Mate froga

9

INTEGRALEKIN HASI

209. Orrialdea HAUSNARTU ETA EBATZI Bi tren Talgo bat eta merkantzia-tren bat geltoki beretik irten dira, bide beretik eta norabide berean, bata bestearen atzetik, ia-ia aldi berean.

Hona hemen bi higidura horien DENBORA - ABIADURA grafikoak.

VELOCIDAD (en km/h) 120

TALGO MERCANCĂ?AS

100 80 60 40 20

1

2

3

4

TIEMPO (en horas)

Grafikoan ikus dezakegunez, Talgoak abiadura gutxitu du irten eta bi ordura: Zer dela eta?

Zergatik gutxitu du abiadura une horretan bertan beste trenak ere?

Irten eta hiru ordura, bi trenek martxa aldatu dute: Talgoa gelditu egin da minutu batzuetan, eta merkantzia-trena oso-oso astiro doa ordu erdiz. â–

Higidura horiek argi ulertzeko, kalkulu batzuk egingo ditugu: a) Talgoa, 2 ordutan, 120 km/h-ko abiaduran doa. Zenbat kilometro egin ditu abiadura horretan? b) 2-tik 2

1 ,-ra, Talgoak abiadura gutxitzen du.

4

Zenbat kilometro egiten ditu abiadura horretan?

9. unitatea. Integralekin hasi

1

c) Merkantzia-trenak 3 h-ra gutxitzen du abiadura. Zenbateko distantzia egin du ordura arte? d) Zenbateko distantzia egiten du merkantzia-trenak abiadura gutxitzen duen ordu erdi horretan? e) Hasierako geltokitik zenbateko distantziatara dago Talgoa gelditu den beste geltoki hori? f ) Ikusten duzunez, orain arte egindako kalkulu guztietan grafiko urdin zein gorriaren azpiko azalerak lortu ditugu. Adierazi zer esparruren azalerak kalkulatu dituzun eta zehazteko zenbateko azalera duen bakoitzak. a) 120 · 2 = 240 km. b) A 60 km/h durante

1 60 de hora, recorre = 15 km.

4 4

c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 · 3 = 240 km. d) Va a 30 km/h durante

1 1 hora, luego recorre 30 · = 15 km.

2 2

e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de: 120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas 1 60 · = 15 km el siguiente cuarto de hora 4 120 ·

3 = 90 km los siguientes tres cuartos de hora 4

Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada. f)

VELOCIDAD (km/h)

120 100 80 60

TALGO

Área 90

Área 240

40 20

1 VELOCIDAD (km/h)

2

Área 3 15

TIEMPO (horas) 4

80 60 MERCANCÍAS

Área 240

40 20

Área 15 TIEMPO (horas) 1

2

2

3

4 9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEAA

9

Zer funtziok du deribatutzat …?

Deribatutzat 2x duen funtzioa da ... x 2.

Deribatutzat cos x duen funtzioa da ... sin x.

Deribatutzat ■

1

– duen funtzioa da ... √x .

2√x

Esan zein den deribatutzat honako kasu hauek dituen funtzioa: a) 2x

b) x

c) 5x

d) 3x2

e) x2

f) 5x2

g) 4x 3

h) x 3

i) 2x 3

j) 1

k) 4

l) √2

m) 3x2 + 4x 3

n) 5x2 + 7x 3

ñ) – sin x

o) sin x

p) 5sin x

q) cos x

r) e x

s) 3e x

t) e –x

u) 2 x ln2

v) 2x

w) 5 · 2x

a) 2

b) 1

c) 5

d) 6x

e) 2x

f) 10x

g) 12x2

h) 3x2

i) 6x2

j) 0

k) 0

l) 0

m) 6x + 12x2

n) 10x + 21x2

ñ) –cos x

o) cos x

p) 5cos x

q) –sen x

r) e x

s) 3e x

t) e –x

u) 2 x (ln2)2

v) 2x ln2

w) 5 · 2x · ln2

211. Orrialdea 1. Kalkulatu honako integral hauek: a)

∫ 7x

4

b)

dx

1

∫x 3

3

d)

∫

a)

∫ 7x

b)

∫ x1

c)

∫

√x dx =

∫

3

d)

√5x 2 4

2

e)

dx

dx = 7

dx =

√5x 2 dx =

—

c)

dx

∫ √x dx

—

√x + √5x 3 3x

f)

dx

∫

√5x 3 dx 3 √3x

x5 7x 5 +k= +k 5 5

∫x ∫

∫

2

–2

dx =

–1 x –1 +k= +k x –1

x 1/2 dx =

∫

2 √ x3 x 3/2 +k= +k 3 3/2 3

5/3 3 3 √ 5x 5 √5 x 2/3 dx = √5 x +k= +k 5 5/3 3

9. unitatea. Integralekin hasi

3

3

e)

∫

—

—

√ x + √ 5x3 dx = 3x

∫

x 1/3 dx + 3x

—

√ 5 x 3/2 dx = 1 x –2/3 dx + √ 5 x 1/2 dx =

∫

3x

3

∫

3

∫

√ 5 x 3/2 + k = 3√x + 2 √ 5x 3 + k 1 x 1/3 + 3 3/2 9 3 1/3 — 3/2 — — 13/6 —6— √5 · x √ 5 √ 5 x 6 √ 5 √x 13 7/6 dx = 3 — x dx = 3 — +k= +k 3 — 3— √ 3 · x1/3 √3 √ 3 13/6 13 √ 3 =

f)

∫

√ 5x3 dx = 3 √ 3x

∫

∫

2. Kalkulatu: x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx x

∫ 7x c) ∫ a)

4

∫ d) ∫ (10

b) (5 cos x + 3x ) dx

– 5x 2 + 3x – 4 dx x2

x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx = x

a)

∫

b)

∫

(5 cos x + 3x ) dx =

c)

∫

7x 4 – 5x 2 + 3x – 4 dx = x2

∫

d) (10x – 5x ) dx =

∫ 10

∫

x

x

∫ (x

3

– 5x + 3 –

5 cos x dx +

∫

– 5x ) dx

)

4 x4 5x 2 dx = – + 3x – 4 ln | x | + k x 4 2

3x dx = 5 senx +

∫ ( 7xx

)

=

∫ 7x

dx –

=

7x 3 – 5x + 3 ln | x | + 4 + k 3 x

4

2

dx –

∫5

x

2

dx –

dx =

∫ ( 5xx

2

2

)

3x +k ln 3

∫ 5 dx + ∫

dx +

∫ ( 3xx ) dx – ∫ ( x4 ) dx = 2

3 dx – x

2

∫ x4

2

dx =

10x 5x – +k ln 10 ln 5

213. Orrialdea 3. Aurkitu funtzio hauen jatorrizkoak: 2

a) f (x) = (x 3 – 5x + 3) (3x 2 – 5) c) f (x) =

3x 2 – 3 x 3 – 3x

b) f (x) = (5x + 1) d) f (x) =

3

x2 – 1 x 3 – 3x

e) f (x) = cos x sin3 x

∫

a) (x 3 – 5x + 3)2 (3x 2 – 5) dx =

∫

b) (5x + 1)3 dx =

4

(x 3 – 5x + 3)3 +k 3

(5x + 1)4 1 (5x + 1)4 · +k= +k 4 20 5 9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

c) d)

∫

3x 2 – 3 dx = ln | x – 3x | + k x 3 – 3x

∫

x2 – 1 1 dx = ln | x 3 – 3x | + k x 3 – 3x 3

9

sen4 x +k 4

∫

e) cos x sen3 x dx =

4. Kalkulatu honako hauen jatorrizkoak: 2

2

a) f (x) = x 2 x ln 2

b) f (x) = x 2 x

c) f (x) = 2 3x – 5

d) f (x) = sin 3x

e) f (x) = sin (x 3 – 4x 2 ) (3x 2 – 8x)

f) f (x) =

cos x sin x

2

∫

2

∫

2

a) x 2 x ln 2 dx =

2x 1 2 · 2x + k = +k 2 2 2

b) x 2 x dx = c)

∫

2x 1 2 · 2x + k = +k 2 ln 2 2 ln 2

2 3x – 5 dx =

23x – 5 1 · 23x – 5 + k = +k 3 ln 2 3 ln 2 1

cos 3x + k ∫ 3 e) ∫ sen (x – 4x ) (3x – 8x) dx = –cos (x cos x dx = ln | sen x | + k f) ∫ sen x

d) sen 3x dx = – 3

2

2

3

– 4x 2 ) + k

217. Orrialdea 1. Aurkitu eta interpretatu integral hauek: a)

b)

4π

∫

sin x dx 0

∫

2

(x 2 – 4) dx –2

a) G (x) =

∫ sen x dx = –cos x

G (4π) = –1; G (0) = –1

∫

4π

sen x dx = –1 – (–1) = –1 + 1 = 0 0

9. unitatea. Integralekin hasi

5

Interpretación geométrica: y = sen x I

III

π

2π

3π

II

4π IV

La parte positiva y la parte negativa son iguales; por eso da como resultado 0: Área de I – Área de II + Área de III – Área de IV = 0 b) G (x) =

∫ (x

G (2) = –

∫

2

2

– 4) dx =

x3 – 4x 3

16 16 ; G (–2) = 3 3

(x 2 – 4) dx = –

–2

16 16 32 – =– 3 3 3

Interpretación geométrica: 2

–2

y = x2 – 4 –4

Como queda por debajo del eje X, la integral es el área del recinto señalado con signo negativo, es decir: –Área del recinto = –

32 3 2

2. Aurkitu honako integral hau, eta interpretatu geometrikoki:

∫e

x

dx

0

2

G (x) =

∫e

x

dx = e x

0

G (2) = e 2; G (0) = 1 2

∫e

x

8

dx = e 2 – 1 ≈ 6,39

0

Interpretación geométrica:

y = ex

Área del recinto = e 2 – 1 ≈ 6,39 –2

6

–1

1

2

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

219. Orrialdea 1. Kalkulatu y = (x 2 – 1) (x 2 – 4) funtzioaren, X ardatzaren eta x = 0, x = 5 zuzenen arteko azalera.

• Puntos de corte con el eje X : (x 2 – 1)(x 2 – 4) = 0 8 x1 = –2, x2 = –1, x3 = 1, x4 = 2 Solo nos sirven x = 1, x = 2 (están entre 0 y 5).

• Hay tres recintos: I [0, 1]; II [1, 2]; III [2, 5] • G (x) =

∫ (x

2

∫ (x

– 1(x 2 – 4) dx =

• G (0) = 0; G (1) =

4

– 5x 2 + 4) dx =

x 5 5x 3 – + 4x 5 3

38 16 1 310 ; G (2) = ; G (5) = 15 15 3

• Área del recinto I = | G (1) – G (0) | =

38 15

| 2215 | = 2215

Área del recinto II = | G (2) – G (1) | = – Área del recinto III = | G (5) – G (2) | = Área total =

2 178 5

38 22 2 178 2 198 + + = = 439,6 u2 15 15 5 5

2. Kalkulatu honako hauen arteko azalera y = x 3 – x 2 – 2x eta X ardatza.

• Puntos de corte con el eje X : x 3 – x 2 – 2x = 0 8 x (x 2 – x – 2) = 0 8 x1 = –1, x2 = 0, x3 = 2 • Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 2] • G (x) =

∫

(x 3 – x 2 – 2x) dx =

• G (–1) = –

x4 x3 – – x2 4 3

5 8 ; G (0) = 0; G (2) = – 12 3

• Área del recinto I = | G (0) – G (–1) | = Área del recinto II = | G (2) – G (0) | = Área total =

5 12 8 3

5 8 37 + = ≈ 3,08 u2 12 3 12

9. unitatea. Integralekin hasi

7

220. Orrialdea 1. Kalkulatu honako funtzio hauen grafikoen artean dagoen azalera: f (x) = x 3 – x 2 + 4 g (x) = x 2 + 3x + 4 • f (x) – g (x) = x 3 – x 2 + 4 – x 2 – 3x – 4 = x 3 – 2x 2 – 3x • x 3 – 2x 2 – 3x = 0 8 x (x 2 – 2x – 3) = 0 8 x1 = –1, x2 = 0, x3 = 3 • Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 3] • G (x) =

∫

(x 3 – 2x 2 – 3x) dx =

• G (–1) = –

x 4 2x 3 3x 2 – – 4 3 2

7 45 ; G (0) = 0; G (3) = – 12 4

• Recinto I: Área [–1, 0] = | G (0) – G (–1) | = Recinto II: Área [0, 3] = | G (3) – G (0) | = Área total:

7 12

45 4

7 45 71 + = › 11,83 u2 12 4 6

25 20 15 II

10 5 I – 4 –3 –2 –1

8

1

2

3

4

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

226. Orrialdea PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK TREBATZEKO

Jatorrizkoak kalkulatu 1 Aurkitu honako funtzio hauen jatorrizko bat: b) f (x) = 2x – √3

a) f (x) = x + 1 c) f (x) =

x + x2 2

d) f (x) = – 8x 3 + 3x 2

e) f (x) =

1 1 + x2 x3

f) f (x) = √x +

g) f (x) =

1

√x

+

∫

a) (x + 1) dx =

x 3

h) f (x) =

3 5x 4

x2 3

√x

x2 +x 2

b)

∫ (2x – √3 ) dx = x

c)

∫(

2

– √3 x

x2 x3 x + x 2 dx = + 4 3 2

)

∫

d) (–8x 3 + 3x 2) dx = –2x 4 + x 3 x –1 x –2 1 1 1 1 + 3 dx = (x –2 + x –3 ) dx = + =– – 2 –1 –2 x x x 2x 2

e)

∫(

f)

∫( √

g)

∫( √

h)

)

x +

1 x

x2

∫ √x 3

+

∫

)

3 dx = 5x 4

)

x dx = 3

∫(

∫(

x 3/2 3 x –3 3 –4 1 2 √x 3 x dx = + · = – 3/2 5 5 –3 5x 3 3

)

x 1/2 +

x –1/2 +

x 1/2 1 x 2 x2 1 x dx = + · = 2 √x + 1/2 6 3 3 2

)

3

∫

∫

dx = x 2 · x –1/3 dx = x 5/3 dx =

9. unitatea. Integralekin hasi

x 8/3 3 √x 8 = 8/3 8

9

2 Integratu atal bakoitzeko funtzioa: 3

a) √3x e)

3 x

b) √5x 2

c)

2 x+1

g)

f)

x + x2

√x x–2 x2 —

∫

∫

x 1/2

a) √3x dx = √3

∫

∫

3

3

b) √5x 2 dx = √5 x 2/3 dx = √5

c)

∫

x + x2

√x

x3 – 2 x2

h)

3 – 2x x

—

—

2√ 3 √x 3 2√3x 3 x 3/2 dx = √3 +k= +k= +k 3 3 3/2 3

3

d)

—

3 √5x 5 x 5/3 +k= +k 5 5/3 —

dx =

∫

(x 1/2

+

—

2√x 3 2√x 5 x 3/2 x 5/2 dx = + +k= + +k 3 5 3/2 5/2

x 3/2)

2 –1 x3 – 2 x2 2 –2) dx = x – 2x dx = (x – 2x + k = + +k x2 2 –1 2 x

d)

∫

∫

e)

∫ x dx = 3 ln |x | + k

f)

∫ x + 1 dx = 2 ln |x + 1| + k

g)

∫

x–2 dx = x2

h)

∫

3 – 2x dx = x

3

2

∫ ( x – x ) dx = ln |x | + x + k 1

2

2

2

∫ ( x – 2) dx = 3 ln |x | – 2x + k 3

3 Ebatzi:

∫

d)

b) cos x +

∫ ( 1 – sin 2 ) dx x

∫

a) sen 3x dx = –

∫

(

b) cos x +

10

(

∫

a) sin 3x dx

)

1 3

∫

e) sin

(

)

π dx 2

)

π – x dx 2

c)

cos x

∫ sin x dx ∫

f) cos

π x dx 2

1

∫ –3 sen 3x dx = – 3 cos 3x + k

(

)

π π dx = sen x + +k 2 2

cos x

c)

∫ sen x dx = ln | sen x | + k

d)

∫ ( 1 – sen 2 ) dx = x + 2 cos 2 + k x

x

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

∫

(

∫

2 π x dx = π 2

e) sen

f) cos

)

(

9

)

π π – x dx = cos –x +k 2 2 π

π

π

2

∫ 2 cos 2 x dx = π sen 2 x + k

4 Kalkulatu:

∫

∫

a) e x + 3 dx

∫

b) e 2x – 1 dx

c) 2 x – 7 dx

∫

x

d) 3 2 dx

∫

a) e x + 3 dx = e x + 3 + k 1 2

∫

b) e 2x – 1 dx =

∫

x

∫

2x – 1

∫

1

∫2 3

x 2

dx =

1 2x – 1 e +k 2

dx =

1 ln 2 · 2x – ln 2

c) 2 x – 7 dx = d) 3 2 dx = 2

∫ 2e

7

dx =

2x – 7 1 · 2x – 7 + k = +k ln 2 ln 2

2 · 3x/2 +k ln 3

5 Kalkulatu:

∫ 1 c) ∫ dx √x + 2

∫ d) ∫ √3x – 5

a) (x – 3) 3 dx

3

e)

∫√

g)

∫x

b) (2x + 1) 5 dx

x+3 dx 2

f)

2x dx +2

∫

a) (x – 3) 3 dx =

∫

1 2

∫

2(2x + 1)5 dx = 1

1

∫ √x + 2 dx = 2∫ 2√x + 2

∫

d) √3x – 5 dx = 3

e)

∫√

x 2

–4

dx

1 3

∫

∫

3(3x – 5)1/2 dx =

(

(2x + 1)6 1 (2x + 1)6 · +k= +k 6 12 2

dx = 2 √x + 2 + k

1 x+3 x+3 dx = 2 2 2 2

9. unitatea. Integralekin hasi

∫ 3x

(x – 3)4 +k 4

b) (2x + 1) 5 dx = c) ∫

3

∫ 2x – 1 dx

h)

2

dx

)

1/3

1 (3x – 5)3/2 2 √(3x – 5)3 · = +k 3/2 3 9

dx = 2 ·

[(x + 3)/2]4/3 3 x+3 +k= 4/3 2 2

(

)

4

+k

11

3

1

2

3

f)

∫ 2x – 1 dx = 2 · 3∫ 2x – 1 dx = 2 ln | 2x – 1| + k

g)

∫x

h)

∫ 3x

2x dx = ln | x 2 + 2| + k +2

2

x 2

–4

1 6

dx =

6x 1 | 2 | 2 – 4 dx = 6 ln 3x – 4 + k

∫ 3x

6 Kalkulatu:

∫

a) x √5x 2 + 1 dx

b)

2x + 1 dx +x–3

c)

∫x

e)

∫ 3x

g)

∫x

∫

5x 2 + 2 dx

∫

=

c)

∫x

dx =

–3

2 3

∫

√(5x 2 + 1)3

+k

15 3x 2

∫ 2√x

3

dx =

–3

2 √x 3 – 3 + k 3

2x + 1 dx = ln | x 2 + x – 3 | + k +x–3

∫

2

∫ 3x

1 2

∫ 2x e

5x 5 2 + 2 dx = 6

∫

f) sen 2 x cos x dx =

x2

dx =

1 x2 e +k 2

6x 5 | 2 | 2 + 2 dx = 6 ln 3x + 2 + k

∫ 3x

sen 3 x +k 3

x3 1 dx = –4 4

∫

4x 3 1 dx = ln | x 4 – 4 | + k x4 – 4 4

h) x sen x 2 dx = –

1 2

∫ –2x sen x

g)

∫ ∫

12

1 1 (5x 2 + 1)3/2 10x (5x 2 + 1)1/2 dx = · +k= 3/2 10 10

2

d) x e x dx =

e)

2

h) x sin x 2 dx

∫

3

dx

–3

∫

x3 dx –4

∫ √x

3

f) sin2 x cos x dx

4

x2

∫ √x

d) x e x dx

2

a) x √5x 2 + 1 dx =

b)

x2

x4

2

dx = –

1 cos x 2 + k 2 9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

7 Kalkulatu:

∫ 1 √ c) ∫ e √x

x

e)

√x + 5

∫ x+5

b) x 2 · 2 – x dx

∫

∫

b) x 2 · 2 –x 1

c)

∫ √x e √

d)

∫ √x

e)

∫ x+5

f)

3

x

+5

3 5x e +k 5

dx = 2

3x – 2

∫ √3x – 2

dx =

3

1 3

dx = –

– 6x + 2

√x + 5

3x – 2

∫ √3x – 2 dx

f)

x–3 2

+5

2

dx

a) 3e 5x dx =

3

dx ∫ x–3 d) ∫ dx √x – 6x + 2

a) 3 e 5x dx

∫

–3x 2 · 2 –x

1

3

+5

∫ 2√x dx = 2 e √

x

1 2

dx =

∫ √x

dx =

+k

2x – 6 2

–2 –x + 5 +k 3 ln 2

– 6x + 2

dx = √x 2 – 6x + 2 + k

1

1

∫ √x + 5 dx = 2 ∫ 2√x + 5 dx = 2 √x + 5 + k ∫

dx = √3x – 2 dx =

=

1 1 (3x – 2)3/2 3(3x – 2)1/2 dx = +k= 3/2 3 3

∫

2 √(3x – 2)3 +k 9

8 Ebatzi honako integral hauek: a) c)

∫

x 2 – 3x + 4 dx x–1

b)

∫

2x 2 – 3x + 1 dx 2x – 1

d)

☛ Zatitu eta jarri frakzioa era honetara: a) b) c) d)

∫

x 2 + 5x – 7 dx x +3

∫

x 2 + 3x – 1 dx x2 – 1 Zatikizuna hondarra = zatidura + zatitzailea zatitzailea

∫

x 2 – 3x + 4 dx = x–1

∫

x 2 + 5x – 7 dx = x +3

∫

2x 2 – 3x + 1 x2 dx = (x – 1) dx = –x+k 2x – 1 2

∫

x 2 + 3x – 1 dx = x2 – 1

∫(

x–2+

∫(

x+2–

x2 2 dx = – 2x + 2 ln | x – 1 | + k 2 x–1

)

x2 13 dx = + 2x – 13 ln | x + 3| + k 2 x+3

)

∫

9. unitatea. Integralekin hasi

∫ (1 + x

)

3x 3 dx = x + ln | x 2 – 1 | + k 2 –1

2

13

9 Kalkulatu: 1

1 dx x

a)

∫x

c)

∫√x √x dx

d)

∫x

∫

f)

∫ √3x

2

sin

∫

b) sin x cos x dx

—

e) (2x 2 + 1) 2 dx 3x 2 + 2x – 1 dx x–2

g)

∫

i)

∫ x ln x dx

a)

∫x

1 2

sen

—

c)

∫ √x √x dx = ∫

d)

∫x

x 3/4

1

∫e

4

—

14

cos e –x dx

∫

x

∫ √3x

2

–2

dx =

1 3

6x

∫ 2√3x

2

∫

3x 2 + 2x – 1 dx = x–2

h)

∫

ex dx = ln |1 + e x | + k 1 + ex

i)

∫ x ln x dx = ln

j)

∫e

x

x

4√ x 7 x 7/4 dx = +k= +k 7 7/4

∫

1

∫

1 1 –1 dx = dx = +k (x + 1)2 x+1 + 2x + 1

∫

2

dx

ex dx 1 + ex

j)

e) (2x 2 + 1) 2 dx = (4x 4 + 4x 2 + 1) dx =

g)

–2

sen 2 x +k 2

∫

f)

2

1 1 dx = cos + k x x

b) sen x cos x dx =

2

1 dx + 2x + 1 x

h)

2

2

2

∫(

–2

3x + 8 +

4x 5 4x 3 + +x+k 5 3

√3x 2 – 2

dx =

3

+k

3x 2 15 dx = + 8x + 15 ln |x – 2| + k 2 x–2

)

x+k

cos e –x dx = –sen e –x + k

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

227. Orrialdea Integral mugatua 10 Ebatzi honako integral hauek: a) c) e)

∫ ∫ ∫

5

6

(–3x 2) dx

b)

2

∫ (2x – 1) dx 4

2

(x 3 + x) dx

d)

–2 e

1 dx x 1

f)

π

∫ (sin x – cos x) dx a) G (x) = ∫ (–3x ) dx = –x g)

h)

0

2

4

∫ ∫

√3x dx 1 3

e x – 2 dx –1

∫

π

sin 2x dx

–π

3

G (5) = –125; G (2) = –8 5

∫ (–3x ) dx = G (5) – G (2) = –125 – (–8) = –117 2

2

∫

b) G (x) = (2x – 1) dx = x 2 – x G (6) = 30; G (4) = 12 6

∫ (2x – 1) dx = G (6) – G (4) = 30 – 12 = 18 4

∫

c) G (x) = (x 3 + x) dx =

x4 x2 + 4 2

G (2) = G (–2) = 6

∫

2

(x 3 + x) dx = G (2) – G (–2) = 0

–2

∫

∫

d) G (x) = √3x dx = √3 x 1/2 dx = G (4) =

3/2

=

2 √3x 3 3

16√3 2 √3 ; G (1) = 3 3

4

∫ √3x dx = G (4) – G (1) = 1

e) G (x) =

√3 x 3/2

16√3 2 √3 14√3 – = 3 3 3

1

∫ x dx = ln |x|

G (e ) = 1; G (1) = 0

∫

e

1 dx = G (e ) – G (1) = 1 1x

9. unitatea. Integralekin hasi

15

∫

f ) G (x) = e x – 2 dx = e x – 2 G (3) = e ; G (–1) = e –3

∫

3

e x – 2 dx = G (3) – G (–1) = e – e –3 = e –

–1

e4 – 1 1 = 3 e3 e

∫

g) G (x) = (sen x – cos x) dx = –cos x – sen x G (π) = 1; G (0) = –1 π

∫ (sen x – cos x) dx = G (π) – G (0) = 1 – (–1) = 2 0

∫

h) G (x) = sen 2x dx = – G (π) = –

∫

1 cos 2x 2

1 1 ; G (–π) = – 2 2

π

sen 2x dx = G (π) – G (–π) = 0

–π

11 Aurkitu honako funtzio hauen integralak, adierazitako tarte horietan: a) f (x) = 3x 2 – 6x , [0, 2] tartean

b) f (x) = 2 cos x, [0, π/2] tartean x c) f (x) = (x + 1) (x 2 – 2), [–1, 2] tartean d) f (x) = sin , [0, π] tartean 4

∫

a) • G (x) = (3x 2 – 6x) dx = x 3 – 3x 2 • G (0) = 0; G (2) = –4 2

•

∫ (3x

2

– 6x) dx = G (2) – G (0) = –4

0

∫

b) • G (x) = 2 cos x dx = 2 sen x • G (0) = 0; G •

∫

()

π =2 2

π/2

2 cos x dx = G 0

()

π – G (0) = 2 2

∫

∫

c) • G (x) = (x + 1)(x 2 – 2) dx = (x 3 + x 2 – 2x – 2) dx = • G (–1) = •

16

∫

2

11 4 ; G (2) = – 12 3

(x + 1)(x 2 – 2) = G (2) – G (–1) = –

–1

x4 x3 + – x 2 – 2x 4 3

4 11 9 – =– 3 12 4

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

∫

d) • G (x) = sen

x x = –4 cos 4 4

• G (0) = –4; G (π) = – •

∫

π

sen 0

9

4√2 = –2√2 2

x = G (π) – G (0) = –2√2 + 4 4

Azalerak kalkulatu s12 Kalkulatu, kasu bakoitzean, honako hauek mugaturiko azalera: a) f (x) = x 2 – 4, X ardatza eta x = 0 eta x = 2. b) f (x) = 2x – x 2, X ardatza eta x = –1 eta x = 1 zuzenak. c) f (x) = x 2 – 2x – 3 eta X ardatza. d) f (x) = 1 – x 2, X ardatza eta x = –2 eta x = 2 zuzenak. e) f (x) = e x, X ardatza eta x = –1 eta x = 3 zuzenak. f ) f (x) = x 2 + 1, X ardatza eta x = –1 eta x = 3 zuzenak. a) • Puntos de corte con el eje X : x 2 – 4 = 0 8 x1 = –2, x2 = 2 Solo nos sirve x2 = 2.

• Hay un recinto: [0, 2] • G (x) =

∫

• G (2) = –

(x 2

4

x3 – 4) dx = – 4x 3

2

16 ; G (0) = 0 3

• Área = | G (2) – G (0) | =

–4

–2

2

4

2

4

–2

16 2 u 3

–4

b) • Puntos de corte con el eje X : 2x 2 – x 2 = 0 8 x1 = 0, x2 = 2 Hay dos recintos: I [–1, 0]; II [0, 1]

∫

• G (x) = (2x – x 2) dx = x 2 – • G (–1) =

x3 3

4 2 ; G (0) = 0; G (1) = 3 3

• Área del recinto I = | G (0) – G (–1) | = Área del recinto II = | G (1) – G (0) | =

4

4 3 2 3

2 II

–4

–2

I

–2 –4

4 2 6 Área total = + = = 2 u2 3 3 3 9. unitatea. Integralekin hasi

17

c) • Puntos de corte con el eje X : x 2 – 2x – 3 = 0 8 x1 = –1, x2 = 3 • Hay un recinto: [–1, 3]

∫

• G (x) = (x 2 – 2x – 3) dx =

x3 – x 2 – 3x 3

4 2

5 • G (–1) = ; G (3) = –9 3

–4

|

• Área = | G (3) – G (–1) | = –9 –

–2

2

4

III

4

2

4

–2

|

5 32 2 = u 3 3

–4

d) • Puntos de corte con el eje X : 1 – x 2 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1 • Hay tres recintos: I [–2, –1]; II [–1, 1]; III [1, 2]

∫

• G (x) = (1 –

x 2)

4

x3 dx = x – 3

2 II

2 2 • G (–2) = ; G (–1) = – ; 3 3 G (1) =

–4

I

–2

2 2 ; G (2) = – 3 3

–4

|

| 2 2 4 Área del recinto II = | G (1) – G (–1) | = | – – ( ) | = 3 3 3

• Área del recinto I = | G (–1) – G (–2) | = –

Área del recinto III = | G (2) – G (1) | = Área total = 3 ·

2 5 4 – = 3 3 3

4 3

4 = 4 u2 3

e) • No corta al eje X. 20

∫

• G (x) = e x dx = e x • G (–1) =

15

e –1;

G (3) =

e3

10

• Área = | G (3) – G (–1) | = e 3 – e –1 = = e3 –

1 = e

e4

–1 ≈ 19,7 u2 e

5 –4

–2

f) • No corta al eje X.

∫

• G (x) = (x 2 + 1) dx =

x3 +x 3

12 10 8

4 • G (–1) = – ; G (3) = 12 3 • Área = | G (3) – G (–1) | =

18

6 4

40 2 u 3

2 –2

2

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

s13 Kalkulatu honako kurba hauen artean mugaturiko azalera: a) y = x 2; y = x

b) y = x 2; y = 1

c) y = x 2; y = x 3

d) y = x 2; y = –x 2 + 2x

e) y = 2x 2 + 5x – 3; y = 3x + 1

f ) y = 4 – x 2; y = 8 – 2x 2; x = –2; x = 2

a) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – x = 0 8 x1 = 0, x2 = 1

∫

• G (x) = (x 2 – x) dx =

x3 x2 – 3 2

2 1 –2 –1

1 • G (0) = 0; G (1) = – 6

–1

1

2

–2

1 2 u 6

• Área = |G (1) – G (0)| =

b) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – 1 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1

∫

• G (x) = (x 2 – 1) dx = • G (–1) =

2

x3 –x 3

2 2 ; G (1) = – 3 3

1

–1

1

4 • Área = |G (1) – G (–1)| = u2 3 c) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – x 3 = 0 8 x1 = 0, x2 = 1

∫

• G (x) = (x 2 – x 3) dx =

x3 x4 – 3 4

2 1 –2 –1

1 • G (0) = 0; G (1) = 12 • Área = |G (1) – G (0)| =

–1

1

2

1

2

–2

1 2 u 12

d) • Puntos de corte entre las curvas: x 2 – (–x 2 + 2x) = 2x 2 – 2x = 0 8 x1 = 0, x2 = 1

∫

• G (x) = (2x 2 – 2x) dx =

2x 3 – x2 3

1 • G (0) = 0; G (1) = – 3 • Área = |G (1) – G (0)| =

9. unitatea. Integralekin hasi

2 1 –2 –1

–1 –2

1 2 u 3

19

e) • Puntos de corte entre las curvas: 2x 2 + 5x – 3 – (3x + 1) = 2x 2 + 2x – 4 = 0 8 x1 = –2, x2 = 1

∫

• G (x) = (2x 2 + 2x – 4) dx = • G (–2) =

2x 3 + x 2 – 4x 3

4

20 7 ; G (1) = – 3 3

|

2

• Área = |G (1) – G (2)| = –

–4 –2

|

7 20 27 – = = 9 u2 3 3 3

2

4

2

4

2

3

–2 –4

f) • Puntos de corte entre las curvas: 4 – x 2 – (8 – 2x 2) = x 2 – 4 = 0 8 x1 = –2, x2 = 2

∫

• G (x) = (x 2 – 4) dx =

• G (–2) =

x3 – 4x 3

6

16 16 ; G (2) = – 3 3

• Área = |G (2) – G (–2)| =

2 –4 –2 –2

32 2 u 3

–6

EBAZTEKO s14 Kalkulatu honako hauek mugaturiko azalerak: a) f (x) = x 2 – 2x + 1 funtzioa eta koordenatu-ardatzak. b) y = x 3 kurba, x = 2 zuzena eta X ardatza. c) y = sin x funtzioa, abzisa-ardatza eta x =

π π zuzenak. eta x = – 4 4

d) y = cos x funtzioa eta OX ardatza x = 0 eta x = π bitartean. a) • f (x) = x 2 – 2x + 1 = (x – 1)2 = 0 8 x = 1

∫

• G (x) = (x – • G (0) = –

1)2

2 1

1 ; G (1) = 0 3

• Área = |G (1) – G (0)| =

20

3

(x – 1)3 dx = 3

1 2 u 3

–1

1 –1

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

b) • x 3 = 0 8 x = 0

9

8

x4 • G (x) = x 3 dx = 4

∫

4 –2

• G (0) = 0; G (2) = 4

–1

2

1 –4

• Área = |G (2) – G (0)| = 4 u2

(

c) • sen x = 0 8 x = 0 entre –

[

–8

π π y 4 4

)

] [ ]

π π • Hay dos recintos: I – , 0 ; II 0, 4 4 • G (x) = • G

∫ sen x dx = –cos x

√2 π π =G – =– ; G (0) = –1 2 4 4

() ( )

|

( )| | | () |

• Área del recinto I = G (0) – G –

π 4

= –1 +

√2 2

| = 0,29

2 1

√2 π Área del recinto II = G – G (0) = 1 – = 0,29 2 4

π — –1 4

Área total = 2 · 0,29 ≈ 0,58 u2

–2

d) • cos x = 0 8 x =

π

π (entre 0 y π) 4

[ ] [ ]

• Hay dos recintos: I 0,

π π ; II , 0 2 2

∫

• G (x) = cos x dx = sen x • G (0) = 0; G

()

π = 1; G (π) = 0 2

| ()

2

|

π • Área del recinto I = G – G (0) = 1 2

1

Área del recinto II = | G (π) – G (0) | = 1

–1

Área total = 1 + 1 = 2 u2

–2

I

π — II π 2

s15 Kalkulatu kurba hauen artean mugaturiko azalera: a) y = x 2 eta y = 3 – 2x b) y = 4 – x 2 eta y = 3x 2 c) y = x eta y = x 2 – 2 d) y = 4 – x 2 eta y = x 2 – 4 e) y = (x + 2)2 (x – 3) eta abzisa-ardatza.

9. unitatea. Integralekin hasi

21

a) x 2 – (3 – 2x) = x 2 + 2x – 3 = 0 8 x1 = –3, x2 = 1

∫

• G (x) = (x 2 + 2x – 3) dx = • G (–3) = 0; G (1) = –

12

x3 + x 2 – 3x 3

8

5 3

• Área = |G (1) – G (–3)| =

4 –4

32 2 u 3

–2

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

–4

b) 4 – x 2 – 3x 2 = 4 – 4x 2 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1

∫

• G (x) = (4 – 4x 2 ) dx = 4x – • G (–1) = –

4x 3 3

4 2

8 8 ; G (1) = 3 3

• Área = |G (1) – G (–1)| =

–4

–2 –2

16 2 u 3

–4

c) x – (x 2 – 2) = x – x 2 + 2 = –x 2 + x + 2 = 0 8 x1 = –1, x2 = 2

∫

• G (x) = (–x 2 + x + 2) dx = – • G (–1) = –

x3 x2 + + 2x 3 2

4

7 7 ; G (2) = 6 6

• Área = |G (2) – G (–1)| =

2 –4

9 2 u 2

–2 –2

d) 4 – x 2 – (x 2 – 4) = –2x 2 + 8 = 0 8 x1 = –2, x2 = 2 • G (x) =

∫

(–2x 2

• G (–2) = –

4

2x 3 + 8) dx = – + 8x 3

2

32 32 ; G (2) = 3 3

• Área = |G (2) – G (–2)| =

–4

–2 –2

64 2 u 3

–4

e) (x + 2)2 (x – 3) = 0 8 x1 = –2, x2 = 3

∫

∫

• G (x) = (x + 2)2 (x – 3) dx = (x 3 + x 2 – 8x – 12) dx = =

• G (–2) =

28 171 ; G (3) = – 3 4

• Área = |G (3) – G (–2)| =

22

20

x4 x3 + – 4x 2 – 12x 4 3

625 ≈ 52,1 u2 12

10 –4

–2 –10 –20

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

s16 Kalkulatu y = – x 2 + 4x + 5 kurbaren eta y = 5 zuzenaren arteko azalera.

–x 2 + 4x + 5 – 5 = –x 2 + 4x = 0 8 x1 = 0, x2 = 4

∫

• G (x) = (–x 2 + 4x) dx = –

x3 + 2x 2 3

8 4

32 • G (0) = 0; G (4) = 3

–2

2

4

6

2

4

–4

• Área = | G (4) – G (0) | =

32 2 u 3

–8

s17 Kalkulatu honako kurba hauek mugaturiko azalera: a) y = x 3 + x 2; y = x 3 + 1; x = –1; x = 1 b) y = x 2; y = 1 – x 2; y = 2 c) y = x (x – 1) (x – 2); y = 0 d) y = x 2 – 2x ; y = x e) y = x 3 – 2x ; y = –x 2 f ) y = 2x – x 3; y = x 2 a) x 3 + x 2 – (x 3 + 1) = x 2 – 1 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1

4

x3 • G (x) = (x 2 – 1) dx = –x 3

∫

2 –4

2 2 ; G (1) = – 3 3

• G (–1) =

• Área = | G (1) – G (–1) | =

–2 –2 –4

4 2 u 3

b) x 2 = 1 – x 2 8 2x 2 – 1 = 0 8 x1 = –

√2 2

, x2 =

√2 2

x 2 = 2 8 x3 = – √2 , x4 = √2

2 I

[

I – √2 , –

√2 2

] [

; II –

√2 √2 2

,

2

] [√ √ ] ; III

2 , 2 2

–2

G1(x) = (2 – x 2) dx = x – G1(– √2 ) = –

9. unitatea. Integralekin hasi

III

–1

1

2

–1 –2

• Para el I y el III hay que considerar:

∫

II

1

• Tenemos tres recintos:

x3 3

4√2 √2 11√2 √2 11√2 4√2 ; G1 – =– ; G1 = ; G1(√2 ) = 3 2 12 2 12 3

( )

( )

23

| ( √22 ) – G (– √2)| = 512√2

Área del recinto I = G1 –

1

| ( √22 ) – G (√2)| = 512√2

Área del recinto III = G1

1

• Para el II hay que considerar:

∫

∫

G2(x) = (2 – 1 + x 2) dx = (1 + x 2) dx = x + G2

(√ )

x3 3

2 7√2 √2 7√2 = ; G2 – =– 2 12 2 12

( )

| ( √22 ) – G (– √22 ) | = 7√62

Área del recinto II = G2

• Área total =

2

5√2 7√2 5√2 12√2 + + = = 2 √2 u2 12 6 12 6

c) x (x – 1)(x – 2) = 0 8 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 • Hay dos recintos: I [0, 1]; II [1, 2]

∫

∫

• G (x) = x (x – 1)(x – 2) dx = (x 3 – 3x 2 + 2x) dx = • G (0) = 0; G (1) =

x4 – x3 + x2 4

1 ; G (2) = 0 4

• Área del recinto I = | G (1) – G (0) | =

2

1 4

1 –2

–1

1 Área del recinto II = | G (2) – G (1) | = 4 Área total =

1

2

2

4

–1 –2

1 1 1 2 + = u 4 4 2

d) x 2 – 2x – x = x 2 – 3x = 0 8 x1 = 0, x2 = 3

∫

• G (x) = (x 2 – 3x) dx =

x 3 3x 2 – 3 2

3 2

9 • G (0) = 0; G (3) = – 2 • Área = | G (3) – G (0) | =

24

1

9 2 u 2

–4

–2 –1

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

e) x 3 – 2x – (–x 2) = x 3 + x 2 – 2x = 0 8 x1 = –2, x2 = 0, x3 = 1 • Hay dos recintos: I [–2, 0]; II [0, 1]

∫

• G (x) = (x 3 + x 2 – 2x) dx =

2

x4 x3 + – x2 4 3

–2

–1

8 5 • G (–2) = – ; G (0) = 0; G (1) = – 3 12

Área total =

2

1

2

–4

8 • Área del recinto I = | G (0) – G (–2) | = 3 Área del recinto II = | G (1) – G (0) | =

1 –2

–6

5 12

8 5 37 2 + = u 3 12 12 6

f) Por simetría respecto al anterior, el área es la misma:

4

37 2 Área total = u 12

2 –2

–1 –2

18 Depositu bat modu aldakorrean husten da, v (t) = 5 – 0,1t funtzioaren arabera (t min-tan, v l/min-tan).

Kalkulatu zenbat hustu den 100 eta 200 minutuen artean.

∫

G (t ) = (5 – 0,1t ) dt = 5t –

0,1t 2 = 5t – 0,05t 2 2

G (200) = –1 000; G (100) = 0 Área = | G (200) – G (100) | = 1 000 Se han vaciado 1 000 litros entre los minutos 100 y 200. s19 Lantegi batek gai kutsagarriak botatzen ditu egunero urtegi batera, funtzio honek emandako erritmoan: m = 0,01t 3 – 0,2t 2 + t + 1. m material kantitatea da, kg-tan, eta t, eguneko ordua. Zenbat material botatzen du egunean?

Consideramos t entre 0 y 24 horas:

∫

24

(0,01t 3 – 0,2t 2 + t + 1) dt =

0

[

0,01t 4 0,2t 3 t2 – + +t 4 3 2

]

24

= 0

= 219,84 – 0 = 219,84 kg

9. unitatea. Integralekin hasi

25

s20 Kalkulatu y = x + x 2 kurbaren grafikoak, kurba horrek x = 2 puntuan duen ukitzaileak eta abzisa-ardatzak mugaturiko azalera.

• Recta tangente en x = 2: y ' = 1 + 2x 8 m = y '(2) = 5; y (2) = 6 Recta 8 y = 6 + 5(x – 2) = 5x – 4 • Hacemos las gráficas para entender mejor la situación: 8 6 4 2 – 4 –3 –2 –1

1

2

3

4

• Puntos de corte de y = x + x 2 con el eje X : x + x 2 = 0 8 x1 = –1, x2 = 0 • Punto de corte de y = 5x – 4 con el eje X : 4 5

5x – 4 = 0 8 x =

• Área bajo y = x + x 2 entre 0 y 2:

∫

G1 (x) = (x + x 2) dx = G1 (2) =

x2 x3 + 2 3

14 ; G1 (0) = 0 3

Área = |G1 (2) – G1 (0)| =

14 2 u 3

• Área bajo y = 5x – 4 entre

∫

G2 (x) = (5x – 4) dx = G2

5x 2 – 4x 2

()

4 8 = – ; G2 (2) = 2 5 5

|

Área = G2 (2) – G2

( )|

• El área buscada es:

26

4 y 2: 5

4 5

=2+

8 18 2 = u 5 5

14 18 16 2 – = u 3 5 15 9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

228. Orrialdea 21 y = x 3 – 2x 2 + x emanda, kalkulatu zein den jatorrian duen ukitzailearen ekuazioa eta kalkulatu kurbaren eta ukitzailearen artean mugaturiko azalera.

• Tangente en el origen: y ' = 3x 2 – 4x + 1; m = y ' (0) = 1; y (0) = 0 Recta 8 y = x • x 3 – 2x 2 + x – x = x 3 – 2x 2 = 0 8 x1 = 0, x2 = 2

∫

• G (x) = (x 3 – 2x 2) dx =

x 4 2x 3 – 4 3

8 6

4 • G (0) = 0; G (2) = – 3

4 2

4 • Área = | G (2) – G (0) | = u2 3

–2 –1

22 Kalkulatu irudiaren azalera, jakinda alde kurbatua y = x 2 + 1 funtzioari dagokiola.

1·1 1 = u2 2 2

2

2 1

• Entre –1 y 0 tenemos un triángulo de base 1 y altura 1: Área =

1

–1

1

2

• Entre 1 y 2 tenemos un triángulo de base 1 y altura 2: 1·2 Área = = 1 u2 2 • Entre 0 y 1:

∫

G (x) = (x 2 + 1) dx = G (0) = 0; G (1) =

4 3

Área = | G (1) – G (0) | = • El área total será:

x3 +x 3

4 2 u 3

1 4 17 2 +1+ = u 2 3 6

23 f (x) = 4 – x 2 funtzioa emanda, idatzi f-k abzisa-ardatzarekin dituen ebakipuntuetan dituen ukitzaileen ekuazioak. Kalkulatu zuzen ukitzaileen eta kurbaren artean mugaturiko azalera.

• Puntos de corte con el eje X : 4 – x 2 = 0 8 x1 = –2, x2 = 2 8 Puntos (–2, 0) y (2, 0) • f ' (x) = –2x; f ' (–2) = 4; f ' (2) = –4

9. unitatea. Integralekin hasi

27

• Recta tangente en x = –2 8 y = 4(x + 2) = 4x + 8 Recta tangente en x = 2 8 y = –4(x – 2) = –4x + 8 • Hacemos una gráfica para entenderlo mejor: 8 6 4 2 –4

–2

4

2

• Área del triángulo de vértices (–2, 0), (0, 8) y (2, 0): 4·8 Área = = 16 u2 2 • Área entre y = 4 – x 2 y el eje X : x3 G (x) = (4 – x 2) dx = 4x – 3

∫

G (–2) = –

16 16 ; G (2) = 3 3

32 2 u 3 • El área total será la diferencia: 32 16 2 16 – = u 3 3 Área = | G (2) – G (–2) | =

24 f (x) = x + 1 izanda, aurkitu: x

a)

∫

x

b)

f 0

∫

G (x) = (x + 1) dx =

G (0) = 0; G (1) =

∫

∫ ∫

f = G (x) – G (0) =

x2 +x 2

f = G (x) – G (1) =

x2 3 +x– 2 2

0

1 x

c)

∫

f = G (x) – G (–1) = –1 3

d)

28

∫

f = G (3) – G (1) = 1

∫

–1

d)

∫

f 1

3 1 15 ; G (–1) = – ; G (3) = 2 2 2

x

b)

1

f

x2 +x 2

x

a)

3

x

c)

f

x2 1 +x+ 2 2

15 3 12 – = =6 2 2 2 9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

25 a) Kalkulatu y = |2x – 4| funtzioak, X ardatzak eta x = 0 eta x = 5 zuzenek mugaturiko azalera.

3

∫

b) Kalkulatu

|2x – 4|.

–2

a) Definimos la función por intervalos para hacernos una idea de su forma: xÌ2 x>2

° –2x + 4, y = | 2x – 4 | = ¢ £ 2x – 4, El área buscada será: 5

∫

2

∫

y dx = 0

5

∫ (2x – 4) dx = [–x

(–2x + 4) dx + 0

2

2

5

0

2

+ 4x ] + [x 2 – 4x] =

2

= (4 – 0) + (5 + 4) = 4 + 9 = 13 u2 3

b)

∫

2

| 2x – 4 | dx =

–2

∫

3

(–2x + 4) dx + –2

∫ (2x – 4) dx = [–x 2

2

2

+ 4x ]

–2

3

+ [x 2 – 4x] = 2

= (4 + 12) + (–3 + 4) = 16 + 1 = 17 u2 2

26 Kalkulatu: a)

∫

3

f (x) dx 0

° x2 f (x) = ¢ £2 – x

∫

1

f (x) dx = 0

g (x) dx, honako hauek izanda: –1

–1 Ì x Ì 1 bada ° 2x g (x) = ¢ 2 + 1 1 < x Ì 3 bada x £

∫

2

x 2 dx + 0

∫ (2 – x) dx 1

x3 1 1 8 G1(1) – G1(0) = – 0 = 3 3 3

∫

G1(x) = x 2 dx =

x2 3 1 8 G2(2) – G2(1) = 2 – = 2 2 2

∫

G2(x) = (2 – x) dx = 2x – 2

Así:

∫

0 Ì x Ì 1 bada 1 < x Ì 2 bada

2

a)

b)

1

1

5

∫ f (x) dx = 3 + 2 = 6 0

3

b)

∫

1

g (x) dx = –1

∫

3

2x dx + –1

∫ (x

2

+ 1) dx

1

∫

G1(x) = 2x dx = x 2 8 G1(1) – G1(–1) = 1 – 1 = 0

∫

G2(x) = (x 2 + 1) dx = 3

Así:

∫

g (x) dx = –1

9. unitatea. Integralekin hasi

x3 4 32 + x 8 G2(3) – G2(1) = 12 – = 3 3 3

32 3

29

s27 f (x) funtzioa emanda, kalkulatu f (x) funtzioak, OX ardatzak eta x = 0 eta x = 3 zuzenek mugaturiko azalera: 1 °— § x § f (x) = §¢ 2 § –x + 3x § § |x + 3| £

–1 x < — bada 2 –1 — Ì x Ì 3 bada 2 x > 3 bada

Para x comprendida entre 0 y 3, tenemos que: f (x) = –x 2 + 3x Hallamos los puntos de corte con el eje OX : x=0 x=3

–x 2 + 3x = 0 8 x (–x + 3) = 0 Por tanto, el área pedida es: Área =

∫

3

(–x 2 + 3x) dx =

0

[

–x 3 3x 2 + 3 2

]

3

= –9 + 0

27 9 = = 4,5 u2 2 2

28 Aurkitu f funtzioa, hau jakinda f ' (x) = 3x 2 – 2x + 5 eta f (1) = 0.

∫

G (x) = (3x 2 – 2x + 5) dx = x 3 – x 2 + 5x + k son las primitivas de la función dada.

Entre todas ellas, nos interesa la que cumple que G (1) = 0, es decir: G (1) = 5 + k = 0 ò k = –5 Así: f (x) = x 3 – x 2 + 5x – 5 29 Aurkitu y = 3x 2 – x 3 funtzioaren (2, 4) puntutik igarotzen den jatorrizkoa.

∫

G (x) = (3x 2 – x 3) dx = x 3 –

x4 + k son las primitivas de la función dada.

4

Buscamos k para que pase por (2, 4): G (2) = 4 + k = 4 ò k = 0 La función que buscamos es: f (x) = x 3 –

x4 4

30 Aurkitu 2 x = 1 puntuan 2 balioa hartzen duen eta deribatutzat f ' (x) = 3x 2 + 6 duen funtzioa.

∫

G (x) = (3x 2 + 6) dx = x 3 + 6x + k son las primitivas de la función dada.

Buscamos k para que G (1) = 2: G (1) = 7 + k = 2 ò k = –5 Por tanto: f (x) = x 3 + 6x – 5

30

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

31 Aurkitu abzisa-ardatza x = 3 puntuan ebakitzen duen f (x) = 1 – x – x 2 funtzioaren jatorrizkoa. x2 x3 – + k son las primitivas de la función dada.

2 3

∫

G (x) = (1 – x – x 2) dx = x –

Buscamos k para que G (3) = 0: G (3) = –

21 21 +k ò k= 2 2

La función que buscamos es: y=x–

x 2 x 3 21 – + 2 3 2

GALDERA TEORIKOAK 32 F (x) eta G (x) funtzioak f -ren bi jatorrizko badira F (x) = k + G (x) dela derrigorrez egiaztatzen da? Justifikatu erantzuna.

Sí. Justificación:

∫ f dx = F (x) + c

∫ f dx = G (x) + c

1

2

Restando: 0 = F (x) – G (x) + (c1 – c2) ò F (x) = k + G (x) 33 a) Kalkulatu eskuineko grafikoaren azpian [0, 2] eta [2, 6] tarteetan dagoen azalera. b) Grafiko horrek higikari batek denboraren funtzioan hartzen duen abiadura (m/s) adierazten badu, zer adierazten du aurreko azaleretako bakoitzak?

6 4 2 2

4

6

8

10

a) El área en el intervalo [0, 2] es la de un trapecio rectángulo de bases 1 y 3 y altura 2.

A[0, 2] =

1+3 ·2=4 8 2

∫

2

f dx = 4 0

En el intervalo [2, 6], el área es la suma de las áreas de un trapecio y de un rectángulo.

A[2, 6] =

3+5 · 2 + 2 · 5 = 18 8 2

∫

6

f dx = 18 2

b) En una gráfica velocidad-tiempo, estas áreas representan el espacio recorrido por un móvil en los intervalos de tiempo [0, 2] y [2, 6].

9. unitatea. Integralekin hasi

31

34 a) Adierazi f (x) = 2x funtzioa eta aurkitu f-k [0, 1], [0, 2], [0; 2,5] eta [0, 3] tarteetan mugatzen duen azalera. x

b) Egin F (x) =

∫

f funtzioaren balio-taula bat eta adierazi.

0

c) Honako ekuazio hauetako zein dagokio F (x)-ren adierazpen analitikoari?: I) y =

x2 2

II) y = 2x 2

III) y = x 2

IV) y = x 2 + 1

d) Egiaztatu azalera-funtzioaren deribatua bat datorrela azalera hori mugatzen duen funtzioarekin. a) Tenemos que hallar en cada caso el área de un triángulo cuya base es la amplitud del intervalo correspondiente y cuya altura es 2x: 1·2 =1 2

A[0, 1] =

A[0; 2,5]

b)

A[0, 2] =

2,5 · 5 = = 6,25 2

A[0, 3]

2·4 =4 2

f(x) 4 2

3·6 = =9 2

2

x

0

1

2

2,5

3

4

5

F (x)

0

1

4

6,25

9

16

25

4

9

4 2 2

4

c) Observamos que solo la III pasa por todos los puntos de la tabla de valores del apartado b). d) Como F (x) = x 2 8 F' (x) = 2x = f (x) 35 Honako adierazpen hauetako zeinek ematen digu f-ren grafikoak eta abzisa-ardatzak mugatzen duten azalera?

f a

a)

∫

c a

|∫ f | c

f

b)

a

c)

∫

b

f+ a

∫

c

f b

c

b

∫

b

d) –

f+ a

∫

c

f b

d)

32

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

x

36 F (x) =

∫ f = 3x

2

– 5x izanda, aurkitu f funtzioa. Kalkulatu F (0) eta F (2).

1

f (x) = F ' (x) = 6x – 5 F (0) = 0; F (2) = 2 37 Kalkulatu f (x) = x 2 – 1 kurbaren azpiko azalera [1, x] tarte aldakorrean.

Kalkulatu azalera x = 4. x 2 – 1 = 0 8 x1 = –1, x2 = 1 x

Área =

∫ (t

2

– 1) dt

1

G (t ) =

∫

(t 2

4

t3 – 1) dt = –t 3

3 2

2 G (1) = – 3

1

x3 2 Área [1, x] = | G (x) – G (1) | = –x+ 3 3

–2

–1

1 x

Cuando x = 4, queda: Área [1, 4] = 18 u2

229. Orrialdea 38 Egiaztatu, integralak erabiliz, laukizuzenaren azalera A = b · a dela.

Y

r

a b

X

☛ Aurkitu r zuzenaren ekuazioa, eta kalkulatu r zuzenak eta OX ardatzak x = 0 eta x = b artean mugatzen duten azalera.

La ecuación de r es y = a. El área es: b

Área =

∫ a dx 0

∫

G (x) = a dx = ax G (b ) = ab ; G (0) = 0 Área = G (b ) – G (0) = ab 9. unitatea. Integralekin hasi

33

SAKONTZEKO 39 Grafiko hau f (x) = x 2 funtzioari dagokiola jakinda, justifikatu honako funx

tzio hauetako zein den F (x) =

∫

f : 1

a) F (x) = x 3 – 1 b) F (x) =

x3 3

c) F (x) =

x3 1 – 3 3

f

1

x

Como debe cumplirse que F' (x) = f (x), no puede ser F (x) = x 3 – 1, ya que F' (x) = 3x 2.

Cualquiera de las otras dos cumple que: F' (x) =

3x 2 = x 2 = f (x).

3

Tiene que verificarse, además, que F (1) = 0.

Por ello, descartamos el caso b), en el que F (1) = x

La solución es la c):

∫

f= 1

1 .

3

x3 – 1 3 3 x

40 a) f (x) = x + 1 untzioa emanda, lortu F(x) =

∫

f.

3

b) Lortu, gero,

∫

5

f .

3

a) Empezamos buscando la función que cumpla F' (x) = f (x).

Será F (x) =

2x x2 + x + k, pues F' (x) = + 1 = x + 1.

2 2

Además, F (3) = 0 8 Por tanto: F (x) =

b)

34

∫

5

f dx = F (5) = 3

9 + 3 + k = 0 8 k = – 15 .

2 2

15 x2 +x– 2 2

25 15 +5– = 10 2 2

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

1 (x ? 0) funtzioa emanda: x2

s41 f (x) = a e x/3 +

2

∫

a) Kalkulatu

f (x) dx integrala a-ren funtzioan.

1

b) Badakigu F funtzioa f-ren jatorrizko bat dela. Kalkulatu a, baldin eta F (1) = 0 eta F (2) = 1/2 badira.

2

a)

∫

2

∫

f (x) dx = 1

1

(

ae x/3 +

(

= 3ae 2/3 –

)

[

1 1 dx = 3ae x/3 – x2 x

]

2

= 1

)

1 1 – (3ae 1/3 – 1) = 3a(e 2/3 – e 1/3) + 2 2

b) Si F es una primitiva de f, tenemos que: F (x) = 3ae x/3 –

1 +k x

Tenemos que hallar k y a para que: F (1) = 0 1 F (2) = — 2

8 3ae 1/3 – 1 + k = 0 1 1 8 3ae 2/3 – — + k = — 2 2

° 3ae 1/3 + k = 1 ° § § ¢ 3ae 2/3 + k = 1 ¢ § § £ £

Restando la 2.a ecuación menos la 1.a: 3a(e 2/3 – e 1/3) = 0 8 a = 0 8 k = 1 1 Por tanto: F (x) = – + 1 x s42 Adierazi integral baten bitartez (0, 3), (7, 3) eta (7, 10) erpinak dituen triangeluaren azalera. Azaldu idatzitako integral horren esanahia.

• La ecuación de la recta que pasa por (0, 3) y (7, 10) es: Pendiente =

10 – 3 7 = =1 7–0 7

Ecuación: y = x + 3

10

(7, 10)

• La ecuación de la recta que pasa por (0, 3) y (7, 3) es y = 3.

El área del triángulo es el área comprendida entre las dos rectas anteriores y x = 7. Así, tenemos que:

Área =

7

7

0

0

(0, 3) (7, 3) 7

∫ [(x + 3) – 3] dx = ∫ x dx = Área

El área del triángulo es equivalente al área limitada por y = x, x = 0 y x = 7.

7

• Calculamos su valor:

∫ x dx = 0

9. unitatea. Integralekin hasi

49 2 u 2 35

s43 Aurkitu A(2, 4), B(–2, 4) eta C (–1, 1) erpinak dituen triangelu mistilineoaren azalera, AB eta AC lerroak zuzenak direla jakinda, eta B eta C puntuak lotzen dituena y = x 2 ekuazioduna.

B(–2, 4)

y=4

4

A(2, 4) y = x2 C(–1, 1) –2 –1

2

• Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A y C : Pendiente =

4–1 3 = =1 2 – (–1) 3

Ecuación: y = 4 + (x – 2) = x + 2 • Calculamos el área pedida: Área =

∫

–1

(4 – x 2) dx +

–2

(

= –4 +

∫

2

[

[4 – (x + 2)] dx = 4x –

–1

x2 1 8 – –8 + + 2x – 2 3 3

) (

) [

]

2

x3 3

]

–1

+ –2

∫

2

(2 – x) dx =

–1

5 5 37 2 +2+ = u 3 2 6

= –1

s44 y = a [1 – (x – 2)2] kurbak, a > 0 izanik, 12 unitateko gainazala duen esparrua mugatzen du abzisa-ardatzarekin. Kalkulatu a-ren balioa.

• Hallamos los puntos de corte con el eje de abscisas: x–2=1 8 x=3 x – 2 = –1 8 x = 1

a [1 – (x – 2)2] = 0 8 (x – 2)2 = 1 • Calculamos el área e igualamos a 12: Área =

∫

3 1

[

=a 3–

36

[

a [1 – (x – 2)2] dx = a x –

(

1 1 – 1+ 3 3

)] (

=a2–

(x – 2)3 3

]

3

= 1

)

2 4a = = 12 8 a = 9 3 3

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

229. Orrialdea AUTOEBALUAZIOA 1. Ebatzi honako integral hauek: c)

e) x √2x 2 + 1 dx

f)

∫(

7 2 1 x – 2x + dx 3 2

d)

∫(

2 + √2x dx x2

∫(

7 2 1 7 x3 1 7 1 x – 2x + dx = – x2 + x + k = x3 – x2 + x + k 3 2 3 3 2 9 2

a)

)

1 – x3 dx x

a)

b)

)

∫ ∫

∫( ∫

3 – 5x 2

1 – x3 x3 1 dx = dx – x 2 dx = ln |x | – +k x 3 x

c)

∫(

3 – 5x 2

∫(

–1 x 3/2 2 –2 dx + √2 x 1/2 dx = 2 x √ 2x √ 2 + dx = 2x + +k= –1 3/2 x2

∫

)

2

∫

dx = –

)

2 5

∫ –2 (

5 3 – 5x 2

∫

=–

∫

e) x √2x 2 + 1 dx =

∫

)

2

dx = –

(

2 1 3 – 5x 5 3 2

)

3

+k =

(

–2 3 – 5x 15 2

)

3

+k

∫

2 2 √2 √x 3 + k + x 3

1 1 (2x 2 + 1)3/2 1 4x (2x 2 + 1)1/2 dx = + k = √(2x 2 + 1)3 + k 3/2 4 4 6

∫

x 2 + 3x – 2 dx x–1 x 2 + 3x – 2 –x 2 + x 4x – 2 –4x + 4 2

∫

dx

)

∫

f)

2

x 2 + 3x – 2 dx x–1

b)

d)

)

x 2 + 3x – 2 dx = x–1

9. unitatea. Integralekin hasi

Dividendo resto = cociente + divisor divisor

x–1 x+4

x 2 + 3x – 2 2 =x+4+ x–1 x–1

∫(

x+4+

x2 2 dx = + 4x + 2ln |x – 1| + k 2 x–1

)

37

2. Kalkulatu: a)

a)

b)

∫ ∫ ∫

3

2 dx x –1 + 2

b)

∫

2

e 3x – 1 dx

1/3

3

3 2 dx = [2 ln |x + 2| ] = 2[ln 5 – ln 1] = 2 ln 5 –1 –1 x + 2

2

e 3x – 1 dx =

1/3

1 3

∫

2

3e 3x – 1 =

1/3

e5 – 1 1 3x – 1 2 1 e = (e 5 – e 0 ) = [ ] 3 3 3 1/3

3. Kalkulatu f(x) = 4x – x 2 funtzioak, OX ardatzak eta x = 3 eta x = 5 zuzenek mugatzen duten azalera.

Representamos y = 4x – x 2. x = 0, y = 0 Cortes con los ejes y=0 Y

Vértice: y ' = 0 8 4 – 2x = 0 8 x = 2, y = 4 4

5

1

| ∫ (4x – x ) dx | = ∫ x x 32 7 = [ 2x – + | [ 2x – = – 9) + | – | = 4 u 3 ] 3 ] | ( 3 3

Área =

(4x – x 2) dx +

3

1 3 4

5 X

4

2

3 4

2

3

4. y =

2

3 5

2

4

4 kurbak, OX ardatzak, OY ardatzak eta x = 4 zuzenak S gainazala x+4

mugatzen dute. Kalkulatu S-ren azalera.

Representamos y =

4 . Sus asíntotas son x = –4 e y = 0. x+4

Y

Área =

2 –4

4 4 dx = 4 [ln |x + 4 | ] = 0 0x + 4

4 X

–2 –2 –4

38

∫

4

= 4(ln 8 – ln 4) = 4 ln

8 = 4 ln 2 › 2,77 u2 4

9. unitatea. Integralekin hasi

UNITATEA

9

5. Motor baten kontsumoa, 6 orduko lana eginda, c(t) = –t 2 + 8t + 20 adierazpenak ematen digu, t denbora izanik ordutan, 0 Ì t Ì 6. Zenbat kontsumitzen du motorrak lanak irauten duen 6 orduetan?

El consumo equivale al área encerrada por la función c (t ) entre las rectas x = 0 y x = 6.

6 6 t 3 8t 2 63 c= (–t 2 + 8t + 20) dx = – + + 20t = – + 4 · 62 + 20 · 6 = 192 3 2 3 0 0

[

∫

]

6. Beirate bat ixteko, y = 2 eta y = –(x – 2)2 + 6 funtzioek mugatzen duten gainazala adinakoa den kristal bat jarri behar da. Marraztu kristala eta kalkulatu horren azalera (x eta y dm-tan). y = –(x – 2)2 + 6 es una parábola de vértice (2, 6).

6

Y

Puntos de corte con los ejes: 2

x=0 8 y=2 –x 2

y=0 8

+ 4x + 2 = 0

1

x = –0,45 x = 4,45

2

4

X

Puntos de corte de la curva con y = 2: 2 = –(x – 2)2 + 6 8 –x 2 + 4x = 0

Área del cristal =

∫

4

x = 0, y = 2 x = 4, y = 2

[–(x – 2)2 + 6 – 2] dx =

0

∫

[

4

(–x 2 + 4x) dx =

0

= –

x3 + 2x 2 3

]

4

=– 0

64 32 + 32 = dm2 3 3

7. Adierazi grafiko batean honako funtzio hauek mugatzen duten esparrua eta kalkulatu azalera: 5 1 1 f (x) = x 2 g (x) = (5x + 20) h (x) = (–5x + 20) 4 2 2 Representamos la parábola f (x), y las rectas g (x) y h (x).

20

Y

• Cortes de f (x) y g (x):

16

x = –2, y = 5 x = 4, y = 20

5 2 1 x = (5x + 20) 8 x 2 – 2x – 8 = 0 4 2 • Cortes de f (x) y h (x):

4 X

2

Área = 2

[∫

4 0

] [(

1 5 1 5x 2 5 x3 (5x + 20) – x 2 dx = 2 + 20x – 2 4 2 2 4 3

9. unitatea. Integralekin hasi

x = –4, y = 20 x = 2, y = 5

5 2 1 x = (–5x + 20) 8 x 2 + 2x – 8 = 0 4 2

)

]

4

(

= 2 60 – 0

)

80 200 2 = u 3 3

39