Texto Escolar I Medio Matematicas by Eduardo Alvarez

Primero medio

Matemática JAIME ORTEGA XXXXXXXXXXXXXXX

GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR

I.S.B.N.: ______________ © _____________. El presente libro no puede ser reproducido ni en todo ni en parte, ni archivado ni transmitido por ningún medio mecánico, ni electrónico, de grabación, CD-Rom, fotocopia, microfilmación u otra forma de reproducción, sin la autorización escrita de su editor.

MATEMÁTICA III MEDIO Un proyecto de Empresa Editora Zig-Zag S.A. Gerencia General

Ramón Olaciregui Autor

Roberto Ortega Dirección Editorial

Mirta Jara Edición

Miguel Ángel Viejo Corrección de estilo

Impreso por ____________

José Luis Brito Director de Arte

Juan Manuel Neira Jefe de Producción

Franco Giordano Equipo de diseño

Pamela Buben Daniel Brown José Luis Grez Claudio Silva Eduardo Álvarez Ilustraciones

Archivo editorial Fotografías

Archivo editorial

Índice A los maestros Organización del texto de matemática Enfoque de nuestro proyecto en el área de matemática Planificación general

6 8 11 12

UNIDAD 1 NÚMEROS

Capítulo 1: Números racionales Capítulo 2: Potencias de base racional y exponente cero

21 36

UNIDAD 2 GEOMETRÍA

Capítulo 1: Vectores en el plano cartesiano Capítulo 2: Transformaciones isométricas y congruencia de figuras geométricas

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UNIDAD 2 ÁLGEBRA

Capítulo 1: Expresiones algebraicas y la ecuación de primer grado Capítulo 2: Función lineal y función afín

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UNIDAD 2 DATOS Y AZAR

Capítulo 1: Interpretar y producir información Capítulo 2: Probabilidades

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Guía didáctica para el profesor racionales

A LOS MAESTROS Estimadas y estimados colegas: Sabiendo que quienes cursan primer año de enseñanza media pueden venir sufriendo desde los ocho o nueve años de edad la denominada desesperanza aprendida, es decir, sentirse incapaces de aprender, hemos construido este Texto, teniendo en cuenta el aprendizaje comprensivo de las materias que trataremos, de manera de no sólo rescatar la mayor cantidad de escolares que sufren dicha actitud, sino también de ayudar a desarrollar las capacidades cognitivas de todos y todas quienes participan del proceso de enseñanza-aprendizaje en este nivel. El Texto de primer año de Enseñanza Media está organizado de acuerdo a los ejes definidos por el Ministerio de Educación: Números: este eje constituye el centro del currículo matemático para la enseñanza básica y media. Incluye los aprendizajes referidos a la cantidad y el número, las operaciones aritméticas, los diferentes sistemas numéricos, sus propiedades y los problemas provenientes de la vida cotidiana, de otras disciplinas y de la matemática misma. Se organiza en torno a los diferentes ámbitos y sistemas numéricos. Avanza en completitud, abstracción y complejidad desde los números naturales hasta los números complejos, pasando por enteros, racionales y reales. Se busca que los alumnos comprendan que cada uno de estos sistemas permite abordar problemas que los precedentes dejaron sin resolver. Simultáneamente, el desarrollo de los números acompaña, y encuentra sus motivaciones, en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes. Así, la operación inversa a la suma motiva el cero y los negativos; el cuociente y la medición, los racionales; la extracción de raíz, motiva los irracionales y los reales y los números complejos. De este modo, se relacionan números, operaciones y campos de aplicación de la matemática, permitiendo avanzar en el sentido de la

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cantidad, en el razonamiento matemático y precisar la forma en que la matemática contribuye a la descripción y comprensión de la realidad. Álgebra: este eje introduce al estudiante en el uso de símbolos para representar y operar con cantidades. Se inicia en quinto grado, mediante la expresión de relaciones generales y abstractas de la aritmética y la medición, que son parte de los aprendizajes de este nivel y anteriores. El orden de los factores no altera el producto, “qué número sumado con 3 tiene como resultado 9”, son situaciones que permiten poner en contacto con el lenguaje algebraico a los estudiantes desde los primeros niveles del currículo escolar. El álgebra provee de un lenguaje a la matemática, por ende, contribuye a, y se nutre del desarrollo de los ejes de números, geometría y datos y azar. Este eje introduce, también, la noción de función y el estudio de algunas de ellas en particular. Geometría: este eje se orienta, inicialmente, al desarrollo de la imaginación espacial, al conocimiento de objetos geométricos básicos y algunas de sus propiedades. En particular propone relacionar formas geométricas en dos y tres dimensiones, la construcción de figuras y de transformaciones de figuras. Se hace comprender la noción de medición en figuras planas. Progresivamente se hace comprender el concepto de demostración y se amplía la base epistemológica de la geometría, mediante las trasformaciones rígidas en el plano, los vectores y la geometría cartesiana. De este modo se dan diferentes enfoques para el tratamiento de problemas en los que interviene la forma, el tamaño y la posición. El eje se relaciona con el de números, a partir de la medición y la representación, en el plano cartesiano, de puntos y figuras; con el de álgebra y datos y azar, la relación se establece mediante el uso de fórmulas y luego la representación gráfica de funciones y de distribución de datos.

1º Medio

Datos y azar: Este eje introduce el tratamiento de datos y modelos para el razonamiento en situaciones de incerteza. El tratamiento de datos estadísticos se inicia en primero básico y el azar a partir de quinto. Incluye los conocimientos y las capacidades para recolectar, organizar, representar y analizar datos. Provee de modelos para realizar inferencias a partir de información muestral en variados contextos, además del estudio e interpretación de situaciones en las que interviene el azar. Desde la Educación Básica se propone desarrollar habilidades de lectura, análisis crítico e interpretación de información presentada en tablas y gráficos. Por otra parte, se intenciona la habilidad para recolectar, organizar, extraer conclusiones y presentar información. Son también temas de estudio algunos conceptos básicos que permiten analizar y describir procesos aleatorios, así como cuantificar la probabilidad de ocurrencia de eventos equiprobables. En Educación Media, el estudio de Datos y Azar se propone desarrollar conceptos y técnicas propias de la estadística y la teoría de probabilidades que permitan efectuar inferencias a partir de información de naturaleza estadística, y distinguir entre los fenómenos aleatorios y los deterministas. Así, de acuerdo a los ajustes anteriores, hemos dividido el libro en cuatro unidades, cada una respondiendo a los diferentes ejes temáticos del currículum de matemática para Enseñanza Media. A continuación presentamos los temas tratados en el texto. En la Unidad 1, Números, estudiamos el conjunto de los números racionales y su caracterización. Hacemos énfasis en situaciones que no es posible resolver con los números enteros. Vemos algunas propiedades de los números racionales como una extensión de las propiedades de los números enteros y su relación con los números decimales. La Unidad continúa con el estudio de las potencias de base racional y expo-

nente entero, como una extensión de los contenidos vistos en los cursos anteriores y sus aplicaciones a la vida cotidiana. La Unidad 2, Geometría, estudia el plano cartesiano y su uso en la representación de puntos y figuras geométricas. Se continúa con la introducción a los vectores, su representación en el plano cartesiano y aplicaciones. Seguidamente examinamos operaciones con vectores en el plano cartesiano como son la suma de vectores y sus relaciones con las transformaciones isométricas. Finalmente, con el uso de estas transformaciones isométricas examinamos la construcción de figuras geométricas y el concepto de congruencia, aplicados principalmente a los triángulos. La Unidad 3, Álgebra, estudia las expresiones algebraicas no fraccionarias mediante el uso de contenidos vistos en los cursos anteriores, como son la eliminación de paréntesis y la reducción de términos semejantes y otros. Seguimos con el estudio de la ecuación de primer grado con coeficientes literales y su relación con la proporcionalidad directa. Finalizamos la Unidad con el estudio de la función lineal, la función afín y sus aplicaciones a problemas de la vida cotidiana. La Unidad 4, Datos y Azar, tal como en los cursos anteriores, seguimos con el estudio de los diferentes tipos de gráfico, tablas y la obtención de información a partir de ellos, centrándonos en los histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumulada. Proseguimos con el estudio de las medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles) y sus aplicaciones a diferentes situaciones. La Unidad finaliza con el estudio de la Ley de los Grandes Números y su aplicación a diferentes situaciones de la vida cotidiana.

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Organización del texto de matemática de primer año de Enseñanza Media La propuesta editorial en el área de Matemática de 1er Año Medio es la siguiente:

Inicio de Unidad

Inicio de Capítulo

La página de inicio de cada Unidad pretende que los alumnos y alumnas conozcan las competencias que adquirirán y cómo se desglosan los contenidos a través de los capítulos que la componen. Se recomienda analizar con el grupo curso las competencias de entrada necesarias para llevar a cabo el desarrollo de los aprendizajes respectivos, distinguiendo entre: saber y saber hacer, ya que generalmente comprenden la materia, pero desconocen aún el saber hacer a nivel de operatoria aritmética, siendo adecuado implementar reforzamientos.

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La página de inicio de cada Capítulo indica de forma relacionada los objetivos de aprendizaje que alcanzarán con los temas que se verán e introduce el conocimiento que se enseñará, mediante una situación práctica, contextualizada en forma escrita y gráfica, de manera que los (las) escolares puedan vivenciar el conocimiento que se impartirá.

1º Medio

Desarrollo de contenido

• Recordemos • Desarrollo de contenidos • Para ejercitar •¿Sabías que? • Estrategias de resolución de problemas • Hagamos un poco de historia • Consolidando • Mapa conceptual • Autoevaluación

Recordemos

Para Ejercitar

Los Contenidos de los Capítulos se articulan mediante la implementación seriada de las siguientes actividades:

Desarrollo de contenidos

Recordemos: inicia cada Capítulo con elementos recordatorios de materias vistas en años anteriores y que son necesarios para aprender la materia que se comenzará a tratar.

¿Sabías que?

Desarrollo de contenidos: contempla la explicación de la materia, haciendo uso de un lenguaje cercano que contextualice las situaciones que se plantean, con dibujos que permitan al (la) escolar cotejar lo que lee, y con planteamientos numéricos de complejidad gradual, que le permitan crear la autoconfianza suficiente para desear profundizar la materia, estudiarla y lograr las competencias del Capítulo, complementado esto con información obtenida desde páginas web y otros recursos. Para ejercitar: son evaluaciones de tipo formativo que se recomienda implementar en clases, de manera que el (la) docente pueda mediar los aprendizajes individuales al ir revisando los resultados que obtengan. Es una actividad que además busca reforzar, objetivos transversales como “desarrollar el trabajo en el trabajo” preparándolos (las) para enfrentar jornadas escolares completas.

Estrategias

Historia

¿Sabías que?: son informaciones, anécdotas o hitos de las matemáticas y otras disciplinas que complementan los contenidos del capítulo. Estrategias de resolución de problemas: es una sección dedicada a la discusión de problemas con sus características, planteamientos y procedimientos de resolución paso a paso, teniendo como fundamento el acompañamiento pedagógico. Haciendo Historia: aporta datos e información respecto del lugar de origen, autores o primeras aplicaciones que permiten encontrar mayor sentido al tema que se está tratando. GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR / Matemática 1o Medio

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Cierre de Unidad Una vez finalizados los aprendizajes, es importante que los (las) escolares sean capaces de sintetizar los contenidos vistos y de evaluar los aprendizajes adquiridos, presentando como Cierre de Capítulo tres actividades:

Mapa conceptual

Mapa conceptual: es un mapa de tipo conceptual que permite guiar contenidos como organizador gráfico, ayudando a ubicar las distintas etapas de conocimiento por las que va atravesando o desarrolló durante el Capítulo. Consolidando: es una sección de actividades graduadas en orden de complejidad, que favorecen la integración de los aprendizajes, contempla el cálculo mental, la comprensión y aplicación de automatismos de cálculo y la resolución de situaciones problemáticas. En estos problemas se incluyen ejercicios tipo SIMCE y TIMSS, los que desafiarán su comprensión y consolidación de aprendizajes de nivel. Autoevaluación: presenta un planteamiento con preguntas orientadas a evaluar la forma de extraer y organizar información, pudiendo revisar los niveles de logro alcanzados. Autoevaluación

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Consolidando

1º Medio

Enfoque de nuestro proyecto en el área de matemática

Aspectos importantes que debemos considerar para el aprendizaje de todos y todas, son el hecho que si bien hacemos clases a un grupo curso, los (las) estudiantes son individualidades con características e intereses distintos, lo que nos obliga a desarrollar estrategias didácticas que hagan comprensivo, entretenido y práctico el aprendizaje, reconociendo además, que el llamado “cambio de registro” dificulta la interpretación que haga el (la) estudiante de lo escrito en metalenguaje, lo que nos lleva a recomendar seguir la estructura de clases antes detallada, y las sugerencias que incorpora esta guía didáctica, de manera de pesquisar a tiempo los contenidos y formas de calcular que no se manejan adecuadamente y explicitar, las veces que sea necesario, el contexto en que participa un mismo signo que hace que se lea de manera diferente. Enseñar a desarrollar el trabajo en el trabajo, ser autónomo y la mediación docente, son aspectos que esperamos puedan ser implementados en aula, de manera que la actividad escolar no se transforme en un aprendizaje por absorción, con estudiantes pasivos, que no cuestionan, que se limitan a copiar materias, que no relacionan lo enseñado con la realidad y tampoco encuentran sentido a lo que hacen, por el contrario, creemos que es factible desarrollar una metodología cognitiva, que reconoce la individualidad y el logro personal y refuerza los resultados alcanzados, esto último, sabiendo que muchos, (as) estudiantes sufren la denominada desesperanza aprendida y no han sido diagnosticados(as), resultando este año fundamental para encantarlos con lo que aprenderán en el sector de matemática. No es postura nuestra incorporar cantidad de contenidos que afecten una planificación equilibrada que permita desarrollar en aula capacidades y actitudes hacia el estudio del sector≠, por el contrario, creemos que la construcción del Texto, es la adecuada para proporcionar los tiempos necesarios con el fin de que cada escolar alcance los contenidos que exige la autoridad ministerial como el desarrollo cognitivo y de madurez del (la) adolescente.

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Guía didáctica para el profesor racionales

Planificación General Unidad

Objetivos generales de la Unidad

Capítulo

1.- Caracterización de los números racionales y su representación gráfica.

- Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución con los números naturales y enteros.

UNIDAD 1 Números

- Caracterizar los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.

2- Adición y sustracción de números racionales. 3.- Multiplicación y división de números racionales. 1.- Números Racionales

6.- Transformación de números decimales periódicos y semiperiódicos a números racionales.

- Aproximar los números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y reconocer algunas propiedades.

7.- Redondeo, Truncamiento y Error: Valor Absoluto y parte entera. 8.- Estrategias de resolución de problemas.

- Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero.

- Aplicar los números racionales y las potencias de base racional y exponente entero a situaciones de la vida cotidiana.

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4.- Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor (MCD). 5.- Propiedades de los números racionales.

- Representar los números racionales en la recta numérica.

- Reconocer las propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

Tema

1.- Caracterización de las potencias de base racional y exponente entero. 2.- Potencias de base racional y exponente entero

2.- Operaciones con potencias de base racional y exponente entero. 3.- Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero. 4.- Estrategias de resolución de problemas.

1º Medio

Aprendizaje esperado - Caracterizar los números racionales como aquellos que son posibles de escribir como cuociente de números enteros con denominador diferente de cero. - Representar los números racionales en la recta numérica. - Establecer propiedades de los números racionales como: entre dos números racionales diferentes, siempre existe un racional o que la suma, resta, producto o división de números racionales es un número racional. - Sistematizar procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas operaciones con números racionales. - Transformar números enteros, decimales periódicos y semiperiódicos en fracciones. - Aproximar números racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocer las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales. - Resolver problemas de contextos diversos que involucran números racionales. - Caracterizar e interpretar las potencias de base racional y exponente entero. - Sistematizar procedimientos de cálculo escrito para las operaciones con potencias de base racional y exponente entero, como el producto y división. - Establecer algunas propiedades de las potencias de base racional y exponente entero. - Aplicar las potencias de base racional y exponente entero a la resolución de problemas.

Tiempo horas

Recursos didácticos

- Exploración de conocimientos previos. - Exploración personal. - Conexión con Internet para la ejercitación de los contenidos. - Actividades No Experimentales. - Lectura Científica. - Ejercicios Resueltos. - Síntesis. - Autoevaluación.

Tipos de Evaluación

1. Inicial Observación directa del grado de comprensión de la información y expresión oral requeridos por el Capítulo. 2. Proceso Revisión de las soluciones planteadas a situaciones problema. 3. Final Por medio de los problemas “Para Ejercitar” y desafíos planteados. 4. Autoevaluación

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Planificación General Unidad

Objetivos generales de la Unidad

Capítulo

Tema

1.- Plano Cartesiano. 2.- Vectores en el plano cartesiano. 1.- Vectores en el plano cartesiano

3.- Operaciones con vectores.

UNIDAD 2 Geometría

4.- Estrategias de resolución de problemas. - Caracterizar el plano Cartesiano e identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en él. - Conocer y utilizar conceptos propiedades asociados al estudio de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar propiedades. 1.- Construcción de figuras geométricas (transformaciones isométricas). 2.- Transformaciones isométricas y congruencia de figuras geométricas

2.- Congruencia. 3.- Polígonos y sus propiedades. 4.- Estrategias de resolución de problemas.

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1º Medio

Aprendizaje esperado

- Identificar el plano cartesiano y sus elementos.

Tiempo horas

Recursos didácticos - Exploración de conocimientos previos. - Exploración personal.

- Representar puntos y figuras geométricas en el plano cartesiano. - Representar gráficamente y comprender la notación de los vectores en el plano cartesiano. - Aplicar vectores para describir traslaciones de figuras geométricas en el plano cartesiano.

- Conexión con Internet para la ejercitación de los contenidos. - Actividades No Experimentales. - Lectura Científica. - Ejercicios Resueltos.

- Sumar vectores en el plano cartesiano y aplicar la suma de vectores para describir composiciones de traslaciones en el plano cartesiano.

- Conocer y operar las transformaciones isométricas en el plano cartesiano. - Construir figuras geométricas en el plano cartesiano, utilizando las transformaciones de traslación, reflexión y rotación en ángulos de 90º y 180º. - Comprender el concepto de congruencia de figuras geométricas. - Relacionar el concepto de congruencia con las transformaciones isométricas. - Utilizar los criterios de congruencia de triángulos para realizar construcciones geométricas, resolver problemas y demostrar propiedades.

- Síntesis. - Autoevaluación.

Tipos de Evaluación

- Autoevaluación.

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Planificación General Unidad

Objetivos generales de la Unidad

Capítulo

Tema

1.- Caracterización de monomios y polinomios. 2.- Caracterización de expresiones algebraicas no fraccionarias. 1.- Expresiones algebraicas y la ecuación de primer grado.

3.- Operatoria de operaciones algebraicas.

UNIDAD 3 Álgebra

4.- Productos notables. 5.- Estrategias de resolución de problemas.

- Usar e interpretar convenciones algebraicas básicas que permitan generalizar conceptos, relaciones u operaciones, así como también representa situaciones que involucren cantidades variables. - Modelar situaciones o fenómenos mediante funciones lineales y afines.

1.- ¿Qué es una función lineal? 2.- Función lineal y función afín.

2.- ¿Qué es una función afín? 3.- Estrategias de resolución de problemas.

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1º Medio

Aprendizaje esperado - Caracterizar los diferentes tipos de monomios y operar con ellos. - Conocer y operar con los productos notables. - Establecer relaciones entre expresiones algebraicas no fraccionarias, mediante eliminación de paréntesis, reducción de términos semejantes, productos, productos notables y factorización. - Plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes literales. - Aplicar las ecuaciones de primer grado en la interpretación y transformación de fórmulas. - Resolver problemas de la vida cotidiana que involucren ecuaciones de primer grado y productos notables. - Comprender el concepto de función lineal . - Analizar las distintas representaciones de la función lineal (tablas, gráficas, algebraicamente). - Aplicar la función lineal y sus representaciones a la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa. - Comprender el concepto de función afín. - Representar gráficamente la función afín e interpretarla. - Analizar situaciones para las que la función afín es útil en la modelación de situaciones diversas y comprender las variaciones gráficas que se producen por la modificación de sus parámetros.

Tiempo horas

Recursos didácticos - Exploración de conocimientos previos. - Exploración personal. - Conexión con Internet para la ejercitación de los contenidos. - Actividades No Experimentales. - Lectura Científica. - Ejercicios Resueltos. - Síntesis. - Autoevaluación.

Tipos de Evaluación

1. Inicial Observación directa del grado de comprensión de la información y expresión oral requerido por el capítulo. 2. Proceso Revisión de las soluciones planteadas a situaciones problema. 3. Final Por medio de los problemas “Para Ejercitar” y desafíos planteados. 4. Autoevaluación

- Autoevaluación.

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Planificación General Unidad

Objetivos generales de la Unidad

Capítulo

1.- Obtención de la información.

UNIDAD 4 Datos y Azar

- Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante gráficos que se obtienen desde tabla de frecuencias, cuyos datos están agrupados en intervalos.

- Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.

2.- Organización y representación de la información. 1.- Interpretar y producir Información

3.- Medidas de tendencia central.

4.- Inferencia estadística.

5.- Estrategias de resolución de problemas.

- Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea en forma teórica o experimentalmente, dependiendo de las características del experimento aleatorio.

- Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables, diferenciar entre verificación y demostración de propiedades, analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos.

Tema

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1.- Ley de los grandes números. 2.- Probabilidades 2.- Resolución de problemas y aplicaciones.

1º Medio

Aprendizaje esperado - Obtener información, partir de datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumuladas. - Organizar y representar datos, extraídos desde diversas fuentes, usando histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumuladas, construidos manualmente y con herramientas tecnológicas. - Obtener e interpretar información por medio de la lectura de medidas de tendencia central y posición, a partir de conjuntos de datos obtenidos desde diversas fuentes. - Caracterizar un conjunto de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentil) y cuartil, en diversas contextos y situaciones. - Resolver problemas de la vida cotidiana que involucren el uso de gráficos y tablas, así como herramientas de tendencia central. - Comprender la Ley de los Grandes Números a partir de la repetición de experimentos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignación de probabilidades. - Aplicar la Ley de los Grandes Números para obtener la probabilidad de un evento aleatorio. - Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace o las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

Tiempo horas

Recursos didácticos

Tipos de Evaluación

1. Inicial Observación directa del grado de comprensión de la información y expresión oral requeridos por el capítulo. 2. Proceso Revisión de las soluciones planteadas a situaciones problema. 3. Final Por medio de los problemas “Para Ejercitar” y desafíos planteados. 4. Autoevaluación

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Guía didáctica para el profesor racionales

Unidad 1 Números Introducción Podemos observar que en el ajuste curricular actual para Primer Año Medio se considera que en los cursos anteriores las alumnas y alumnos han aprendido una serie de contenidos útiles para esta Unidad, como, por ejemplo los números enteros, trabajos con fracciones y decimales, tanto positivos como negativos. Debido a esto, entendemos esta Unidad como la profundización de los temas a través de la formalización del conjunto de los números racionales y sus propiedades. Buscamos, también, por medio de la resolución de problemas, que los alumnos y alumnas desarrollen el pensamiento matemático por sobre la mecanización de procesos. Es importante que se fomente la capacidad para analizar e interpretar los resultados de los problemas, así como demostrar algunas propiedades asociadas a los números racionales y las potencias de base racional y exponente entero, entendido esto como una generalización de las propiedades vistas para los números enteros y las potencias de base entera y exponente entero. Hemos considerado a lo largo de la Unidad la inclusión de contenidos complementarios que ayudan a conocer en mejor forma los contenidos, como por ejemplo, contenidos históricos sobre hechos o situaciones asociadas a los números racionales y las potencias, como el nacimiento de la calculadora. Hemos considerado, además, la inclusión de páginas web, que comprenden la ejercitación de los contenidos tratados y el uso de herramientas tecnológicas como es Excel. La Unidad se ha dividido en dos capítulos, el primero, llamado “Números Racionales” se centra en la formalización del conjunto de los números racionales y sus propiedades, es importante destacar algunas propiedades como son que la suma y el producto son operaciones binarias internas en el conjunto de los números racionales, más aún es importante notar que los números racionales con la suma y el producto usual tienen la estructura de cuerpo, y es el cuerpo más pequeño que contiene a los números naturales. Continuamos con una caracterización de los números racionales como aquellos números decimales que no son infinitos puros y la transformación de número decimal a fracción y acabamos el capítulo con los conceptos de redondeo, truncamiento y error, conceptos de gran importancia, ya que tal como se muestra, las calculadoras y computadores sólo trabajan con valores aproximados, notemos que asociado a esto está el hecho de la densidad de los números reales, lo cual se discute por medio de resultados del tipo “entre dos números racionales siempre existe otro racional”. Es importante destacar que la transformación de un número decimal a fracción es de vital importancia para entender el conjunto de números irracionales, ya que esto permitirá a los alumnos y alumnas el darse cuenta de que es posible realizar esta transformación sólo en números decimales finitos e infinitos periódicos, situación que en los números irracionales no ocurre. En el segundo capítulo, llamado “Potencias de base racional y exponente entero”, nos centramos en el estudio de las potencias de base racional y exponente entero. Las propiedades aquí mostradas se obtienen como una extensión natural de las estudiadas en los cursos anteriores. Concluimos ambos capítulos con situaciones problemas y su resolución, los cuales inducen al razonamiento matemático.

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Unidad 1 Sugerencias metodológicas Inicio de la Unidad y del Capítulo En estas páginas se dan los contenidos a tratar tanto en la Unidad de Números como en el Capítulo 1 Números Racionales. Se sugiere crear una guía de referencias que oriente a los alumnos y las alumnas en el desarrollo de los contenidos, comprendiendo la importancia que tiene el saber cuándo comienza y cuándo termina un tema o Unidad. También se sugiere crear una guía de competencias como estructura para ser reconocida por los escolares como ayuda para autoevaluarse. Se debe poner énfasis en la importancia del planteamiento e interpretación para proponer y resolver problemas, por sobre la mecanización , ya que lo primero es lo que ayuda al razonamiento matemático.

Situación Problemática Aquí el objetivo es presentar una situación práctica como problema indagatorio que introduzca los contenidos que se estudiarán. Es importante notar que los números enteros no son suficientes para resolver cualquier problema. Esto da pretesto al estudio de otros conjuntos numéricos como son los números racionales. Se sugiere buscar otras situaciones similares y permitir que los alumnos y alumnas planteen problemas de la vida cotidiana en que los números enteros no son suficientes para resolverlos. Para esto guíe la conversación preguntando sobre diferentes temas como, por ejemplo, las compras: “Jorge compra 1/2 kilo de manzanas a $450 el kilo y 3/4 kilo de peras a $550 el kilo ¿Cuánto dinero gastó en total?”, o la repartición de alguna especia, etc. GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR / Matemática 1o Medio

Guía didáctica para el profesor racionales

Recordemos En esta sección se presentan algunos contenidos tratados en cursos anteriores que permiten recordar la idea de la representación en la recta numérica de los números enteros, así como las operaciones en los números enteros. Es importante desarrollar en los alumnos y alumnas la capacidad de autocrítica respecto de los conocimientos necesarios para aprender y la disposición personal a ello. En cuanto a las operaciones en los números enteros, es importante que los alumnos comprendan que −(−1) = (−1) ⋅ (−1) = 1 y lo sepan interpretar correctamente como el inverso aditivo de –1 es 1. Ejercitar la operatoria en la recta numérica, de manera que los alumnos sepan interpretar en dicha recta operaciones como -2 + 3 = 1 -2 + (-3) = -5 así como operaciones de multiplicación y división de números enteros. Se debe hacer énfasis en la interpretación y el planteamiento por sobre la mecanización, para ello resolver problemas con enunciado como los planteados en “Para ejercitar”.

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1º Medio

¿Qué son los números racionales? El tema central de esta Unidad son los “números racionales”, tanto en su operatoria como en las potencias, por ello, aun cuando los alumnos y alumnas han estudiado las fracciones y los números decimales, debemos formalizar sus propiedades en el marco de un conjunto numérico, en el que las propiedades se obtienen como una continuación natural de las propiedades vistas primeramente en los números naturales y luego en los números enteros. Se debe realzar también la necesidad de estos números por medio de un problema indagatorio como el planteado y discutir con los alumnos y alumnas sobre qué otras situaciones similares ellos ven en la vida cotidiana. Se sugiere incentivar la discusión sobre los conjuntos numéricos y los contextos en que aparecen.

La recta numérica en los números racionales Notemos que la recta numérica es una importante herramienta en la comprensión de los conjuntos numéricos. En este caso, los alumnos y alumnas deben ser capaces de interpretar información a partir de la recta numérica y realizar comparaciones. En esta sección se propone una forma simple para graficar los números racionales en la recta numérica, para ello se propone el siguiente ejercicio: Comparemos en la recta numérica los números 1/3, 1/2, -1/3 y -1/2. Para ello represéntelos tal como se plantea en la página 19, dibujando un trazo el que dividiremos en dos y tres partes respectivamente, y así representaremos las fracciones anteriores. Inducir a los alumnos a que busquen regularidades para las relaciones de orden, -1/2 < -1/3 < 0 < 1/3 < 1/2. Se dan algunas páginas Web para que los alumnos ejerciten los temas tratados y complementen los contenidos. GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR / Matemática 1o Medio

Guía didáctica para el profesor racionales

Adición y sustracción de fracciones En estas páginas se consideran las operaciones de suma y resta de números racionales. Para mejorar la comprensión se comienza con fracciones de igual denominador y luego de diferente denominador. Se sugiere reforzar la idea gráfica de la representación de las operaciones, considerando un cuadrado como la unidad y la fracción representada por una parte de las divisiones del cuadrado, tal como se plantea en el texto del estudiante. Por otra parte, se recomienda inducir las propiedades de la suma de números racionales como son las siguientes: 0 0 Existencia de un neutro aditivo: 0 = = , 1 n con n ≠ 0 un entero cualquiera. Recordar, además, que el neutro aditivo es único. De acuerdo al nivel de los alumnos y alumnas, se recomienda hacer pequeñas demostraciones, por ejemplo, la unicidad del neutro aditivo. Para ello suponemos que existen dos neutros aditivos 0 y 0’, luego 0 = 0 + 0’ = 0‘, la primera igualdad es del hecho de que 0’ es neutro aditivo y la segunda igualdad se debe a que 0 es neutro aditivo, luego 0=0’, lo que prueba la unicidad del neutro. Conmutatividad de la suma: Dados dos números racionales cualesquiera se tiene: a c c a + = + b d d b Asociatividad de la suma: Dados tres números racionales cualesquiera se tiene: ⎛ c ⎛a a e ⎞ c⎞ e + ⎜ + ⎟ = ⎜ + ⎟ + ⎝ d ⎝b b f ⎠ d⎠ f Se sugiere realizar pequeñas demostraciones asociadas a estas propiedades. También aconsejamos plantear problemas asociados a las operaciones de suma y resta de números racionales y fomentar la discusión de situaciones contextualizadas en que aparecen estas operaciones. Resaltar además las limitaciones de la sustracción, como la no conmutatividad. 24

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Máximo común múltiplo y Mínimo común divisor Los conceptos de Máximo común múltiplo y Mínimo común divisor son de gran importancia. Mostrar su utilidad en la suma y resta de fracciones. Para una mejor comprensión se sugiere la idea de descomposición prima de un número entero. Para ello explicar la importancia de los números primos y su utilidad, ver por ejemplo http://es.wikipedia.org/ wiki/N%C3%BAmero_primo y sus aplicaciones a la criptografía, entre otras cosas. Se sugiere explicar gráficamente los conceptos de MCM y MCD, por ejemplo, considerar las fracciones 1/2 y 1/3 y dividir un cuadrado en dos y tres partes respectivamente. Podemos preguntar cómo podemos representar ambas fracciones con igual denominador, de manera que tengan el menor número de divisiones.

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Guía didáctica para el profesor racionales

Multiplicación y división de fracciones Tal como hicimos para las operaciones de suma y resta, se analizan las operaciones de multiplicación y división de números racionales. De manera de graduar la dificultad de los contenidos, se analiza primeramente el caso de la multiplicación y división de fracciones por un número entero. Es importante notar el hecho de que cualquier número entero se puede escribir como una fracción de denominador uno. Se recomienda representar gráficamente estas operaciones de manera de inducir las propiedades de estas operaciones. Nuevamente, y de acuerdo al nivel del curso, se pueden estudiar algunas propiedades de la multiplicación de fracciones. Por otra parte, se sugiere inducir las propiedades de la suma de números racionales, tales como: Existencia de un neutro multiplicativo: 1 = n / n, con n ≠ 0 un entero cualquiera. Notar que el neutro aditivo es único. Nuevamente se recomienda hacer pequeñas demostraciones, por ejemplo, la unicidad del neutro aditivo. En efecto, supongamos que existen dos neutros multiplicativos 1 y 1’, así tenemos que 1 = 1 • 1’ = 1’, donde la primera igualdad es consecuencia de que 1’ es neutro multiplicativo y la segunda igualdad se obtiene del hecho que 1 es neutro multiplicativo, así concluimos que 1=1’, lo que prueba la unicidad del neutro. a c c a Conmutatividad del producto: Dados dos números racionales cualesquiera, se tiene: ⋅ = ⋅ b d d b Asociatividad del producto: Dados tres números racionales cualesquiera, se tiene: a ⎛c e⎞ ⎛a c ⎞ e ⋅ ⎜ ⋅ ⎟=⎜ ⋅ ⎟ ⋅ b ⎝ d f ⎠ ⎝b d ⎠ f Distributividad del producto con respecto a la suma: Dados tres números racionales cualesquiera, se tiene: ⎛a c⎞ e a e c e a ⎛c e⎞ a c a e ⋅ ⎜ + ⎟= ⋅ + ⋅ y ⎜ + ⎟ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⎝b d ⎠ f b ⎝d f ⎠ b d b f b f d f En cuanto a la división, se debe reforzar la idea de que dado un número racional no nulo, entonces el dividir 1 por ese número se obtiene el inverso multiplicativo, además; el dividir por un número racional se puede interpretar como multiplicar por el inverso multiplicativo de dicho número. De manera de inducir el razonamiento matemático, al igual que los conceptos de hipótesis y tesis, se recomienda examinar pequeñas demostraciones asociadas a estas propiedades. Se recomienda también plantear problemas en que señalar estas operaciones y fomentar la discusión de situaciones contextualizadas en que ellas se presenten. Señalar además las limitaciones de la división, como la no conmutatividad. 26

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Algunas propiedades de los números racionales Se debe hacer hincapié en el hecho de que los números racionales es el primer conjunto numérico en el cual las operaciones de suma, resta, multiplicación y división son cerradas. Más aún, él verifica la estructura de cuerpo. Una propiedad importante en los números racionales es su densidad en el conjunto de los números reales. En general, este es un concepto complejo para los estudiantes. Señalar que en realidad, entre dos números racionales diferentes cualesquiera, existen infinitos números racionales, por muy próximo que estén ambos números. Por otra parte, es interesante señalar el hecho de que aunque parezca que los números racionales son muchos más que los números enteros, en cierto sentido se puede decir que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos, por lo que esto ayudaría a comprender el concepto de numerabilidad. Así podemos construir una aplicación biyectiva entre los números racionales y los números enteros de la siguiente forma: 0

1/2

1/3

1/4

2/2

2/3

2/4

3/2

3/3

3/4

4/2

4/3

4/4

…..

……

T(0)=0 T(1)=1 T(2)=1/2 T(4)=1/3 T(3)=2 T(5)=3 Y barremos la tabla en forma diagonal, para los negativos se hace en forma análoga. Esto se puede discutir con los alumnos y alumnas de acuerdo al nivel del curso.

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Guía didáctica para el profesor racionales

Transformación de decimales periódicos y semiperiódicos a números racionales Aun cuando los números racionales corresponden a un contenido de segundo año de Enseñanza Media, es importante mostrar que el conjunto de los números racionales no es el mayor conjunto numérico posible y que existen problemas que no es posible resolver con los números racionales, como la diagonal de un cuadrado, la longitud de una arista de un cubo cuyo volumen es 3 m2., el perímetro de una circunferencia de radio uno, etc. Además, se debe hacer hincapié en la clasificación de los números decimales, señalando que los conjuntos antes estudiados como son los números naturales y los números enteros constituyen un caso particular de los números racionales. Por otra parte, resaltar expresamente la diferencia entre los números decimales infinitos puros y los números racionales, esto permitirá en el futuro demostrar que los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos. Se sugiere realizar los desarrollos para la obtención de la fórmula para transformar un número decimal entero, finito, periódico o semiperiódico en un número fraccionario. Se debe hacer énfasis en que el desarrollo de las fórmulas permite una mejor comprensión de los temas por sobre la mecanización de las actividades. Se incorporan algunas páginas Web para complementar contenidos y ejercitar los temas tratados.

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Redondeo, truncamiento y error en los números racionales En esta sección se estudian una serie de conceptos, los que pueden haber sido estudiados con anterioridad, pero que permiten una mejor comprensión del concepto de aproximación. Es importante que los alumnas y alumnos comprendan que en la realidad se trabaja casi siempre con aproximaciones, para ello se sugiere plantear situaciones donde esto suceda, como por ejemplo en el cálculo de una distancia o al pesar algún objeto, ya que los instrumentos tienen sólo ciertos rangos de tolerancia. En el caso de la parte entera, es importante que los alumnos comprendan su definición y a partir de ella deduzcan propiedades como, por ejemplo: [a]+[b]≤[a+b] y plantear interrogantes como en qué caso se da la igualdad. Esto ayuda al pensamiento lógico y al razonamiento matemático. Otro concepto de interés es el de valor absoluto de un número; se debe destacar que es de gran utilidad en el cálculo de los errores. Se sugiere inducir en la búsqueda y demostración de sus propiedades, de acuerdo al nivel de los alumnos y las alumnas. En cuanto al redondeo y truncamiento se sugiere orientar a los alumnos y las alumnas en el uso de estrategias que ayuden a comprender ambos conceptos, no sólo en estrategias de cálculo, sino también en el caso de gráficos y comparaciones. Es importante discutir en clases sus aplicaciones a contextos reales y de qué manera se utilizan ambos procedimientos en la realidad. Finalmente, se estudia el concepto de error, en particular se estudian los conceptos de error absoluto y error relativo. Es importante contextualizar ambas definiciones, mostrando situaciones en que ambos errores aparecen, por ejemplo, en situaciones experimentales o bien considerar el siguiente ejemplo: Consideremos dos envíos de frutas, que se realizaron al extranjero, el primero era de 100.000 kilos y el segundo de 1.000 kilos. Al llegar los envíos se observó que en ambos faltaban 100 kilos de frutas ¿Analizar el error absoluto y relativo en ambos casos? ¿En qué caso el error es más significativo?

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Usando la calculadora En muchos casos, los alumnos y las alumnas realizan operaciones matemáticas con ayuda de una calculadora y en algunos otros, con un computador, sin cuestionarse si el resultado es correcto o no, por eso es de importancia generar las condiciones para que ellos y ellas se planteen si “creer el resultado o no” o “cuál es su nivel de certeza”.

Historia de la calculadora En los ¿Sabías que? Nos planteamos el incorporar contenidos anexos que son de interés para complementar los contenidos. En este caso consideramos la historia de la calculadora. Se incentivar fomentar el trabajo de investigación en los alumnos, buscando material anexo sobre temas relacionados como, por ejemplo, las biografías de Pascal, Leibniz, etc. También se puede incentivar el estudio de la historia de los computadores.

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Estrategias de resolución de problemas En esta sección se plantea la resolución de la situación problemática inicial, se hace énfasis en las etapas de resolución del problema. Se sugiere generar una discusión con los alumnos y las alumnas sobre las formas de afrontar el problema y buscar diferentes estrategias para su resolución. Buscar, además, con el curso, situaciones similares que se pueden plantear como problemas y plantear sus soluciones.

Las funciones truncar y redondear en Excel En esta sección se busca la utilización de unsoftware para el cálculo de aproximaciones. Notar que existen una serie de otros software similares a Excel, los que son de dominio público y descarga gratuita en internet y con prestaciones similares como NeoOffice y otros.

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Hagamos un poco de historia En esta sección se busca complementar los temas tratados, presentando aspectos históricos asociados a las fracciones y los números racionales, y su importancia en el desarrollo de la matemática. Se recomienda incentivar en los alumnos y alumnas la curiosidad y aptitudes para investigar en forma individual o grupal, acerca de diferentes temas. En este caso se sugiere, además, que los alumnos y alumnas estudien los diferentes sistemas de numéricos usados en la antigüedad y su aporte a sus culturas. Un tema de interés es investigar sobre la aparición del cero, número que apareció sólo en algunas culturas antiguas.

Cierre del Capítulo Como cierre del Capítulo se plantean tres instancias: la primera es una colección de problemas que incluye los contenidos del Capítulo de manera de consolidar los temas aprendidos. Es importante que el docente haga la distinción entre aprendizaje de conocimiento y de aplicación, por ello se recomienda que el alumno o la alumna explique con palabras (o en forma escrita) el porqué de los valores numéricos de los cálculos que realiza. Se sugiere, además, que para los problemas de planteamiento, los alumnos y las alumnas muestren el modelo matemático de la situación, esto ayudará a pesquisar errores de forma que puedan llevar a no poder resolver el problema. Por otra parte, se incluye un mapa conceptual del capítulo. Los mapas conceptuales fueron creados por Joseph Novak en los años 60 y tienen su origen en las teorías sobre la psicología del aprendizaje de David Ausubel. Su función es ayudar a la comprensión de los conocimientos que los alumnos y alumnas tienen que aprender y a relacionarlos entre sí o con otros conocimientos que ellos ya poseen. Finalmente, incluimos una autoevalución con rúbrica. Esto ayudará, por una parte, a facilitar que el alumno o la alumna pueda hacer una autocrítica respecto de sus niveles de logro alcanzados y plantear estrategias de mejoramiento, y por otra parte, permitirá al docente conversar con cada estudiante para evaluar y mejorar sus rendimientos. 32

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Material auxiliar para ejercitar Operaciones con los números racionales I Dados los siguientes números, represéntalos en la recta numérica y ordénalos de menor a mayor.

3 2 7 5 ,- ,- y . 5 6 3 8

b) −

10 15 19 10 , − , y − . 7 4 13 21

II Realice las siguientes operaciones y represéntalas gráficamente.

3 2 + = ... 5 7

c) − 7 − 1 = ... 15 5

2 12 + = ... 3 9 9 ⎛ 6 ⎞ - ⎜ - ⎟ = ... d) 22 ⎝ 5 ⎠

b) −

III Realiza las siguientes operaciones

2 6 ⋅ = ... 7 5

7 12 ÷ = ... 6 7 6 ⎛ 2 4 ⎞ ⋅ ⎜ - ⎟ = ... e) 11 ⎝ 13 7 ⎠ c)

⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ b) ⎜ - ⎟ ⋅ ⎜ - ⎟ = ... ⎝ 4 ⎠ ⎝ 9 ⎠ 9 24 ÷ = ... 5 5 6 ⎛ 3 7 ⎞ ÷ ⎜ + ⎟ = ... f) 13 ⎝ 5 4 ⎠ d)

IV Considera los siguientes números decimales y clasifícalos según su tipo. Si es posible, escríbelos

como una fracción.

a) –0,2364

b) 1,2980001

c) –4,087392

d) 125,8409370

V Considera las siguientes fracciones y escríbelas en términos de números decimales. Determina

qué tipo de número decimal es. a)

12 5

7 12 e) - 41 3 c) -

18 7 12 d) 5

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VI Complete la siguiente tabla:

Número Decimal

Orden de Truncamiento

-20,138002

-12/13

128,07947

10,4537398

Redondeo

Truncamiento

10,454

-1,874509800475

-1874509

7/9

0,777777

VII Jorge, Andrea y Mario compraron una pizza y, para repartirla decidieron que Jorge comería 1/3,

Andrea 1/5 y Rodrigo 1/4.

¿les alcanzó la pizza para los tres? ¿Sobró algo de la pizza? VIII Si miras un reloj observará que al seguir el minutero, un cuarto de hora corresponde a 15 minutos

y el ángulo correspondiente es de 90º.

¿Podrías decir a cuántos grados y a qué porcentaje de la circunferencia corresponden 25 minutos? ¿y 95 minutos?

IX Claudia ha decidido pintar la fachada de su casa, para ello obtuvo dos presupuestos, el primero le

cobra $40.000 diarios y tardará en pintar su casa 5 días, el segundo cobra $35.000 diarios y tardará 7 días en pintarla. ¿Cuál de los pintores le conviene más? ¿Cuánto, pagaría en total si contrata a ambos pintores y cuánto tardarían en hacer el trabajo?

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Evaluación 1 I Resuelve las siguiente operaciones

21 9 - = ... 5 4

7 ⎛ 2 8 ⎞ ⋅ ⎜ + ⎟ = ... 5 ⎝ 7 9 ⎠

⎛ 2 3 ⎞ 2 c) ⎜ ⎟ ÷ = ... ⎝ 7 10 ⎠ 5

II Clasifica los siguientes números decimales y escríbelos como fracción.

a) -2,35648

b) 76,089120

III Tres amigos formaron una sociedad anónima a la que aportaron cada uno $500.000, $800.000

y $1.000.000 de pesos. Después de tres años decidieron acabar con la sociedad y repartirse los bienes y ganancias que en forma proporcional a lo que cada uno había obtenido. Si el total a repartirse es de $2.400.000. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno de ellos?

Si el primero de ellos recibiera $350.000, cuánto recibirían cada uno de los otros socios y cuál sería el monto total de las ganancias?

Evaluación 2 I Resuelve las siguiente operaciones

a) - 15 + 7 = ... 7 9 ⎛ 6 5⎞ ⎜- - ⎟ c) ⎝ 9 3 ⎠ ⋅ 8 = ... 7 15 6

7 5

3 2 5 11

= ...

II Clasifica los siguientes números decimales y escríbelos como fracción.

a) -2,08748792

b) -17,90128

III En una empresa lechera se sabe que aproximadamente 3/20 de la leche corresponde a crema

de leche y ésta al usarse para hacer mantequilla se observa que 3/10 de la crema se convierte en mantequilla. Por otra parte, si cada litro de leche pesa aproximadamente un kilo. ¿Cuántos litros de leche son necesarios para producir un kilo de matequilla? Si tenemos 2.500 lts. de leche ¿Cuántos kilos de mantequilla podemos producir? GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR / Matemática 1o Medio