9
INTEGRALEKIN HASI
209. Orrialdea HAUSNARTU ETA EBATZI Bi tren Talgo bat eta merkantzia-tren bat geltoki beretik irten dira, bide beretik eta norabide berean, bata bestearen atzetik, ia-ia aldi berean. Hona hemen bi higidura horien DENBORA - ABIADURA grafikoak. VELOCIDAD (en km/h) 120
TALGO MERCANCĂ?AS
100 80 60 40 20
1
2
3
4
TIEMPO (en horas)
Grafikoan ikus dezakegunez, Talgoak abiadura gutxitu du irten eta bi ordura: Zer dela eta? Zergatik gutxitu du abiadura une horretan bertan beste trenak ere? Irten eta hiru ordura, bi trenek martxa aldatu dute: Talgoa gelditu egin da minutu batzuetan, eta merkantzia-trena oso-oso astiro doa ordu erdiz. â–
Higidura horiek argi ulertzeko, kalkulu batzuk egingo ditugu: a) Talgoa, 2 ordutan, 120 km/h-ko abiaduran doa. Zenbat kilometro egin ditu abiadura horretan? b) 2-tik 2
1 ,-ra, Talgoak abiadura gutxitzen du. 4
Zenbat kilometro egiten ditu abiadura horretan?
9. unitatea. Integralekin hasi
1
c) Merkantzia-trenak 3 h-ra gutxitzen du abiadura. Zenbateko distantzia egin du ordura arte? d) Zenbateko distantzia egiten du merkantzia-trenak abiadura gutxitzen duen ordu erdi horretan? e) Hasierako geltokitik zenbateko distantziatara dago Talgoa gelditu den beste geltoki hori? f ) Ikusten duzunez, orain arte egindako kalkulu guztietan grafiko urdin zein gorriaren azpiko azalerak lortu ditugu. Adierazi zer esparruren azalerak kalkulatu dituzun eta zehazteko zenbateko azalera duen bakoitzak. a) 120 · 2 = 240 km. b) A 60 km/h durante
1 60 de hora, recorre = 15 km. 4 4
c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 · 3 = 240 km. d) Va a 30 km/h durante
1 1 hora, luego recorre 30 · = 15 km. 2 2
e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de: 120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas 1 60 · = 15 km el siguiente cuarto de hora 4 120 ·
3 = 90 km los siguientes tres cuartos de hora 4
Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada. f)
VELOCIDAD (km/h)
120 100 80 60
TALGO
Área 90
Área 240
40 20
1 VELOCIDAD (km/h)
2
Área 3 15
TIEMPO (horas) 4
80 60 MERCANCÍAS
Área 240
40 20
Área 15 TIEMPO (horas) 1
2
2
3
4 9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEAA
9
Zer funtziok du deribatutzat …? Deribatutzat 2x duen funtzioa da ... x 2. Deribatutzat cos x duen funtzioa da ... sin x. Deribatutzat ■
1
– duen funtzioa da ... √x .
2√x
Esan zein den deribatutzat honako kasu hauek dituen funtzioa: a) 2x
b) x
c) 5x
d) 3x2
e) x2
f) 5x2
g) 4x 3
h) x 3
i) 2x 3
j) 1
k) 4
l) √2
m) 3x2 + 4x 3
n) 5x2 + 7x 3
ñ) – sin x
o) sin x
p) 5sin x
q) cos x
r) e x
s) 3e x
t) e –x
u) 2 x ln2
v) 2x
w) 5 · 2x
a) 2
b) 1
c) 5
d) 6x
e) 2x
f) 10x
g) 12x2
h) 3x2
i) 6x2
j) 0
k) 0
l) 0
m) 6x + 12x2
n) 10x + 21x2
ñ) –cos x
o) cos x
p) 5cos x
q) –sen x
r) e x
s) 3e x
t) e –x
u) 2 x (ln2)2
v) 2x ln2
w) 5 · 2x · ln2
211. Orrialdea 1. Kalkulatu honako integral hauek: a)
∫ 7x
4
b)
dx
1
∫x 3
3
d)
∫
a)
∫ 7x
b)
∫ x1
c)
∫
√x dx =
∫
3
d)
√5x 2 4
2
e)
dx
dx = 7
dx =
√5x 2 dx =
—
c)
dx
∫ √x dx
—
√x + √5x 3 3x
f)
dx
∫
√5x 3 dx 3 √3x
x5 7x 5 +k= +k 5 5
∫x ∫
∫
2
–2
dx =
–1 x –1 +k= +k x –1
x 1/2 dx =
∫
2 √ x3 x 3/2 +k= +k 3 3/2 3
5/3 3 3 √ 5x 5 √5 x 2/3 dx = √5 x +k= +k 5 5/3 3
9. unitatea. Integralekin hasi
3
3
e)
∫
—
—
√ x + √ 5x3 dx = 3x
∫
x 1/3 dx + 3x
—
√ 5 x 3/2 dx = 1 x –2/3 dx + √ 5 x 1/2 dx =
∫
3x
3
∫
3
∫
√ 5 x 3/2 + k = 3√x + 2 √ 5x 3 + k 1 x 1/3 + 3 3/2 9 3 1/3 — 3/2 — — 13/6 —6— √5 · x √ 5 √ 5 x 6 √ 5 √x 13 7/6 dx = 3 — x dx = 3 — +k= +k 3 — 3— √ 3 · x1/3 √3 √ 3 13/6 13 √ 3 =
f)
∫
√ 5x3 dx = 3 √ 3x
∫
∫
2. Kalkulatu: x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx x
∫ 7x c) ∫ a)
4
∫ d) ∫ (10
b) (5 cos x + 3x ) dx
– 5x 2 + 3x – 4 dx x2
x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx = x
a)
∫
b)
∫
(5 cos x + 3x ) dx =
c)
∫
7x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx = x2
∫
d) (10x – 5x ) dx =
∫ 10
∫
x
x
∫ (x
3
– 5x + 3 –
5 cos x dx +
∫
– 5x ) dx
)
4 x4 5x 2 dx = – + 3x – 4 ln | x | + k x 4 2
3x dx = 5 senx +
∫ ( 7xx
)
=
∫ 7x
dx –
=
7x 3 – 5x + 3 ln | x | + 4 + k 3 x
4
2
dx –
∫5
x
2
dx –
dx =
∫ ( 5xx
2
2
)
3x +k ln 3
∫ 5 dx + ∫
dx +
∫ ( 3xx ) dx – ∫ ( x4 ) dx = 2
3 dx – x
2
∫ x4
2
dx =
10x 5x – +k ln 10 ln 5
213. Orrialdea 3. Aurkitu funtzio hauen jatorrizkoak: 2
a) f (x) = (x 3 – 5x + 3) (3x 2 – 5) c) f (x) =
3x 2 – 3 x 3 – 3x
b) f (x) = (5x + 1) d) f (x) =
3
x2 – 1 x 3 – 3x
e) f (x) = cos x sin3 x
∫
a) (x 3 – 5x + 3)2 (3x 2 – 5) dx =
∫
b) (5x + 1)3 dx =
4
(x 3 – 5x + 3)3 +k 3
(5x + 1)4 1 (5x + 1)4 · +k= +k 4 20 5 9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
c) d)
∫
3x 2 – 3 dx = ln | x – 3x | + k x 3 – 3x
∫
x2 – 1 1 dx = ln | x 3 – 3x | + k x 3 – 3x 3
9
sen4 x +k 4
∫
e) cos x sen3 x dx =
4. Kalkulatu honako hauen jatorrizkoak: 2
2
a) f (x) = x 2 x ln 2
b) f (x) = x 2 x
c) f (x) = 2 3x – 5
d) f (x) = sin 3x
e) f (x) = sin (x 3 – 4x 2 ) (3x 2 – 8x)
f) f (x) =
cos x sin x
2
∫
2
∫
2
a) x 2 x ln 2 dx =
2x 1 2 · 2x + k = +k 2 2 2
b) x 2 x dx = c)
∫
2x 1 2 · 2x + k = +k 2 ln 2 2 ln 2
2 3x – 5 dx =
23x – 5 1 · 23x – 5 + k = +k 3 ln 2 3 ln 2 1
cos 3x + k ∫ 3 e) ∫ sen (x – 4x ) (3x – 8x) dx = –cos (x cos x dx = ln | sen x | + k f) ∫ sen x
d) sen 3x dx = – 3
2
2
3
– 4x 2 ) + k
217. Orrialdea 1. Aurkitu eta interpretatu integral hauek: a)
b)
4π
∫
sin x dx 0
∫
2
(x 2 – 4) dx –2
a) G (x) =
∫ sen x dx = –cos x
G (4π) = –1; G (0) = –1
∫
4π
sen x dx = –1 – (–1) = –1 + 1 = 0 0
9. unitatea. Integralekin hasi
5
Interpretación geométrica: y = sen x I
III
π
2π
3π
II
4π IV
La parte positiva y la parte negativa son iguales; por eso da como resultado 0: Área de I – Área de II + Área de III – Área de IV = 0 b) G (x) =
∫ (x
G (2) = –
∫
2
2
– 4) dx =
x3 – 4x 3
16 16 ; G (–2) = 3 3
(x 2 – 4) dx = –
–2
16 16 32 – =– 3 3 3
Interpretación geométrica: 2
–2
y = x2 – 4 –4
Como queda por debajo del eje X, la integral es el área del recinto señalado con signo negativo, es decir: –Área del recinto = –
32 3 2
2. Aurkitu honako integral hau, eta interpretatu geometrikoki:
∫e
x
dx
0
2
G (x) =
∫e
x
dx = e x
0
G (2) = e 2; G (0) = 1 2
∫e
x
8
dx = e 2 – 1 ≈ 6,39
0
Interpretación geométrica:
y = ex
Área del recinto = e 2 – 1 ≈ 6,39 –2
6
–1
1
2
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
219. Orrialdea 1. Kalkulatu y = (x 2 – 1) (x 2 – 4) funtzioaren, X ardatzaren eta x = 0, x = 5 zuzenen arteko azalera. • Puntos de corte con el eje X : (x 2 – 1)(x 2 – 4) = 0 8 x1 = –2, x2 = –1, x3 = 1, x4 = 2 Solo nos sirven x = 1, x = 2 (están entre 0 y 5). • Hay tres recintos: I [0, 1]; II [1, 2]; III [2, 5] • G (x) =
∫ (x
2
∫ (x
– 1(x 2 – 4) dx =
• G (0) = 0; G (1) =
4
– 5x 2 + 4) dx =
x 5 5x 3 – + 4x 5 3
38 16 1 310 ; G (2) = ; G (5) = 15 15 3
• Área del recinto I = | G (1) – G (0) | =
38 15
| 2215 | = 2215
Área del recinto II = | G (2) – G (1) | = – Área del recinto III = | G (5) – G (2) | = Área total =
2 178 5
38 22 2 178 2 198 + + = = 439,6 u2 15 15 5 5
2. Kalkulatu honako hauen arteko azalera y = x 3 – x 2 – 2x eta X ardatza. • Puntos de corte con el eje X : x 3 – x 2 – 2x = 0 8 x (x 2 – x – 2) = 0 8 x1 = –1, x2 = 0, x3 = 2 • Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 2] • G (x) =
∫
(x 3 – x 2 – 2x) dx =
• G (–1) = –
x4 x3 – – x2 4 3
5 8 ; G (0) = 0; G (2) = – 12 3
• Área del recinto I = | G (0) – G (–1) | = Área del recinto II = | G (2) – G (0) | = Área total =
5 12 8 3
5 8 37 + = ≈ 3,08 u2 12 3 12
9. unitatea. Integralekin hasi
7
220. Orrialdea 1. Kalkulatu honako funtzio hauen grafikoen artean dagoen azalera: f (x) = x 3 – x 2 + 4 g (x) = x 2 + 3x + 4 • f (x) – g (x) = x 3 – x 2 + 4 – x 2 – 3x – 4 = x 3 – 2x 2 – 3x • x 3 – 2x 2 – 3x = 0 8 x (x 2 – 2x – 3) = 0 8 x1 = –1, x2 = 0, x3 = 3 • Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 3] • G (x) =
∫
(x 3 – 2x 2 – 3x) dx =
• G (–1) = –
x 4 2x 3 3x 2 – – 4 3 2
7 45 ; G (0) = 0; G (3) = – 12 4
• Recinto I: Área [–1, 0] = | G (0) – G (–1) | = Recinto II: Área [0, 3] = | G (3) – G (0) | = Área total:
7 12
45 4
7 45 71 + = › 11,83 u2 12 4 6
25 20 15 II
10 5 I – 4 –3 –2 –1
8
1
2
3
4
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
226. Orrialdea PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK TREBATZEKO
Jatorrizkoak kalkulatu 1 Aurkitu honako funtzio hauen jatorrizko bat: b) f (x) = 2x – √3
a) f (x) = x + 1 c) f (x) =
x + x2 2
d) f (x) = – 8x 3 + 3x 2
e) f (x) =
1 1 + x2 x3
f) f (x) = √x +
g) f (x) =
1
√x
+
∫
a) (x + 1) dx =
x 3
h) f (x) =
3 5x 4
x2 3
√x
x2 +x 2
b)
∫ (2x – √3 ) dx = x
c)
∫(
2
– √3 x
x2 x3 x + x 2 dx = + 4 3 2
)
∫
d) (–8x 3 + 3x 2) dx = –2x 4 + x 3 x –1 x –2 1 1 1 1 + 3 dx = (x –2 + x –3 ) dx = + =– – 2 –1 –2 x x x 2x 2
e)
∫(
f)
∫( √
g)
∫( √
h)
)
x +
1 x
x2
∫ √x 3
+
∫
)
3 dx = 5x 4
)
x dx = 3
∫(
∫(
x 3/2 3 x –3 3 –4 1 2 √x 3 x dx = + · = – 3/2 5 5 –3 5x 3 3
)
x 1/2 +
x –1/2 +
x 1/2 1 x 2 x2 1 x dx = + · = 2 √x + 1/2 6 3 3 2
)
3
∫
∫
dx = x 2 · x –1/3 dx = x 5/3 dx =
9. unitatea. Integralekin hasi
x 8/3 3 √x 8 = 8/3 8
9
2 Integratu atal bakoitzeko funtzioa: 3
a) √3x e)
3 x
b) √5x 2
c)
2 x+1
g)
f)
x + x2
√x x–2 x2 —
∫
∫
x 1/2
a) √3x dx = √3
∫
∫
3
3
b) √5x 2 dx = √5 x 2/3 dx = √5
c)
∫
x + x2
√x
x3 – 2 x2
h)
3 – 2x x
—
—
2√ 3 √x 3 2√3x 3 x 3/2 dx = √3 +k= +k= +k 3 3 3/2 3
3
d)
—
3 √5x 5 x 5/3 +k= +k 5 5/3 —
dx =
∫
(x 1/2
+
—
2√x 3 2√x 5 x 3/2 x 5/2 dx = + +k= + +k 3 5 3/2 5/2
x 3/2)
2 –1 x3 – 2 x2 2 –2) dx = x – 2x dx = (x – 2x + k = + +k x2 2 –1 2 x
d)
∫
∫
e)
∫ x dx = 3 ln |x | + k
f)
∫ x + 1 dx = 2 ln |x + 1| + k
g)
∫
x–2 dx = x2
h)
∫
3 – 2x dx = x
3
2
∫ ( x – x ) dx = ln |x | + x + k 1
2
2
2
∫ ( x – 2) dx = 3 ln |x | – 2x + k 3
3 Ebatzi:
∫
d)
b) cos x +
∫ ( 1 – sin 2 ) dx x
∫
a) sen 3x dx = –
∫
(
b) cos x +
10
(
∫
a) sin 3x dx
)
1 3
∫
e) sin
(
)
π dx 2
)
π – x dx 2
c)
cos x
∫ sin x dx ∫
f) cos
π x dx 2
1
∫ –3 sen 3x dx = – 3 cos 3x + k
(
)
π π dx = sen x + +k 2 2
cos x
c)
∫ sen x dx = ln | sen x | + k
d)
∫ ( 1 – sen 2 ) dx = x + 2 cos 2 + k x
x
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
∫
(
∫
2 π x dx = π 2
e) sen
f) cos
)
(
9
)
π π – x dx = cos –x +k 2 2 π
π
π
2
∫ 2 cos 2 x dx = π sen 2 x + k
4 Kalkulatu:
∫
∫
a) e x + 3 dx
∫
b) e 2x – 1 dx
c) 2 x – 7 dx
∫
x
d) 3 2 dx
∫
a) e x + 3 dx = e x + 3 + k 1 2
∫
b) e 2x – 1 dx =
∫
x
∫
2x – 1
∫
1
∫2 3
x 2
dx =
1 2x – 1 e +k 2
dx =
1 ln 2 · 2x – ln 2
c) 2 x – 7 dx = d) 3 2 dx = 2
∫ 2e
7
dx =
2x – 7 1 · 2x – 7 + k = +k ln 2 ln 2
2 · 3x/2 +k ln 3
5 Kalkulatu:
∫ 1 c) ∫ dx √x + 2
∫ d) ∫ √3x – 5
a) (x – 3) 3 dx
3
e)
∫√
g)
∫x
b) (2x + 1) 5 dx
x+3 dx 2
f)
2x dx +2
∫
a) (x – 3) 3 dx =
∫
1 2
∫
2(2x + 1)5 dx = 1
1
∫ √x + 2 dx = 2∫ 2√x + 2
∫
d) √3x – 5 dx = 3
e)
∫√
x 2
–4
dx
1 3
∫
∫
3(3x – 5)1/2 dx =
(
(2x + 1)6 1 (2x + 1)6 · +k= +k 6 12 2
dx = 2 √x + 2 + k
1 x+3 x+3 dx = 2 2 2 2
9. unitatea. Integralekin hasi
∫ 3x
(x – 3)4 +k 4
b) (2x + 1) 5 dx = c) ∫
3
∫ 2x – 1 dx
h)
2
dx
)
1/3
1 (3x – 5)3/2 2 √(3x – 5)3 · = +k 3/2 3 9
dx = 2 ·
[(x + 3)/2]4/3 3 x+3 +k= 4/3 2 2
(
)
4
+k
11
3
1
2
3
f)
∫ 2x – 1 dx = 2 · 3∫ 2x – 1 dx = 2 ln | 2x – 1| + k
g)
∫x
h)
∫ 3x
2x dx = ln | x 2 + 2| + k +2
2
x 2
–4
1 6
dx =
6x 1 | 2 | 2 – 4 dx = 6 ln 3x – 4 + k
∫ 3x
6 Kalkulatu:
∫
a) x √5x 2 + 1 dx
b)
2x + 1 dx +x–3
c)
∫x
e)
∫ 3x
g)
∫x
∫
5x 2 + 2 dx
∫
=
c)
∫x
dx =
–3
2 3
∫
√(5x 2 + 1)3
+k
15 3x 2
∫ 2√x
3
dx =
–3
2 √x 3 – 3 + k 3
2x + 1 dx = ln | x 2 + x – 3 | + k +x–3
∫
2
∫ 3x
1 2
∫ 2x e
5x 5 2 + 2 dx = 6
∫
f) sen 2 x cos x dx =
x2
dx =
1 x2 e +k 2
6x 5 | 2 | 2 + 2 dx = 6 ln 3x + 2 + k
∫ 3x
sen 3 x +k 3
x3 1 dx = –4 4
∫
4x 3 1 dx = ln | x 4 – 4 | + k x4 – 4 4
h) x sen x 2 dx = –
1 2
∫ –2x sen x
g)
∫ ∫
12
1 1 (5x 2 + 1)3/2 10x (5x 2 + 1)1/2 dx = · +k= 3/2 10 10
2
d) x e x dx =
e)
2
h) x sin x 2 dx
∫
3
dx
–3
∫
x3 dx –4
∫ √x
3
f) sin2 x cos x dx
4
x2
∫ √x
d) x e x dx
2
a) x √5x 2 + 1 dx =
b)
x2
x4
2
dx = –
1 cos x 2 + k 2 9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
7 Kalkulatu:
∫ 1 √ c) ∫ e √x
x
e)
√x + 5
∫ x+5
b) x 2 · 2 – x dx
∫
∫
b) x 2 · 2 –x 1
c)
∫ √x e √
d)
∫ √x
e)
∫ x+5
f)
3
x
+5
3 5x e +k 5
dx = 2
3x – 2
∫ √3x – 2
dx =
3
1 3
dx = –
– 6x + 2
√x + 5
3x – 2
∫ √3x – 2 dx
f)
x–3 2
+5
2
dx
a) 3e 5x dx =
3
dx ∫ x–3 d) ∫ dx √x – 6x + 2
a) 3 e 5x dx
∫
–3x 2 · 2 –x
1
3
+5
∫ 2√x dx = 2 e √
x
1 2
dx =
∫ √x
dx =
+k
2x – 6 2
–2 –x + 5 +k 3 ln 2
– 6x + 2
dx = √x 2 – 6x + 2 + k
1
1
∫ √x + 5 dx = 2 ∫ 2√x + 5 dx = 2 √x + 5 + k ∫
dx = √3x – 2 dx =
=
1 1 (3x – 2)3/2 3(3x – 2)1/2 dx = +k= 3/2 3 3
∫
2 √(3x – 2)3 +k 9
8 Ebatzi honako integral hauek: a) c)
∫
x 2 – 3x + 4 dx x–1
b)
∫
2x 2 – 3x + 1 dx 2x – 1
d)
☛ Zatitu eta jarri frakzioa era honetara: a) b) c) d)
∫
x 2 + 5x – 7 dx x +3
∫
x 2 + 3x – 1 dx x2 – 1 Zatikizuna hondarra = zatidura + zatitzailea zatitzailea
∫
x 2 – 3x + 4 dx = x–1
∫
x 2 + 5x – 7 dx = x +3
∫
2x 2 – 3x + 1 x2 dx = (x – 1) dx = –x+k 2x – 1 2
∫
x 2 + 3x – 1 dx = x2 – 1
∫(
x–2+
∫(
x+2–
x2 2 dx = – 2x + 2 ln | x – 1 | + k 2 x–1
)
x2 13 dx = + 2x – 13 ln | x + 3| + k 2 x+3
)
∫
9. unitatea. Integralekin hasi
∫ (1 + x
)
3x 3 dx = x + ln | x 2 – 1 | + k 2 –1
2
13
9 Kalkulatu: 1
1 dx x
a)
∫x
c)
∫√x √x dx
d)
∫x
∫
f)
∫ √3x
2
sin
∫
b) sin x cos x dx
—
e) (2x 2 + 1) 2 dx 3x 2 + 2x – 1 dx x–2
g)
∫
i)
∫ x ln x dx
a)
∫x
1 2
sen
—
c)
∫ √x √x dx = ∫
d)
∫x
x 3/4
1
∫e
4
—
14
cos e –x dx
∫
x
∫ √3x
2
–2
dx =
1 3
6x
∫ 2√3x
2
∫
3x 2 + 2x – 1 dx = x–2
h)
∫
ex dx = ln |1 + e x | + k 1 + ex
i)
∫ x ln x dx = ln
j)
∫e
x
x
4√ x 7 x 7/4 dx = +k= +k 7 7/4
∫
1
∫
1 1 –1 dx = dx = +k (x + 1)2 x+1 + 2x + 1
∫
2
dx
ex dx 1 + ex
j)
e) (2x 2 + 1) 2 dx = (4x 4 + 4x 2 + 1) dx =
g)
–2
sen 2 x +k 2
∫
f)
2
1 1 dx = cos + k x x
b) sen x cos x dx =
2
1 dx + 2x + 1 x
h)
2
2
2
∫(
–2
3x + 8 +
4x 5 4x 3 + +x+k 5 3
√3x 2 – 2
dx =
3
+k
3x 2 15 dx = + 8x + 15 ln |x – 2| + k 2 x–2
)
x+k
cos e –x dx = –sen e –x + k
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
227. Orrialdea Integral mugatua 10 Ebatzi honako integral hauek: a) c) e)
∫ ∫ ∫
5
6
(–3x 2) dx
b)
2
∫ (2x – 1) dx 4
2
(x 3 + x) dx
d)
–2 e
1 dx x 1
f)
π
∫ (sin x – cos x) dx a) G (x) = ∫ (–3x ) dx = –x g)
h)
0
2
4
∫ ∫
√3x dx 1 3
e x – 2 dx –1
∫
π
sin 2x dx
–π
3
G (5) = –125; G (2) = –8 5
∫ (–3x ) dx = G (5) – G (2) = –125 – (–8) = –117 2
2
∫
b) G (x) = (2x – 1) dx = x 2 – x G (6) = 30; G (4) = 12 6
∫ (2x – 1) dx = G (6) – G (4) = 30 – 12 = 18 4
∫
c) G (x) = (x 3 + x) dx =
x4 x2 + 4 2
G (2) = G (–2) = 6
∫
2
(x 3 + x) dx = G (2) – G (–2) = 0
–2
∫
∫
d) G (x) = √3x dx = √3 x 1/2 dx = G (4) =
3/2
=
2 √3x 3 3
16√3 2 √3 ; G (1) = 3 3
4
∫ √3x dx = G (4) – G (1) = 1
e) G (x) =
√3 x 3/2
16√3 2 √3 14√3 – = 3 3 3
1
∫ x dx = ln |x|
G (e ) = 1; G (1) = 0
∫
e
1 dx = G (e ) – G (1) = 1 1x
9. unitatea. Integralekin hasi
15
∫
f ) G (x) = e x – 2 dx = e x – 2 G (3) = e ; G (–1) = e –3
∫
3
e x – 2 dx = G (3) – G (–1) = e – e –3 = e –
–1
e4 – 1 1 = 3 e3 e
∫
g) G (x) = (sen x – cos x) dx = –cos x – sen x G (π) = 1; G (0) = –1 π
∫ (sen x – cos x) dx = G (π) – G (0) = 1 – (–1) = 2 0
∫
h) G (x) = sen 2x dx = – G (π) = –
∫
1 cos 2x 2
1 1 ; G (–π) = – 2 2
π
sen 2x dx = G (π) – G (–π) = 0
–π
11 Aurkitu honako funtzio hauen integralak, adierazitako tarte horietan: a) f (x) = 3x 2 – 6x , [0, 2] tartean
b) f (x) = 2 cos x, [0, π/2] tartean x c) f (x) = (x + 1) (x 2 – 2), [–1, 2] tartean d) f (x) = sin , [0, π] tartean 4
∫
a) • G (x) = (3x 2 – 6x) dx = x 3 – 3x 2 • G (0) = 0; G (2) = –4 2
•
∫ (3x
2
– 6x) dx = G (2) – G (0) = –4
0
∫
b) • G (x) = 2 cos x dx = 2 sen x • G (0) = 0; G •
∫
()
π =2 2
π/2
2 cos x dx = G 0
()
π – G (0) = 2 2
∫
∫
c) • G (x) = (x + 1)(x 2 – 2) dx = (x 3 + x 2 – 2x – 2) dx = • G (–1) = •
16
∫
2
11 4 ; G (2) = – 12 3
(x + 1)(x 2 – 2) = G (2) – G (–1) = –
–1
x4 x3 + – x 2 – 2x 4 3
4 11 9 – =– 3 12 4
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
∫
d) • G (x) = sen
x x = –4 cos 4 4
• G (0) = –4; G (π) = – •
∫
π
sen 0
9
4√2 = –2√2 2
x = G (π) – G (0) = –2√2 + 4 4
Azalerak kalkulatu s12 Kalkulatu, kasu bakoitzean, honako hauek mugaturiko azalera: a) f (x) = x 2 – 4, X ardatza eta x = 0 eta x = 2. b) f (x) = 2x – x 2, X ardatza eta x = –1 eta x = 1 zuzenak. c) f (x) = x 2 – 2x – 3 eta X ardatza. d) f (x) = 1 – x 2, X ardatza eta x = –2 eta x = 2 zuzenak. e) f (x) = e x, X ardatza eta x = –1 eta x = 3 zuzenak. f ) f (x) = x 2 + 1, X ardatza eta x = –1 eta x = 3 zuzenak. a) • Puntos de corte con el eje X : x 2 – 4 = 0 8 x1 = –2, x2 = 2 Solo nos sirve x2 = 2. • Hay un recinto: [0, 2] • G (x) =
∫
• G (2) = –
(x 2
4
x3 – 4) dx = – 4x 3
2
16 ; G (0) = 0 3
• Área = | G (2) – G (0) | =
–4
–2
2
4
2
4
–2
16 2 u 3
–4
b) • Puntos de corte con el eje X : 2x 2 – x 2 = 0 8 x1 = 0, x2 = 2 Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 1]
∫
• G (x) = (2x – x 2) dx = x 2 – • G (–1) =
x3 3
4 2 ; G (0) = 0; G (1) = 3 3
• Área del recinto I = | G (0) – G (–1) | = Área del recinto II = | G (1) – G (0) | =
4
4 3 2 3
2 II
–4
–2
I
–2 –4
4 2 6 Área total = + = = 2 u2 3 3 3 9. unitatea. Integralekin hasi
17
c) • Puntos de corte con el eje X : x 2 – 2x – 3 = 0 8 x1 = –1, x2 = 3 • Hay un recinto: [–1, 3]
∫
• G (x) = (x 2 – 2x – 3) dx =
x3 – x 2 – 3x 3
4 2
5 • G (–1) = ; G (3) = –9 3
–4
|
• Área = | G (3) – G (–1) | = –9 –
–2
2
4
III
4
2
4
–2
|
5 32 2 = u 3 3
–4
d) • Puntos de corte con el eje X : 1 – x 2 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1 • Hay tres recintos: I [–2, –1]; II [–1, 1]; III [1, 2]
∫
• G (x) = (1 –
x 2)
4
x3 dx = x – 3
2 II
2 2 • G (–2) = ; G (–1) = – ; 3 3 G (1) =
–4
I
–2
2 2 ; G (2) = – 3 3
–4
|
| 2 2 4 Área del recinto II = | G (1) – G (–1) | = | – – ( ) | = 3 3 3
• Área del recinto I = | G (–1) – G (–2) | = –
Área del recinto III = | G (2) – G (1) | = Área total = 3 ·
2 5 4 – = 3 3 3
4 3
4 = 4 u2 3
e) • No corta al eje X. 20
∫
• G (x) = e x dx = e x • G (–1) =
15
e –1;
G (3) =
e3
10
• Área = | G (3) – G (–1) | = e 3 – e –1 = = e3 –
1 = e
e4
–1 ≈ 19,7 u2 e
5 –4
–2
f) • No corta al eje X.
∫
• G (x) = (x 2 + 1) dx =
x3 +x 3
12 10 8
4 • G (–1) = – ; G (3) = 12 3 • Área = | G (3) – G (–1) | =
18
6 4
40 2 u 3
2 –2
2
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
s13 Kalkulatu honako kurba hauen artean mugaturiko azalera: a) y = x 2; y = x
b) y = x 2; y = 1
c) y = x 2; y = x 3
d) y = x 2; y = –x 2 + 2x
e) y = 2x 2 + 5x – 3; y = 3x + 1
f ) y = 4 – x 2; y = 8 – 2x 2; x = –2; x = 2
a) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – x = 0 8 x1 = 0, x2 = 1
∫
• G (x) = (x 2 – x) dx =
x3 x2 – 3 2
2 1 –2 –1
1 • G (0) = 0; G (1) = – 6
–1
1
2
–2
1 2 u 6
• Área = |G (1) – G (0)| =
b) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – 1 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1
∫
• G (x) = (x 2 – 1) dx = • G (–1) =
2
x3 –x 3
2 2 ; G (1) = – 3 3
1
–1
1
4 • Área = |G (1) – G (–1)| = u2 3 c) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – x 3 = 0 8 x1 = 0, x2 = 1
∫
• G (x) = (x 2 – x 3) dx =
x3 x4 – 3 4
2 1 –2 –1
1 • G (0) = 0; G (1) = 12 • Área = |G (1) – G (0)| =
–1
1
2
1
2
–2
1 2 u 12
d) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – (–x 2 + 2x) = 2x 2 – 2x = 0 8 x1 = 0, x2 = 1
∫
• G (x) = (2x 2 – 2x) dx =
2x 3 – x2 3
1 • G (0) = 0; G (1) = – 3 • Área = |G (1) – G (0)| =
9. unitatea. Integralekin hasi
2 1 –2 –1
–1 –2
1 2 u 3
19
e) • Puntos de corte entre las curvas: 2x 2 + 5x – 3 – (3x + 1) = 2x 2 + 2x – 4 = 0 8 x1 = –2, x2 = 1
∫
• G (x) = (2x 2 + 2x – 4) dx = • G (–2) =
2x 3 + x 2 – 4x 3
4
20 7 ; G (1) = – 3 3
|
2
• Área = |G (1) – G (2)| = –
–4 –2
|
7 20 27 – = = 9 u2 3 3 3
2
4
2
4
2
3
–2 –4
f) • Puntos de corte entre las curvas: 4 – x 2 – (8 – 2x 2) = x 2 – 4 = 0 8 x1 = –2, x2 = 2
∫
• G (x) = (x 2 – 4) dx =
• G (–2) =
x3 – 4x 3
6
16 16 ; G (2) = – 3 3
• Área = |G (2) – G (–2)| =
2 –4 –2 –2
32 2 u 3
–6
EBAZTEKO s14 Kalkulatu honako hauek mugaturiko azalerak: a) f (x) = x 2 – 2x + 1 funtzioa eta koordenatu-ardatzak. b) y = x 3 kurba, x = 2 zuzena eta X ardatza. c) y = sin x funtzioa, abzisa-ardatza eta x =
π π zuzenak. eta x = – 4 4
d) y = cos x funtzioa eta OX ardatza x = 0 eta x = π bitartean. a) • f (x) = x 2 – 2x + 1 = (x – 1)2 = 0 8 x = 1
∫
• G (x) = (x – • G (0) = –
1)2
2 1
1 ; G (1) = 0 3
• Área = |G (1) – G (0)| =
20
3
(x – 1)3 dx = 3
1 2 u 3
–1
1 –1
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
b) • x 3 = 0 8 x = 0
9
8
x4 • G (x) = x 3 dx = 4
∫
4 –2
• G (0) = 0; G (2) = 4
–1
2
1 –4
• Área = |G (2) – G (0)| = 4 u2
(
c) • sen x = 0 8 x = 0 entre –
[
–8
π π y 4 4
)
] [ ]
π π • Hay dos recintos: I – , 0 ; II 0, 4 4 • G (x) = • G
∫ sen x dx = –cos x
√2 π π =G – =– ; G (0) = –1 2 4 4
() ( )
|
( )| | | () |
• Área del recinto I = G (0) – G –
π 4
= –1 +
√2 2
| = 0,29
2 1
√2 π Área del recinto II = G – G (0) = 1 – = 0,29 2 4
π — –1 4
Área total = 2 · 0,29 ≈ 0,58 u2
–2
d) • cos x = 0 8 x =
π
π (entre 0 y π) 4
[ ] [ ]
• Hay dos recintos: I 0,
π π ; II , 0 2 2
∫
• G (x) = cos x dx = sen x • G (0) = 0; G
()
π = 1; G (π) = 0 2
| ()
2
|
π • Área del recinto I = G – G (0) = 1 2
1
Área del recinto II = | G (π) – G (0) | = 1
–1
Área total = 1 + 1 = 2 u2
–2
I
π — II π 2
s15 Kalkulatu kurba hauen artean mugaturiko azalera: a) y = x 2 eta y = 3 – 2x b) y = 4 – x 2 eta y = 3x 2 c) y = x eta y = x 2 – 2 d) y = 4 – x 2 eta y = x 2 – 4 e) y = (x + 2)2 (x – 3) eta abzisa-ardatza.
9. unitatea. Integralekin hasi
21
a) x 2 – (3 – 2x) = x 2 + 2x – 3 = 0 8 x1 = –3, x2 = 1
∫
• G (x) = (x 2 + 2x – 3) dx = • G (–3) = 0; G (1) = –
12
x3 + x 2 – 3x 3
8
5 3
• Área = |G (1) – G (–3)| =
4 –4
32 2 u 3
–2
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
–4
b) 4 – x 2 – 3x 2 = 4 – 4x 2 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1
∫
• G (x) = (4 – 4x 2 ) dx = 4x – • G (–1) = –
4x 3 3
4 2
8 8 ; G (1) = 3 3
• Área = |G (1) – G (–1)| =
–4
–2 –2
16 2 u 3
–4
c) x – (x 2 – 2) = x – x 2 + 2 = –x 2 + x + 2 = 0 8 x1 = –1, x2 = 2
∫
• G (x) = (–x 2 + x + 2) dx = – • G (–1) = –
x3 x2 + + 2x 3 2
4
7 7 ; G (2) = 6 6
• Área = |G (2) – G (–1)| =
2 –4
9 2 u 2
–2 –2
d) 4 – x 2 – (x 2 – 4) = –2x 2 + 8 = 0 8 x1 = –2, x2 = 2 • G (x) =
∫
(–2x 2
• G (–2) = –
4
2x 3 + 8) dx = – + 8x 3
2
32 32 ; G (2) = 3 3
• Área = |G (2) – G (–2)| =
–4
–2 –2
64 2 u 3
–4
e) (x + 2)2 (x – 3) = 0 8 x1 = –2, x2 = 3
∫
∫
• G (x) = (x + 2)2 (x – 3) dx = (x 3 + x 2 – 8x – 12) dx = =
• G (–2) =
28 171 ; G (3) = – 3 4
• Área = |G (3) – G (–2)| =
22
20
x4 x3 + – 4x 2 – 12x 4 3
625 ≈ 52,1 u2 12
10 –4
–2 –10 –20
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
s16 Kalkulatu y = – x 2 + 4x + 5 kurbaren eta y = 5 zuzenaren arteko azalera. –x 2 + 4x + 5 – 5 = –x 2 + 4x = 0 8 x1 = 0, x2 = 4
∫
• G (x) = (–x 2 + 4x) dx = –
x3 + 2x 2 3
8 4
32 • G (0) = 0; G (4) = 3
–2
2
4
6
2
4
–4
• Área = | G (4) – G (0) | =
32 2 u 3
–8
s17 Kalkulatu honako kurba hauek mugaturiko azalera: a) y = x 3 + x 2; y = x 3 + 1; x = –1; x = 1 b) y = x 2; y = 1 – x 2; y = 2 c) y = x (x – 1) (x – 2); y = 0 d) y = x 2 – 2x ; y = x e) y = x 3 – 2x ; y = –x 2 f ) y = 2x – x 3; y = x 2 a) x 3 + x 2 – (x 3 + 1) = x 2 – 1 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1
4
x3 • G (x) = (x 2 – 1) dx = –x 3
∫
2 –4
2 2 ; G (1) = – 3 3
• G (–1) =
• Área = | G (1) – G (–1) | =
–2 –2 –4
4 2 u 3
b) x 2 = 1 – x 2 8 2x 2 – 1 = 0 8 x1 = –
√2 2
, x2 =
√2 2
x 2 = 2 8 x3 = – √2 , x4 = √2
2 I
[
I – √2 , –
√2 2
] [
; II –
√2 √2 2
,
2
] [√ √ ] ; III
2 , 2 2
–2
G1(x) = (2 – x 2) dx = x – G1(– √2 ) = –
9. unitatea. Integralekin hasi
III
–1
1
2
–1 –2
• Para el I y el III hay que considerar:
∫
II
1
• Tenemos tres recintos:
x3 3
4√2 √2 11√2 √2 11√2 4√2 ; G1 – =– ; G1 = ; G1(√2 ) = 3 2 12 2 12 3
( )
( )
23
| ( √22 ) – G (– √2)| = 512√2
Área del recinto I = G1 –
1
| ( √22 ) – G (√2)| = 512√2
Área del recinto III = G1
1
• Para el II hay que considerar:
∫
∫
G2(x) = (2 – 1 + x 2) dx = (1 + x 2) dx = x + G2
(√ )
x3 3
2 7√2 √2 7√2 = ; G2 – =– 2 12 2 12
( )
| ( √22 ) – G (– √22 ) | = 7√62
Área del recinto II = G2
• Área total =
2
5√2 7√2 5√2 12√2 + + = = 2 √2 u2 12 6 12 6
c) x (x – 1)(x – 2) = 0 8 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 • Hay dos recintos: I [0, 1]; II [1, 2]
∫
∫
• G (x) = x (x – 1)(x – 2) dx = (x 3 – 3x 2 + 2x) dx = • G (0) = 0; G (1) =
x4 – x3 + x2 4
1 ; G (2) = 0 4
• Área del recinto I = | G (1) – G (0) | =
2
1 4
1 –2
–1
1 Área del recinto II = | G (2) – G (1) | = 4 Área total =
1
2
2
4
–1 –2
1 1 1 2 + = u 4 4 2
d) x 2 – 2x – x = x 2 – 3x = 0 8 x1 = 0, x2 = 3
∫
• G (x) = (x 2 – 3x) dx =
x 3 3x 2 – 3 2
3 2
9 • G (0) = 0; G (3) = – 2 • Área = | G (3) – G (0) | =
24
1
9 2 u 2
–4
–2 –1
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
e) x 3 – 2x – (–x 2) = x 3 + x 2 – 2x = 0 8 x1 = –2, x2 = 0, x3 = 1 • Hay dos recintos: I [–2, 0]; II [0, 1]
∫
• G (x) = (x 3 + x 2 – 2x) dx =
2
x4 x3 + – x2 4 3
–2
–1
8 5 • G (–2) = – ; G (0) = 0; G (1) = – 3 12
Área total =
2
1
2
–4
8 • Área del recinto I = | G (0) – G (–2) | = 3 Área del recinto II = | G (1) – G (0) | =
1 –2
–6
5 12
8 5 37 2 + = u 3 12 12 6
f) Por simetría respecto al anterior, el área es la misma:
4
37 2 Área total = u 12
2 –2
–1 –2
18 Depositu bat modu aldakorrean husten da, v (t) = 5 – 0,1t funtzioaren arabera (t min-tan, v l/min-tan). Kalkulatu zenbat hustu den 100 eta 200 minutuen artean.
∫
G (t ) = (5 – 0,1t ) dt = 5t –
0,1t 2 = 5t – 0,05t 2 2
G (200) = –1 000; G (100) = 0 Área = | G (200) – G (100) | = 1 000 Se han vaciado 1 000 litros entre los minutos 100 y 200. s19 Lantegi batek gai kutsagarriak botatzen ditu egunero urtegi batera, funtzio honek emandako erritmoan: m = 0,01t 3 – 0,2t 2 + t + 1. m material kantitatea da, kg-tan, eta t, eguneko ordua. Zenbat material botatzen du egunean? Consideramos t entre 0 y 24 horas:
∫
24
(0,01t 3 – 0,2t 2 + t + 1) dt =
0
[
0,01t 4 0,2t 3 t2 – + +t 4 3 2
]
24
= 0
= 219,84 – 0 = 219,84 kg
9. unitatea. Integralekin hasi
25
s20 Kalkulatu y = x + x 2 kurbaren grafikoak, kurba horrek x = 2 puntuan duen ukitzaileak eta abzisa-ardatzak mugaturiko azalera. • Recta tangente en x = 2: y ' = 1 + 2x 8 m = y '(2) = 5; y (2) = 6 Recta 8 y = 6 + 5(x – 2) = 5x – 4 • Hacemos las gráficas para entender mejor la situación: 8 6 4 2 – 4 –3 –2 –1
1
2
3
4
• Puntos de corte de y = x + x 2 con el eje X : x + x 2 = 0 8 x1 = –1, x2 = 0 • Punto de corte de y = 5x – 4 con el eje X : 4 5
5x – 4 = 0 8 x =
• Área bajo y = x + x 2 entre 0 y 2:
∫
G1 (x) = (x + x 2) dx = G1 (2) =
x2 x3 + 2 3
14 ; G1 (0) = 0 3
Área = |G1 (2) – G1 (0)| =
14 2 u 3
• Área bajo y = 5x – 4 entre
∫
G2 (x) = (5x – 4) dx = G2
5x 2 – 4x 2
()
4 8 = – ; G2 (2) = 2 5 5
|
Área = G2 (2) – G2
( )|
• El área buscada es:
26
4 y 2: 5
4 5
=2+
8 18 2 = u 5 5
14 18 16 2 – = u 3 5 15 9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
228. Orrialdea 21 y = x 3 – 2x 2 + x emanda, kalkulatu zein den jatorrian duen ukitzailearen ekuazioa eta kalkulatu kurbaren eta ukitzailearen artean mugaturiko azalera. • Tangente en el origen: y ' = 3x 2 – 4x + 1; m = y ' (0) = 1; y (0) = 0 Recta 8 y = x • x 3 – 2x 2 + x – x = x 3 – 2x 2 = 0 8 x1 = 0, x2 = 2
∫
• G (x) = (x 3 – 2x 2) dx =
x 4 2x 3 – 4 3
8 6
4 • G (0) = 0; G (2) = – 3
4 2
4 • Área = | G (2) – G (0) | = u2 3
–2 –1
22 Kalkulatu irudiaren azalera, jakinda alde kurbatua y = x 2 + 1 funtzioari dagokiola.
1·1 1 = u2 2 2
2
2 1
• Entre –1 y 0 tenemos un triángulo de base 1 y altura 1: Área =
1
–1
1
2
• Entre 1 y 2 tenemos un triángulo de base 1 y altura 2: 1·2 Área = = 1 u2 2 • Entre 0 y 1:
∫
G (x) = (x 2 + 1) dx = G (0) = 0; G (1) =
4 3
Área = | G (1) – G (0) | = • El área total será:
x3 +x 3
4 2 u 3
1 4 17 2 +1+ = u 2 3 6
23 f (x) = 4 – x 2 funtzioa emanda, idatzi f-k abzisa-ardatzarekin dituen ebakipuntuetan dituen ukitzaileen ekuazioak. Kalkulatu zuzen ukitzaileen eta kurbaren artean mugaturiko azalera. • Puntos de corte con el eje X : 4 – x 2 = 0 8 x1 = –2, x2 = 2 8 Puntos (–2, 0) y (2, 0) • f ' (x) = –2x; f ' (–2) = 4; f ' (2) = –4
9. unitatea. Integralekin hasi
27
• Recta tangente en x = –2 8 y = 4(x + 2) = 4x + 8 Recta tangente en x = 2 8 y = –4(x – 2) = –4x + 8 • Hacemos una gráfica para entenderlo mejor: 8 6 4 2 –4
–2
4
2
• Área del triángulo de vértices (–2, 0), (0, 8) y (2, 0): 4·8 Área = = 16 u2 2 • Área entre y = 4 – x 2 y el eje X : x3 G (x) = (4 – x 2) dx = 4x – 3
∫
G (–2) = –
16 16 ; G (2) = 3 3
32 2 u 3 • El área total será la diferencia: 32 16 2 16 – = u 3 3 Área = | G (2) – G (–2) | =
24 f (x) = x + 1 izanda, aurkitu: x
a)
∫
x
b)
f 0
∫
G (x) = (x + 1) dx =
G (0) = 0; G (1) =
∫
∫ ∫
f = G (x) – G (0) =
x2 +x 2
f = G (x) – G (1) =
x2 3 +x– 2 2
0
1 x
c)
∫
f = G (x) – G (–1) = –1 3
d)
28
∫
f = G (3) – G (1) = 1
∫
–1
d)
∫
f 1
3 1 15 ; G (–1) = – ; G (3) = 2 2 2
x
b)
1
f
x2 +x 2
x
a)
3
x
c)
f
x2 1 +x+ 2 2
15 3 12 – = =6 2 2 2 9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
25 a) Kalkulatu y = |2x – 4| funtzioak, X ardatzak eta x = 0 eta x = 5 zuzenek mugaturiko azalera. 3
∫
b) Kalkulatu
|2x – 4|.
–2
a) Definimos la función por intervalos para hacernos una idea de su forma: xÌ2 x>2
° –2x + 4, y = | 2x – 4 | = ¢ £ 2x – 4, El área buscada será: 5
∫
2
∫
y dx = 0
5
∫ (2x – 4) dx = [–x
(–2x + 4) dx + 0
2
2
5
0
2
+ 4x ] + [x 2 – 4x] =
2
= (4 – 0) + (5 + 4) = 4 + 9 = 13 u2 3
b)
∫
2
| 2x – 4 | dx =
–2
∫
3
(–2x + 4) dx + –2
∫ (2x – 4) dx = [–x 2
2
2
+ 4x ]
–2
3
+ [x 2 – 4x] = 2
= (4 + 12) + (–3 + 4) = 16 + 1 = 17 u2 2
26 Kalkulatu: a)
∫
3
f (x) dx 0
° x2 f (x) = ¢ £2 – x
∫
1
f (x) dx = 0
g (x) dx, honako hauek izanda: –1
–1 Ì x Ì 1 bada ° 2x g (x) = ¢ 2 + 1 1 < x Ì 3 bada x £
∫
2
x 2 dx + 0
∫ (2 – x) dx 1
x3 1 1 8 G1(1) – G1(0) = – 0 = 3 3 3
∫
G1(x) = x 2 dx =
x2 3 1 8 G2(2) – G2(1) = 2 – = 2 2 2
∫
G2(x) = (2 – x) dx = 2x – 2
Así:
∫
0 Ì x Ì 1 bada 1 < x Ì 2 bada
2
a)
b)
1
1
5
∫ f (x) dx = 3 + 2 = 6 0
3
b)
∫
1
g (x) dx = –1
∫
3
2x dx + –1
∫ (x
2
+ 1) dx
1
∫
G1(x) = 2x dx = x 2 8 G1(1) – G1(–1) = 1 – 1 = 0
∫
G2(x) = (x 2 + 1) dx = 3
Así:
∫
g (x) dx = –1
9. unitatea. Integralekin hasi
x3 4 32 + x 8 G2(3) – G2(1) = 12 – = 3 3 3
32 3
29
s27 f (x) funtzioa emanda, kalkulatu f (x) funtzioak, OX ardatzak eta x = 0 eta x = 3 zuzenek mugaturiko azalera: 1 °— § x § f (x) = §¢ 2 § –x + 3x § § |x + 3| £
–1 x < — bada 2 –1 — Ì x Ì 3 bada 2 x > 3 bada
Para x comprendida entre 0 y 3, tenemos que: f (x) = –x 2 + 3x Hallamos los puntos de corte con el eje OX : x=0 x=3
–x 2 + 3x = 0 8 x (–x + 3) = 0 Por tanto, el área pedida es: Área =
∫
3
(–x 2 + 3x) dx =
0
[
–x 3 3x 2 + 3 2
]
3
= –9 + 0
27 9 = = 4,5 u2 2 2
28 Aurkitu f funtzioa, hau jakinda f ' (x) = 3x 2 – 2x + 5 eta f (1) = 0.
∫
G (x) = (3x 2 – 2x + 5) dx = x 3 – x 2 + 5x + k son las primitivas de la función dada. Entre todas ellas, nos interesa la que cumple que G (1) = 0, es decir: G (1) = 5 + k = 0 ò k = –5 Así: f (x) = x 3 – x 2 + 5x – 5 29 Aurkitu y = 3x 2 – x 3 funtzioaren (2, 4) puntutik igarotzen den jatorrizkoa.
∫
G (x) = (3x 2 – x 3) dx = x 3 –
x4 + k son las primitivas de la función dada. 4
Buscamos k para que pase por (2, 4): G (2) = 4 + k = 4 ò k = 0 La función que buscamos es: f (x) = x 3 –
x4 4
30 Aurkitu 2 x = 1 puntuan 2 balioa hartzen duen eta deribatutzat f ' (x) = 3x 2 + 6 duen funtzioa.
∫
G (x) = (3x 2 + 6) dx = x 3 + 6x + k son las primitivas de la función dada. Buscamos k para que G (1) = 2: G (1) = 7 + k = 2 ò k = –5 Por tanto: f (x) = x 3 + 6x – 5
30
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
31 Aurkitu abzisa-ardatza x = 3 puntuan ebakitzen duen f (x) = 1 – x – x 2 funtzioaren jatorrizkoa. x2 x3 – + k son las primitivas de la función dada. 2 3
∫
G (x) = (1 – x – x 2) dx = x –
Buscamos k para que G (3) = 0: G (3) = –
21 21 +k ò k= 2 2
La función que buscamos es: y=x–
x 2 x 3 21 – + 2 3 2
GALDERA TEORIKOAK 32 F (x) eta G (x) funtzioak f -ren bi jatorrizko badira F (x) = k + G (x) dela derrigorrez egiaztatzen da? Justifikatu erantzuna. Sí. Justificación:
∫ f dx = F (x) + c
∫ f dx = G (x) + c
1
2
Restando: 0 = F (x) – G (x) + (c1 – c2) ò F (x) = k + G (x) 33 a) Kalkulatu eskuineko grafikoaren azpian [0, 2] eta [2, 6] tarteetan dagoen azalera. b) Grafiko horrek higikari batek denboraren funtzioan hartzen duen abiadura (m/s) adierazten badu, zer adierazten du aurreko azaleretako bakoitzak?
6 4 2 2
4
6
8
10
a) El área en el intervalo [0, 2] es la de un trapecio rectángulo de bases 1 y 3 y altura 2. A[0, 2] =
1+3 ·2=4 8 2
∫
2
f dx = 4 0
En el intervalo [2, 6], el área es la suma de las áreas de un trapecio y de un rectángulo. A[2, 6] =
3+5 · 2 + 2 · 5 = 18 8 2
∫
6
f dx = 18 2
b) En una gráfica velocidad-tiempo, estas áreas representan el espacio recorrido por un móvil en los intervalos de tiempo [0, 2] y [2, 6]. 9. unitatea. Integralekin hasi
31
34 a) Adierazi f (x) = 2x funtzioa eta aurkitu f-k [0, 1], [0, 2], [0; 2,5] eta [0, 3] tarteetan mugatzen duen azalera. x
b) Egin F (x) =
∫
f funtzioaren balio-taula bat eta adierazi. 0
c) Honako ekuazio hauetako zein dagokio F (x)-ren adierazpen analitikoari?: I) y =
x2 2
II) y = 2x 2
III) y = x 2
IV) y = x 2 + 1
d) Egiaztatu azalera-funtzioaren deribatua bat datorrela azalera hori mugatzen duen funtzioarekin. a) Tenemos que hallar en cada caso el área de un triángulo cuya base es la amplitud del intervalo correspondiente y cuya altura es 2x: 1·2 =1 2
A[0, 1] =
A[0; 2,5]
b)
A[0, 2] =
2,5 · 5 = = 6,25 2
A[0, 3]
2·4 =4 2
f(x) 4 2
3·6 = =9 2
2
x
0
1
2
2,5
3
4
5
F (x)
0
1
4
6,25
9
16
25
4
9
4 2 2
4
c) Observamos que solo la III pasa por todos los puntos de la tabla de valores del apartado b). d) Como F (x) = x 2 8 F' (x) = 2x = f (x) 35 Honako adierazpen hauetako zeinek ematen digu f-ren grafikoak eta abzisa-ardatzak mugatzen duten azalera?
f a
a)
∫
c a
|∫ f | c
f
b)
a
c)
∫
b
f+ a
∫
c
f b
c
b
∫
b
d) –
f+ a
∫
c
f b
d)
32
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
x
36 F (x) =
∫ f = 3x
2
– 5x izanda, aurkitu f funtzioa. Kalkulatu F (0) eta F (2).
1
f (x) = F ' (x) = 6x – 5 F (0) = 0; F (2) = 2 37 Kalkulatu f (x) = x 2 – 1 kurbaren azpiko azalera [1, x] tarte aldakorrean. Kalkulatu azalera x = 4. x 2 – 1 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1 x
Área =
∫ (t
2
– 1) dt
1
G (t ) =
∫
(t 2
4
t3 – 1) dt = –t 3
3 2
2 G (1) = – 3
1
x3 2 Área [1, x] = | G (x) – G (1) | = –x+ 3 3
–2
–1
1 x
Cuando x = 4, queda: Área [1, 4] = 18 u2
229. Orrialdea 38 Egiaztatu, integralak erabiliz, laukizuzenaren azalera A = b · a dela. Y
r
a b
X
☛ Aurkitu r zuzenaren ekuazioa, eta kalkulatu r zuzenak eta OX ardatzak x = 0 eta x = b artean mugatzen duten azalera. La ecuación de r es y = a. El área es: b
Área =
∫ a dx 0
∫
G (x) = a dx = ax G (b ) = ab ; G (0) = 0 Área = G (b ) – G (0) = ab 9. unitatea. Integralekin hasi
33
SAKONTZEKO 39 Grafiko hau f (x) = x 2 funtzioari dagokiola jakinda, justifikatu honako funx
tzio hauetako zein den F (x) =
∫
f : 1
a) F (x) = x 3 – 1 b) F (x) =
x3 3
c) F (x) =
x3 1 – 3 3
f
1
x
Como debe cumplirse que F' (x) = f (x), no puede ser F (x) = x 3 – 1, ya que F' (x) = 3x 2. Cualquiera de las otras dos cumple que: F' (x) =
3x 2 = x 2 = f (x). 3
Tiene que verificarse, además, que F (1) = 0. Por ello, descartamos el caso b), en el que F (1) = x
La solución es la c):
∫
f= 1
1 . 3
x3 – 1 3 3 x
40 a) f (x) = x + 1 untzioa emanda, lortu F(x) =
∫
f.
3
b) Lortu, gero,
∫
5
f . 3
a) Empezamos buscando la función que cumpla F' (x) = f (x). Será F (x) =
2x x2 + x + k, pues F' (x) = + 1 = x + 1. 2 2
Además, F (3) = 0 8 Por tanto: F (x) =
b)
34
∫
5
f dx = F (5) = 3
9 + 3 + k = 0 8 k = – 15 . 2 2
15 x2 +x– 2 2
25 15 +5– = 10 2 2
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
1 (x ? 0) funtzioa emanda: x2
s41 f (x) = a e x/3 +
2
∫
a) Kalkulatu
f (x) dx integrala a-ren funtzioan. 1
b) Badakigu F funtzioa f-ren jatorrizko bat dela. Kalkulatu a, baldin eta F (1) = 0 eta F (2) = 1/2 badira. 2
a)
∫
2
∫
f (x) dx = 1
1
(
ae x/3 +
(
= 3ae 2/3 –
)
[
1 1 dx = 3ae x/3 – x2 x
]
2
= 1
)
1 1 – (3ae 1/3 – 1) = 3a(e 2/3 – e 1/3) + 2 2
b) Si F es una primitiva de f, tenemos que: F (x) = 3ae x/3 –
1 +k x
Tenemos que hallar k y a para que: F (1) = 0 1 F (2) = — 2
8 3ae 1/3 – 1 + k = 0 1 1 8 3ae 2/3 – — + k = — 2 2
° 3ae 1/3 + k = 1 ° § § ¢ 3ae 2/3 + k = 1 ¢ § § £ £
Restando la 2.a ecuación menos la 1.a: 3a(e 2/3 – e 1/3) = 0 8 a = 0 8 k = 1 1 Por tanto: F (x) = – + 1 x s42 Adierazi integral baten bitartez (0, 3), (7, 3) eta (7, 10) erpinak dituen triangeluaren azalera. Azaldu idatzitako integral horren esanahia. • La ecuación de la recta que pasa por (0, 3) y (7, 10) es: Pendiente =
10 – 3 7 = =1 7–0 7
Ecuación: y = x + 3
10
(7, 10)
• La ecuación de la recta que pasa por (0, 3) y (7, 3) es y = 3. El área del triángulo es el área comprendida entre las dos rectas anteriores y x = 7. Así, tenemos que:
Área =
7
7
0
0
(0, 3) (7, 3) 7
∫ [(x + 3) – 3] dx = ∫ x dx = Área
El área del triángulo es equivalente al área limitada por y = x, x = 0 y x = 7. 7
• Calculamos su valor:
∫ x dx = 0
9. unitatea. Integralekin hasi
49 2 u 2 35
s43 Aurkitu A(2, 4), B(–2, 4) eta C (–1, 1) erpinak dituen triangelu mistilineoaren azalera, AB eta AC lerroak zuzenak direla jakinda, eta B eta C puntuak lotzen dituena y = x 2 ekuazioduna.
B(–2, 4)
y=4
4
A(2, 4) y = x2 C(–1, 1) –2 –1
2
• Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A y C : Pendiente =
4–1 3 = =1 2 – (–1) 3
Ecuación: y = 4 + (x – 2) = x + 2 • Calculamos el área pedida: Área =
∫
–1
(4 – x 2) dx +
–2
(
= –4 +
∫
2
[
[4 – (x + 2)] dx = 4x –
–1
x2 1 8 – –8 + + 2x – 2 3 3
) (
) [
]
2
x3 3
]
–1
+ –2
∫
2
(2 – x) dx =
–1
5 5 37 2 +2+ = u 3 2 6
= –1
s44 y = a [1 – (x – 2)2] kurbak, a > 0 izanik, 12 unitateko gainazala duen esparrua mugatzen du abzisa-ardatzarekin. Kalkulatu a-ren balioa. • Hallamos los puntos de corte con el eje de abscisas: x–2=1 8 x=3 x – 2 = –1 8 x = 1
a [1 – (x – 2)2] = 0 8 (x – 2)2 = 1 • Calculamos el área e igualamos a 12: Área =
∫
3 1
[
=a 3–
36
[
a [1 – (x – 2)2] dx = a x –
(
1 1 – 1+ 3 3
)] (
=a2–
(x – 2)3 3
]
3
= 1
)
2 4a = = 12 8 a = 9 3 3
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
229. Orrialdea AUTOEBALUAZIOA 1. Ebatzi honako integral hauek: c)
e) x √2x 2 + 1 dx
f)
∫(
7 2 1 x – 2x + dx 3 2
d)
∫(
2 + √2x dx x2
∫(
7 2 1 7 x3 1 7 1 x – 2x + dx = – x2 + x + k = x3 – x2 + x + k 3 2 3 3 2 9 2
a)
)
1 – x3 dx x
a)
b)
)
∫ ∫
∫( ∫
3 – 5x 2
1 – x3 x3 1 dx = dx – x 2 dx = ln |x | – +k x 3 x
c)
∫(
3 – 5x 2
∫(
–1 x 3/2 2 –2 dx + √2 x 1/2 dx = 2 x √ 2x √ 2 + dx = 2x + +k= –1 3/2 x2
∫
)
2
∫
dx = –
)
2 5
∫ –2 (
5 3 – 5x 2
∫
=–
∫
e) x √2x 2 + 1 dx =
∫
)
2
dx = –
(
2 1 3 – 5x 5 3 2
)
3
+k =
(
–2 3 – 5x 15 2
)
3
+k
∫
2 2 √2 √x 3 + k + x 3
1 1 (2x 2 + 1)3/2 1 4x (2x 2 + 1)1/2 dx = + k = √(2x 2 + 1)3 + k 3/2 4 4 6
∫
x 2 + 3x – 2 dx x–1 x 2 + 3x – 2 –x 2 + x 4x – 2 –4x + 4 2
∫
dx
)
∫
f)
2
x 2 + 3x – 2 dx x–1
b)
d)
)
x 2 + 3x – 2 dx = x–1
9. unitatea. Integralekin hasi
Dividendo resto = cociente + divisor divisor
x–1 x+4
x 2 + 3x – 2 2 =x+4+ x–1 x–1
∫(
x+4+
x2 2 dx = + 4x + 2ln |x – 1| + k 2 x–1
)
37
2. Kalkulatu: a)
a)
b)
∫ ∫ ∫
3
2 dx x –1 + 2
b)
∫
2
e 3x – 1 dx
1/3
3
3 2 dx = [2 ln |x + 2| ] = 2[ln 5 – ln 1] = 2 ln 5 –1 –1 x + 2
2
e 3x – 1 dx =
1/3
1 3
∫
2
3e 3x – 1 =
1/3
e5 – 1 1 3x – 1 2 1 e = (e 5 – e 0 ) = [ ] 3 3 3 1/3
3. Kalkulatu f(x) = 4x – x 2 funtzioak, OX ardatzak eta x = 3 eta x = 5 zuzenek mugatzen duten azalera. Representamos y = 4x – x 2. x = 0, y = 0 Cortes con los ejes y=0 Y
Vértice: y ' = 0 8 4 – 2x = 0 8 x = 2, y = 4 4
5
1
| ∫ (4x – x ) dx | = ∫ x x 32 7 = [ 2x – + | [ 2x – = – 9) + | – | = 4 u 3 ] 3 ] | ( 3 3
Área =
(4x – x 2) dx +
3
1 3 4
5 X
4
2
3 4
2
3
4. y =
2
3 5
2
4
4 kurbak, OX ardatzak, OY ardatzak eta x = 4 zuzenak S gainazala x+4
mugatzen dute. Kalkulatu S-ren azalera. Representamos y =
4 . Sus asíntotas son x = –4 e y = 0. x+4
Y
Área =
2 –4
4 4 dx = 4 [ln |x + 4 | ] = 0 0x + 4
4 X
–2 –2 –4
38
∫
4
= 4(ln 8 – ln 4) = 4 ln
8 = 4 ln 2 › 2,77 u2 4
9. unitatea. Integralekin hasi
UNITATEA
9
5. Motor baten kontsumoa, 6 orduko lana eginda, c(t) = –t 2 + 8t + 20 adierazpenak ematen digu, t denbora izanik ordutan, 0 Ì t Ì 6. Zenbat kontsumitzen du motorrak lanak irauten duen 6 orduetan? El consumo equivale al área encerrada por la función c (t ) entre las rectas x = 0 y x = 6. 6 6 t 3 8t 2 63 c= (–t 2 + 8t + 20) dx = – + + 20t = – + 4 · 62 + 20 · 6 = 192 3 2 3 0 0
[
∫
]
6. Beirate bat ixteko, y = 2 eta y = –(x – 2)2 + 6 funtzioek mugatzen duten gainazala adinakoa den kristal bat jarri behar da. Marraztu kristala eta kalkulatu horren azalera (x eta y dm-tan). y = –(x – 2)2 + 6 es una parábola de vértice (2, 6).
6
Y
Puntos de corte con los ejes: 2
x=0 8 y=2 –x 2
y=0 8
+ 4x + 2 = 0
1
x = –0,45 x = 4,45
2
4
X
Puntos de corte de la curva con y = 2: 2 = –(x – 2)2 + 6 8 –x 2 + 4x = 0
Área del cristal =
∫
4
x = 0, y = 2 x = 4, y = 2
[–(x – 2)2 + 6 – 2] dx =
0
∫
[
4
(–x 2 + 4x) dx =
0
= –
x3 + 2x 2 3
]
4
=– 0
64 32 + 32 = dm2 3 3
7. Adierazi grafiko batean honako funtzio hauek mugatzen duten esparrua eta kalkulatu azalera: 5 1 1 f (x) = x 2 g (x) = (5x + 20) h (x) = (–5x + 20) 4 2 2 Representamos la parábola f (x), y las rectas g (x) y h (x). 20
Y
• Cortes de f (x) y g (x):
16
x = –2, y = 5 x = 4, y = 20
5 2 1 x = (5x + 20) 8 x 2 – 2x – 8 = 0 4 2 • Cortes de f (x) y h (x):
4 X
2
Área = 2
[∫
4 0
] [(
1 5 1 5x 2 5 x3 (5x + 20) – x 2 dx = 2 + 20x – 2 4 2 2 4 3
9. unitatea. Integralekin hasi
x = –4, y = 20 x = 2, y = 5
5 2 1 x = (–5x + 20) 8 x 2 + 2x – 8 = 0 4 2
)
]
4
(
= 2 60 – 0
)
80 200 2 = u 3 3
39