Diapositivas curso 2008/09 (2)

Re-descubriendo la Geometría

xLogo Álvaro Valdés Menéndez

Índice • Funciones reales

• Números complejos

– Concepto

– Traslaciones

– Representación gráfica

– Rotaciones

– Simetría

– Homotecias

– Inecuaciones – Monotonía: Derivadas – Áreas: Integrales

• Fractales – Recursividad

• Dibujos en 3-D

Funciones Concepto Representación gráfica Simetría Inecuaciones Monotonía: Derivadas Áreas: Integrales

Requisitos previos Antes de empezar debemos: • Saber iniciar XLOGO correctamente • Conocer las primitivas básicas y los bucles repite y repitepara.

• Poder crear formas sencillas.

• Usar correctamente variables y procedimientos • Dominar el sistema de coordenadas cartesianas (x , y)

Antes de empezar: Operaciones en xLogo • Ya sabemos cómo asignarle un valor a una variable: haz “variable 450 • Operaciones que pueden efectuarse, las habituales: – Sumas: haz “x :x + :y + :z + 50 – Restas: haz “x 50 - :x – Productos: haz “área :base * :altura – Divisiones: haz “reparto :total / :personas – Raíz cuadrada: haz “lado raizcuadrada :área – Potencias: haz “x potencia :x 2

Más operaciones – Módulo: haz “x resto 13 3 – Truncamiento y redondeo: haz “euros truncar :pesetas/166.386 haz “euros redondea :pesetas/166.386 – Cambiar signo: haz “opuesto cambiasigno :valor haz “opuesto (-:valor) – Trigonométricas y logarítmicas: seno coseno tangente arcoseno arcocoseno arcotangente log ln exp

Coordenadas • La posición de la tortuga en pantalla se describe con una lista que consta de dos números: [X Y] • Al centro de la pantalla corresponde la lista [0 0] • El resto de coordenadas se determinan a partir del centro en la forma habitual: – El primer valor de la lista es la separación horizontal respecto al centro – El segundo valor de la lista es la separación vertical respecto al centro

Ejes y cuadrícula Podemos ayudarnos de una cuadrícula y unos ejes para situar nuestras funciones • cuadrícula a b → muestra una red de pauta (a x b) • ejes a

→ muestra los ejes cartesianos con paso a

• ejex a

→ muestra el eje de abscisas con paso a

• ejey a

→ muestra el eje de ordenadas con paso a

Desplazamientos • Para desplazarnos a un punto dadas sus coordenadas disponemos de las primitivas: – centro

→ tortuga al origen, punto [0 0]

– ponposicion [a b] → tortuga al punto [a b] – ponxy a b → tortuga al punto [a b] – ponx a → lleva al punto de abscisa a sin variar la ordenada – pony b → sube o baja al punto de ordenada b Para conocer nuestra posición, usaremos: posicion

Bucles (1) • El más sencillo: repite n [ acciones a repetir ]

• Útil sabiendo cuántas repeticiones han de hacerse • El número de repeticiones puede ser una variable • Define una variable interna: contador que determina la iteración en curso

Bucles (2) • El más útil para nuestro objetivo: repitepara [lista1] [ acciones a repetir ] • lista1 consta de: – Un contador – Los límites inferior y superior – El paso (cualquier real) - opcional • Ejemplos: repitepara [x 1 4] repitepara [y 31 4 -1.5] Útil si sabemos cuántas repeticiones han de hacerse, tenemos contadores anidados y queremos variar el paso

Representando funciones Con las primitivas explicadas antes es fácil representar funciones: para función repite n [ haz “x contador ponxy :x (expresión algebraica)] fin

Pero ... 多No hay programas mejores para representar funciones y que dan menos trabajo?

¿Qué me ofrece xLogo?

• Lo que YO quiera • El límite es MI imaginación • Ejemplos: – Ver dibujarse la función punto a punto – Jugar con la simetría – Velocidad es una derivada -> “salirse” – ...

Disfrutando de la funci贸n seno

Multitortuga • Permite utilizar varias tortugas en pantalla • Cada tortuga puede tener una forma distinta, de entre las 7 posibles en XLOGO: • Las primitivas son: – pontortuga n: la tortuga n pasa a ser la activa – tortuga: devuelve el nº de la tortuga activa – eliminatortuga n: quita la tortuga n

• Cambiar la forma de la tortuga: – ponforma n: cambia el dibujo de la tortuga activa – forma: devuelve el tipo de tortuga de la activa

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¿Qué vemos mientras se dibuja?

• Se ha podido dibujar entera: Dominio • Las tortugas se mueven de forma “contraria” una respecto de la otra: – Simetría impar • Periodicidad • La distancia entre los puntos cambia: – Tasa de variación instantánea: derivada

¿Y el coseno?

• Cambiemos sólo el subprocedimiento “ordenada”:

¿Qué vemos ahora?

• Dominio y periodicidad como antes • NO pasa por el origen • Las tortugas se mueven como en “espejo” una respecto de la otra: – Simetría par • ...

El rumbo y la derivada • XLOGO define el rumbo como el ángulo que forma la tortuga con la vertical, en sentido horario • Las primitivas son: – rumbo → devuelve el rumbo – ponrumbo n → orienta hacia la dirección indicada – hacia [x y] → devuelve el rumbo para que la tortuga “apunte” al punto [x y] – distancia [x y] → devuelve la distancia hasta el punto [x y]

Condicionales • Un condicional decide qué acción realizar en función de que se cumpla o no una determinada condición.

• Utilizamos la primitiva si: si condición [acciones a realizar si es cierta]

• O bien:

si condición [acciones a realizar si condición es cierta] [acciones a realizar si condición es falsa]

• Ejemplo:

si :número > 0 [escribe [El número es negativo] ] [escribe raizcuadrada :número]

Ejecutando derivada 100

Mejorando el código • Sabemos que la derivada es: f  xh− f  x  lím y'= h h0 • Ir hacia f (x + 1) NO es lo mismo • Podemos mejorarlo con Métodos Numéricos (Taylor) f  xh− f  x−h y '≃ 2⋅h • Cuidado con la primitiva rumbo: XLOGO define el rumbo como el ángulo que forma la tortuga con la vertical y sentido horario.

Inecuaciones (1)

Inecuaciones (2)

Integrales • ¿Explicar integrales en E.S.O? • ¿Qué es una integral?

– Métodos de integración -> NO – Integral = Área

• Concepto: – Integrar = Agregar – Suma de áreas -> Contar “cuadraditos”

En el aula • Método 1 – Dibujamos función sobre cuadrícula – Invitamos a contar cuadrados bajo curva

• Método 2: “MonteCarlo” – Dibujamos con puntos región 0 < y < f(x) – Área como fracción de puntos pertenecientes a esa región

Contando puntos

Complejos Definici贸n e historia Representaci贸n gr谩fica Aplicaciones geom茅tricas

Definición e historia • ¿Existe la raíz cuadrada de -1?

• ¿Qué son los números complejos?

• ¿Por qué hay que estudiarlos?

• Maravillas sobre complejos Libro/película aconsejada: “La fórmula favorita del profesor” Yoko Ogawa

Aplicaciones geométricas • Traslación • Rotación

• Homotecia

En xLogo • Primer paso: elegir y dibujar figura • Usaremos: – Listas de coordenadas – Primitivas ponposicion o ponxy

• Operaciones con listas • Modo animación Se sale del objetivo de este curso Trabajo de ampliación

Fractales Concepto e historia Representaci贸n gr谩fica Recursividad

Fractales ●

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Figura geométrica con una estructura compleja y pormenorizada a cualquier escala.

Autosemejantes, una pequeña sección de un fractal puede verse como una réplica a menor escala de todo el fractal.

Un ejemplo: el copo de nieve.

Superficie finita pero con un perímetro infinito, y con un número infinito de vértices.

Ejemplos “profesionales”

Breve historia • Primer fractal: – En 1872: función de Weierstrass – Función continua – No diferenciable en ningún punto.

Otros “pioneros” • Helge von Koch, 1904: el copo de nieve • Wacla w

S ier p in s k i:

– 1 9 1 5 , tr i á n g u l o – 1 9 1 6 , a lfo m b r a .

Con xLogo

Construyendo fractales • Definición geométrica.

• Partimos de una figura inicial (semilla) • Aplicamos construcciones geométricas sencillas recursivamente

Recursividad o recurrencia â&#x20AC;˘ Para entender la recursividad, vete a la diapositiva sobre recursividad. â&#x20AC;˘ Ejemplos grĂĄficos:

En xLogo Observad: •Condicional de finalización •Se llama a sí mismo

Y ... en 3D

Gracias por su atenci贸n