Geometri Günlüğü

FETHİYE KEMAL MUMCU ANADOLU LİSESİ 2013-2014 yılı geometri dergisi

GEOMETRİ GÜNLÜĞÜ

ÖNSÖZ Her dergide olduğu gibi bizim dergimizde de bir önsöz olmalıydı elbette. Öncelikle dergimizin konusundan bahsedelim: dergimiz “Geometri” ile ilgili gerek eğlendirici gerek düşündürücü bilgileri size sunmak için hazırlandı.

“Geometri nedir? Sizlere nasıl anlatabiliriz? Nasıl eğlendirici oluruz? Nasıl düşündürürüz? Nasıl merak uyandırırız?” gibi tüm soruları düşünerek hazırladığımız ve beğenmenizi umduğumuz dergimizi sizlere sunmaktan büyük keyif alıyoruz.

Bu dergiyi yapmamıza vesile olan sevgili geometri öğretmenimiz Fırat Duran’a teşekkür ederiz ve keyifli okumalar dileriz.

Saygılarımızla…

İÇİNDEKİLER Geometrinin Tarihçesi Eğlendirici Bilgiler Türk Geometricileri Röportaj Yapalım Bunları Biliyor Muydunuz? Öklid Kimdir? Bulmacalar Çözülememiş Sorular Biraz Eğlence Kaynakça

GEOMETRİ NEDİR? Geometri; matematiğin bir koludur. Her şeyi çizgi, yüzey ve hacim olarak ele alır, şekillerini, özelliklerini inceler, ölçümlerini gösterir.

Geometride, noktanın hiçbir boyutu yoktur. Çizginin sadece uzunluğu vardır, kalınlığı, genişliği yoktur.

Bir yüzeyin ise sadece genişliği, uzunluğu vardır, kalınlığı yoktur.

Cisimlerin ise eni, boyu, kalınlığı vardır.

Geometri birçok bilim dallarında en büyük yardımcıdır. Mühendisler, mimarlar geometriden faydalanarak yol, bina, köprü vs. yaparlar. Geometriye dayanan usuller sayesinde uçaklar, gemiler yollarını bulur. Astronomlar da çalışmalarında geometriden geniş ölçüde faydalanırlar.

Geometrinin Temelleri Geometri’nin temelleri belitlere (mütearifelere) ve tanımlamalara (tariflere) dayanır.

Belit: Belitler, ayrıca ispatına lüzum olmayan, doğru olduğu apaçık görülen gerçeklerdir.

Matematikte hüküm yürütebilmek için bu gerçekleri mutlaka bilmek gerekir.

Bunlardan doğru mudur, yanlış mıdır diye düşünmeden faydalanırız. Yanlış belitler bizi yanlış sonuçlara götürür. Meselâ Kristof Kolomb‘dan önce gemiciler dünyanın düz olduğunu sandıkları için memleketlerinden fazla uzaklaşamıyorlardı. Kolomb‘un dünyanın yuvarlak olduğunu düşünmesi yeni keşiflere yol açtı.

Bugün hemen herkes Euklides(Öklit) geometrisindeki belitlerin doğruluğuna inanmıştır. Bu Eski Yunanlı matematikçi, tartışmasız kabul edecek temel gerçekleri ”belit” ve “konut(kaziye)” diye ayırmıştı. Belitler bütün durumlarda

kullanılabilen gerçeklerdi. Meselâ: “Bir şeyin iki yarısı onun bütününe eşittir” sözü bir belirtir.

Konut: Konutların da belitler gibi ispat edilmesine lüzum yoktur. Ancak, bunlar belitler gibi genel değildir, daha çok geometriye hastırlar.

Tanımlama: Tanımlama da geometri için çok önemli hususlardan biridir. Bir mesele üzerinde yürüttüğümüz fikirlerin doğru olabilmesi için tanımlamaların çok doğru olması gerekir. Bir dörtgenin ne olduğunu bilmezsek, elimizde bunun doğru bir tanımlaması yoksa bir şeklin dörtgen olup olmadığını ispat edemeyiz.

Bir fikri tanımlamak (tarif etmek) demek onu bir çember içine alarak çevresinden ayırmak demektir. Bu çember yalnız o fikir için gerekli hususları içine almalıdır.

Teorem (Dâva): Doğruluğunu ispata ihtiyaç gösteren matematik bir ifadedir. İspat edilmeyen gerçekler matematikte yer alamaz. Bunun için, ispatların geometride büyük yeri vardır.

Bir teorem “varsayım” ve “yargı(hüküm)” olmak üzere iki kısımdan meydana gelir. Yargı ispat edilmesi gereken şeyin ne olduğunu; Varsayım ise bu ispata yarayacak şartları anlatır. Bir teoremi ispat ederken varsayımla yargıyı iyice birbirinden ayırmalı, gerçeği bulabilmek için varsayım şartlarını, göz önünde bulundurmalıdır.

Bir geometri teoreminin ispatında belitlerle tanımlamalardan, daha önceki teoremlerden, daha başka ispatlanmış teoremlerin bize gösterdiği gerçeklerden faydalanılır. Bunlardan faydalanmadan yapılan ispatların hükmü yoktur.

Karşıt Teorem: Bir teoremin yargısı varsayım, varsayımı da yargı yapılınca meydana gelen teoreme denir.

Yardımcı Teorem: Bazı teoremlerin ispatı için, bu teoremden önce, onu ispat etmeye yarayacak başka bir teorem ispatlanır.

Geometrinin Bölümleri Geometrinin üç ana kısmı vardır: 1.Düzlem Geometri: Bir düzlem içinde bulunan, yani iki boyutu olan şekilleri inceler. Çokgenler, daire düzlem geometrinin sınırları içine girer.

2.Tasarı Geometri: Uzaydaki şekillerin tasarımını iz düşümlerle gösterir.

3.Uzay Geometri: Hacimli, yani uç boyutlu şekillerle uğraşır.

Geometrinin başka dalları bu ana bölümlerin içinde kalır. Bunların başlıcaları analitik geometri ile trigonometri dir.

Geometrinin Gelişmesi Geometrinin çok eski bir tarihi vardır. Eski Mısırlılar çok iyi geometri biliyorlardı. Bugün bile ayakta duran piramitleri yapmak için mimarlık kadar geometri de bilmek şarttı. Ayrıca, bir Mısırlı her yıl taşan Nil nehrinin altında kalan topraklarını komşusununkinden ayırmak için ölçüp biçmek zorundaydı.

Geometrinin başlangıcı çok eski çağlara rastlar. İlk geometri fikrinin gelişmesinden bu yana tatbiki ve mantıki geometri yan yana bir gelişme geçirmiştir. Zamanımıza kadar ayakta duran büyük piramitleri yapan Eski Mısırlıların geometri bildikleri açık bir gerçektir. Onların geometri bildiğini gösteren başka deliller de vardır. Nil nehri her yıl taşar, çevresindeki toprakları sular altında bırakırdı. Onun için Nil kıyısında toprağı olanlar her yıl, yeniden ölçüp biçerek, topraklarının sınırını kestirmek zorunda kalırlardı.

Böyle bir şey de ancak geometri sayesinde yapılabilir.

Geometriyi asıl geliştirenler Eski Yunanlılardır. Bu arada, geometri kaidelerini ilk defa ortaya koyan Miletos’lu Thales’tir. Gene geometrinin ilk öncülerinden biri de Pythagoras(Pisagor)’tır. M. Ö. VI. yüzyılda yaşayan bu büyük matematikçi bilhassa kendi adiyle anılan teoremiyle tanınmıştır.

Pyfchagoras’tan sonra birçok Yunanlı bilgin geometrinin gelişmesine yardım etti.

Nihayet M. Ö. 300 yıllarında Euklides «Elemanlar» adındaki eserini meydana getirdi. Böylece, modern geometri kurulmuş oluyordu. Zamanımızda bile yeni

görüşleri hesaba katmazsak geometrinin bütün ilkeleri Euklides geometrisinin ilkeleri üzerine kurulmuştur.

Bir başka büyük Yunan matematikçisi de Arkhimides’tir. Kendini tamamen geometriye vermiş bu büyük bilgin, bir geometri problemi üzerinde çalışırken Romalı askerler tarafından öldürülmüştür. Romalılar, Eski Yunanlılar’ın çizdiği yoldan gittiler, yollar, binalar, su kemerleri yaptılar.

Geometri yüzlerce yıl Euklides’in bıraktığı yerde kaldı. Ancak XVII. yüzyılda Fransız filozofu René Descartes cebiri geometriye soktu, analitik geometriyi kurdu. İngiliz fizikçisi Newton ile Alman bilgini Leibnitz’in de geometri üzerinde önemli çalışmaları oldu.

Geometride Yeni Görüşler Matematikçiler daha XVII. yüzyıldan beri Euklides geometrisinin sayısız birçok problemler çözmeye yarayamayacağını düşünmeye başlamışlardı. XVII. ve XVIII. yüzyıllarda bu konuda birçok çalışmalar yapıldı. Euklides geometrisi dışındaki ilk başarılı çalışmayı yapan Alman bilgini Karl Friedrich Gauss’tur. İşi daha çok felsefî yönünden ele alan Gauss, Euklides’in paraleller hakkındaki konutunun yanlış olabileceğini ileri sürdü.

Euklides geometrisi dışındaki geometrinin ilk temellerini XIX. yüzyılda Rus matematikçisi Nikolay Lobaçevskiy attı. Paraleller üzerinde değişik bir görüş ileri sürüyor, bunu ispatlıyordu. Yine aynı yüzyılda Macar bilgini Bolyai Janos da, Lobaçevskiy’inkine benzeyen sonuçlar elde etti. En sonunda Alman matematikçisi Bernhard Riemann konuyu daha derin noktalarına kadar inceledi. Bu bilginin uzayın sınırlı olduğu hakkındaki fikirleri, Einstein’in İzafiyet Teorisi çalışmalarına temel oldu. Bu sayede, astronomi âleminde yeni ufuklar açıldı, geometride de Euklides geometrisi dışı başka sistemler kuruldu.

EĞLENDİRİCİ BİLGİLER

GEOMETRİNİN İLGİNÇ BİLGİLERİ  Pisagor’un aynı zamanda en çok bilmece üreten matematikçilerden olduğunu biliyor muydunuz?  Bir alanın maksimum kullanımı için en uygun geometrik şekil altıgendir.

Altıgen hücre, en çok miktarda bal depolarken, inşası için balmumu gerektiren şekildir. Yani arı olabilecek en uygun şekli kullanmaktadır.  Günümüzün en popüler arama motoru olan ‘Google’ kelimesi aslında matematiksel bir terim olan ‘Googol’ kelimesinden gelmektedir.1 rakamını takip eden 100 adet sıfırın oluşturduğu sayıya yani (10100) 1 Googol denilmektedir.  Geometri eski adı Hendese, Almanca Geometrie, Fransızca Geometrie (f), İngilizce Geometry.  Uzayı ve uzayda tasarlanabilen şekilleri ve cisimleri inceleyen matematik dalıdır. Yunanca bir kelime olan geometri, kelime anlamı olarak yerin ölçülmesi demektir.  Euclides(Öklit)’in yazdığı Elemanlar adlı kitap, geometrinin sistemli bir ilim haline gelmesine öncülük etmiştir.

MATEMATİKÇİLERİN ARABA ARKASI YAZILARI Küsuratım bile olamazsın. En son sollayanı çarpanlarına ayırdım şimdi iki bilinmeyenli denklem! Hızlıysam, limitini bul! Pisagor sağ olsun! Birden gelip, sonsuza giderim. Bir bilinmeyenli denkleme kadar yolum var. Yeter güzelim yeter, iki iki dört eder. Pisagor da sollardı! Sağlama bizim işimiz, sen soldan geç. Gülü soluncaya, seni lim x -0+ 1/x`e kadar seveceğim.

TÜRK GEOMETRİCİLERİ HAREZMÎ: Matematikte yeni sayılabilecek bir dal olan, analitik geometri ile ilgili eserler, analitik geometriyi, 16. yüzyıl Fransız matematikçi Descartes'in, 1637 yılında yazdığı La Geometri adlı eseri ile başlatırlar. Gerçekte, Hârizmî tarafından 830 yılında Arapça olarak yazılan Cebri ve'l Mukabele adlı eserde, analitik geometriye ait ilk bilgiler ortaya konmuştur. Hatta, Ömer Hayyam'in Cebir adlı eserinde de, analitik geometriye ait bilgilerin varlığı görülür. Analitik geometrinin Descartes'la ilgisini, şu şekilde belirtmek, gerçeğin tam ifadesi olur.

Descartes, kendisinden önceki yıllarda var olan analitik geometri bilgilerini toplayarak sistemleştirmiş ve kısmen de genişletmiştir. Müsteşrik Sigrid Hunke, analitik geometri konusunda aynen şunları yazar. "Adedi çokluklarla (kemiyetlerle) geometrik çoklukların beraber yürütülmesi gerektiğine dair kesin fikir de ilk olarak, İslam ilim sahasında rastlanır. Rönesansımızın üstatları, onun için, Yunanlılar değil, bilakis İslam Dünyası oldu.

"Denebilir ki; cebirin geometriye tatbikati demek olan, analitik geometriyi münferit bir geometri dalı haline getirme metotlarını ilk olarak Hârizmî tarafından ortaya konmuştur.

Trigonometrinin Avrupa'da duyulup dağılmasına etkili olanların başında gelen Sabit bin Kur-ra, geometri konularındaki çalışmaları ile de adını zamanımıza kadar sürdürmüş olan ünlü matematikçilerimizden biridir. Konikler kitabı ile Apolonyos'a serh yazdı. Huneyn bin İshak tarafından Öklid'in Elementler adlı eserine yazılan serhi, ilaveler yaparak düzeltti. Menalaus, Apolonyos, Pisagor, Archimed, Öklid ve Theodosus'un eserlerini Arapçaya tercüme etmekle, geometriye, zaman için orijinal olan, yeni bilgiler kazandırmıştır.

EBU’L VEFA: Trigonometri çalışmaları dışında, düzgün çokyüzlüler konusuyla da uğraşmıştır.

7 ve 9 kenarlı düzgün çokgenlerin yaklaşık çizimlerine dair yeni bir geometrik yöntem ortaya koymuştur. Kısmen Hint modellerine dayalı olarak ortaya koyduğu geometrik çizimleri, geometri bakımından önem taşır. Ebu'l Vefa'nın çizim geometrisine ait ortaya koyduğu çalışmalarına dair bir fikir verebilmek için üç ayrı problemini örnek olarak belirtelim. Bunlar: - Pergelle, daire içine, açıklığını bozmadan kare çizmek.

- Verilen bir doğru parçasını, pergel yardımıyla eşit parçalara bölmek.

- Verilen bir kare içine, eşkenar bir üçgen çizmek.

Matematik tarihi incelendiğinde; ünlü matematikçilerden, Thales, Öklid, Pisagor'un hazırladıkları eserler ve bu eserlerinde ortaya attıkları teoremler, Hârizmî, Ömer Hayyam, Sabit bin Kurra, Beyruni, Nasiruddin Tusi'nin ortaya koydukları görüşler sonucu, geometri yeni boyutlar kazanmıştır.

Ebu’l Vefa’nın matematik tarihinde ortaya koyduğu ilk trigonometrik özdeşliklerden bazıları şunlardır:

Ayrıca küresel trigonometride sinüs teoremini açıklamıştır:

RÖPORTAJ YAPALIM Hüseyin Karabay: Merhaba Zeynep Hanım. Nasılsınız?

Zeynep Karabay: İyiyim teşekkürler.

Hüseyin Karabay: Nereden mezunsunuz?

Zeynep Karabay: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü'nden mezunum.

Hüseyin Karabay: Peki matematiğe merakınız ne zaman başladı?

Zeynep Karabay: İlkokuldaki sınıf öğretmenim sevdirdi. Ve her geçen yıl daha da ilgimi çekmeye başladı. En sevdiğim dersler arasında birinci sırayı kaptı.

Hüseyin Karabay: Ve daha sonra üniversite yıllarını bu bölümde geçirmek istediniz. Öyle mi?

Zeynep Karabay: Evet benim için kaçınılmaz son buydu. Aslında başlangıç desek daha doğru olur.

Hüseyin Karabay: Lisans eğitiminizde sizin için yeni bir başlangıç mı oldu matematik adına? Lisede öğrendiklerinizle lisans eğitimindeki fark neydi?

Zeynep Karabay: Matematik adına yeni bir başlangıç oldu evet. Çünkü lisede bazı şeyleri hatta birçok şeyi ezberliyoruz. Formüllerin nereden geldiğini, hangi ihtiyaçtan doğduğunu, olmasaydı hangi sıkıntıları yaşayacağımızı düşünmüyoruz. Her şeyden önce matematik bölümü size düşündürmeyi amaçlar. Eğer düşünmek varsa ortada hayatın içindesiniz demektir. Her ne kadar soyut gibi görünse de somut olanı anlamak için gerekli olduğunu düşünüyoruz.

Hüseyin Karabay: Yani bizim lisede öğrendiklerimiz boşuna mı?

Zeynep Karabay: Hayır ben öyle demek istemedim. Hayatımızın her anı bizim için bir aşama. Lisede öğrendiklerimiz üniversite hayatımız için bir ön hazırlık... Bunu bir bina gibi düşünebilirsiniz. Temeli sağlam yapmazsınız kolonlar binayı taşıyamaz. Biz temelimizi ne kadar sağlam yaparsak geleceğe o kadar sağlam adımlarla ilerleriz.

Hüseyin Karabay: Geometri hakkındaki düşünceleriniz nelerdir?

Zeynep Karabay: Bir tabloya ilk kez baktığınızda hissettiklerinizle aradan zaman geçince baktığınızda hissettikleriniz aynı değildir. Çünkü o anki bakış açınızla diğeri farklıdır. Siz öncekine göre belki daha dolu bakarsınız.

Sonrasında görmeye bir adım daha yaklaşırsınız. Bakmak ile görmek arasında fark gittikçe sıfıra yaklaşır. Geometride buna benzer ilk anda bir şeyler hissedersiniz. Ama zaman geçip de düşünceleriniz olgunlaşınca daha da derinleşirsiniz. Ne kadar öğrenirseniz öğrenin sizin bildikleriniz deryada bir damla gibidir. Deryanın büyüklüğünü düşününce acizliğinizi fark edersiniz.

Bu sadece geometri için geçerli değildir. Aslında tüm bilimlerde bu böyledir. İnsanoğlu fıtratı gereği hep eksiktir. Ama bu eksiklik; eskimekten bir kat iyidir. Sürekli yenilenmek gerekir. Eskilerin ışığında yeni düşünce yolları oluşturmak gerekir. Matematikte -yani geometri de denilebilir- bu böyledir.

Hüseyin Karabay: Şimdi de işin biraz mesleki boyutlarından konuşalım. Özel bir dershanede çalışıyorsunuz. Peki, kaç senedir çalışıyorsunuz, memnun musunuz? Önerir misiniz? Daha başka iş olanaklarınız var mıdır?

Zeynep Karabay: İki senedir çalışıyorum. Çalışma koşulları çok da rahat değil ömrüm boyunca bu işi yapamam. Benim için bir geçiş dönemi bu meslek. Çünkü hayat şartlarında maddiyatta önemli bir yer tutuyor. Bu mesleği açıkçası önermiyorum. Ya da bir bayan için oldukça yorucu. Başka iş olanaklarına gelince... Bence bir matematik mezununa en çok yakışanı akademisyenlik olurdu.

Hüseyin Karabay: Akademisyen olmak için neler gerekli?

Zeynep Karabay: Üniversiteler kendi içinde sınavla araştırma görevlisi alıyorlar.

Aşamaları şu şekilde oluyor. Öncelikle mezuniyet puanınız önemli, ALES(Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitime Giriş Sınavı)den, YDS(Yabancı Dil Sınavı)den ve okulun mülakat sınavından aldığınız puanların belirli yüzdeleri alınarak, 100 üzerinden bir puanınız oluşuyor.

Alımları bu şekilde yapılabiliyor. Ayrıca YÖK(Yüksek Öğretim Kurumu)ün yaptığı atamalar oluyor. Biraz önce bahsettiğim sınavlardan alınan puanlar ile ÖYP(Öğretim Görevlisi Yetiştirme Programı) atamaları yapılıyor.

Hüseyin Karabay: Peki başka hangi mesleklerle uğraşılabilir?

Zeynep Karabay: Pedagojik Formasyon alarak MEB de orta öğretim matematik öğretmenliği yapabilirsiniz. Devlet kurumlarında kadro açılırsa uzman yardımcılığı yapabilirsiniz. Tabi bunlar için KPSS puanı önemlidir.

Bankacılığa yönelebilirsiniz. Ya da bilgisayar programcılığıyla ilgilenebilirsiniz. Kısaca olay sizde bitiyor.

Hüseyin Karabay: Peki geometrinin matematikten bir farkı var mıdır?

Zeynep Karabay: Tam olarak öyle denilemez çünkü geometri matematiğin bir alt koludur. Birbiriyle ilişkilidir. Yaptığımız röportajdan da anlayabilirsiniz.

Matematik için geçerli olan her şey geometri için de geçerlidir. Tıpkı birbirini kapsayan iki küme gibi.

Hüseyin Karabay: Benimle yaptığınız bu röportaj için teşekkür ederim.

Zeynep Karabay: Rica ederim. Matematikle ya da geometriyle alakalı böyle bir çalışma yapmanız geçekten çok güzel.

BUNLARI BİLİYOR MUYDUNUZ ???

Bir insan yaşamı boyunca iki yüzme havuzunu dolduracak kadar tükürük salgılar.

Bir karınca kendi ağırlığının elli katı ağırlığı kaldırabilir.

Birinin yüzünü hatırlamak için beynin sağ tarafı kullanılır.

Bugüne kadar ölçülmüş en büyük buz dağı, 200 mil uzunluğunda ve 60 mil genişliğindedir ve Belçika’dan daha büyük bir yüzölçümüne sahiptir.

Bukalemunların dilleri, vücutlarından iki kat daha uzundur.

Eiffel Kulesi’nin tepesine çıkana kadar 1792 basamak vardır.

Elektrikli sandalye bir dişçi tarafından icat edilmiştir.

Gecen 3500 yılın, sadece 230 yılı barış içinde yaşanmıştır.

İleri doğru bir adim atıldığında, insan vücudundaki 54 kas çalışır.

İnsan beyninin % 80’i sudur.

Kış aylarında, Moskova’daki buz pateni pistleri 250 bin metrekarelik bir alanı kaplar

İNCE HESAP Satrancın ilk kez MS.570 yıllarında Hindistan’da oynandığını biliyoruz. Daha önce Çin’de de bu oyunun oynandığı rivayet ediliyor.

Rivayet olunur ki bunu bulan Brahman rahibi Şah’a bir ders vermek istemiş. ”Sen ne kadar önemli bir insan olursan ol, adamların, vezirlerin, askerlerin olmadan hiçbir işe yaramazsın” demek istemiş. Şah bu durumdan memnun görünmüş, ”Peki, oyunu ve dersini beğendim. Dile benden ne dilersen” demiş. Rahip bu olay üzerine Şah’ın alması gereken dersi hala almadığını düşünerek ”Bir miktar buğday istiyorum” demiş.

“Sana bulduğum bu oyunun birinci karesi için bir buğday istiyorum. İkinci karesi için iki buğday istiyorum. Üçüncü karesi için dört buğday istiyorum. Böylece her karede, bir önceki karede aldığımın iki misli buğday istiyorum. Sadece bu kadarcık buğday istiyorum” demiş. Şah, kendisi gibi yüce ve kudretli bir şahtan isteye isteye üç beş tane buğday isteyen bu rahibin, küstahlığa varan alçakgönüllülüğüne sinirlenmiş ve ona bir ders vermek istemiş. ”Hesaplayın. Hak ettiğinden bir tane fazla buğday vermeyin” demiş.

Hesaplamada ilk kareler kolay gitmiş.

1.kareye bir buğday, 2.kareye iki buğday, 3.kareye dört buğday…

Ancak 10.kareye gelindiğinde 1024 buğday vermeleri gerekiyor. Bu yaklaşık bir avuç buğdaya karşılık gelir; hesabın hep böyle gideceğini, hep rahibe böyle üç beş buğday vereceklerini zannediyorlardı.

Zaten 15.karede yalnızca 1,5 kilo buğday vereceklerdi. 25.kareye gelince 1.5 ton olduğunu görmüşler ama fazla heyecanlanmamışlar.

Oysa: 31. Kareye gelince, bu işin şakası olmadığını anlamaya başlamışlar. Çünkü vermeleri gereken buğday 31.karede 92 tonmuş.

49.kareye geldikleri zaman 24 milyon ton buğday vermeleri gerekiyor. Bu ise Türkiye’nin bir yıllık buğday üretiminden fazladır.

54.kareye geldiklerinde ise 771 milyon ton buğday vermeleri gerekiyor. Bu da dünyamızın bugünkü ölçülere göre bir buçuk yıllık buğday üretimi.

“Madem başladık hesaplara devam edelim” deyip bitirmişler.

64. kare de tamamlandığında bugünkü ölçülerde dünyanın 1500 yıllık buğday üretimini rahibe vermeleri gerektiği ortaya çıkmış.

Bu upuzun ifadelerle anlattığımız sayının matematik dilindeki ifadesiyle anlatımı şöyledir; 1+2+22+23+24+…+264 = 265 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615 (on sekiz kentilyon dört yüz kırk altı katrilyon yedi yüz kırk dört trilyon yetmiş üç milyar yedi yüz dokuz milyon beş yüz elli bir bin altı yüz on beş) ÜÇGENİN ALANI İlkokulda, matematik dersinde öğretmen üçgenin alanını, cocuklara şu şekilde öğretmiş: Bir üç kenarlının alanı, yatayımı ile diklesiminin vuruşumunun, ikiye bölümüdür. Çocuk bunu güzelce ezberlemiş. Akşam babası evde sormuş:- Bu gün okulda ne öğrendiniz?- Matematik dersinde, bir üç kenarlının alanını öğrendik babacığım.- Ya öyle mi, peki nasıl öğrendiniz?- Bir üç kenarlının alanı, yatayımı ile dikleşiminin vuruşumunun, ikiye bölümüdür.- Yavrum, yanlış öğretmişler size. Doğrusu: Bir üçgenin alanı, tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. O sırada, bir yandan gazetesini okuyan, bir yandan da torunuyla oğlunun konuşmasını dinleyen dede, dayanamayıp söze girmiş: İkinizin de tanımı yanlış! Bir müsellesin mesaha-i sathiyesi, kaidesiyle irtifaının hasıl-ı darpının nısfına müsavidir.

PİZZA’NIN HACMİ NEDİR? Eğer elinizde pizza şeklinde basık bir silindir varsa ve hacmini hesaplama istiyorsanız, yarıçapı Z- yüksekliği A olarak ele alırsak ortaya çıkan formül=Pİ*Z*Z*A olacaktır.

KEOPS PİRAMİDİ Kahire'de bulunan " Keops Piramidi”nin 12 ton ağırlığında iki buçuk milyon bloktan oluştuğunu, Günde on blok yerleştirilmesi halinde yapımının 664 yıl süreceğini, Piramidin üstünden geçen meridyenin karaları ve denizleri tam eşit iki parçaya böldüğünü ve piramidin dünyanın ağırlık merkezinin tam ortasında bulunduğunu, Yüksekliğinin (164 m) bir milyarla çarpımının güneşle dünyamız arasındaki uzaklığını verdiğini, Taban alanının, yüksekliğinin iki katına bölünmesinin pi sayısını verdiğini, Piramitlerin içerisinde ultrasound, radar,sonar gibi cihazların çalışmadığını, Kirletilmiş suyun bir kaç gün piramidin içinde bırakıldığında arıtılmış olarak bulunduğunu, Piramidin içerisinde sütün birkaç gün süreyle taze kaldığını ve sonunda bozulmadan yoğurt haline geldiğini, Bitkilerin piramit içerisinde daha hızlı büyüdüklerini, Çöp bidonu içindeki yemek artıklarının hiç koku yaymadan mumyalaştığını, Kesik, yanık, sıyrık ve yaraların piramidin içinde daha çabuk iyileştiğini, Piramidin içinin yazın soğuk, kışın sıcak olduğunu, Piramit kimin adına yapıldıysa onun bulunduğu odaya yılda 2 kez güneş girdiğini ve bu günlerin doğduğu ve tahta çıktığı günler olduğunu, biliyor muydunuz?

RAMANUJAN SAYISI 1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade edilebilen en küçük sayıdır.

1729=103+93 = 123+ 13 Bunu ilk fark eden Hintli matematikçi Ramanujan' dır. İlginç olan bu işlemi daha sayıyı duyar duymaz zihninden yapmış olmasıdır. Bu sayıya Ramanujan Sayısı denir.

BUNLARI… Üç basamaklı herhangi bir sayıyı iki kere yanyana yazarak elde ettiğimiz yeni sayının, kesinlikle 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 sayılarına kalansız olarak bölündüğün, Thales ve Pisagor’dan çok önce eski Çin kaynaklarında dik üçgenlerin ve benzer üçgenler kullanıldığını, Binom üçgenin daha önce Ömer Hayyam tarafından bulunduğunu, Helis’in sarmaşık bitkisinin ağaca tırmanırken çizdiği eğri olduğunu, “Alice Harikalar Diyarı’nda” kitabının Levvis Carrol adlı bir matematikçi tarafından yazıldığını

biliyor muydunuz?

ÖKLİD KİMDİR ? Öklid gelmiş geçmiş matematikçilerin içinde adı geometri ile en çok özleştirilen kişidir. Geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yeri kendisinin büyük bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilinen ismi ile “Öğeler” adını taşıyan kitabında toplamıştır. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar. Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır.

Eğitimini Akademi'de tamamladıktan sonra İskenderiye’de büyük bir matematik okulu kuran Öklid, çağlar boyu matematikle ilgilenen hemen herkesin gözdesi olmuştur. Geometriyi ispat ve aksiyomlara dayalı bir dizge olarak işleyen 13 ciltlik kitabı “Elementler” bu alandaki ilk kapsamlı çalışmaydı. Kendinden önceki Tales, Pisagor, Platon, Aristoteles gibi matematikçi ve geometricilerin çalışmalarını temel alan Öklid’in bu yapıtı, iki bin yıl boyunca önemli bir başvuru kaynağı olarak kullanılmıştır.

Düzlem geometrisi, aritmetik, sayılar kuramı, irrasyonel sayılar ve katı cisimler geometrisi Öklid’in kitabında ele aldığı başlıca konulardı. Öklid’in her önermeyi daha önceki önermelerden çıkarma yöntemi, kendisine atfedilen “geometrinin babası” sözünü de haklı kılar. Kitapta yer alan aksiyomlara, teoremlere ve ispatlara dayanan sentez yöntemlerinin Batı düşüncesi üzerindeki etkisinin Kitabı Mukaddes'ten sonra ikinci sırada yer aldığı söylenir.

Russell, Elementler'in bugüne kadar yazılmış en büyük kitap olduğunu ileri sürer. Einstein ise “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline kapılmasın” der.

Öklid geometrisi 19. yüzyılın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta 20. yüzyılın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine bağlı olarak okutuldu. Öklid’in yaşamı konusunda hemen, hemen hiçbir şey bilinmiyor. Önceleri bir Yunan kenti olan Megara'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan Megaralı Öklid'in, Öğeler'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar önce yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır. Öklid üzerinde çalıştığı proje hakkında diyorki: "bir doğru istenildiği kadar uzatabilir." ve "İki noktadan bir ve yalnız bir doğru gecer." Öklid geometrisinin aksiyomları şunlardır: 1.

2.

3.

4.

5.

Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittir.

Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilenler de eşit olur.

Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa, eşitlik bozulmaz.

Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir.

Bütün, parçadan büyüktür.

Öklid geometrisinin postulatları ise şunlardır: 1. İki yol arasını birleştiren en kısa yol, doğrudur.

2. Doğru, doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir.

3. Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri çemberdir.

4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.

5. İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük olduğu tarafta bu iki doğru kesişir.

6. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

7. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.

8. Bir açı ortasından tutulursa çember çizilebilir

BULMACALAR

KOLAY

ZOR

DÜNYA’NIN EN ÜNLÜ ALTI ÇÖZÜLEMEMİŞ SORUSU 1-Goldbach Kestirimi: 1742′de Goldbach, Euler’e yazdığı bir mektupta “2′den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir” önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematikseverleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı.

Ayrıca, 2′den başlayarak her çift sayıya 3 sayısı (ki bu bir asal sayı) ekleyerek tek sayılar kümesi elde edilebildiğine göre (örneğin:5=2+3; 7=4+3; 9=6+3…) her çift sayı 2 asal sayının toplamı ise her tek sayı da üç asal sayının toplamıdır denilebilir. Bu ifade de zayıf (ya da tek) Goldbach kestirimi olarak bilinir. Henüz bunun da bir yanıtı yok.

2-Asal Sayılardan Karışık: Asal sayılara ilişkin pek çok bilgi henüz gün ışığına çıkmadı. Bunun yanı sıra ortaya atılmış ama ispatlanmamış pek çok da kestirim var. İşte bunlardan birkaçı: • n2 ve (n + 1)2 arasında daima bir asal var mıdır?

• İkiz Asallar: İkiz asallar yani aralarındaki fark 2 olan asallar sonsuz tane midir?

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43). ..???

• Bugün hala sonsuz tane elemanı olduğu kesin olarak ispatlanmayan (ama öyle olduğu tahmin edilen) bir diğer küme de farkı 2n olan asal çiftlerinin

oluşturduğu kümelerin hepsinin sonsuz tane eleman içerdiği sanısı. Bu kestirimi ortaya atarak problemi genel bir boyuta taşıyansa da Alphonse de Polignac (1849). Örneğin Kuzen asallar olarak bilinen aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman içerir mi?

• (n2 +1) formunda yazılabilen sonsuz tane asal var mıdır?

Fermat Asalları: 17. yüzyılda amatör matematikçi ünvanı ile bilinen Fermat asal sayılar konusuna oldukça önemli katkılarda bulundu. Bu katkılar arasında doğru olduğunu iddia edip ispatlayamadığı kestirimler de vardı. Örneğin + 1 biçimindeki sayıların her n doğal sayısı için bir asal verdiğini iddia etti. Bu biçimdeki sayılara Fermat sayıları asal olanlara da Fermat asalları denir.

Gerçekten de 5′e kadar tüm doğal sayılar için asal değer veren ifadenin yanlış olduğu ancak 100 yıldan fazla zaman sonra anlaşılabildi. n=5 için 232 + 1 = 4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünün farkına varansa Euler oldu.

Bugün ispatı yapılması beklenen önermelerden bir diğeriyse “Fermat asalları sonlu tanedir” kestirimi. Bu ifadenin en güçlü gerekçesiyse şimdiye kadar sadece 5 tane Fermat asalının bulunmasıdır Mersenne Asalları: Fermat’ın sıkça fikir alışverişinde bulunduğu çağdaşı Mersenne 2n – 1 şeklindeki sayılar üzerinde çalışıyordu. Mersenne sayıları (Mn) adı verilen bu sayıların başlangıçta n asal olduğunda asal değer verdiği düşünüldü. Gerçekten de n=11′e kadar doğru çalışan fikir 11′de asal olmayan bir değer alınca bu düşüncenin de yanlış olduğu anlaşılabildi ama 2n – 1′in asal olması için n’nin asal olması gerektiği şartı doğrudur. Yine de matematikçiler bu sayıların peşini bırakmadı. Sonsuz tane olup olmadıkları hala merak edilen Mersenne sayılarından Aralık 2005 itibariyle 43.sü bulundu.

3-Mükemmel Sayı Sorusu: Mükemmel sayı kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır. Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel bir sayıya rastlanmamış. Merak edilen böyle bir sayının varolup olmadığı. Eğer vardır diyorsanız bu sayıyı, saklandığı yerden bulup çıkarmalı, ya da olmadığını iddia ediyorsanız bunu ispatlamalısınız.

4-Palindromik Sayılar: Kapak, kütük, sus, yay, kepek kelimeleri ilginç bir ortak özellik ile dikkat çekiyor: düzden ve tersten okunduğunda aynı. Benzer bir yapıya sahip olan palindromik sayılar da düzden ve tersten okunduğunda aynı olan sayılardır: 1991, 10001, 12621, 79388397, 82954345928.

Bu alandaki açık soru ise şöyle: Hem asal hem de palindromik olan sonsuz tane asal sayı bulunabilir mi?

5-Collatz Problemi: Önce bir pozitif tamsayı seçin. Bu sayıya yapılacak işlem şu: Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2′ye bölün.

Aynı işleme çıkan sayıya uygulayın. En sonunda elde edeceğiniz sayı 1’′dir. Örneğin 8 sayısını ele alalım: 8->(2′ye böl)-4-(2′ye böl)-2-(2′ye böl)-1 5->(3 katını al 1 ekle)-16-8-4-2-1 Seçtiğiniz sayıya dikkat edin. Örnek olarak 27 sayısını seçtiyseniz 1 sayısını bulmanız için 112 basamak ilerlemeniz gerektiriyor. Tabi kaç basamak alacağı sayının büyük veya küçük olmasıyla ilgili değil. Sadece bu algoritmanın her zaman 1 cevabını verdiğini ispatlamanın peşinde koşmayın.

Unutmayın ki sonunda 1 vermeyen bir sayı da var olabilir ve bu da, sorunun cevaplandığı anlamına gelir.

6- Asal Sayılar Arasında İlişki Var mı?

Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 – 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi. Söz konusu olan fonksiyon şöyle: f(X):1+1/2s+1/3s+1/4s+…

Bu fonksiyon s’nin 1 dışındaki her kompleks sayı değeri için tanımlıdır.

Riemann Hipotezine göre bu fonksiyonun, (s) = 0 ifadesini sağlayan tüm önemsiz olmayan s değerleri, reel kısmı ½ olan düşey doğru üzerine düşer (bu doğruya kritik doğru deniyor). İlk 1 500 000 000 değer için bu doğruluk tespit edilmiş olsa da asıl istenen, söz konusu tüm değerler için doğru olduğunun ispatlanması.

Bu sorunun başında 1 milyon dolar ödül konulduğunu unutmayın.

BİRAZ EĞLENCE

HAZIRLAYANLAR…

ALPEREN ATEŞ - 2096 RÜVEYDA TÜRKOĞLU - 2175 BEKİRCAN ŞEKER HÜSYEYİN KARABAY SAMETAY KURNAZ - 2107 BÜŞRA BAŞARAN - 2173 BETÜL ŞÜHEDA KAHVECİ AHUNUR SAVAŞ - 2108 FATMA NUR TANRIKOLOĞLU - 2109 CANSU ÖZTÜRK – 2110