Texto Escolar I Medio Matematicas by Eduardo Alvarez

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MATEMÁTICA I MEDIO Un proyecto de Empresa Editora Zig-Zag S.A. Gerencia General

Ramón Olaciregui Autor

Jaime Ortega Editor

Patricia Maure Dirección Editorial

Mirta Jara Edición

Impreso por ____________

Miguel Ángel Viejo Corrección de estilo

José Luis Brito Director de Arte

Juan Manuel Neira Jefe de Producción

Franco Giordano Equipo de diseño

Pamela Buben Daniel Brown José Luis Grez Claudio Silva Eduardo Álvarez Ilustraciones

Archivo editorial Fotografías

Archivo editorial

Primero medio

Matemรกtica JAIME ORTEGA XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

Índice de contenidos

Unidad 1 / Números Capítulo 1 / Números racionales 1. Los números enteros 2. Los números racionales 3. Adición y sustracción de números racionales 4. Algunas propiedades de números racionales 5. Transformación de decimales periódicos y semiperiódicos a números racionales 6. Redondeo y truncamiento en los números racionales Usando la calculadora ¿Sabías que? Estrategías de resolución de problemas Las funciones de truncar y redondear en Excel Hagamos un poco de historia Consolidando Mapa conceptual Autoevaluación

.. .. .. ..

14 17 20 30 32 38 43 44 45 47 51 52 51 52

Capítulo 2 / Potencias de base racional y exponente cero 1. Potencias de base racional y exponente entero 2. Potencias de base racional y exponente entero Estrategías de resolución de problemas Hagamos un poco de historia Consolidando

.. .

58 64 72 74 75

Unidad 2 / Geometría Capítulo 1 / Djjdfgiofo 1. Ls hjhjd kjkkk 2. Sg tytk lklklfgf Estrategías de resolución de problemas Hagamos un poco de historia Consolidando Mapa conceptual Autoevaluación

.. .. .

INICIO DE UNIDAD / Matemática 1o Medio

00 00 00 00 00 00 00

Unidad 3 / Algebra Capítulo 1 / Djjdfgiofo 1. Ls hjhjd kjkkk 2. Sg tytk lklklfgf Estrategías de resolución de problemas Hagamos un poco de historia Consolidando Mapa conceptual Autoevaluación

.. .. .

00 00 00 00 00 00 00

Unidad 4 / Datos y azar Capítulo 1 / Djjdfgiofo 1. Ls hjhjd kjkkk 2. Sg tytk lklklfgf Estrategías de resolución de problemas Hagamos un poco de historia Consolidando Mapa conceptual Autoevaluación

.. .. .

00 00 00 00 00 00 00

ÍNDICE DE CONTENIDOS / Matemática 1o Medio

Estructura gráfica del texto

Unidad 1: Números racionales

Unidad

Al final de esta Unidad serás capaz de:

1. Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución con los números naturales y enteros.

Unidad

Inicio de Unidad

Números

Presenta los grandes temas de la unidad y los aprendizajes que esperamos desarrolles con tales contenidos.

Capítulo I

Números racionales En este capítulo estudiaremos el conjunto de los números racionales. Veremos de qué manera este conjunto aparece como una extensión del conjunto de los números enteros, y mostraremos su utilidad en la resolución de una serie de problemas, lo cuales no se pueden resolver con los números enteros. A continuación veremos su representación en la recta numérica y de qué manera podemos aproximar los números racionales, luego revisaremos algunas propiedades de las operaciones de la adición, sustracción, multiplicación y división en los números racionales.

2. Caracterizar los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero. Capítulo II

3. Representar números racionales en la recta numérica. 4. Aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y reconocer algunas propiedades de ellos.

Potencias de base racional y exponente entero En este capítulo, continuaremos el estudio de las potencias, considerando potencias de base racional y exponente entero. Analizaremos algunas de sus propiedades y su aplicación a problemas de la vida cotidiana.

5. Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero y reconocer algunas de sus propiedades.

Unidad 1 / Matemática 1o Medio

NÚMEROS / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

CApiTuLo 1

Unidad

núMERos RACionALEs

Los temas de este capítulo son:

Al final de este capítulo serás capaz de:

Los temas de este capítulo son:

Caracterizar los números racionales y los tipos de problemas que permiten resolver.

Los números racionales

Inicio de capítulo

Al final de este capítulo serás capaz de:

Transformación de decimales periódicos y semiperiódicos a números racionales

Transformar números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción.

Redondeo y truncamiento en los números racionales

Aproximar racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocer las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.

Estrategias de resolución de problemas

Resolución de problemas de contextos diversos que involucran números racionales

A través de un organizador gráfico puedes visualizar la relación de las habilidades que pretendemos que desarrolles con cada uno de los contenidos que la unidad te propone.

Representar de los números racionales en la recta numérica.

Adición y sustracción de números racionales

Sistematizar procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas, operaciones con números racionales y su aplicación a la resolución de problemas

Multiplicación y división de números racionales

Situación problemática Jorge recibió un premio de $5.000.000 y, luego de pensarlo un poco, decidió emplearlo de la siguiente forma; 1/8 en arreglos de su casa y 2/6 en regalos para su familia.

28 56 894 7268 56 8945736 35 9 53 68

47 8

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

¿Cuánto dinero gastó en total? ¿Podrías decir con cuánto dinero quedó finalmente Jorge? A continuación revisaremos la forma de responder esta pregunta.

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales Toma Nota

Sean a, b, c y d números enteros, tales que c ≠ 0, y d ≠ 0, entonces

a – b = a.d+b.c c.d c d PARA EJERCITAR

En Internet

También puedes practicar la suma y resta de fracciones en las siguiente páginas web

I Encuentre el valor de las siguientes expresiones.

http://descartes.cnice.mec. es/experiencias/Mates_RyC/ fracciones_2/13-suma.htm

6 2 + = 7 5

6 13 – = 8 11

15 -16 – = 5 13

-4 -7 – = 7 12

II Encuentra el valor de las siguientes expresiones

http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/suma4.htm

http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/suma5.htm

3 4 1 7 + – + = 5 10 10 2

b) – c)

(

) ( ) ) ( )]

1 2 3 2 – + – = 3 5 4 8

[(

12 6 13 1 2 – + – – 3 15 9 2 4

III La distancia entre Curicó y Molina es de 16 Kms.

¿Cuántas horas debe caminar un hombre que recorre los 3/14 de dicha distancia en una hora, para ir de Curicó a Molina? IV Margarita camina a una velocidad de 4 km/h y corre a 6,5 km/h

.Si corre se puede ahorrar 13/4 minutos desde la casa hasta el paradero de buses.

¿Cuál es la distancia en que debe recorrer entre su casa y el paradero? V Antes de morir, Julio dejó a sus hijos 17 caballos para que se re-

partieran en la siguiente forma: la mitad para el mayor, un tercio para el segundo y un noveno para el menor. Debido a que no había forma de realizar el reparto los hermanos recurrieron a un juez, quien incorporó un caballo a los 17 e hizo el reparto conforme a la voluntad del padre: 9 caballos para el mayor, 6 para el segundo y dos para el menor. El caballo sobrante tuvo que devolverlo pues era prestado. Comenta la solución.

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

INICIO DE UNIDAD / Matemática 1o Medio

Toma Nota Los contenidos matemáticos se van explicando con un lenguaje cercano y a través de ejemplos prácticos que te permiten aprender, com-

Para Ejercitar Para favorecer la integración de los aprendizajes, te proponemos una selección de actividades y la resolución de situaciones problemáticas vinculadas a contextos reales. Al finalizar cada tema se presentan actividades graduadas en orden de complejidad para favorecer la consolida-

Tips Destinados a entregar recursos externos a la información desplegada en los contenidos, como información de Internet, datos u aclaración

Unidad 1: Números racionales

Unidad

2.2 La recta numérica en los números racionales

Veamos ahora una forma de representar los números racionales en la recta numérica.

Veamos ahora como podemos representar los números racionales en la recta numérica.

En Internet

En la siguiente dirección podrás encontrar más sobre la recta numérica y la representación de los números racionales. http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros1.htm

Consideremos el número racional 3 . Podemos observar que

5 3 = 16 = 0,6 5 10

1. Consideremos un segmento de longitud la unidad y lo dibujamos en la recta numérica. 2. Dibujemos un segundo segmento desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos, teniendo cuidado de que la división sea en partes iguales. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes. 3. Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.

el cual es un número que está entre 0 y 1, es decir, 0 < 3 < 1,

Luego, para representarlo en la recta numérica, se tiene que si consideramos en la recta numérica el segmento entre 0 y 1, y lo dividimos en 5 segmentos iguales, entonces 3/5 corresponde al número que se obtiene al considerar 3 de estos segmentos

3/5

1/5

2/5

4/5

Visita esta página web para ver la representación de los números racionales en la recta numérica: http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/Representacion_en_la_recta/ Numeros2.htm

Los contenidos matemáticos se van explicando con un lenguaje cercano y a través de ejemplos prácticos que te permiten aprender, comprender e inferir los conceptos matemáticos.

2 0

0/5

Desarrollo de contenidos

En Internet

5/5

1 4

1 2

3 4

Repite este proceso para representar en la recta numérica los números siguientes: Veamos ahora como representamos el número -3 . Notemos que 4 Veamos ahora como representamos el número -3 . Notemos que 4 el cual es un número entre –1 y 0, es decir, –1 < -3 < 0, 4

-3 = -0,75 4 -3 = -0,75 4

para representarlo en la recta numérica podemos dividir el segmento entre –1 y 0 en 4 partes iguales, luego tenemos lo siguiente:

a) 4

-3/4

-2/4 -1/4 0/4

8 5

biéndolos como un cuociente de números enteros. b) -14

c) -7,5 e) -3

-4/4

I Demuestra que los siguientes números son racionales escri-

a) 7

-1

-1 3

PARA EJERCITAR

1 5

En Internet

d) 2,05 f) 2

En la siguiente página web podrás ejercitar gráficamente.

3 7

http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/suma1.htm

II Ubica en la recta numérica los números presentados anterior-

mente.

Toma Nota

De la regla de los signos para la división de números enteros se puede concluir que dados a y b dos números enteros, con b ≠ 0, entonces se tiene que:

III ¿Conoces algún número que no sea racional?

-a a a = =– b -b b

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

Recordemos

1 LOS númErOS EnTErOS Hasta ahora hemos definido algunos conjuntos importantes como por ejemplo, el conjunto de los números naturales, el cual denotamos por la letra IN, y corresponde al conjunto: IN = { 0, 1, 2, 3, .......} de igual forma se definió el conjunto de los números negativos por medio de los inversos aditivos, es decir, -1, -2, -3, ….. a la unión de ambos conjuntos se les denominó conjunto de los números enteros, el cual se denota por la letra Z, es decir, Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., } Recordemos que los números enteros los podemos representar en la recta numérica de la siguiente forma: Recordemos también que en la recta numérica, dado un número entero se tiene que su inverso aditivo está a la misma distancia del origen, pero en el lado opuesto, es decir, -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Enteros POSITIVOS

Enteros POSITIVOS

Los números enteros negativos se ubican a la izquierda de 0 en la recta númerica.

Los números enteros positivos se ubican a la derecha de 0 en la recta númerica.

Esta sección contiene ejercicios sencillos que permiten establecer conexiones con los conocimientos previos y promover actitudes positivas hacia el aprendizaje de la matemática.

Si a > 0, entonces su inverso aditivo verifica (-a) < 0 y en la recta numérica tenemos lo siguiente:

-a

Toma Nota

No debes olvidar que -a representa al inverso aditivo de a, es decir, -a + a = a + (-a) = 0 de esta forma se tiene que el inverso aditivo de –1 es 1, es decir, - (-1) = 1. PARA EJERCITAR

Realiza las siguientes operaciones de suma y resta de números enteros:

¿Podrías explicar en la recta numérica las siguientes operaciones?

III

Andrea anduvo de compras y de pronto, en una tienda se fijó que el termómetro marcaba 3º centígrados. Lo comentó con Juan y éste le dijo que en su ciudad la temperatura era 15º más alta, Finalmente, cuando le comentó lo mismo a Paula, esta le dijo que la temperatura en su ciudad era 6º menor

a) 2 + (-3) =

b) (-3) + (-5) =

c) 3 – (-2) =

d) (-3) – (-5 + 4) =

e) – (5 + 3) – (-2) =

f) (3 – (-1)) – (-3 + 4) =

b) -2 – (-1) = –1

a) 3 – (-5) = 8

c) (-3 – 1) + 4 = 0

¿Podrías decir cuál era la temperatura en la ciudad de Juan y en la de Paula? 14

Unidad

Estrategías de resolución de problemas

Estrategías

Ejemplo Jorge recibió un premio de $5.000.000, luego de pensarlo decidió utilizarlo en diferentes cosas, utilizó 1/8 en arreglos de su casa, 2/5 en regalos para su familia ¿Cuánto dinero gastó en total? ¿Podrías decir con cuanto dinero se quedó finalmente Jorge?

En cada capítulo te proponemos una sección dedicada a la resolución de problemas. a través de ejemplos contextualizados vamos trabajando paso a paso hasta llegar a la resolución.

Etapa 1 Debemos leer cuidadosamente el problema para responder a las preguntas planteadas. Es importante identificar la o las variables involucradas en el problema. En particular en nuestro caso la variable es la cantidad de dinero que Jorge tiene. Etapa 2 Revisemos la información entregada en el problema para las variables involucradas y veamos una estrategia para responder a las preguntas planteadas. Dado que la variable de interés es la cantidad de dinero que tiene Jorge, entonces sabemos que recibió un premio de $5.000.000. De esta cantidad de dinero utilizó 1/8 en arreglos y 2/5 en regalos. Estas dos últimas cantidades son gastos y se representarán por valores negativos.

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Luego:

( ) ( )

Gastos en arreglos:

5.000.000 . –

1 = -625.000 8

Regalos para la familia:

5.000.000 . –

2 = -2.000.000 5

Etapa 3 Respondamos a la primera pregunta. Nos preguntan primeramente por la cantidad de dinero que gastó en total, en este caso tenemos lo siguiente: Gasto Total = Gasto en arreglos de casa + Gasto en regalos para la familia 1 = 5.000.000 . – = -625.000 8 = -625000 + (-2000000)

( )

Unidad 1: Números racionales

¿ Sabías que ?

= -26250002 Es decir, Jorge gastó en total $ 2.625.000. Etapa 4

Historia de la Calculadora

Respondamos a la cuarta pregunta. Veamos ahora la segunda pregunta. Sabemos que inicialmente Jorge tenía $5.000.000 y hemos visto que en total gastó $2.625.000, luego: Dinero restante = 5000000 dinero gastado = 5000000 2650000 = 2350000. Por lo tanto el dinero restante de Jorge es de $2.350.000.

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

El origen de las calculadoras se remonta a los chinos quienes utilizaban el ábaco como una herramienta que les ayudaba a sumar y restar, más tarde William Oughtred inventó la regla de cálculo en 1622, la cual fue una herramienta de gran utilidad. Pero la primera máquina sumadora fue inventada por el matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) en 1642 y se concoció como la Pascalina. Esta máquina podía sumar y restar. Esta máquina fue usada hasta 1799 para el cálculo de los impuestos en Francia. Más tarde, en 1963, el matemático alemán Gotfried Whilelm Leibniz (1646-1716) ideó una máquina calculadora que mejoraba la máquina de ya que ésta podía multiplicar y dividir, sumando o restando repetidamente una misma cantidad. La primera calculadora electromecánica

la inventó el estadounidense Herman Hollerith (1860-1929), la que se conoció también como máquina tabuladora, la cual la misma funcionaba con tarjetas perforadas. Con el tiempo Hollerith fundo una compañía dedicada a construir este tipo de maquinas, esa empresa daría origen más tarde a International Business Machines Corporation conocida como I.B.M. El mayor invento fue el de la calculadora de bolsillo. Las primeras de este tipo aparecieron alrededor del año 1970 y fue gracias al desarrollo de los chips de bajo consumo.

¿Sabías que? En esta sección revisamos algún aspecto de los temas tratados en la unidad, acercandonos a la historia y la evolución de los procesos matematicos.

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

CONTENIDO DE CAPÍTULO / Matemática 1o Medio

Estructura gráfica del texto

Unidad 1: Números racionales

Hagamos un poco de historia

capítulo

Hagamos un poco de historia

Ejercicios que contemplan la verificación de diferentes habilidades con ejemplos de cálculo mental, resolución de problemas vinculados a contextos reales.

Unidad 1: Números racionales

Encuentre el valor de las siguientes expresiones

Recién en el siglo XIII Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo en Europa el concepto de números quebrados o números “ruptus” utilizando la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones. Más tarde, a principios del siglo XV, el árabe Al Kashi generalizó el uso de los números decimales y a fines del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló las fracciones que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas. Sólo a principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. En 1792, los números decimales se impusieron en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal. Papiro de Rhind

( ) ( ) ( )

-5 7 11 b) -3 + – = 3 3 -5 -9 -4 4 d) + + – = 6 15 7 9

Calcule el valor de las siguientes expresiones

( )

4 . -4 = 6 5 4 6 ÷ = 3 7

III

( ( ) (

) )

3 1 – = 5 6 -1 -1 3 . ÷ = 6 4 7

b) (-3) . d)

Considera las siguientes expresiones y obtén su valor. a)

(

) ( [ ( ) ( )] )

2 . 1 – 5 19

c) (-4) .

-1 -2 + 9 8

3 ÷ 5

( ( )) -5 1 + 7 3

(

) ( 1–

d) 1 –

)

8 -2 1 1 ÷ ÷ – = 3 17 2 4 1 2

( [[ ]] ) 1 –

1 4

1 6

1–

VII

Ejercicios que contemplan la verificación de diferentes habilidades con ejemplos de cálculo mental, resolución de problemas vinculados a contextos reales.

( ) ( )( ) ( )( )

-5 -2 2 – + = 8 8 3 -5 13 1 c) – + = 6 4 5 a)

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Consolidando

[

1 3 ÷ 2 3

]

Dados los siguientes números decimales, escribalos como el cuociente de dos números enteros. a) 2,019 =

b) -23,2305 =

c) -102,112 =

d) -3,09101 =

e) 10,01102 =

f) 1205,177801 =

Dados los siguientes números fraccionarios, escribalos como un número decimal e forma exacta. Determine que tipo de número decimal es. a)

5 = 12

b) –

11 = 24

5 = 8

e) –

6 = 15

102 f) -36 =

17 = 33

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

Mapa conceptual SON AQUELLOS QUE

Suma de números racionales

Mapa conceptual

Se escriben como cuociente de números enteros

SE TIENE

Al finalizar los contenidos de la Unidad te presentamos un mapa conceptual a modo de resumen organizado gráficamente con las ideas centrales de cada tema.

a/b + c/d = (ad + bc)/bd

NÚMEROS RACIONALES

Producto de números racionales

OPERACIONES Números decimales infinitos semiperiódicos 12,3864333333...

SE TIENE

Números decimales infinitos periódicos 12,333333...

a/b .c/d = (ac)/(bd) SE DIVIDEN

División de números racionales

SE TIENE

Números decimales finitos 12,3056

Números enteros ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

(a/b) dividido (c/d) = (a/b) .(d/c) = (ad)/(bc)

Unidad 1: Números racionales

capítulo

Autoevaluación 3 Jorge y Ana son ambos amantes de la literatura. Jorge tiene 64 libros y Ana 96 libros. Si sabemos que de los 8 1 libros de Jorge son novelas, son de poesía y el resto de otros tópicos. Por su parte Ana tiene 12 libros de 4

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

poesía, la mitad restante son novelas y el resto de otros temas.

Según lo anterior responde a cada una de las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántos libros de poesía tiene Jorge y Juan? 2. ¿Quién tiene más libros de novelas, Jorge o Ana? 1 3. Si de los libros de poesía de Jorge son de autores extranjeros. ¿Cuántos libros de poesía de autores chi4 lenos tiene Jorge?

PUNTAJE CRITERIO

INDICADOR

Si (1pto)

Criterios de Procedimiento

• Leí el problema • Entendí claramente las preguntas

Criterios de Habilidades

• Organice correctamente la información del problema • Distinguí la información relevante para el problema • Analicé e interpreté correctamente la información para responder a las preguntas • Respondí correctamente la pregunta 1. • Respondí correctamente la pregunta 2. • Respondí correctamente la pregunta 3. • Soy capaz de explicar el problema y sus respuestas.

Criterios de Actitud

• Me planteé otras preguntas mientras realizaba el problema • Encontré más de una forma de resolver el problema • Discutí con el curso sobre este problema • Investigué sobre otros aspectos de la cultura griega • Soy capaz de plantear otros problemas similares

Puedo mejorar (0.5 pto)

No (0 pto)

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

CIERRE DE CAPÍTULO / Matemática 1o Medio

Autoevaluación Situación problemática que apuntan a revisar tu forma de extraer y organizar la información. Para finalizar te proponemos un cuadro donde puedes revisar tu puntuación y verificar tus niveles de logro.

¿Que habilidades desarrollas con la matemática?

Para resolver cualquier situación es necesario pensar y buscar la manera de hallar la solución. La matemática te ayuda a desarrollar distintas habilidades y destrezas que te permiten, no sólo resolver problemas matemáticos, sino que te entregan herramientas (una tabla, un gráfico, un esquema) las cuales te facilitan la vida cotidiana.

Comprender • Leer entendiendo lo que se plantea en el problema. • Preguntarte respecto a la situación que plantea el problema. • Fijarte bien en la información verdaderamente útil que entrega el enunciado. • Organizar la información a través de tablas, bosquejos, gráficos...

Planificar • Seleccionar una o más estrategias (caminos) para llegar a la solución. • Conocer el tipo de respuesta que se necesita para resolver el problema.

Resolver • Utilizar las operaciones (adición, sustracción, multiplicación…) requeridas para la solución del problema. • Escribir explicando con el resultado de estas operaciones, una respuesta. • Contextualizar la respuesta.

Revisar y comprobar • Verificar si la respuesta entregada da solución al problema. • Buscar otras estrategias que te permitan llegar a la solución del problema. • Comparar tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras.

HABILIDADES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

Números Al final de esta Unidad serás capaz de:

1. Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución con los números naturales y enteros. 2. Caracterizar los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero. 3. Representar números racionales en la recta numérica. 4. Aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y reconocer algunas propiedades de ellos. 5. Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero y reconocer algunas de sus propiedades.

Unidad 1 / Matemática 1o Medio

Unidad

Capítulo I

Capítulo II

NÚMEROS / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

Capitulo 1 números racionales Los temas de este capítulo son:

Los números racionales

Al final de este capítulo serás capaz de: Caracterizar los números racionales y los tipos de problemas que permiten resolver. Representar de los números racionales en la recta numérica.

Adición y sustracción de números racionales

Establecer algunas propiedades de los números racionales y de operaciones del tipo: entre dos números racionales siempre existe un racional; la suma, la resta, el producto y el cuociente de dos números racionales es siempre un número racional Sistematizar procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas, operaciones con números racionales y su aplicación a la resolución de problemas

Multiplicación y división de números racionales

Sistematizar procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas, operaciones con números racionales y su aplicación a la resolución de problemas

2 8 9 5 7 2 3 8 9 4 56 8 4 7 6 6 8 536 5 9 53 68

47 8

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

47 8

Unidad

Los temas de este capítulo son:

Al final de este capítulo serás capaz de:

Transformación de decimales periódicos y semiperiódicos a números racionales

Transformar números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción.

Redondeo y truncamiento en los números racionales

Aproximar racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocer las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.

Estrategias de resolución de problemas

Resolución de problemas de contextos diversos que involucran números racionales

Situación problemática Jorge recibió un premio de $5.000.000 y, luego de pensarlo un poco, decidió emplearlo de la siguiente forma; 1/8 en arreglos de su casa y 2/6 en regalos para su familia. ¿Cuánto dinero gastó en total? ¿Podrías decir con cuánto dinero quedó finalmente Jorge? A continuación revisaremos la forma de responder esta pregunta.

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

Recordemos 1 Los números enteros Hasta ahora hemos definido algunos conjuntos importantes como por ejemplo, el conjunto de los números naturales, el cual denotamos por la letra IN, y corresponde al conjunto: IN = { 0, 1, 2, 3, .......} de igual forma se definió el conjunto de los números negativos por medio de los inversos aditivos, es decir, -1, -2, -3, ….. a la unión de ambos conjuntos se les denominó conjunto de los números enteros, el cual se denota por la letra Z, es decir, Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., } Recordemos que los números enteros los podemos representar en la recta numérica de la siguiente forma: Recordemos también que en la recta numérica, dado un número entero se tiene que su inverso aditivo está a la misma distancia del origen, pero en el lado opuesto, es decir, -4

-3

-2

-1

Enteros POSITIVOS

Los números enteros negativos se ubican a la izquierda de 0 en la recta númerica.

Los números enteros positivos se ubican a la derecha de 0 en la recta númerica.

Si a > 0, entonces su inverso aditivo verifica (-a) < 0 y en la recta numérica tenemos lo siguiente:

-a

Toma Nota

No debes olvidar que -a representa al inverso aditivo de a, es decir, -a + a = a + (-a) = 0 de esta forma se tiene que el inverso aditivo de –1 es 1, es decir, - (-1) = 1. PARA EJERCITAR

I Realiza las siguientes operaciones de suma y resta de números enteros:

a) 2 + (-3) =

b) (-3) + (-5) =

c) 3 – (-2) =

d) (-3) – (-5 + 4) =

e) – (5 + 3) – (-2) =

f) (3 – (-1)) – (-3 + 4) =

II ¿Podrías explicar en la recta numérica las siguientes operaciones?

a) 3 – (-5) = 8

b) -2 – (-1) = –1

c) (-3 – 1) + 4 = 0

III Andrea anduvo de compras y de pronto, en una tienda se fijó que el termómetro marcaba 3º

centígrados. Lo comentó con Juan y éste le dijo que en su ciudad la temperatura era 15º más alta, Finalmente, cuando le comentó lo mismo a Paula, esta le dijo que la temperatura en su ciudad era 6º menor ¿Podrías decir cuál era la temperatura en la ciudad de Juan y en la de Paula?

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

capítulo

Recordemos 2 PRODUCTO Y DIVISIÓN DE números enteros Recordemos ahora el producto y la división de números enteros. Notemos que en este caso tenemos la siguiente regla: Producto de números enteros de igual signo, es positivo, es decir, 7 . 4 = 28

(-7) . (-4) = 28

Producto de números enteros de diferente signo, es negativo, es decir, (-7) . 4 = -28

7 . (-4) = -28

Toma Nota

Recuerda que a diferencia de la multiplicación, el cuociente de dos números enteros no necesariamente es un número entero. Por ejemplo, 2 ÷ 3 = 1,5

PARA EJERCITAR

I Realiza las siguientes operaciones

a) 3 . (-5) =

b) (-12) . (-4) =

c) (-1) . (7 – 4) =

d) (-2) . (3 . (-5) + 7 ) =

e) (-3 – (-1)) . (2+(-1)) =

f) (2 + (-5)) . (2 – (-5)) =

II ¿Podrías explicar el por qué se tiene (-1) . (-1) = 1 ?

Recuerda que a diferencia de la multiplicación, el cuociente de dos números enteros no necesariamente es un número entero. III La temperatura media en invierno en la ciudad de Carlos es de cinco grados bajo cero. En el día

más frío del invierno se tiene que la temperatura llegó a ser tres veces más baja. ¿Cuál fue la temperatura más baja?

Toma Nota

Recuerda que

si a ≠ 0 es un número entero, podemos definir su inverso aditivo como a necesariamente un número entero.

, el cual no es

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

Recordemos De acuerdo a lo anterior podemos definir la división de dos números enteros a y b como la multiplicación entre los números a y el inverso multiplicativo de b, es decir: a÷b=a.

1 = a b b

Además, recuerda que al igual que en los números enteros, tenemos la siguiente regla para la división de números enteros. Cuociente de números enteros de igual signo, es positivo, es decir,

8÷4=

8 = 2 4

(-8) ÷ (-4) =

(-8) = 8 = 2 (-4) 4

Cuociente de números enteros de diferente signo, es negativo, es decir,

(-8) ÷ 4 = ( 8) = - 8 = -2

8 ÷ (-4) = 8 = - 8 = -2

(-4)

PARA EJERCITAR

I Realiza las siguientes operaciones

a) 25 ÷ (-5) =

b) (-6) ÷ (-3) = c) (-35) ÷ 7 =

- . d) ( 9) ( 7) =

4 . (-9) = f) (-80) . (-10) = (-6) 25 . (-4)

II Realiza las siguientes operaciones

(-2) . 3 – (-4) . 6 4 + (-2)

. . b) 8 ( 4) – 16 ( 7) = 5

III Un comerciante compró 15 libros a $1.200 cada uno. En el trayecto hubo algunos problemas y

nueve de ellos llegaron deteriorados, por lo que tuvo que venderlos a $800 cada uno. ¿A qué valor debería vender los restantes libros para que no perdiera dinero?

IV Durante cinco días de invierno se registraron las siguientes temperaturas a mediodía:

–15 ºC, 6 ºC, –5 ºC, –8 ºC y –3 ºC. ¿Cuál fue la temperatura promedio de esos cinco días?

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad

2 Los Números Racionales 2.1 ¿Qué son los números racionales? Tal como hemos visto en muchos casos, los números enteros no bastan para resolver una serie de problemas. Como ejemplo, revisemos la siguiente situación. Andrea fue al médico y este le dio una dieta para aumentar de peso. El primer mes subió 0,75 kilogramos. El segundo mes bajó 0,4 kilogramos. 1 El tercer mes aumentó 1 kilógramos y el cuarto mes bajó 1 2 de kilo. 4 ¿Podrías decir cuantos kilos subió? Si denotamos las alzas de peso con números positivos y con números negativos las bajadas de peso tenemos que la variación de peso en los cuatro meses está dada por la siguiente expresión:

( )

1 1 Variación de peso = 0,75 + (- 0,4) + 1 + – 4 2

Notemos que esta expresión la podemos escribir en términos de decimales, es decir: Variación de peso = 0,75 + (- 0,4) + 1,5 + (- 0,25) = 1,6 Por lo tanto Andrea aumentó 1,6 kilogramos en los cuatro meses. Podemos notar que los decimales anteriores los podemos escribir también en términos de fracciones en la siguiente forma:

( 10 )

Variación de peso = 3 + – 4

( 4)

+ 3 + – 1

= 16

Toma Nota

Diremos que un número es racional si se puede escribir como el cuociente entre dos números enteros, con denominador diferente de cero. El conjunto de los números racionales se denota por Q, que proviene de la palabra inglesa “quotient”.

A continuación revisemos algunas propiedades de los números racionales y su utilidad en la resolución de problemas. NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales En lo que sigue veremos algunas propiedades de los números racionales y su utilidad en la resolución de problemas.

2.2 La recta numérica en los números racionales En Internet

Veamos ahora como podemos representar los números racionales en la recta numérica. Consideremos el número racional 3 . Podemos observar que

3 = 16 = 0,6 5 10 el cual es un número que está entre 0 y 1, es decir, 0 < 3 < 1,

0/5

3/5

1/5

2/5

4/5

5/5

Veamos ahora como representamos el número -3 . Notemos que -3 = -0,75

el cual es un número entre –1 y 0, es decir, –1 < -3 < 0,

para representarlo en la recta numérica podemos dividir el segmento entre –1 y 0 en 4 partes iguales, luego tenemos lo siguiente:

-1

-4/4

-3/4

-2/4 -1/4 0/4 Toma Nota

De la regla de los signos para la división de números enteros se puede concluir que dados a y b dos números enteros, con b ≠ 0, entonces se tiene que:

-a a a = =– b -b b

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad

Veamos ahora una forma de representar los números racionales en la recta numérica. 1. Consideremos un segmento de longitud la unidad y lo dibujamos en la recta numérica. 2. Dibujemos un segundo segmento desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos, teniendo cuidado de que la división sea en partes iguales. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes. 3. Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.

1 4

1 2

3 4

En Internet

Visita esta página web para ver la representación de los números racionales en la recta numérica: http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/Representacion_en_la_recta/ Numeros2.htm

Repite este proceso para representar en la recta numérica los números siguientes: a) 4

-1 3

8 5

PARA EJERCITAR

I Demuestra que los siguientes números son racionales escri-

biéndolos como un cuociente de números enteros. a) 7

b) -14

c) -7,5

d) 2,05

e) -3

1 5

f) 2

En Internet

En la siguiente página web podrás ejercitar gráficamente.

3 7

II Ubica en la recta numérica los números presentados anterior-

http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/suma1.htm

mente.

III ¿Conoces algún número que no sea racional?

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

3 Adición y sustracción de números racionales Antes de ver las propiedades de la adición y sustracción de números racionales recordemos algunas propiedades sobre la suma y la resta de fracciones. Para ellos consideremos dos casos:

3.1 Adición y sustracción de fracciones con igual denominador Notemos que en este caso se preserva el denominador y se suma o restan los numeradores, es decir,

2 + 5 = 2+5 = 7 9 9 9 9 Gráficamente podemos considerar un cuadrado, el que representa la unidad y lo dividimos en 9 cuadrados, luego cada una de las fracciones la podemos representar por las regiones pintadas de los cuadrados (fig. 1 y fig. 2). Fig. 1

Fig. 2

Luego si sumamos las áreas pintadas se obtienen 7 de los 9 cuadrados achurados, es decir 7/9 (fig. 3). En forma análoga podemos ver la diferencia de fracciones de igual numerador. En este caso mantenemos el denominador y restamos los numeradores.

Fig. 3

5 – 2 = 5-2 = 3 9 9 9 9 Nuevamente podemos representar las fracciones por las áreas achuradas de un cuadrado (fig. 4 y fig. 5), Así si tenemos 5 cuadrados achurados y le quitamos dos cuadrados achurados, obtenemos 3 cuadrados achurados de los 9 totales, lo que representa el resultado de la diferencia 3/9, es decir (fig. 6),

Fig. 4

Fig. 6

Fig. 5

De esta manera podemos extender lo anterior al caso de numeradores enteros y se tiene lo siguiente:

Toma Nota

Sean a, b, c números enteros tales que c ≠ 0, entonces:

a+b a b + = c c c

a b a–b – = c c c

Por ejemplo:

( )

-5 2 + (-5) -3 2 + 3 = = = 1 3 3 3

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

( )

5 – 15 = 5 – ( 15) = 20 = 2 6 7 7 7 7 7

Unidad

3.2 Adición y sustracción de fracciones con diferente denominador Veamos ahora el caso de la suma y resta de fracciones con diferente denominador. Consideremos el ejemplo de la siguiente suma, 1 + 1 = ?

Para entender esta suma representemos las fracciones gráficamente (fig. 7 y fig. 8);

Fig. 7

Fig. 8

Para poder sumar estas fracciones debemos buscar un denominador común a ambas fracciones por medio de la amplificación, de donde podemos ver que las regiones graficadas en forma equivalente (fig. 9 y fig. 10),

Fig. 9

Fig. 10

Luego la suma anterior la podemos plantear como;

1 + 1 = 3 + 2 = 5 es decir (fig. 11), 3 6 6 6 2

Fig. 11

¿Por qué consideramos como denominador 6?

. . Notemos que 1 + 1 = 1 . 3 + 1 . 2 = 1 3 + 1 2 = 5 2

2.3

Toma Nota

Sean a, b, c y d números enteros, tales que c ≠ 0, y d ≠ 0, entonces

b a . d+b . c a + = d c.d c Veamos ahora sustracción de fracciones, para esto, consideremos el siguiente Por ejemplo:

Fig. 12

1 – 1 =? 5 4

Representemos esta diferencia por medio de las regiones achuradas siguientes (fig. 12 y fig. 13): Dado que los denominadores son 4 y 5, podemos dividir los rectángulos en 20 partes (nota que 4 . 5 = 20), es decir (fig. 14 y fig. 15),

Fig. 13

Luego la diferencia a podemos escribir de la siguiente forma, . . 1 1 1 – = 1 5–1 4 = . 5 20 4 4 5 Fig. 14

PARA EJERCITAR

I Representa en términos de regiones achuradas las siguientes

operaciones a)

3 2 + = 8 5

2 8 + = 3 5

7 5 – = 5 6

Fig. 15

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

Toma Nota

Sean a, b, c y d números enteros, tales que c ≠ 0, y d ≠ 0, entonces

a – b = a . d+b . c c.d c d En Internet

PARA EJERCITAR

También puedes practicar la suma y resta de fracciones en las siguiente páginas web

I Encuentre el valor de las siguientes expresiones.

http://descartes.cnice.mec. es/experiencias/Mates_RyC/ fracciones_2/13-suma.htm http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/suma4.htm

6 2 + = 7 5

6 13 – = 8 11

15 -16 – = 5 13

-4 -7 – = 7 12

II Encuentra el valor de las siguientes expresiones

http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/suma5.htm

3 4 1 7 + – + = 5 10 10 2

( 13 25 ) ( 34 28 ) 12 6 13 1 2 3 [ ( 15 9 ) ( 2 4 ) ]

b) – c)

–

III La distancia entre Curicó y Molina es de 16 Kms.

¿Cuántas horas debe caminar un hombre que recorre los 3/14 de dicha distancia en una hora, para ir de Curicó a Molina? IV Margarita camina a una velocidad de 4 km/h y corre a 6,5 km/h.

Si corre se puede ahorrar 13/4 minutos desde la casa hasta el paradero de buses. ¿Cuál es la distancia en que debe recorrer entre su casa y el paradero?

V Antes de morir, Julio dejó a sus hijos 17 caballos para que se re-

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad

3.3 Mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD) Dos elementos que son de gran utilidad en el manejo de las fracciones son el Mínimo Común Múltiplo, que se escribe abreviadamente como MCM y el Máximo Común Divisor, que se escribe abreviadamente como MCD. Veamos cómo obtener cada uno de ellos, para ello recordemos una definición importante. Toma Nota

Se dice que un número natural es un número primo si sus únicos divisores son el 1 y el mismo número.

Los primeros primos son 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... Notemos que cualquier número natural lo podemos descomponer como un producto de números primos. Por ejemplo:

a) 12 = 3 . 4 = 3 . 22 b) 92 = 4 . 23 = 22 . 23

A esta descomposición le llamaremos descomposición en factores primos. Mínimo Común Múltiplo (MCM) Dados dos o más números naturales, entonces se define el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de estos números como el menor número natural que es múltiplo de todos ellos.

¿Sabías qué? Aquí hay algunos de los últimos récords de números primos que conocemos. El número primo más grande conocido (encontrado por GIMPS [Gran Buscador de Internet de Primos Mersenne] en febrero de 2005) es el 42º primo de Mersenne: M25964951 que tiene 7816230 dígitos decimales. El número primo factorial más grande conocido (primo de la forma n! ± 1) es 3610! - 1. Es un número de 11277 dígitos y fue anunciado por Caldwell en 1993.

Por ejemplo: a) El MCM de 3 y 4 es 12. b) El MCM de 6 y 9 es 18. Para obtener el MCM de dos o más números basta obtener la descomposición prima de cada uno de ellos y así buscar el menor número natural que los contenga. Por ejemplo: Busquemos el MCM entre 15 y 24. Veamos su descomposición prima, es decir, 15 = 3 . 5 y 24 = 3 . 8 = 3 . 23 por lo que debemos buscar un número que contenga los factores 3, 5 y 23 así. MCM(15, 24) = 3 . 5 . 23 = 120 PARA EJERCITAR

I Encuentra el MCM de los siguientes números:

a) 20 y 15

b) 17 y 21

d) 4, 9 y 18

e) 25, 60 y 98.

c) 8 y 39

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales Máximo Común Divisor (MCD) Dados dos o más números naturales, se define el Máximo Común Divisor (MCD) como el mayor número natural que es divisor de todos ellos.

En Internet

Si quieres practicar y saber más acerca de MCD y MCM visita http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/divisibilidad/mcd_mcm.htm http://es.wikipedia.org/wiki/ Calculo_m.c.m.

Por ejemplo: a) El MCD de 2 y 3 es 1. b) El MCD de 9 y 12 es 3. Para obtener el MCD podemos buscar los divisores de cada uno de ellos y considerar el mayor de ellos. Por ejemplo: Consideremos los números 8 y 16, entonces divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8 divisores de 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. Podemos observar que el mayor divisor común es 8, luego MCD (8,16) = 8 Toma Nota

Notemos que dados dos números naturales a y b, entonces diremos que ellos son primos relativos si MCD ( a, b ) = 1. Es decir el único divisor común es el número 1.

Por ejemplo: 4 y 15 son primos relativos, ya que MCD ( 4, 15 ) = 1. Toma Nota

Observa que si consideramos dos números naturales no nulos cualesquiera, entonces

a . b = MCM ( a, b ) . MCD ( a, b ) Por ejemplo: Considera los números 4 y 6, entonces tenemos que MCM (4, 6) = 12 y el MCD (4, 6) = 2, entonces se tiene que MCM (4, 6) . MCD (4, 6) = 12 . 2 = 24 = 6 . 4 PARA EJERCITAR

I Comprueba lo anterior con los resultados obtenidos anterior-

mente.

II Dados los siguientes números, encuentre MCD y MCM.

a) 4 y 8

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

b) 23 y 14

c) 12 y 39

Unidad

Toma Nota

Notemos que si consideramos dos números naturales no nulos n y m, entonces la

n es irreducible si y sólo si MCD ( n, m) =1. m

fracción

Por ejemplo, consideremos los números 8 y 30, entonces se tiene que MCD (8,30) = 2. Por lo que no son primos relativos, pero ambos números son divisibles por 2, luego

8 = 4.2 = 4 30 15 . 2 15 y podemos ver que MCD ( 4, 15 ) = 1, lo que nos dice que la fracción equivalente 4 es irreducible.

Así, dado un número fraccionario, el MCD nos ayuda a buscar la fracción equivalente irreducible.

En Internet

Toma Nota

Ahora, si consideramos dos números naturales no nulos n y m, entonces el MCM nos ayuda a la suma y la diferencia de las fracciones.

Por ejemplo: consideremos la suma

7 + 4 =? 8 30 Sabemos que MCM ( 8, 30 ) = 120, luego

120 = 8 . 15

120 = 30 . 4

7 = 7 . 15 = 105 8 . 15 120 8

4 = 4 . 4 = 16 30 . 4 120 30

por tanto

7 – 4 = 105 – 16 = 105 – 16 = 89 120 120 8 30 120 120

Podemos concluir que el MCM nos ayuda a las operaciones de suma y resta de fracciones, llevándolas a fracciones de igual denominador.

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales 3.4 Multiplicación y división de números racionales Comencemos con un caso simple, el cual es multiplicar una fracción por un número entero, en este caso tenemos lo siguiente: ¿Sabías qué?

3 . 1 = 1 + 1 + 1 = 3 lo cual lo podemos representar gráficamente como;

Se considera que fueron los egipcios quienes usaron por primera vez las fracciones, pero sólo aquellas de la forma 1/n o las que pueden obtenerse como combinación de ellas.

Así podemos generalizar lo anterior y obtenemos lo siguiente: Toma Nota

Sean a, b, y c números enteros, tales que c ≠ 0, entonces

b = a.b c c

8 (-4) (-2) . (-4) = = 5 5 5

Por ejemplo:

(-2) .

o bien

-12 (-3) . 4 (-3) . 4= = 7 7 7

Ahora para ver la división de una fracción por un entero, podemos verla como el proceso inverso a la multiplicación, por ejemplo, si consideramos la siguiente división, entonces:

1 ÷2=r⇔2.r = 1 3 3 como

entonces,

1 = 2 3 6 2.r= 2 =2. 1 ⇒r = 1

es decir,

1 ÷2= 1 = 1 3.2 6 3

de esta forma podemos generalizar la división de una fracción por un entero de la siguiente forma: 26

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad

Toma Nota

Sean a, b, y c números enteros, tales que b ≠ 0, y c ≠ 0, entonces

a ÷c= a b.c b

¿Sabías qué?

Podemos observar que si c es un número entero diferente de cero entonces dividir una fracción por c, es equivalente a multiplicar la fracción 1 ,

Por ejemplo:

3 3.1 3 3 . 1 ÷4= = . = 5 4 5 5 4 20

PARA EJERCITAR

I Realiza las siguientes operaciones

a) 2 .

5 = 8

-3 ÷5= 4

5 ÷ 4 = -3

)

( 1215

)

– -1 . 7 ÷ (-5) =

1 2

1 3

1 4

1 6

2 3

Si quieres saber sobre las matemáticas en el antiguo Egipto visita http://es.wikipedia.org/wiki/ Matem%C3%A1ticas_en_el_ Antiguo_Egipto

d) 2 . -3 + 4 . -1 =

La notación que usaban los egipcios para escribir las fracciones era la siguiente:

II En el reparto de una herencia, una tercera parte le correspondió

a la viuda y el terreno restante se dividió entre los cuatro hermanos. ¿Qué fracción del total le correspondió a cada uno de los hijos?

III Si de una soga de 40 metros de longitud se cortan tres partes 2 iguales de 5 3 metros de longitud, 5 ¿cuánto falta a lo que queda para tener 31 8 metros? 3 IV Las 5 partes de una cantidad se reparten entre tres personas

¿Cuál es la cantidad si cada una de las personas recibió $18.200?

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales 3.5 Multiplicación y división de números racionales Recordemos que si consideramos dos fracciones positivas, podemos calcular su producto y su cuociente de la siguiente forma: 2 . 4 2.4 8 = . = 3 5 3 5 15 este resultado es posible extenderlo al caso de los números racionales y se tiene lo siguiente. Toma Nota

Sean a, b, c y d números enteros, tales que b ≠ 0, y d ≠ 0, entonces

a .c a . b = b.d c d

En Internet

En la página

Por ejemplo: -2 3 (-2) . 3 -6 -3 . = . = = 5 4 5 4 20 10

http://www.xtec.cat/iesterresdeponent/geni/castella/exercicis.html podrás encontrar algunos ejercicios de números racionales.

Por otra parte, recordemos que en el caso de las fracciones positivas, podemos calcular su cuociente por medio del producto como se ve en el siguiente ejemplo: 3 3.7 21 2 3 . 7 ÷ = = . = 5 5 2 10 7 5 2

En Internet

En la siguiente página web podrás ejercitar gráficamente el producto de fracciones http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/multipl1.htm y http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/multipl2.htm

lo cual podemos extender de forma análoga a los números racionales obteniendo lo siguiente: Toma Nota

Sean a, b, c y d números enteros, tales que b ≠ 0, c ≠ 0, y d ≠ 0, entonces

a .d a c a . d ÷ = = . b c b d b c Por ejemplo: -2 -8 3 (-2) . 4 (-2) . 4 ÷ = = . = 4 5 5 3 3 5 15 De esta forma podemos realizar operaciones combinadas, por ejemplo calculemos el valor de la siguiente expresión: 2 . 1 –5. 3 5

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

(

2 . 3 4 2

)

Unidad

Recordemos que para realizar este tipo de expresiones debemos cuidar el orden de las operaciones a realizar. i.

En primer lugar debemos resolver los paréntesis.

ii.

Luego debemos resolver las multiplicaciones y divisiones.

iii.

Finalmente calculamos las adiciones y sustracciones.

(

)

(

En Internet

)

3 2 2 . 2 2 . 1 2.1 –5. ÷ = –5. . 2 4 4 3 3 5 3 5 .2 2 4 2 2 –5. = –5. = 4.3 12 15 15 2 20 2 . 12 – 20 . 15 = – = 15 12 15 . 12 . . 23 276 2 12 – 20 15 = = =– 15 180 15 . 12

(

)

2 ⎛ 1 1⎞ ⋅⎜ − ⎟= 5 ⎛⎝14 16⎞⎠ 2 ⎛ ⎞ 2 1 1 ⋅⎜ − ⎟= − ⎟de = las siguientes expresiones: 13 ⎝ 4⎛ 2 6 ⎠ 6 ⎞ I Calcula⋅ ⎜el valor 5 5 ⎝4 6⎠ ÷⎜ +3⋅ ⎟= 2 ⎛ 1 1⎞ 137 ⎛⎝ 26 65 ⎞⎠ 6 ⎞ a) 13⋅ ⎜⎛÷ ⎛−2 +⎟⎞ = b) ÷ + 3 ⋅ = ⎜ ⎛7 12 ⎝ 68 ⎞ 15 ⎟⎠⎛ 6 3 ⎞ 25 ⎝ 41 ⎜ 61 ⎠ 3 ⋅ ⎟ = 7⋅ ⎜ ⎝−6 ⎟ = 5 ⎠ − − ÷ ⎜ ⎟ ⎜ ÷ ⎟= 5 ⎝ 4⎛ 2 6 ⎠ 6 ⎞ 5 83 ⎞⎠ 12 ⎛⎝ 65 32 ⎞⎠ 13 ⎛ ⎝ 12 ⎛ 12 ÷ ⎜ 8 +⎞ 3 ⋅ 1 ⎟ ⎛= 6 3 ⎞ − − ÷ ÷ = 7⎜ ⎛⎝− 2 6 ⎟ − 65 ÷⎞⎠ ⎜ ÷ ⎟ = ⎜⎝ 5 23 ⎟⎠ 3 2 ⎜⎝ 5 2 ⎟⎠ c) 13 − 5 ⎜ 3 +⎠ 3 ⋅ 2 ⎟ ⎝= 5 2 ⎠ ⎝ ÷ ⎛712 ⎝ 86 ⎞ 1 5 ⎠⎛ 6 3 ⎞ 4 37 2 = − − ÷ ÷ = ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎟3 ⎛−16 1 ⎞ − 5 3 2 5 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12 8 1 6 3 4 7 Simplifica al máximo la siguiente expresión efectuando 3 − 3 ⋅ ⎜ − ⎟ = las opeII − 4 ⎟ 7− ÷ ⎜ = ÷ ⎟ = ⎜ ⎛⎝162 15 ⎞⎠ 2 3⎛ 16 3 raciones ⎝ 5 dadas: − ⎠ 2 1 ⎞⎝ 5 2 ⎠ 3 − 3 ⋅ ⎜ 1− ⎟ 3 − 34⋅ ⎜ 7 − ⎟ = 2 ⎛⎝ 23 5⎞⎠ 1+ ⎝ 2 5 ⎠ = −16 1 ⎛ 11 ⎞ 3 − 3 4⋅ ⎜ 71− ⎟ = + 1 ⎜ ⎟= 1 + a) 1 + ⎝⎛ 2 5 ⎠⎞ = b) ⎛⎜ 12 ⎞⎟ 16 1 ⎞ 1 + ⎛ 3 − 3 ⋅ ⎜ 11− ⎟ ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟ ⎝ ⎜2 2 +51⎠⎟= 1+ ⎜⎜⎝ 24 + 1⎟⎟⎠ 1 + ⎞⎟ 1 +⎛⎜ 1 ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟ ⎜ 11+ 1 ⎟ 1 + 1 + ⎜⎜⎜ 2 + 1⎟⎟⎟= ⎝ 4 ⎠ ⎛⎝ 114 ⎞⎠ agua fue llenado hasta completar 3/5 partes de II Un estanque ⎜⎜ de+ ⎟ 1 +1⎟ su capacidad. ⎟⎠ se ocuparon 2/3 partes del agua conteni1 + ⎜⎝ 24 Luego ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟ da. ⎝ 4 ⎠ ¿Qué fracción del total del estanque quedó con agua?

También puedes practicar la división de fracciones en las siguiente páginas web http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/divisio1.htm http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ fracciones/divisio2.htm. En Internet

PARA EJERCITAR

III Margarita camina a una velocidad de 4 km/h y corre a 6,5 km/h

.Si corre se puede ahorrar 13/4 minutos desde la casa hasta el paradero de buses.

¿Cuál es la distancia en que debe recorrer entre su casa y el paradero? NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

4 Algunas propiedades de los números racionales A continuación revisaremos algunas propiedades de los números racionales.

4.1 Cerradura de la adición y la sustracción en los números racionales Una de las primeras propiedaes de los núemros racionales es que dados dos a

= números racionales cualesquiera, digamos + =+, entonces tenemos que b db d a ccomo su diferencia nos da otro ⋅c tanto su suma a número ca + acracional ⋅ d +a b⋅ d ⋅ es c+ bdecir: + = + = a d c= b ⋅ d b d b b d + b=⋅ d a c a a⋅ d +cb ⋅ c a b cd a ⋅ d - b ⋅ c + = + = y a - c =- a ⋅= d - b ⋅ c . b b da cb b ⋅ dd b d a dc b a⋅ ⋅ddb+⋅ bd⋅ c + = + = a cb daa ⋅ dc- b a⋅ ⋅cd + b ⋅ c a ca by c d b⋅d = y + = a c b db d b d b ⋅ d b la a cde ad⋅multiplicación d + b ⋅bc⋅ d + =y la división a c ena los ⋅ dnúmeros -b⋅ c 4.2 Cerradura aa ⋅cc- a ⋅ c= a c + = b d a c a c ⋅ = + racionales y b da - c b=⋅ da ⋅ d - b ⋅ c ⋅ =b bd db⋅ d bd ⋅= d b d b⋅ d b a c a ⋅ d + b ⋅ c b d cb ad ⋅ d -anteriores, b b⋅ ⋅c+d dados =a c ados aa cnúmeros a⋅d Al igual que enalas operaciones cuad caa ⋅dd racionales ÷ - a= c a a cc a ⋅c ÷ b = b d ⋅ d⋅dy==b ⋅ c a= +b⋅ cc = a ⋅ d + b ⋅ c ⋅ =b d y b + b ⋅ d tenemos bb tanto b dque c d b⋅suc producto como lesquiera,bdigamos , entonces d b⋅d b d b⋅d

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o

b d a c a a c⋅a d -c b ⋅ c d a a dcb a ⋅d ay c a⋅c - =esydecir: a c su cuociente racional, a c a ⋅ d-b ⋅ c a ÷c nos ⋅⋅ da+=otro bc ⋅ cnúmero bb ⋅⋅d d= a ⋅c =a ydan b d b d - = +b d=b b dc ⋅ b⋅c = b d b⋅d a ca < c b d b⋅ d b d a c bba⋅c ⋅ dd b⋅d a c < b a dc a d a⋅d a c y b d y . ⋅ = y ÷ = ⋅ = c a b c d a ⋅ ad÷-cb= ⋅a ⋅cd = a ⋅d b d a a b c d bc ca yb⋅c - =b d b⋅d < r < c b⋅ca c a⋅c< rb< b a d ca c bba ⋅ddda ba⋅d d b d < ÷ =a ⋅ c =+ c = ⋅ = b a + acdy=c a c a⋅c a b c db d by cb b⋅c b d b⋅d b bd d d ⋅ = y b d 4.3 bDensidad de los números racionales ad c b+ bd ⋅ cb⋅d c b a⋅ c da a⋅d a c c a ⋅ d < r a< c a ca c a a⋅ ÷d + = ⋅ dados =+ <dos ydimportante = números Una observación < + es=la siguiente: a d a⋅d a bc a⋅c b d b c b⋅c b d b d ba⋅ ÷d c = racionales b d b ⋅ d b d ⋅ = ⋅ = b d b d b c ellos, b⋅c diferentes, existe otro número racional diferente entre b d entonces b⋅d a c a casiempre a c a c a ⋅ d b ⋅ a c c a ⋅ d b ⋅ c c < y < =r < = < r < a c ab d da⋅d d ab y⋅ cd b bd ⋅ d b bd es decir: ÷ = ⋅ = b b dd b d b d ba c b⋅cc a c a c a c <r< < y y a c b db d b diferentes, d b tales d que a < c , entonces Sean y dos números racionales b d c a c a⋅c b d a c a⋅c a existe un número racional ⋅tal=que: < r < ⋅ = a c d b d b⋅d a < r < c b d b⋅d b < Veamos de este hecho. Gráficamente tenemos b lo siguiente. d b la demostración d a c a d a⋅d a c a d a⋅d ÷ = ⋅ = ÷ = ⋅ = a c b d b c b⋅c b d b c b⋅c <r< b d a c a c y y r b d b d a c a c < < b d b d a c a c <r< <r< Medio b d b d

Unidad

Consideremos el número definido de la siguiente forma: 1 ⎛ a c ⎞ a ⋅ d+ b ⋅ c ⋅⎜ + ⎟= 2 ⎝ b d ⎠ 2 ( b ⋅ d) a c - <0 Lo primero que podemos es que es un número racional, ya que tanb observar d ¿Sabías qué? to su numerador como su denominador Veamos ahora a a 11 ⎛⎛aason cnúmeros c ⎞⎞ aa⋅ denteros. a c - r = r =racionales - ⋅ ⋅ ⎜ ++ = - + b-⋅ c que está entre los dos números dados. Al igual que los egipcios, los ⎟⎟⎠= b 2b 2d ⎞2 ⎜⎝a⎝⎛b⋅bd +dd 1 b⎛ a bc 2 b ⋅ c 2 ( b ⋅ d ) ⎞ ⎠ babilonios también trabajan 1 a c a ⋅ d + b ⋅ c r = ⋅ ⎜ + r =⎟ = ⋅ a ⎞ ca ⋅ d + b ⋅ c 2 ⎝ b ad ⎠c2 ⎜2 b ( 1b+⋅ ⎛d d )a⎟ = con decimales, pero en base c = 2⎟(-=b ⋅ d ) Notemos en primer lugar que: - < r0⎝= ⋅ ⎜ ⎠ + 60, es decir representaban 2b 2d 2 ⎝ b d ⎠ 2 ( b ⋅ d) a c c - < 0 ba d fracciones de denominador ⎛ ⎞ < 0 1 a c b d ab d aa c1 ⎛ a = c⋅ ⎞⎜ a- ⎟a < 0 c 60 y sus equivalentes. -⎛ r = -- ⎞ < ⋅ ⎜0 +2 ⎟⎝ =b d- ⎠ a a 1 a bb ca d2 1 ⎝a⎛b a a d c⎠ c⎞ b a 2ba 2dc Luego, se tiene que - r = - b⋅ a⎜ - r + = ⎟ - ⋅b b a - rb< 0 2 ⇒ ⎝ ba=<ad a⎜ 2b 1+ ⎛ 2d a⎟ = c -⎞ c a- 2da c Por ejemplo: b br-⎠r 2 = ⎝ -b ⋅ ⎜d ⎠=+ ab ⎟- 2b = b b b 321 3/4 = 5 x 60 + 21 + ba 2 c⎝ b 2b da⎠ 2db 2b 2d c 45/60 se escribiría: c c = 2b - 2d =1 ⎛ -a ac ⎞ c r- <0 ⇒ r< 2b 2d = ⋅ < 0 = ⎜ ⎟ d d 1 ⎛ a c ⎞2 1 ⎝ ⎛b a2b d 2d TTT < << TTT = ⋅⎜ - = ⎟ < 0⋅ ⎜ - c⎠ ⎞⎟ < 0 c ⎛ a c ⎞ 2 b d ⎝ ⎠ r - < 0a 1 T a 2 b d ⎝ ⎠ = ⋅ ⎜ - ⎟ <0 d -r<0 ⇒ <r TT < << TT 2 b d a a ⎝ ⎠ b b a - r <es0decir, c ⇒1 a ⎛- <ra<r 0 c ⇒ ⎞ < r a ⋅ d + b ⋅ c r < b bc c a =0r+<bb⇒ dr ⎛= r -b⋅ ⎜ <⎞0+a -a⇒ r⎟⋅<d ⋅( b c <r d 2 c= 1 ⋅ ⎜ a2 +d⎝ccbc⎟ = ⎠ d r b c ⋅bd ) r- <0 ⇒ r < a c -rcdb d ( b r⋅ < d) ⎠⋅<c0 c2⇒ 1 ⎛ a dcr -⎞2 a=⎝a b⋅ cdr- + c d r = ⋅ + = b d r < 0 ⎜ ⎟ r < 0 ⇒d r < < 0 Análogamente, se puede mostrar que: 2 ⎝ br - cad <⎠c0 b 2 d( bd⋅cd ) d d - <0 r- <0 d cda 1 c ⎛ a b d a r < Toma a c rNota - ⋅ < 0+ c ⎞ = a - a - c - <0 r = ca ⎛ d a 1 c a2 d ⎜⎝c b⎞ da ⎟⎠ a b c2b 2d r< b d - r =b -r a< b ⋅ ⎜ c +c ⎟ = -a c d Nota que ela punto radefinido d⎝aequidista 2b a 2d yc . ⎠c losbpuntos 1 b⎛ anteriormente a brc- ⎞2 = rb<- ra d de b d a c - r = r -- ⋅=⎜ -+r ⎟b = = ca- c a d -c d a de: b propiedad b 2bel punto b = 2b -punto r c2dmedio ⎝ db r d 2b y2d . Debido a esta ser ⎠-denomina a = b rd b d a- b = c d - r 2b 2d 1 ⎛ a c ⎞ = = ⋅ ⎜ - ⎟ <0 Tablilla con 17 problemas maPor ejemplo: 2b 2d = 1 ⋅ ⎛⎜1 a2 - 1⎝c b⎞⎟ < 0 d ⎠ temáticos. Encuentra el punto medio de los números siguientes: y . r=

1 ⎛aa c ⎞ 2 ⎝3 b 4d ⎠ a = ⋅ ⎜ <-r7 ⎟ < 07 r < 0 ⇒ 1 r a= - r <b0 1 ⇒ + 1a 2< = r ⎝1bb d ⎠ = 2 24 3 4b 2 12 ba c c a - r < 0 ⇒ c <rr- < 0 ⇒c r < d b r - b < 0 dPARA ⇒ rEJERCITAR < d c c d c - < 0 anterior de r se tiene que: r - < 0que ⇒con rc<lar definición I Muestra d r - <d0 d d c c r< r - < 0 , es decir, c d d r< d a c c r- = -r r< d que r - a = c b- r .d II Prueba b d a c r- = -r b d III Determina el punto medio de los siguientes números y representalo en la recta numérica:

(

a) –

1 3 y 2 4

)

( )

La información esta sacada de http://platea.pntic.mec.es/ aperez4/html/babiegipt/babiegipto.html

6 b) 2 y 7 5 NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

5 Transformación de decimales periódicos y semiperiódicos a números racionales En Internet

Visita http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/Representacion_en_la_recta/ Numeros3.htm para ver la representación gráfica de 2 .

5.1 No todos los números son racionales Un hecho importante que se debe destacar es que no sólo existen los números racionales, ya que hay números que no lo son ¿Conoces alguno que sirva de ejemplo? Algunos de estos números nos acompañan diariamente en nuestra vida y serán estudiados en el próximo curso, pero a modo de ejemplo, te podemos contar que algunos de estos números aparecieron hace muchos años, un ejemplo de ellos es el número llamado raíz cuadrada de 2, que se escribe 2 . Este número aparece en forma natural en el siguiente ejemplo. Consideremos un cuadrado de lado 1. 1 d

Entonces del Teorema de Pitágoras se tiene que la medida de su diagonal d es tal que d 2 =1+1=2 . A este valor le llamaremos 2 . Investiga que otros números que conoces no son racionales.

5.2 Clasificación de los números decimales Como te habrás dado cuenta, hasta ahora hemos trabajado con los números racionales representados como fracciones, pero dado un número cualquiera, ¿cómo podrías saber si es o no un número racional? Para esto, revisaremos algunos casos en los cuales podemos conocer si el número es racional y en tal caso, lo escribiremos como una fracción. Veamos en primer lugar una clasificación de los números decimales. a. Números enteros: Son aquellos números, cuya parte decimal no contiene dígitos no nulos. b. Números decimales finitos: Son aquellos números decimales tales que su parte decimal contienen un número finito de dígitos no nulos, por ejemplo: 32

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

3,450775

1.0129800

17,0000009

Unidad

c. Números decimales infinitos: Son aquellos números decimales tales que su parte decimal contiene infinitos dígitos no nulos, algunos ejemplos de ellos son: 1 π = 3,14159265 ... y = 0,33333333 ... 3 Dentro de los decimales infinitos nos interesan tres tipos especiales de números decimales. Números decimales infinitos periódicos: Son aquellos números decimales que tienen una o más cifras decimales que se repiten sucesiva e infinitamente, formando el período. Se escriben en forma abreviada, coronando al período con un pequeño trazo. 1 = 0,3333333333 ... = 0,3 Por ejemplo: 3 35 1 = 0,3535353535353535... = 0,35 = 0,3333333333 ... = 0,3 y 99 3 2 35 = 0,3535353535353535... = 0,35 1= 0,133333333... = 0,13 = 0,3 deciNúmeros decimales infinitos semiperiódicos: Son aquellos ... números 15 = 0,3333333333 99 3 antes del período. El número males 2en los cuales aparecen una o más25 cifras 35 1 =por = 0,4166666666... = 0,416 0,133333333... 0,13 formado dichas cifras=se llama anteperíodo y contiene sólo un número = 0,3333333333 ... = 0,3 60 = 0,3535353535353535... = 0,35 finito 15 de dígitos. 99 3 25 2 35 = 0,4166666666... = 0,416 = 0,133333333... = 0,13 60 = 0,3535353535353535... = 0,35 Por ejemplo: 15 99 25 2 = 0,4166666666... = 0,416 y = 0,133333333... = 0,13 60 15 25 = 0,4166666666... = 0,416 Números 60 decimales infinitos puros: Son aquellos números decimales infinitos que no son periódicos ni semiperiodicos. Por ejemplo:

En Internet

π = 3,14159265 ...

Si quieres saber sobre el número π puedes visitar

PARA EJERCITAR

I Clasifica los siguientes números decimales de acuerdo con lo

visto anteriormente: a) 35 d) 6,24367

http://es.wikipedia.org/wiki/ N%C3%BAmero_%CF%80. http://www.ciencianet.com/ pi.html.

1 6 e) e= 2,718281828... f) 2/7 b) 3,46810

g) 0,218181818181818...

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales 5.3 Escribiendo números decimales en fracciones

En Internet

Para ejercitar a transformación de decimales a fracciones puedes visitar http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/fracciondecimal.php o bien http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ Fracciones_decimales_porcentajes/Fracciones_4.htm

Veamos ahora cómo podemos reconocer los números decimales que son racionales. 4 4= 1 entero es un número racional. a) En primer lugar, se tiene que todo número -9 4 En efecto, notemos que 4 = y -9 = . 1 1 -9 todo número decimal finito es un número b) Por otra parte, se puede ver que -9 = racional. 1 ⋅ 1000 finito. = 45102 Tomemos por ejemplo el número 45,012 el cual es45,012 un decimal Pode45102 45102 = = 45,012 mos observar que 45,012 ⋅ 1000 = 45102 es decir, 1000 103 45102 es un 45102 lo que prueba que 45,012 número racional. = = 45,012 1000 103 Toma Nota

De lo anterior podemos que para transformar un número decimal finito a fracción debemos utilizar potencias de diez. Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

13,549601 =

13549601 106

El decimal tiene cifras decimales hasta la millonésima

PARA EJERCITAR

I Escribe los siguientes números decimales como una fracción de

números enteros. a) 0,496051 = ...

b) 0,51 =

c) 13,267857

d) -12

f) -23,40801

g) 0,1001001 =

h) -101,101 =

II Dadas las siguientes fracciones, escríbelas en forma decimal

y en palabras. Determina que tipo de decimal es cada una de ellas.

a) 39 5

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

b) 2 9

c) 37 990

Unidad

c) Todo número decimal periódico es racional Veamos ahora de qué manera podemos escribir el número decimal periódico r = una 0,333333...= como fracción. 0,3 10 ⋅ r = 3,3333333... = 3,3 Consideremos el número decimal periódico r = 0,333333...= 0,3 y veamos 10 ⋅lor podemos - r = 3,3333... -0,3333... = 3,3 - 0,3 =3 cómo escribir como fracción. Entonces, podemos observar que: r = 0,333333...= 0,3 10 ⋅ r = 3,3333333... = 3,3 3 1 ⋅ r - r = 3,3333... -0,3333... = 3,3 - 0,3 = 3 9 ⋅ r=3 ⇒ r= 10⇒⋅ r r==3,3333333... =103,3 9 3 3 1 9 ⋅ r = 3= ⇒ = =3 ⇒ r= 10=⋅14,075 r - r = 3,3333... -0,3333... 3,3 - r0,3 r = 14,075075075075... 9 núme- 3 r = decimal 0,333333...= 0,3número es exactamente nuestro observa, que la parte de este 3 r = 14,075075075075... 1 ro r , luego se tiene que: = 14,075 93,3333333... ⋅ r = 3 ⇒0,3 = ⇒ r= 10 r⋅ =r = =r3,3 0,333333...= 9 3 r 1000 = 10 3 10 ⋅ r - r = 3,3333... -0,3333... = 3,3 - 0,3 =3 1000 = 10 3 10 ⋅ rr == 14,075075075075... 3,3333333... = 3,3 = 14,075 3 1 1000 ⋅ r = 14075,075075075... = 14075,075 9 ⋅ r = 3r ⇒ r = ⇒ r1000 = r = 14075,075075075... = 14075,075 es decir, agrupando términos 10 ⋅ r - r semejantes, = 3,3333... -0,3333... =⋅3,3 - 0,3 = 3 1000 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,0753 =9 14075 - 1000 14 3 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,075 = 14075 - 14 1000 = 10 r = 14,075075075075...3 = 14,075 1 999 ⋅ r = 14075 - 14 9 ⋅ =r 14061 =3 ⇒ r= ⇒999 r =⋅ r = 14075 - 14 = 14061 r 1000 ⋅ r = 14075,075075075... 9 3 = 14075,075 14061 14061 3 r = r= 1000 = 1000 10 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,075 = 14075 - 14 999 r = 14,075075075075... = 14,075 999 n Veamos ahora un segundo Consideremos 10= 14075,075 ⋅elr número - r = m decimal perió⋅ r =ejemplo. 14075,075075075... 10 n ⋅ r - r = m 1000 r 999 ⋅ r = 14075 - 14 = 14061 dico n r = 0,333333...= 1000 ⋅ r - r14061 = 14075,075 - 14,0750,3 = 14075 - 14 n r = r14,075075075075... =m14,075 1000 == 10 3 999 ⋅ r = 14075 - 14 ⋅ r==14061 3,3333333... = 3,3 99910 m m n 1000 r =⋅ r14075,075075075... 14075,075 r= = 14061 y veamos de qué manera lo⋅ podemos escribir como una fracción.= 3,3 - 0,3 = 3 10 r = m 10 ⋅ r r = 3,3333... r = m 10 n-0,3333... -1 Notemos las cifras que se repiten son tres, luego multiplicar = nque en este caso 999 n ⋅ r - r =314075,075 - 14,0753 = 14075 - 14 1000 1 -1 n remos 10 el número r10 por 1000 = 10 , así tenemos que ⇒ r= ⋅ r-r=m 9 ⋅ r=3 ⇒ r= 3 999 m ⋅ r = 14075 - 14 = 14061 9 n 1000 . r = 14075.075075075... = 14,075.07 m r = n r = 14,075075075075... = 14,075 m r = 14061 10 -r 1 m999 parte y este número tiene la misma decimal que , así podemos hacer la difer = nn 1000 = 10 3 rencia siguiente 10 ⋅ -r1- r = m 10 1000 ⋅ r = 14075,075075075... = 14075,075 n 1000 . r - r = 14075,075 - 14,075 = 14,075 - 1 1000 ⋅ r - r = 14075,075 - 14,075 = 14075 - 14 m . es decir, 999 r = 14075 - 14 999 ⋅ r = 14075 - 14 = 14061 m = 14061 r= n 10 - 1 r = 14061 y se concluye que 999 n 10 ⋅ r - r = m n m Toma Nota m = n Para escribirlo en forma fraccionaria Todo decimal periódico es un númeror racional. 10 - 1 debemos hacer la diferencia 103 . r – r = m donde n corresponde al número de dígitos que tiene la parte periódica del número y m es el número entero que resulta de la diferencia, así

m –1

103

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales d) Todo número decimal semiperiódico es racional.

En Internet

Para ejercitar a transformación de decimales a fracciones puedes visitar http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/fracciondecimal.php

Veamos, al igual que en los casos anteriores, de qué manera podemos escribir el número decimal semiperiódico como una fracción. Consideremos el siguiente ejemplo en el cual tomamos un número decimal semiperiódico r = 0,20145145145145... = 0,20145

En primer lugar, notemos que el anteperiodo de este número es 20, el cual contiene dos dígitos. Por lo tanto, si multiplicamos el número r por 102 = 100 entonces: s = 102 . r = 20,145

o bien http://descartes.cnice.mec. es/materiales_didacticos/ Fracciones_decimales_porcentajes/Fracciones_4.htm

es un número periódico. tal razón, podemos transformar r =Por 0,20145145145145... = 0,20145 el número periodico s en una fracción,r como lo vimos anteriormente. Dado que el número s tiene un periodo que consta de tres dígitos, multiplicamos s por 103 = 1000 y 2 10 = 100 = 0,20145 se tiene que r = 0,20145145145145... 2 3. 10 s = 20145,145 s = 10 ⋅ r = 20,145 r s 10 2 = 100 3 2 10 = 1000 s = 10 ⋅ r = 20,145 observa que los números decimales periódicos s y 103 . s tienen la misma parte 3 10 ⋅ s = 20145,145 s decimal, por eso al restarlos, su resultado será un número entero, es decir, s y 10 3 ⋅ s 10 3 = 1000 3 . 10 s - s3=⋅ 20145,145 - 20145,145 = 20125 s - s = 20145,145 - 20,145 = 20125 10 3 ⋅ s =10 20145,145 s y 10 3 ⋅999 s ⋅ s = 20125 ⇒ s = 20125 999 10 3 ⋅ s - ss = = 20145,145 - 20,145 = 20125 10 2 ⋅ r 20125 2 999 ⋅ s =10 20125 ⇒100 s = ⋅ r = 20125 ⇔ r = 20125 ÷ 100 ⋅ r= 999 999 999 2 y como s = 10s2=. 10 r, tenemos que: ⋅r 20125 1 ⇔ r= ⋅ 20125 20125 999 100 2 10 ⋅ r = 100 ⋅ r = ⇔ r= ÷ 100 20125 999 999 ⇔ r= 20125 99900 1 ⇔ r= ⋅ r 999 100 20125 r = 32,1303434343434... ⇔ r = = 32,13034 99900 r r 10 3 = 1000 r = 32,1303434343434... = 32,13034 s = 1000 ⋅ r = 32130,34 lo que demuestra que r es un número racional. Veamos un segundo ejemplo, r s decimal semiperiódico. y consideremos 3el número 10 = 1000 10 2 = 100 s = 1000 ⋅ 32,1303434343434... r = ⋅32130,34 r =100 s = 3213034,34 = 32,13034 s 100 ⋅ s

10 2 = 100 s 100 ⋅ s =100 3213034,34 ⋅ s - s = 3213034,34 - 32130,34 = 3180904 36

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

100 ⋅ s 99 ⋅ s = 99 ⋅ 1000 ⋅ r = 3180904 3180904 s 99000 ⋅ r = 3180904 ⇔ r= 99000 100 ⋅ s - s = 3213034,34 - 32130,34 = 3180904

Unidad

Lo primero que podemos observar es el hecho de que si multiplicamos r por 103 = 1000, entonces tenemos que el número s = 1000 . r = 32130,34 es un decimal periódico, por lo que podemos aplicar lo visto anteriormente, es decir, dado que la parte periódica del decimal s contiene dos dígitos, multiplicamos s por 102 = 100 y tenemos que 100 . s = 3213034,34 luego, 100 . s y tiene la misma parte decimal así, restándolas tenemos que

También puedes hallar información sobre los números racionales y la transformación de un número decimal a un número fraccionario en http://es.wikipedia.org/wiki/ N%C3%BAmero_racional

100 . s - s = 3213034,34 - 32130,34 = 3180904 es decir,

En Internet

99 . s = 99 . 1000 . r = 3180904 PARA EJERCITAR

I Transforma los siguientes números decimales a fracción. Justifi-

ca el resultado desarrollando el proceso. a) 0,01

b) - 1,29947

c) 103,80708

d) 0,9

e) -1,0275

f) 202,01011

g) -79,10830 =

h) -23,4596701

II Dadas las siguientes fracciones, escribe el número decimal que

corresponde y determina que tipo de número racional es. Justifica tus respuestas.

4 = ... 25 13 = ... c) 6 4 = ... e) 15 a)

2 = ... 7 1013 = ... d) 990 97 = ... f) 30 b)

III Tal como has visto, si tenemos un número decimal que no sea

infinito puro, entonces el lo podemos escribir como una fracción y por tanto es un número racional. ¿Qué podrías decir del recíproco, es decir, existen números racionales que son infinitos puros? Investiga acerca de esta afirmación y discútela en tu clase.

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

6 Redondeo y truncamiento en los números racionales 6.1 Trabajando con aproximaciones Tal como te habrás dado cuenta, en muchas ocasiones debes trabajar con decimales, por ejemplo, cuando realizamos una medición debemos darnos cuenta de que es imposible realizarla con una exactitud infinita, ya que siempre hay un margen de error, lo cual se debe a que el aparato que utilizamos para medir no es exacto. Por ejemplo, si consideras la medición realizada con una regla, es difícil que obtengas una medición con exactitud menor a 1 milímetro, ya que la regla está graduada en milímetros. Si quisiéramos mayor exactitud deberíamos tener un instrumento que esté graduado en longitudes inferiores a milímetros. Lo que debemos preguntarnos en estos casos es si resulta realmente importante saber el valor exacto de una medición, o si nos basta con una aproximación. Veamos un ejemplo, supongamos que construyes un cuadrado tal que cada uno de sus lados mide un metro de longitud y nos interesa conocer la longitud de la diagonal del cuadrado. Es conocido que la longitud de la diagonal de este cuadrado mide 1,4142135623…… metros. Nota que esta longitud tiene infinitos decimales, por lo que el valor exacto es imposible de obtener con una regla, así que debemos conformarnos con un valor aproximado, en el cual consideramos sólo un número finito de decimales, por ejemplo 1,414. En lo que sigue veremos como elegir una buena aproximación de un número, para ellos estudiaremos el redondeo y el truncamiento.

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad

6. 2 La parte entera de un número decimal Recuerda que dado un número decimal positivo, podemos distinguir dos elementos, una es la parte entera y la otra, la parte decimal, por ejemplo, Parte entera

12,345

¿Sabías qué?

Parte decimal

Veamos cómo extendemos este concepto a los números negativos. Consideremos un número cualquiera, entonces tenemos dos casos: Caso 1 Si el número x es un número entero, su parte entera es el mismo número. Por ejemplo: La parte entera de 4 es 4 La parte entera de –3 es –3

La función Parte Entera y=[x]

3 2

1 0 -3 -2 -1 0 -1

-2 -3

Caso 2 Si el número x no es un número entero, se tiene que existe un número entero n tal que n < x < n + 1. Luego, se dice que la parte entera de x es n y se escribe [ x ] = n. Por ejemplo: La parte entera de 1,234 es 1, ya que 1 < 1,234 < 2 y se escribe [ 1,234 ] = 1. La parte entera de –2,3534 es –3, ya que -3 < -2,3534 < -2 y se escribe [ –2,3534 ] = -3. Recordemos como redondeamos un número decimal a un entero. En este caso se tiene la siguiente observación. Toma Nota

Dado un número decimal cualquiera x, para redondearlo a un número entero, entonces basta calcular la parte entera de [ x + 0,5 ].

Por ejemplo: • Si queremos redondear el número 0,8 debemos calcular: [ 0,8 + 0,5 ] = [ 1,3 ] = 1. • Si queremos redondear el número –1,3 debemos calcular: [ -1,3 + 0,5 ] = [ -0,8 ] = -1. PARA EJERCITAR

I Calcula la parte entera de los siguientes números.

a) [0,65] =

b) [-1,2] =

c) [12,18] =

II Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o fal-

sas y justifica tu respuesta. a) [0,35] = [-0,35]

b) [-1,2] = - [1,2]

c) [2,3] + [1,7] = 3

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales 6.3 Valor Absoluto

¿Sabías qué?

Dado que con el redondeo y el truncamiento queremos aproximar el valor de algunos números decimales, es importante el cuantificar que tan grande es el error cometido al realizar la aproximación. Para ello definiremos el concepto de valor absoluto.

La función Valor absoluto y5 4 3 2 1

Toma Nota

Se define el valor absoluto de un número a, denotado por a, como el valor numérico del número sin su respectivo signo, es decir, Si a ≥ 0, entonces ⎢ a ⎢ = a.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

Por ejemplo: | 3,2786 | = 3,2786

| 35 | =

3 5

| - 74 | = - (- 74 ) =

Si a ≥ 0, entonces ⎢ a ⎢ = a. Por ejemplo, | -3,2786 | = -(-3,2786) = 3,2786

Notemos que el valor absoluto verifica las siguientes propiedades: i)

⎢ a ⎢ ≥ 0

ii)

⎢ a ⎢ ≥ 0 ⇔ a = 0

iii)

⎢a+b⎢≤⎢a⎢+⎢b⎢ (desigualdad triangular)

Por ejemplo: 1 = | -1 | = | 1 - 2 | ≤ | 1 | + | -2 | = 1 + 2 = 3 y 3 = | 1+2 | ≤ | 1 |+| 2 | = 1+2 = 3 ⎢a.b⎢=⎢a⎢.⎢b⎢

iv)

Por ejemplo: 6 = | -6 | = | 3 . (-2) | = | 3 | . | -2 | = 3 . 2 = 6 y 3 = | 1 . 3 | ≤ | 1 | . | 3 | = 1 . 3 = 3 PARA EJERCITAR

I Encuentre el valor de las siguientes expresiones:

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

a) | 3 - 4 | =

b) | 2 + 5 | =

e) | -2,5 | + 2,5 =

. g) - 7 | -0,5 | - 4 = 1 + | -1 |

c) | -4 + 7 | =

7 4

Unidad

6.4 Redondeo, truncamiento y error El primer tipo de aproximación para números decimales que veremos corresponde al llamado truncamiento. Por ejemplo, consideremos el número decimal x = 12,3927017374653201, luego: Toma Nota

Dado un número decimal cualquiera, diremos que haremos un truncamiento de orden n, si consideramos cifras decimales hasta el orden n y eliminamos las restantes.

• Truncamiento de x a las décimas (orden 1) es 12,3 • Truncamiento de x a las milésimas (orden 3) es 12,392

Ahora, si consideramos el número y = -3,93710982019745, entonces: • Truncamiento de y a las centésimas (orden 2) es –3,93 • Truncamiento de y a las millonésimas (orden 6) es –3,932710 Revisemos ahora el redondeo de un número decimal. Toma Nota

Recuerda

Dado un número decimal cualquiera, para realizar un redondeo de orden n debemos fijarnos en el valor de la cifra siguiente a la que aproximamos.

Veamos algunos ejemplos: Consideremos el número decimal x = 12,3927017374653201, luego

• Redondeo de x a las décimas (orden 2) es 12,4, puesto que el número que sigue a 3 es un 9, el cual es mayor que 5.

• Truncamiento de x a las cien milésimas (orden 5) es 12,39270, ya

que a que el número que sigue al 0 es un 1, el cual es menor que 5.

Ahora, si consideramos el número y = -3,93710982019745, entonces 1. Redondeo de y a las centésimas (orden 2) es –3, 94, ya que el número que sigue al 3 es un 4. 2. Truncamiento de y a las millonésimas (orden 6) es –3, 937110, ya que el número que sigue al 9 es un 8.

Así tenemos: • Si la cifra siguiente al orden de aproximación es menor que 5, la aproximación por redondeo es la misma que la de truncamiento. • Si la cifra siguiente al orden de aproximación es mayor o igual que 5, la aproximación por redondeo se obtiene, sumando una unidad a la cifra que estamos aproximando. En este caso, la aproximación es diferente a la obtenida por truncamiento.

PARA EJERCITAR

I Complete la siguiente tabla:

Número Orden de Redondeo Decimal Truncamiento 0,79467801628 2 3/7 5 -0,46980012001 4 -12,89878651 -12,8988 234,598801234 -31/12 -2,5833

Truncamiento

234,598

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales Cada vez que aproximamos un número por redondeo o truncamiento cometemos un error, que es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado. Para ver este error definiremos los siguientes conceptos: Toma Nota En Internet

Si quieres saber más visita la página http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Aproximaciones.

El error absoluto es la diferencia entre el valor real y el aproximado, en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo, es decir:

error absoluto = valor real - valor aproximado Por ejemplo: 3 Consideremos el número = 0,3 = 0,3333 ... y su valor aproximado 0,33, en5 tonces error absoluto = | 0,3 - 0,33 | = | 0,00333... | = 0,003 Toma Nota

El error relativo es el cuociente entre el error absoluto y el valor exacto, es decir

error relativo =

¿Sabías que?

El error absoluto nos da una estimación de la distancia entre el número real y su aproximación. El error relativo nos da una estimación del tamaño del error con respecto al valor real del número.

error absoluto valor real

Por ejemplo: 1 nuevamente si consideremos el número = 0,3 = 0,3333 ... y su valor aproxi3 mado 0,33 entonces: 0,003 error relativo = 0,01 0,3 Por ejemplo: veamos los conceptos anteriores. Consideremos los números a = 2000 = 666,6 y b = 2 = 0,6. 3 3 Para ambos consideremos una aproximación obtenida con un redondeo de orden 4, luego se tiene los siguiente: Valor Exacto Valor Aproximado Error Absoluto Error Relativo 666,6667 0,00003 0,00000005 =5.10-8 666,6 0,6667 0,00003 0,00005 =5.10-5 0,6 PARA EJERCITAR

I Observa en el ejemplo anterior que aun cuando el error absoluto

es el mismo, el error relativo es muy diferente

¿Qué conclusiones puedes obtener? ¿Qué tipo de error me da una mejor información? Discútelo en clases. II Obtén los errores absolutos y relativos de las aproximaciones por

redondeo y truncamiento de la página anterior.

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

capítulo

Usando la calculadora Una útil herramienta para trabajar con números decimales es la calculadora, pero debemos tener cuidado al utilizarla, ya que ella no siempre realiza los cálculos con total exactitud. Esto se debe a que cada calculadora trabaja sólo con un número finito de decimales, y aquellos números decimales que poseen más decimales que con los cuales trabaja la calculadora se aproximarán por truncamiento. Veamos un ejemplo. Consideremos la siguiente operación: 1 1 – = 5 7

5-7 7.5

-2 = -0,05714285714285714285... = 0,00571428 35

Sin embargo al realizar la operación con la calculadora (la cual maneja sólo 8 dígitos) tenemos que: 1 1 – = -0,14285714 - 0,2 = -0,05714286 5 7 Blaise Pascal (19 de junio de 1623 - 19 de agosto de 1662)

observa ahora que si multiplicamos el número -0,05714286 por 35, el resultado debería ser –2, sin embargo: -0,05714286 . 35 = -2,0000001 ≠ -2

Esta diferencia se debe a que la calculadora con la que se realizaron los cálculos puede trabajar sólo con un número limitado de decimales, en nuestro caso sólo 8. Notarás que existen calculadoras con una mayor precisión, pero no pueden ser exactas ya que la diferencia es que el nivel de la aproximación mejora, pero no es exacta. Nota que la misma situación sucede si sumas un número muy grande con un número muy pequeño, por ejemplo, al realizar la siguiente suma sabemos que: 10000000 + 0,0000001 = 10000000,0000001 sin embargo, al realizarla en la calculadora obtenemos que: 10000000 + 0,0000001 = 10000000, esto se debe, nuevamente, al hecho de que la suma sobrepasa el número de dígitos con los que puede trabajar la calculadora. Averigua con cuántos dígitos puede trabajar tu calculadora. Para esto repite las operaciones anteriores y discútelo con tus compañeros y compañeras.

En Internet

Si quieres saber más visita http://es.wikipedia.org/wiki/Calculadora#Origen:_el_.C3.A1baco NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números ¿ Sabías que ?

Historia de la Calculadora

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

dad. La primera calculadora electromecánica la inventó el estadounidense Herman Hollerith (1860-1929), la que se conoció también como máquina tabuladora, la cual la misma funcionaba con tarjetas perforadas. Con el tiempo Hollerith fundo una compañía dedicada a construir este tipo de maquinas, esa empresa daría origen más tarde a International Business Machines Corporation conocida como I.B.M. El mayor invento fue el de la calculadora de bolsillo. Las primeras de este tipo aparecieron alrededor del año 1970 y fue gracias al desarrollo de los chips de bajo consumo.

Unidad

Estrategías de resolución de problemas Ejemplo Jorge recibió un premio de $5.000.000, luego de pensarlo decidió utilizarlo en diferentes cosas, utilizó 1/8 en arreglos de su casa, 2/5 en regalos para su familia ¿Cuánto dinero gastó en total? ¿Podrías decir con cuanto dinero se quedó finalmente Jorge? Etapa 1 Debemos leer cuidadosamente el problema para responder a las preguntas planteadas. Es importante identificar la o las variables involucradas en el problema. En particular en nuestro caso la variable es la cantidad de dinero que Jorge tiene. Etapa 2 Revisemos la información entregada en el problema para las variables involucradas y veamos una estrategia para responder a las preguntas planteadas. Dado que la variable de interés es la cantidad de dinero que tiene Jorge, entonces sabemos que recibió un premio de $5.000.000. De esta cantidad de dinero utilizó 1/8 en arreglos y 2/5 en regalos. Estas dos últimas cantidades son gastos y se representarán por valores negativos. Luego: Gastos en arreglos:

( ) ( )

1 = -625.000 8 2 = -2.000.000 5.000.000 . – 5

5.000.000 . –

Regalos para la familia: Etapa 3

Respondamos a la primera pregunta. Nos preguntan primeramente por la cantidad de dinero que gastó en total, en este caso tenemos lo siguiente: Gasto Total

= Gasto en arreglos de casa + Gasto en regalos para la familia 1 = 5.000.000 . – = -625.000 8 = -625000 + (-2000000)

= -26250002

( )

Es decir, Jorge gastó en total $ 2.625.000. Etapa 4 Respondamos a la cuarta pregunta. Veamos ahora la segunda pregunta. Sabemos que inicialmente Jorge tenía $5.000.000 y hemos visto que en total gastó $2.625.000, luego: Dinero restante = 5000000 - dinero gastado = 5000000 - 2650000 = 2350000. Por lo tanto el dinero restante de Jorge es de $2.350.000.

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

PARA EJERCITAR

I María tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó 2,5 tazas

1 tazas para hacer un flan. 4 ¿Cuántas tazas de leche le quedaron?

para hacer un pastel y 3

II Claudio está a dieta para aumentar de peso. El primer mes su-

1 bió 0.75 kilogramos. El segundo mes bajó . El tercer mes au2 3 mento 1 de kilo y el cuarto mes bajó 300 gramos. 4 ¿Cuántos kilos subió?

III Bernardita está siguiendo una dieta para adelgazar. El primer

1 1 kilos, el segundo bajó , el tercero subió un 4 2 1 cuarto de kilo y el cuarto perdió kilos. 1 ¿Cuántos kilos bajó en total? mes bajó 2

3 de minuto cada hora. 7 ¿Cuánto adelantará en 5 horas; en medio día; en una semana?

IV Un reloj adelanta

V Para hacer un metro de una pared de ladrillos un obrero em-

plea 6 horas.

¿Cuánto tiempo empleará para hacer 14 ¿Y para hacer 18

5 metros? 33

2 metros? 3

VI Si de una soga de 40 metros de longitud se cortan tres partes

iguales de 5

2 metros de longitud, 3

¿cuánto falta a lo que queda para tener 31 VII Diego es dueño de los

parte.

5 metros? 8

2 1 de una parcela y vende de su 5 2

¿Qué parte de la parcela le queda? 3 de metro 4 1 de profundidad. Durante el día sube de metro, pero por la 6 1 noche retrocede de metro 12

VIII Un caracol trata de salir de un pequeño pozo de

¿Cuantos días tardará en salir? 46

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad

Las funciones truncar y redondear en Excel A continuación veremos como usar las funciones redondeo y truncamiento en Excel, las cuales son de gran utilidad. Para ello consideremos un número decimal. Por ejemplo:

el número

2 = 0,0571428 = 0,0571428571428571428571428571428571428... 35

Veamos primero el truncamiento de este número.

Paso 1 Ingresemos el número que queremos estudiar

Paso 2 Ahora tenemos su valor en forma decimal

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

Paso 3 Veamos la función truncar

Paso 4 Veamos el número que queremos truncar y con cuantos decimales

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad

Paso 5 El número exacto y el número truncado

Paso 6 Veamos la función redondeo para el número estudiado

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

Paso 7 Definamos el orden de la aproximación

Paso 8 Valor exacto y su aproximación

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números capítulo

Hagamos un poco de historia

Como ya sabes, el primer tipo de números construidos por el ser humano fueron los naturales. Sin embargo, los números racionales aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas. Y como suele ocurrir con la mayoría de los conceptos matemáticos, surgieron ante la necesidad de resolver un problema práctico. Si bien los números naturales servían a los antiguos para cuantificar su ganado y sus bienes en términos generales, pronto advirtieron que esto no era suficiente. Al enfrentarse a otro tipo de mediciones, como superficies, pesos y longitudes, con la ayuda de los números naturales no podían hacerlo en forma exacta, pues estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad. Los mesopotámicos y los egipcios ya trabajaban con algunas fracciones como 1/2, 1/3, o 1/5, generalmente con numerador igual a 1. Uno de los primeros registros que se conocen es el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que constituye la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia. En la escritura, los egipcios expresaban la fracción con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo o al lado, escribían el denominador. El numerador, como siempre era 1, simplemente se omitía. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo, hito clave para que se iniciara y el estudio de los números racionales. Recién en el siglo XIII Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo en Europa el concepto de números quebrados o números “ruptus” Papiro de Rhind utilizando la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones. Más tarde, a principios del siglo XV, el árabe Al Kashi generalizó el uso de los números decimales y a fines del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló las fracciones que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas. Sólo a principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. En 1792, los números decimales se impusieron en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal.

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

Consolidando I

Encuentre el valor de las siguientes expresiones

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

-5 -2 2 – + = 8 8 3 -5 1 13 c) – + = 6 4 5 a)

-5 7 11 b) - + – = 3 3 3 -5 -9 -4 4 d) + + – = 6 15 7 9

Calcule el valor de las siguientes expresiones

( )

4 . -4 = 6 5 4 6 c) ÷ = 3 7 a)

III

(

) )

3 1 – = 5 6 -1 -1 3 . d) ÷ = 6 4 7 b) (-3) .

( ) (

Considera las siguientes expresiones y obtén su valor. a)

(

) ( [( ) ( )])

2 . 1 – 5 19

c) (-4) .

-1 -2 + 9 8

3 ÷ 5

( ( )) -5 1 + 7 3

(

) ( 1–

d) 1 –

)

8 -2 1 1 ÷ ÷ – = 3 17 2 4 1 2

[ [

VII

[ ] ]

( ) 1–

1 1 – 4 1 6

3 1 ÷ 2 3

]

Dados los siguientes números decimales, escribalos como el cuociente de dos números enteros. a) 2,019 =

b) -23,2305 =

c) -102,112 =

d) -3,09101 =

e) 10,01102 =

f) 1205,177801 =

Dados los siguientes números fraccionarios, escribalos como un número decimal e forma exacta. Determine que tipo de número decimal es. a)

5 = 12

b) –

11 = 24

5 = 8

e) –

6 = 15

102 f) - = 36

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

17 = 33

Unidad 1: Números

capítulo

Consolidando VI

VII

Encuentre el MCD y MCM de klos siguientes músculos. a) 12 y 5

b) 11 y 13

c) 12, 15 y 24

d) 7, 28 y 49

e) 18, 21 y 25

f) 10 y 35

Aproxime los siguientes números por medio de un truncamiento y redondeo al orden dado. Valor exacto 23/107

Orden de aproximación 4

Redondeo

-12,3098172 -2,36800187 56/330 VIII

-12,30981 -2,368002 6

3 Una antorcha consume kgs. de aceite por día. 4 5 ¿Cuánto consumirá en de día? 6

Si un auto anda 110 Kms por hora, 3 1 2 7 ¿cuánto andará en , en , en y en de hora? 5 8 11 9

Un gásfiter arreglará un lavaplatos por $24.000 y hace los ¿Cuánto recibirá?

XII

XIII

Truncamiento

7 del trabajo. 20

Un obrero pondrá las cerámicas de una cocina por $80.000 y ya ha cobrado una cantidad equiva11 lente a los del trabajo. 15 ¿Cuánto le falta por cobrar? 2 Don Alberto tiene un fundo de 20 hectáreas en la que tienen sus vacas. Este año vende los y 5 3 arrienda para sembrar maíz los del resto. 4 ¿Cuánto le queda para pastoreo? En un grupo de niños, 16 están de cumpleaños durante la primera mitad del año y 14 están de cumpleaños durante la segunda mitad del año ¿Qué fracción del grupo está de cumpleaños durante la primera mitad del año? (fuente TIMSS - MINEDUC).

XIV

A Juan y Catalina les dijeron que dividieran un número por 100. Por error, Juan multiplicó el número por 100 y obtuvo una respuesta de 450. Catalina dividió correctamente el número por 100. ¿Cuál fue su respuesta? (fuente TIMSS - MINEDUC). 1 En una cuchara le cabe kg. de harina 5 ¿Cuántas cucharadas de harina son necesarias para llenar una bolsa con 6 kg. de harina? (fuente TIMSS - MINEDUC). NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números racionales

Mapa conceptual SON AQUELLOS QUE

Suma de números racionales

Se escriben como cuociente de números enteros

SE TIENE

a/b + c/d = (ad + bc)/bd

NÚMEROS RACIONALES

Producto de números racionales

OPERACIONES Números decimales infinitos semiperiódicos 12,3864333333...

SE TIENE

Números decimales infinitos periódicos 12,333333...

a/b .c/d = (ac)/(bd) SE DIVIDEN

Números decimales finitos 12,3056 División de números racionales Números enteros ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... SE TIENE

(a/b) dividido (c/d) = (a/b) .(d/c) = (ad)/(bc)

Unidad 1 / Capítulo 1 / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

capítulo

Autoevaluación

3 Jorge y Ana son ambos amantes de la literatura. Jorge tiene 64 libros y Ana 96 libros. Si sabemos que de los 8 1 libros de Jorge son novelas, son de poesía y el resto de otros tópicos. Por su parte Ana tiene 12 libros de 4 poesía, la mitad restante son novelas y el resto de otros temas. Según lo anterior responde a cada una de las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántos libros de poesía tiene Jorge y Juan? 2. ¿Quién tiene más libros de novelas, Jorge o Ana? 1 3. Si de los libros de poesía de Jorge son de autores extranjeros. ¿Cuántos libros de poesía de autores chi4 lenos tiene Jorge? PUNTAJE CRITERIO

INDICADOR

Si (1pto)

Criterios de Procedimiento

• Leí el problema • Entendí claramente las preguntas

Criterios de Habilidades

Criterios de Actitud

Puedo mejorar (0.5 pto)

No (0 pto)

NÚMEROS RACIONALES / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Númerosracionales

Capitulo 2 potencias de base racional y exponente cero Los temas de este capítulo son:

Al final de este capítulo serás capaz de:

Potencias de base entera y exponente entero

Interpretar las potencias de base racional y exponente entero

Potencias de base racional y exponente entero

Multiplicación y división de potencias de base racional y exponente entero

2 8 9 5 7 2 3 8 9 4 56 8 4 7 6 6 8 536 5 9 53 68

47 8

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

47 8

Unidad

Los temas de este capítulo son:

Al final de este capítulo serás capaz de:

Propiedades de las potencias de base Establecer algunas propiedades de las potencias de base racional racional y exponente entero y exponente entero

Aplicaciones de las potencias a la resolución de problemas

Aplicar las potencias de base racional y exponente entero a la resolución de problemas

Situación problemática En el laboratorio de ciencias están realizando un experimento con diferentes sustancias. Una de ellas se desintegra rápidamente, de manera tal que al cabo de una hora queda sólo la mitad de la cantidad inicial. Si en cierto momento hay 640 gramos de sustancia, ¿cuánto quedará después de 4 horas? ¿cuánto quedará después de n horas? ¿Cuánta sustancia había hace 4 horas? En lo que sigue veremos como responder a estas preguntas.

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

Recordemos 1 POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO En primer lugar notemos que una potencia es una expresión de la forma. Base

24 Exponente y se distinguen dos elementos que son la base y el exponente. Una potencia la podemos interpretar como una multiplicación de la base por si misma tantas veces como sea el valor del exponente, es decir, 24 = 2 . 2 . 2 . 2 4 veces Recordemos las propiedades de las potencias cuando la base es un número entero y el exponente es un número entero positivo. i) Cualquier número entero elevado a 1 es el mismo número. Es decir: 21 = 2 En general, tenemos que si n es un entero, entonces: n1 = n ii) Si se multiplican dos potencias de igual base, entonces se mantiene la base y se suman los exponentes. Por ejemplo, 23 . 24 = (2.2.2) . (2.2.2.2) = (2.2.2.2.2.2.2) = 27 3 veces 4 veces

Unidad 1 / Capítulo 1 2 / Matemática 1o Medio

7 veces

Unidad 1: Números

capítulo

Recordemos En general, podemos escribir lo siguiente: Sean a es un número entero no nulo, y sean n y m dos números naturales, entonces an . am = an+m iii) Si multiplico dos potencias de distinta base e igual exponente, se multiplican las bases y se mantiene el exponente. Por ejemplo, 23 . 53 = (2.2.2) . (5.5.5) = (2.5).(2.5).(2.5) = (2.5)3 = 103 3 veces 3 veces

3 veces

En general, si a, b son dos números enteros no nulos y n un número entero positivo, entonces tenemos que: an . bn = (a .b)n iv) Si una potencia la elevo a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes. Por ejemplo: (73)2 = 73 . 73 = (7.7.7).(7.7.7) = 76 Luego, si a, es un número entero no nulo, y sean n y m dos números enteros positivos, entonces

(an)m = an .m

En Internet

Si quieres saber sobre el número π puedes visitar http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80. http://www.ciencianet.com/pi.html. POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

Recordemos PARA EJERCITAR

I Escribe en forma de potencia los siguientes números:

a) 4 • 4 • 4 • 4 =

b) 33 • 3 • 35 =

c) (-3) • (-3) • (-3) • (-3) • (-3) =

II Expresa el resultado en forma de potencia.

a) 38 ÷ 32 =

b) (56)2 =

III Calcula las siguientes potencias:

a) (-3)4

b) (-2)5

c) (-5)3

d) (-4)2

IV Escribe el resultado como un producto de potencias:

a) ( 2 • 5 • 4)4 =

b) ( 5 • 4 • 2)6 =

c) [ (-2)3 • 43 • 65 ]4 =

( )( )( ) (( ) )

(

)

2 3 2 2 2 5 (-2)2 • 52 • • = e) 3 - 3 = 3 3 3 3 • ( 5) 5 4 23 f) • = 2 5 V Escribe como potencias de 10 los siguientes números: d)

a) –1.000

b) 0,00000000001

c) –0,00001

d) 1. 000. 000

VI Escribe como una sola potencia (cuando se pueda) las siguientes expresiones:

a) 24 • 43 • 4 =

b) (-2)4 • 25 =

c) 4 • (62)3 =

VII Tenemos un cubo de lado a.

a) ¿Cuánto vale su volumen? b) Si duplicamos el lado (2 a), ¿se duplicará también el volumen? Razona la respuesta. c) Comprueba los resultados anteriores con un ejemplo numérico. VIII Con pequeños cubitos hemos construido un cubo grande que tiene 10 cubitos de lado.

a) ¿Cuántos cubitos contiene el cubo grande? b) Si ponemos el triple de cubitos por lado, ¿necesitaremos el triple de cubitos para construir el cubo grande? IX Una pelota es lanzada desde una altura de tres metros, después de cada rebote la pelota alcan-

za una altura de 0,85 veces la altura antes del rebote.

¿Podrías decir que altura alcanza después del segundo rebote? ¿Qué altura alcanza después del sexto rebote?

Unidad 1 / Capítulo 1 2 / Matemática 1o Medio

Unidad

1.1 Potencias de base 10 Un caso importante que debemos recordar también es el que corresponde a las potencias de base 10 y exponente entero. Recordemos las potencias de base 10 y exponente entero positivo: 101 = 10 102 = 100 103 = 1.000 104 = 10.000 105 = 100.000 106 = 1.000.000 109 = 1.000.000.000 1012 = 1.000.000.000.000

decena centena unidad de mil decena de mil centena de mil unidad de millón unidad de mil millones unidad de billón

Observa que: 100 = 1

unidad

Estas potencias son útiles en la descomposición canónica de los números enteros. Por ejemplo, 3.125

= 3 • 1.000 + 1 • 100 + 2 • 10 + 5 • 1 = 3 • 103 + 1 • 102 + 2 • 101 + 5 • 100

En Internet

¿Sabías que un billón en Chile y un billón en EE.UU. no son lo mismo? En general, para los países de Europa y América Latina, un billón representa un millón de millones, es decir 1 billón = 1.000.000.000.000 sin embargo, en E.E.U.U., el concepto de billion representa mil millones, es decir, 1 billion = 1.000.000.000 esta diferencia a veces nos puedes llevar a confusión. Lo mismo sucede con los conceptos de Trillón, etc. Si quieres saber más, visita la página.

En el caso de exponentes enteros negativos, tenemos que:

http://es.wikipedia.org/wiki/ Bill%C3%B3n

100

unidad

0,1

1 10

10-1

décima

0,01

1 100

10-2

centésima

0,001

1 1000

10-3

milésima

0,0001

1 10000

10-4

diez milésima

0,00001

1 100000

10-5

cien milésima

0,000001

1 1000000

10-6

millonésima

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Númerosracionales Las potencias de base 10 y exponente entero negativo nos ayudan en la descomposición aditiva de números decimales. Por ejemplo: 7, 4312 = 7 x 1 + 4 x 0,1 + 3 x 0,01 + 1 x 0,001 + 2 x 0,0001 = 7 x 100 + 4 x 10-1 + 3 x 10-2 + 1 x 10-3 + 2 x 10-4 Y se lee: 7 enteros, 4 décimas, 3 centésimas y milésima y 2 diez milésimas. Recuerda que en el caso de cantidades muy pequeñas o muy grandes se utiliza la notación científica. Toma Nota

Podemos definir la notación científica, también llamada notación índice estándar, es una forma simplificada de representar números, tanto enteros como decimales, mediante una técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeño.

Parte entera de un dígito

1.520.000.000 = 1,52 .109 Magnitud del número

Esta notación se caracteriza por las siguientes reglas: ● cada número se escribe como el producto de un número decimal por

una potencia de base 10 y exponente entero.

● el decimal que antecede a la potencia de 10, posee una parte entera de

sólo un dígito.

● el resto de las cifras significativas van en la parte decimal. ● la potencia de 10 da el orden de magnitud del número.

Por ejemplo: 1.- Un año luz es la distancia que recorre la luz durante una año a una velocidad cercana a 300.000 Km./s, luego en notación científica tenemos que: 1 año luz = 9,4608 . 1012

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

Unidad

2.- Notemos que micrómetro se define como 1µm = 0,000001 metro = 1 . 10-6 metros Luego, si una célula mide 12,75 µm se tiene 12,75 µm = 1,275 . 10-5 metros PARA EJERCITAR

I Escriba el número que corresponde a la siguiente expresión

a) 5 • 104 + 2 • 102 + 2 • 10-1 =

b) (3 • 104 + 2 • 102 + 2)2 =

En Internet

En esta página web encontrarás una divertida forma de ver las potencias de 10. http://www.slideshare.net/ guervos/potencias-de-10-unviaje-del-macrocosmos-al-microcosmos/

c) 6 • 105 + 2 • 103 + 2 • 10-2 =

d) (7 • 102 + 4 • 10-2) • 10-2 =

e) (3 • 103 + 8 • 10-1) • (4 • 102 + 8 • 10-2) =

II ¿Podrías escribir los números anteriores en notación científica?

III Mariana en su control anual el médico advirtió una leve anemia

producida por una alimentación poco balanceada. A pesar de los resultados. Hizo una dieta para bajar de peso. Sin embargo, como comenzó a sentir cansancio, su medico le pidió nuevos exámenes arrojando el siguiente resultado:

Antes de la dieta

Después de la dieta

Hemograma

Eritrocitos 4.700.000/mm3

Eritrocitos 3.800.000/mm3

Leucocitos 8.700/mm3

Leucocitos 9.500/mm3

a) Expresa en notación científica la cantidad de eritrocitos de cada análisis. b) ¿Cuánto disminuyó la cantidad de eritrocitos luego de la dieta?

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Númerosracionales

2 Potencias de base racional y exponente entero En Internet

Visita la página http://www.isftic.mepsyd.es/ w3/Descartes/3_eso/Potencias/Potencias32.htm para practicar potencias

Veamos ahora el caso de las potencias cuando la base es un número racional y exponente entero. Para ellos trataremos de deducirlas a partir de lo que sabemos sobre las potencias de base entera y exponente natural.

2.1 Potencias de base racional y exponente entero positivo Consideremos el número racional 8 , 27 23 = 8 y 33 = 27

Notemos que:

8 27

luego,

23 33

Pero por otra parte, 23 = 33

2•2•2 3•3•3

( )

2 2 2 2 • • = 3 3 3 3

3 veces Es decir, tenemos que:

( )

23 2 = 3 3 3

Toma Nota

Así, en general tenemos que, dados dos números enteros a y b, con b ≠ 0, y sea n un entero positivo, entonces

( ) a b

an cn

Por ejemplo:

( )

( ) ( )( )( )( )( )

3 3 3 3 3 = • • = 4 4 4 4

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

3•3•3 4•4•4

-2 5 -2 -2 -2 -2 -2 = • • • • = 5 5 5 5 5 5

33 27 = 43 64

(-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) 5•5•5•5•5

-32 (-2)5 = 5 5 3125

Unidad

Toma Nota

Recuerda que, si n es un entero positivo, tenemos lo siguiente:

(-1)n = 1, si n es par Por ejemplo:

(-1)2 = (-1) (-1) = 1

además se tiene

(-1)n = -1, si n es impar

Por ejemplo: (-1)3 = (-1) (-1) (-1) = 1 (-1) = -1 Toma Nota

Dado un número entero a con a ≠ 0,y sea n un número natural con n ≠ 0, entonces la potencia an.

verifica lo siguiente: i. Si n es un número par entonces an > 0. Por ejemplo: ii.

26 = 64 > 0 y (-2)6 = 64 > 0 Si n es un número impar entonces tenemos que a > 0 ⇒ an > 0 y a < 0 ⇒ an < 0

Por ejemplo:

23 = 8 > 0 y (-2)3 = -8 < 0. PARA EJERCITAR

I Calcula el valor de las siguientes expresiones:

( )( )

-1 3 . 12 4 = 6 5 (-3)3 . 42 . 63 b) = 82 (3,2 . 10-1)2 . (4,8 . 102)4 c) = 1,8 . 103 a) 23 .

II Claudio recibió parte de su sueldo y ha decidido invertir de su

sueldo en un depósito a plazo fijo, el cual le da un interés anual de 9%. Si la mitad de su sueldo es $350.000.

¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 2 años? ¿Y al cabo de 5 años? ¿Podrías obtener una forma general de la s ganancias después de n años? POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Númerosracionales

2.2 Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero positivo Veamos la forma en que extenderemos lo ya conocido para las potencias de base racional y exponente entero. Notemos que en este caso se tienen las siguientes propiedades: Sean a, b, números enteros con b ≠ 0 y n un número entero positivo: a.- Producto de potencias de igual base: Se mantiene la base y se suman los exponentes, es decir,

( ) a b

.( ab )

( ) a b

n+m

Veamos una idea de la demostración de esta propiedad. En efecto, tenemos los siguientwe:

( ) .( )

a b

. ab

n = an b

m m

an + m bn + m

. .

n m = an am b b

( ) a b

n+m

lo que completa la demostración. Por ejemplo:

( )( ) ( ) ( ) 3 5 3 • 5 5

3 5

2+3

3 5

b.- Potencia elevada a otra potencia: Se preserva la base y se multiplican los exponentes, es decir,

(( ) )

n m

a b

Por ejemplo:

( ) a b

n m

(( ) ) ( ) ( ) 3 5

2 3

2.3

3 5

¿Podrías justificar esta última propiedad? c.- Producto de potencias de diferente base e igual exponente: Se multiplican las bases y se mantienen los exponentes, es decir,

Por ejemplo:

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

( (

2 5 • 3 7

a b

. dc )

( )

= a b

) ( )( ) 2

2 3

•

5 7

.( dc )

4 25 100 • = 9 49 441

Unidad

2.3 Potencias de base racional y exponente entero Ahora veamos cómo extender lo aprendido, al caso en que los exponentes sean números enteros. Toma Nota

Recuerda que en el caso de las potencias de base 10, tenemos que:

1 = 0,1 10

100 = 1 y 10-1 = Veamos ahora que:

( ) 2 3

Ahora, en primer lugar veremos que: 20 = 1 y 2-1 =

-1

3 2

1 2

Nota que si usamos las propiedades de las potencias, entonces: 2 = 21 = 21+ 0 = 21 • 20 = 2 • 20 Es decir,

2 • 20 = 2

⇒

20 = 1

Luego, de lo revisado en la sección anterior:

( ) 2 3

( )

20 2 1 = =1⇒ 30 3 1

Toma Nota

Si a y b son números enteros con a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces:

( ab ) = 1 0

Por ejemplo, (-1)0 = 1

( )

-2 0 =1 5

Por otra parte, como 1 = 20

= =

21+ (-1) 21 • 2-1

dividiendo por dos, tenemos: 2-1 • 2 = 1

⇒

2-1 = 1÷2

es decir, 2-1 =

1 2 POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Númerosracionales

PARA EJERCITAR

I Calcula el valor de las siguientes expresiones:

( ) ( ) ( ) ( )

3 -2 . 2 2 = 2 3 1 1 0 30 b) 0 + – = 2 2 4 2 0 50 c) ÷ 0 = 5 2 a)

¿Sabías qué? En matemáticas, la división por cero en general no está permitida, sin embargo l problema surgió sobre el año 650 cuando el uso del cero y los números negativos entraron en la matemática India. El matemático indio Bhaskara I realizó una primera aproximación al nuevo problema que se planteaba escribiendo que n/0 = infinito

d) (0,5)0 – 2 (0,5)0 = e)

(

)(

30 3 5 5 + 0 – + 4 4 3 2

)

= Toma Nota

En general, tenemos que si a es un número entero, con a ≠ 0, entonces

a-1 = Por ejemplo, (2)-1 =

1 2

1 a

1 1 (-3)-1 = - = – 3 3

Luego, si extendemos el caso al de números racionales, se tiene lo siguiente: 1=

( )( ) 2 0 2 = 3 3

1 + (-1)

Ahora, multiplicando ambos términos por

( )

2 2 • 3 3

-1

3 , tenemos que: 2

( ) ( )( ) ( )

3 3 2 2 = • • 2 2 3 3 Es decir,

-1

3•2 2 -1 2 • =1• 2•3 3 3

-1

( )

2 -1 3 = 3 2

PARA EJERCITAR

I Calcular:

a) 1-1 + 2-1 + 3-1 = c) a-1 + b-1 = 68

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

( ) ( ) 1 2

-1

1 3

-1

Unidad

Toma Nota

Así, tenemos que si a y b son dos números enteros, tales que a ≠ 0, y b ≠ 0, entonces:

( ab )

-1

1 b = a/b a

En Internet

Notemos además que si extendemos las propiedades de las potencias de base racional y exponente natural al caso de exponentes enteros, se tiene que:

( )( ) ( ) -1

2 3

-1

2 3

•

(-1) + (-1)

2 3

( ) 2 3

Si quieres saber de la división por cero visita http://es.wikipedia.org/wiki/ Divisi%C3%B3n_por_cero

-2

Toma Nota

Es decir, si a y b son dos números enteros, con a ≠ 0, y b ≠ 0, entonces:

( )) a b

n -1

( ab )

-n

bn an

Por otra parte, tenemos lo siguiente:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 3

-2

2 3

(-1) + (-1)

-1

2 3

-1

2 3

3 3 3 • = 2 2 2

•

Toma Nota

Entonces, tenemos que si a y b son números enteros con a ≠ 0 y b ≠ 0, y sean n y m números enteros, entonces:

( )) a b

Por ejemplo:

(( ) ) ( ) ( ) 2 3

2 -2

2 3

2 (-2)

2 3

-4

( ab )

n m

(( ) ) ( ) ( ) -3 4

-2 -1

-3 4

(-2) (-1)

-3 2 9 = 4 16

PARA EJERCITAR

I Calcular:

a) c)

(( ) ) [( ) ] [ ] 3 4

-1 2

1 2

-2 -1

[( ) ]

-2 -1 -2

+ ( 2 )-1 =

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Númerosracionales

Toma Nota

Si a y b son números enteros con a ≠ 0, y b ≠ 0, y sean n y m números enteros, entonces: n m n+m

( ab ) . ( ab ) = ( ab )

Por ejemplo:

( )( ) ( ) 3 5

3 5

•

-4

2+(-4)

3 5

( )

-2

3 5

( ) ( ) ( ) -7

2 7

•

2 7

(-7) + 8

2 7

Toma Nota

Siguiendo el caso en que a y b son números enteros con a ≠ 0 y b ≠ 0, y sean n y m números enteros, se tiene que: n

( ab ) ÷ ( ab ) n

( ab ) ( ab )

( ab )

n-m

Por ejemplo:

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 0 2 = ÷ 2/5 5 5

2 0 2 • 5 5

-1

2 5

5 2

Veamos un segundo ejemplo:

( ) ( )

-5 (-5/9)4 = 3 (-5/9) 9

4-3

-5 1 -5 = 9 9

PARA EJERCITAR

I Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica las si-

guientes expresiones y obtén su valor:

( )( ) -2 4 10 • 5 3

-2

( )( ) ( ) 2 3 2 • 3 3

-4

•

3 2

-2

( ) ( )

c) 2 3 4

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

3 2 24 + 24 + 24 ÷ -1 = d) = 5 22

22 33 – 4 – -1 = 3 4

-1

[

]

(-15)3 • (-3)-2 3 ÷ = 10-2 • 92 4

[( ) ( 3 3 • 5

102 + 25 3-2

(

3-2 – 3-4 3-3

)] ( ) -2 -2

)

2 ÷ – 15 = 2

Unidad

PARA EJERCITAR

II Dadas las siguientes expresiones, determine si ellas son verda-

deras o falsas justificando tu respuesta.

c) (-2)5 = 25

a) 22 + 23 = 25

b) 102 + 52 = 53

d) [ (9)3 ]4 = 97

e) (2-1 – 2-2)-1 = 22

III Consideremos una cuerda de una longitud de 6,4 metros, la

cual iremos cortando a la mitad en forma sucesiva, ¿de qué longitud se tiene el corte después de cuatro cortes?, ¿después de n cortes?.

¿Cuántos cortes necesitamos para que la longitud de la cuerda no sea mayor que 0,5 metros? ¿Qué sucede si los cortes son de restante.

de la longitud de la cuerda

IV Marta ha desarrollado un plan de negocios en su empresa de

manera de aumentar el número de clientes y como meta se ha propuesto que cada año el número de aumentos aumente en 1 . Si inicialmente la empresa tiene 40 clientes. 10 ¿Cuántos clientes se esperan tener después de dos años? ¿En cuantos años se espera que la cantidad de clientes aumente en un 50%? ¿Después de cuantos años la cantidad de clientes será el doble? V El crecimiento de una población de bacterias es tal que cada

dos horas se duplica el número de individuos. Andrés y María estudian un cultivo en el laboratorio de biología y se dan cuenta que en ese instante hay cerca de 4 • 103 bacterias. ¿Cuántas bacterias habrán en 12 horas más tarde? ¿Cuántas habían hace 4 horas? ¿Podrías obtener una fórmula general para saber el número de bacterias en cualquier instante de tiempo?

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

Hagamos un poco de historia René Descartes (1596 - 1650) Nacido en La Haye, Touraine (Francia), fue filósofo, matemático y físico. Hijo de un miembro de la baja nobleza, a los ocho años lo enviaron a la escuela jesuita de La Flèche, en Anjou, donde recibió una gran influencia a lo largo de toda su vida. En 1632 resolvió el problema de la caída de los cuerpos sin saber que Galileo ya lo había hecho. Con sus descubrimientos en óptica contribuyó indirectamente al perfeccionamiento de los instrumentos de observación.

Pero la contribución más notable que hizo Descartes a las matemáticas fue la sistematización de la geometría analítica, contribuyendo también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones. Descartes fue el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. A él se le debe también el método de los exponentes para indicar las potencias de los números.

René Descartes

Otros matemáticos importantes en el desarrollo del concepto de potencia, fueron: • Oresme (siglo XIII) definió las potencias enteras sucesivas de un número. • Nicolás Chuquet (siglo XV) extendió estas potencias a los números racionales. • Viète (siglo XVI) generalizó las potencias a los números negativos. La notación potencial La notación actual de las potencias ya se utilizó en el siglo XVI, tal como lo demuestran escritos de Descartes, aunque es curioso que, aunque a partir del exponente natural 3 las potencias tomasen la forma ad éste siempre escribiera a en vez de a2. 72

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números capítulo

¿ Sabías que ?

Uno de los conceptos más importantes en las matemáticas es el de “infinito”, pero esta idea no es siempre simple de comprender. Para tratar de entenderlo se han buscado números muy grandes que nos den una idea de su inmensidad. Uno de estos fue el concepto de “googol” el que se pronuncia como “gúgol”. Este término fue acuñado en 1938 por Milton Sirotta, un niño de 10 años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner. Este matemático anunció el concepto en su libro “Las matemáticas y la imaginación”. Un googol corresponde a y es aproximadamente igual a 70 factorial. Algunas curiosidades sobre este número son que sus únicos factores primos son el 2 y el 5, además en muchas de las calculadores este número no puede ser representado. Además este número es mayor que el número de átomos en el universo. Sin embargo luego se han definido algunos números aún mayores como son el googolplex (gúgolplex) que corresponde a 10 elevado aun googol y el googoldúplex (gugoldúplex) que corresponde a 10 elvado a un googolplex, es decir,

googol = 10100 googolplex = 10googol = 1010100 100

googoldúplex = 10googolplex = 1010googol = 101010

Se sabe que el motor de búsqueda Google fue llamado así debido a este número. Aunque los fundadores de Google iban a llamarlo Googol, pero terminaron con el ya conocido nombre de Google debido a un error de ortografía de Larry Page. El escritor Isaac Asimov dijo en una ocasión respecto a este número: “Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé”.

En Internet

Si quieres saber más sobre este tema visita http://es.wikipedia. org/wiki/Googol y http://www.fayerwayer.com/2008/03/googoly-un-googolplex/[.1]. POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Númerosracionales

Estrategías de resolución de problemas Aplicaciones de las potencias de base racional y exponente entero. Retomemos nuestro problema inicial y veamos su resolución. En el laboratorio de ciencias están realizando un experimento con diferentes sustancias. Una de ellas se desintegra rápidamente, de manera tal que al cabo de una hora queda sólo la mitad de la cantidad inicial. Si en cierto momento hay 640 gramos de sustancia, ¿cuánto quedará después de 4 horas? ¿Cuánto quedará después de n horas? ¿Cuánta sustancia había hace 4 horas?. Para responder a las preguntas planteadas debemos considerar algunas etapas. ETAPA 1 Es importante leer cuidadosamente el problema para responder a cada una de las preguntas. Notemos que nos preguntan por la cantidad de sustancia que existe en cada momento. Nos dicen que ésta se desintegra a la mitad por cada hora que pasa, por lo que las variables importantes son los gramos de sustancia y la cantidad de horas transcurridas. ETAPA 2 Revisemos qué información nos entrega el problema con respecto a las variables destacadas en la etapa anterior y busquemos una estrategia para responder las preguntas. Una forma de resolver el problema es utilizar una tabla que nos indique la evolución de la sustancia. Considerando que inicialmente se tienen 640 gramos de sustancia, tenemos lo siguiente: Tiempo transcurrido 0 horas

Gramos de sustancia 640 640 • 1/2 = 320 320 • 1/2 = 160 160 • 1/2 = 80 80 • 1/2 = 40

1 hora 2 horas 3 horas 4 horas

ETAPA 3 Ahora intentaremos obtener una fórmula general que nos informe de la cantidad de sustancia que existe después de una determinada cantidad de tiempo. Para deducir la fórmula utilizaremos los datos entregados por la tabla anterior y desde allí buscaremos una generalización. Nota que las cantidades anteriores se pueden escribir de la siguiente forma. Sea Cn la cantidad de sustancia después de n horas, C0 = 640 • 1 = 640 •

C-1 = 320

= 640 •

C-2 = 160

= 320 •

C-3 = 80

= 160 •

C-4 = 40

= 80 •

( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

( )

1 1 2 1 1 = 640 • • = 640 • 2 2 1 1 2 = 640 • = 640 • • 2 2 1 1 3 = 640 • = 640 • • 2 2 = 640 •

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2

2 3 4

Unidad

ETAPA 4 Respondamos las preguntas. En primer lugar, de los datos obtenidos anteriormente se tiene que después de 4 horas tendremos 40 gramos de la sustancia. Por otra parte, hemos visto que de los desarrollos anteriores se desprende que la cantidad de sustancia después de n horas, denotada por Cn, está dada por la siguiente fórmula: Cn = 640

.( 12 )n

Por otra parte, notemos que si inicialmente tenemos 640 gramos, entonces dado que la cantidad de sustancia disminuye a la mitad cada una hora entonces hace una hora había el doble de sustancia que la actual. Luego denotando por C-n la cantidad de sustancia hace n horas tenemos lo siguiente: C0 = 640 • 1 = 640 •

( ) 1 2

C-1 = 1280 = 640 • 2

= 640 •

C-2 = 2560 = 1280 • 2

= 640 •

C-3 = 5120 = 2560 • 2

= 640 •

C-4 = 10240 = 5120 • 2

= 640 •

( ( ( (

1 2 1 2 1 2 1 2

) ) ( ) ) ( ) ) ( ) -1 -1

1 2 -2 1 • 2 -3 1 • 2 •

-1

-1 -1

( ) ( ) ( )

1 2 1 = 640 • 2 1 = 640 • 2

= 640 •

-2 -3 -4

Por tanto hace 4 horas había 10.240 gramos de la sustancia. Además podemos observar que si en un instante de tiempo, que llamaremos momento inicial y corresponde al tiempo t = 0, en donde hay 640 gramos de la sustancia y llamamos Cn a la cantidad de sustancia en el instante de tiempo t = n horas, con n positivo para el tiempo futuro y n negativo para el pasado, entonces Cn = 640

.( 12 )n

PARA EJERCITAR

I ¿Podrías describir la situación si la sustancia que decae es tal que ella disminuye a un cuarto

de la cantidad después de 4 horas?.

Obtén, una fórmula general de su comportamiento. II Considera otra sustancia tal que decae a la mitad cada dos horas. Determina si su compor-

tamiento es igual o no al de la sustancia de la pregunta anterior.

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

Consolidando I

Calcule el valor de las siguientes potencias

( )

a) –

c) (-3,4)-3 =

-23 = (-23)

( (

3 . 6-3 ÷ 42 12-2 . 93

)

)(

d) 3 – 3 . 1 – 1 2 4 4 5

III

( ) ( ) 12 25

-2

4 5

= =

Utilizando las propiedades de las potencias reduzca las expresiones y encuentre el valor de ellas. a)

2 3

)

-1

( ) ( ) ( ) [( ) 2 5

d) 1 7

2 15

-4

– 3 5

= -2

5 6

]

-3

A la empresa de Andrés ha llegado un nuevo gerente, el que quiere elaborar un plan de crecimiento de la empresa y para ellos necesita aumentar el número de trabajadores en los próximos cuatro años. Si actualmente la empresa tiene contratados a 1.280 personas. La forma de contratarlos será gradual de modo de aumentar la dotación de trabajadores en un 20% cada año. ¿Cuántos empleados habrá después de cuatro años? Si la política continúa más de cuatro años ¿Cuántos habrá después de 8 años? ¿Es posible mantener indefinidamente el plan de crecimiento o no? Justifica tu respuesta.

Nicolás tiene una cantidad de dinero que recibió de una herencia y la quiere poner en el banco, el cual le reajusta anualmente el monto en una tasa de interés del orden del 6% anual. ¿Cuánto tendrá después de 2 años si invierte $950.000? ¿Cuánto tendrá después de 5 años?

En otro banco le ofrecen una tasa de 1,5% trimestral. ¿Dónde le conviene invertir su dinero a Nicolás?. Justifica tu respuesta.

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

capítulo

Consolidando V

Carlos tiene $15.000.000 pesos que invierte de la siguiente manera: $10.000.000 a un interés compuesto trimestral del 4% y $5.000. 000 a un interés compuesto semestral del 7%, ambos por un periodo de dos años. a) ¿Cuál será su capital final? b) ¿Le convendría más invertir los $15.000.000 a un interés compuesto del 2.5% cuatrimestral, invertido un periodo de seis años?

Una forma de determinar la edad de un fósil es el uso de la prueba del Carbono 14. Se sabe que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente de 5.500 años. a) Si llamamos a la cantidad de carbono que tiene una persona, podrías decir que porcentaje tendrá aproximadamente dentro de 11.000 años? b) ¿Y en 22.000 años?

VII

Una especie crece de manera que su población se triplica cada dos hora. SI inicialmente hay 1.200 individuos. a) ¿Cuántos habrá al cabo de dos días? b) ¿Cuántos habías hace 12 horas?

VIII

Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. a) Calcula la suma de las áreas de los triángulos exteriores a los cuadrados obtenidos al realizar esta operación. b) ¿Cuál sería la suma de las áreas de los triángulos al realizar esta operación 2 y 3 veces?

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Númerosracionales

Mapa conceptual POTENCIAS si n es par y a no es cero, entonces an > 0

si n es impar, entonces an preserva el signo de a. POTENCIAS DE BASE 10

Base SEGÚN EL EXPONENTE SE TIENE

Propiedades de las potencias

EXPONENTE ENTERO

1 w0-n = --------

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Y EXPONENTE ENTERO

(a/b)n x (a/b)n = (a/b)n+m

10 n

Exponente

NOTACIÓN CIENTÍFICA

POTENCIA ELEVADA A UN EXPONENTE ENTERO POSITIVO

10.600.000 = 1,06x107 o bien 0,0000035 = 3,5x10-6 MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE BASE RACIONAL E IGUAL EXPONENTE

m (a/b)n = (a/b)nm DESCOMPOSICIÓN ADIVITA

(a/b)n x (c/d)n = ((ac)/(bd))n 23,057 = 2x101+3x100 +5x10-2+7x10-3

Unidad 1 / Capítulo 2 / Matemática 1o Medio

Unidad 1: Números

capítulo

Autoevaluación

Supongamos que en otro laboratorio, Andrés y Marta están estudiando una nueva especia bacteriana. Esta especia se reproduce rápidamente y aumenta en un 30% su población cada 2 horas. Si en un momento dado la población es de 200 especies, entonces: 1) Determina cuantas habrán después de un día. 2) ¿Cuántas habían hace 8 horas? 3) Obtén una fórmula general para el número de habitantes en un momento dado cualquiera. 4) Dado que la población crece un 30% cada 2 horas ¿Es razonable decir que ella crece un 15% cada hora? Justifica tu respuesta. PUNTAJE CRITERIO

INDICADOR

Si (1pto)

Criterios de Procedimiento

• Leí el problema • Entendí claramente las preguntas

Criterios de Habilidades

• Organice correctamente la información del problema • Distinguí la información relevante para el problema • Analicé e interpreté correctamente la información para responder a las preguntas • Respondí correctamente la pregunta 1. • Respondí correctamente la pregunta 2. • Respondí correctamente la pregunta 3. • Respondí correctamente la pregunta 4. • Soy capaz de explicar el problema y sus respuestas.

Criterios de Actitud

Puedo mejorar (0.5 pto)

No (0 pto)

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