

2,11

7,31

5,18

4,31

3,83

3,51

3,29

3,12

2,99

2,89

2,80

2,66

2,52

2,37

2,29

2,20

2,11

2,02

1,92

7,08

4,98

4,13

3,65

3,34

3,12

2,95

2,82

2,72

2,63

2,50

2,35

2,20

2,12

2,03

1,94

1,84

1,73

120

6,85

4,79

3,95

3,48

3,17

2,96

2,79

2,66

2,56

2,47

2,34

2,19

2,03

1,95

1,86

1,76

1,66

1,53

99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,42 99,43 99,45 99,46 99,47 99,48 99,48 99,49