TEMA 6: DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS.
1.Variable aleatoria discreta. Propiedades Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87. Otros ejemplos de variable discreta serían el número de pollos de gorrión que llegan a volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos. Densidad Se denomina densidad discreta a la probabilidad de que una variable aleatoria discreta X tome un valor numérico determinado (x). Se representa: f(x) = P[X=x] La suma de todas las densidades será igual a 1
2.Parámetros en distribuciones discretas: media y varianza desviación típica Media Varianza Desviación típica
3. Distribución binomial. Función de probabilidad, media y varianza La distribución binomial se suele representar por B(n, p). n es el número de pruebas de que consta el experimento. p es la probabilidad de éxito. La probabilidad de suceso es 1− p, y la representamos por q.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es: - n es el número de pruebas. - k es el número de éxitos. - p es la probabilidad de éxito. - q es la probabilidad de fracaso. - El número combinatorio número combinatorio
EJEMPLO: La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas? N=4
p = 0.8
q = 0.2 B(4, 0.8)
-
2.¿Y cómo máximo 2? -
Media
Varianza Desviación típica
Ejemplo La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
5. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. FUNCIÓN DE DENSIDAD. Variable aleatoria continua. Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila. Función de densidad. La función que caracteriza las variables continuas es aquella función f positiva e integrable en los reales, tal que acumulada desde −∞ hasta un punto x, nos proporciona el valor de la función de distribución en x, F(x). Recibe el nombre de función de densidad de la variable aleatoria continua.
Las funciones de densidad discreta y continua tienen, por tanto, un significado análogo, ambas son las funciones que acumuladas (en forma de sumatorio en el caso discreto o en forma de integral en el caso continuo) dan como resultado la función de distribución. La diferencia entre ambas, sin embargo, es notable. *La función de densidad discreta toma valores positivos únicamente en los puntos del recorrido y se interpreta como la probabilidad de la que la variable tome ese valor f(x) = P(X = x). * La función de densidad continua toma valores en el conjunto de números reales y no se interpreta como una probabilidad. No está acotada por 1, puede tomar cualquier valor positivo. Es más, en una variable continua se cumple que probabilidades definidas sobre puntos concretos siempre son nulas. P(X = x) = 0 para todo x real.
¿Cómo se interpreta, entonces, la función de densidad continua? Las probabilidades son las áreas bajo la función de densidad. El área bajo la función de densidad entre dos puntos a y b se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores comprendidos entre a y b. Por tanto, siempre se cumple lo siguiente:
6. DISTRIBUCIÓN NORMAL. Variable aleatoria de la distribución normal Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones: 1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞) 2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:
Curva de la distribución normal
El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞). Es simétrica respecto a la media µ. Tiene un máximo en la media µ. Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella. En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión. El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 % p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 % p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
7. TIPIFICACIÓN DE LA VARIABLE. Tipificación de la variable Para poder utilizar la tabla de la distribución normal tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).