ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
12:17
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ – ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ:
16 / 06/ 2021
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
Μαθηματικά ΟΠ
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α A1. Σχολικό Βιβλίο Σελ.135 A2. Σχολικό Βιβλίο Σελ.51 A3. Σχολικό Βιβλίο Σελ.23 A4.
α) Σ
β) Λ
γ) Σ
δ) Σ
ε) Σ
ΘΕΜΑ Β Β1. Θέτουμε u = x + 1 , x , u f (u ) = u e
−( u −1)
άρα x = u − 1 ,
f (u ) = u e1−u , u ' επομένως f ( x) = x e1− x , x
Β2. Η f συνεχής ως γινόμενο συνεχών και παραγωγίσιμη στο
ως γινόμενο
παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f ( x) = ( x e1− x ) = e1− x − xe1− x = (1 − x ) e1− x e1− x 0
f ( x) 0 (1 − x ) e1− x 0 1 − x 0 x 1 f ( x) 0 (1 − x ) e
1− x
e1− x 0
0 1− x 0 x 1 e1− x 0
f ( x) = 0 (1 − x ) e1− x = 0 1 − x = 0 x = 1
Η f συνεχής στο
, άρα η f γν. φθίνουσα στο 1, + ) και γνησίως αύξουσα στο ( −,1
Η f εμφανίζει ολικό μέγιστο στο x0 = 1, το f (1) = e1−1 = e0 = 1
Σελίδα 2 από 10
−
x
+
1
+
f΄
-
f
ΟΜ f(1)=1
Β3. Η f είναι παραγωγίσιμη στο
(
ως πράξεις παραγωγισίμων
)
f΄΄ ( x ) = e1−x − x e1−x ΄ = e1−x (1 − x )΄ − x΄e1−x + xe1−x (1 − x )΄ =
(
)
= −e1− x − e1− x − xe1− x = −e1− x − e1− x + xe1− x = ( x − 2 ) e1− x e1− x 0
f΄΄ ( x ) 0 x − 2 0 x 2 e1− x 0
f΄΄ ( x ) 0 x − 2 0 x 2 Η f συνεχής στο
. Άρα η f κυρτή στο 2,+ ) και κοίλη στο ( −, 2 .
(
)
−1 Η f εμφανίζει σημείο καμπής στο x1 = 2 το σημείο καμπής είναι το 2, 2e .
f ( x ) = x e1− x με A f = Η f συνεχής A f =
.
επομένως δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.
f (x) x e1−x e = lim = lim e1−x = lim x = 0 x →+ x →+ x →+ x →+ e x x lim
1 =0 x →+ e x
Αφού lim e = + τότε: lim x
x →+
lim f ( x ) = lim x e1− x
x →+
x →+
xe e = lim x = lim x = 0 x →+ e D.L.H x →+ e
Επομένως η ευθεία y=0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f καθώς το x → +
f (x) x e1−x e = lim = lim e1−x = lim x = + x →− x→− x→− x→− e x x lim
Επομένως η f δεν έχει πλάγια η οριζόντια ασύμπτωτη καθώς το x → −
Σελίδα 3 από 10
Β4.i) Δ1 = ( −,1 f 1
Δ2 = (1, + ) f 2 f συνεχής στο Δ=Δ1 Δ 2 = '
(
f ( Δ1 ) = lim f ( x ) ,f (1) = ( −,1 αφού x →−
lim f ( x ) = lim
x →−
x →−
xe 1 = lim x e x x x →− e e
( lim x = − & lim x →−
x →−
(
= −
1 = + αφού lim e x = 0 ) x x →− e
)
f ( Δ2 ) = lim f ( x ) , lim+ f ( x ) = ( 0,1) x →+
x →1
Το όριο έχει δειχθεί σε προηγούμενο ερώτημα. Άρα f ( Δ ) = ( −,1 ( 0,1) = ( −,1
x f΄
−
+
1
+
f
ΟΜ f(1)=1
Από το σύνολο τιμών της f πρκύπτει ότι: Αν 0 η (ε) :f(x)=λ έχει μία ρίζα Αν 0 1 η (ε) :f(x)=λ έχει δυο ρίζες Αν = 1 η (ε) :f(x)=λ έχει μια ρίζα την χ=1 Αν 1 η (ε) :f(x)=λ έχει είναι αδύνατη
Σελίδα 4 από 10
ΘΕΜΑ Γ Γ.1.
αx 3 − 3x 2 − x + 1 , x 0 f (x) = 3π συνx ,0x 2
α −3
f (0) = 1
(
)
lim− f ( x ) = lim− αx 3 − 3x 2 − x + 1 = 1
x →0
x →0
lim f ( x ) = lim+ ( συνx ) = 1
x →0 +
x →0
• •
H f συνεχής στο x 0 = 0 3π H f συνεχής στο ( −,0 ) ως πολυωνυμική και συνεχής στο 0, ως 2 τριγωνομετρική.
3π Άρα συνεχής στο −, 2
lim−
x →0
lim+
x →0
f ( x ) − f (0) x −0 f ( x ) − f (0) x −0
= lim−
αx3 − 3x 2 − x +1 −1
x →0
= lim+ x →0
x
= lim−
(
) = lim
x αx 2 − 3x − 1
x →0
x
x →0−
( αx
2
)
− 3x − 1 = −1
συνx − 1 =0 x
Συνεπώς η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0 = 0
Γ.2.
3π i) Η f συνεχής στο 0, 2 3π Η f παραγωγίσιμη στο 0, 2 3π 3π f = συν =0 2 2 f (0) = 1
Συνεπώς δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.
Σελίδα 5 από 10
3π ii) Αν x 0, τότε f ( x ) = −ημx 2 3π Έστω x 0, με f ( x ) = 0 2 f ( x ) = 0 −ημx = 0 ημx = 0 x = κπ ,κ
0x
3π 3π 3 άρα κ = 1 0 κπ 0 κ 2 2 2
Για κ = 1: x = 1 π = π
3π Άρα υπάρχει μοναδικό ξ = π 0, για το οποίο ισχύει f ( ξ ) = 0 2 Γ.3.
Έστω σημείο A ( x,f ( x ) ) με x 0 τέτοιο ώστε f ( x ) = 0 Για x 0 η f ( x ) = 3αx 2 − 6x − 1 Άρα f ( x ) = 0 3αx 2 − 6x − 1 = 0 Δ = ( −6 ) − 4 ( 3α ) ( −1) = 36 + 12α 2
Όμως α −3 12α −36 12 + 36 0 Δ 0 Άρα f ( x ) 0 για κάθε x 0 , άρα δεν υπάρχουν σημεία με αρνητική τετμημένη στα οποία η εφαπτόμενη της C f να είναι παράλληλη στον xx .
Γ.4.
Για x 0 : f ( x ) = 3αx 2 − 6x − 1 0 διότι Δ 0 και 3α 0 3π Για x 0, : f ( x ) = −ημx 2 •
Για x ( 0,π ) έχουμε ημx 0 f ( x ) 0
•
3π Για x π, έχουμε ημx 0 f ( x ) 0 2
Σελίδα 6 από 10
Η f συνεχής στο A f
(
)
lim f ( x ) = lim αx 3 = + (διότι α<0 )
x →−
x →−
f ( π ) = συνπ = −1
3π f =0 2
Για το σύνολο τιμών της f :
)
2
f ( ( −,π ) = f ( π ) , lim f ( x ) = −1, + ) x →−
3π 1 3π f π, = f π ,f ( ) = ( −1,0 2 2 Άρα f ( Α ) = −1, + ) συνεπώς f ( x ) −1 για κάθε x A f
ΘΕΜΑ Δ
Δ.1.
ln x =
1 x ln x − 1 = 0 x
t ( x ) = x ln x − 1, x 1,e • •
t συνεχής στο 1,e t (1) = −1 0
t (1) t ( e ) 0 t ( e ) = elne − 1 = e − 1
Από το Θ.Bolzano υπάρχει x 0 (1,e ) τέτοιο ώστε t ( x 0 ) = 0 1 t ( x ) = ( x ) ln x + x (ln x ) = ln x + x = ln x + 1 0 για κάθε x (1,e ) x
Σελίδα 7 από 10
Άρα t 1 στο (1,e ) , οπότε η ρίζα x 0 είναι μοναδική f : ( 0, + ) → f ( x ) = ( ln x 0 ) ( x + 1) − ln x − 1
Δ.2.
1 f ( x ) = ln x 0 − x
f(x) 0
ln x 0 =
=
1 x0
x − x0 0 x0 x
1 1 x − x0 − = x0 x x0 x x 0 x 0
x x0
Η f ( x ) παρουσιάζει στο x 0 ελάχιστο το f ( x 0 ) = ( ln x 0 ) ( x 0 + 1) − ln x 0 − 1 = = x 0 ln x 0 + ln x 0 − ln x 0 − 1 = = x 0 ln x 0 − 1 = x 0
1 − 1 = 1− 1 = 0 x0
Δ.3.
•
Για x 0 g( x) = h( x) x e
(
−x
x = 0 e
ln x e
−x
)
x +1
x = ln 0 e
x +1
x ln x + lne − x = ( x + 1) ln 0 e ln x − x lne = ( x + 1) ln x 0 − ( x + 1) lne ln x − x = ( x + 1) ln x 0 − ( x + 1) ln x − x = ( x + 1) ln x 0 − x − 1 ( x + 1) ln x 0 − ln x − 1 = 0 f (x) = 0
Σύμφωνα με το ερώτημα Δ2 η f παρουσιάζει στο x 0 ελάχιστο Άρα f ( x ) f ( x 0 ) = 0 και το " = " ισχύει μόνο για x = x 0 .
Σελίδα 8 από 10
Άρα η εξίσωση f ( x ) = 0 έχει μοναδική ρίζα το x = x 0 Άρα g ( x 0 ) = h ( x 0 ) g ( x ) = e − x − xe − x
x h ( x ) = 0 e
x +1
x x ln 0 = 0 e e
x +1
x (ln x0 − lne ) = 0 e
x +1
(ln x0 − 1)
Θα δείξουμε ότι g ( x 0 ) = h ( x 0 ) g ( x 0 ) = h ( x 0 ) e ln x 0 =
− x0
1 x0
− x0
e
e
− x0
x0 1
e
x (1 − x 0 ) = 0 e
x (1 − x0 ) = 0 e
x (1 − x0 ) = 0 e
− x0
x0 +1
x = 0 e
x0 +1
( ln x 0 − 1)
x0 +1
x0 +1
1 − 1 x0
1 − x0 x0
1 x0
0 x x 1 = 0 0 e e x0
x
e
− x0
e − x0 =
x 0 x0 1 e x0 e
x 0 x0 = e ln x 0 x0 = lne x 0 ln x 0 = 1 ln x 0 =
1 x0
Ισχύει από το Δ1 •
Για x 0 η εξίσωση g ( x ) = h ( x ) είναι αδύνατη, αφού g( x) = x e
Δ.4.
−x
x 0 και h ( x ) = 0 e
x +1
0 αφού x 0 (1,e )
φ : ( 0, + ) → f (x) φ(x) A ( x,f ( x ) ) Β ( x,φ ( x ) )
x0
( AB ) = d ( A,B ) = ( x − x ) + ( φ ( x ) − f ( x ) ) = ( φ ( x ) − f ( x ) ) = = φ ( x ) − f ( x ) = f ( x ) − φ ( x ) , αφού f ( x ) φ ( x ) 2
2
2
Ορίζουμε τη συνάρτηση S ( x ) = f ( x ) − φ ( x ) , x ( 0, + )
Σελίδα 9 από 10
Διακρίνουμε περιπτώσεις: 1) Αν η φ ( x ) είναι παραγωγίσιμη στο x 0 τότε: Η S ( x ) είναι παραγωγίσιμη στο x 0 ,
S ( x ) S ( x 0 ) για κάθε x ( 0, + ) αφού παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 που είναι εσωτερικό σημείο του ( 0, + ) . Από το Θ.Fermat: S ( x 0 ) = 0 S ( x 0 ) = f ( x 0 ) − φ ( x 0 ) f ( x0 ) =0
S ( x0 ) = 0 f ( x 0 ) = φ ( x0 ) Δ2
φ ( x0 ) = 0
Άρα το x 0 είναι κρίσιμο σημείο της φ ( x ) . 2) Αν η φ ( x ) δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 0 , τότε το x 0 είναι κρίσιμο σημείο της
φ(x) . Σε κάθε περίπτωση, το x 0 είναι κρίσιμο σημείο της φ
Σελίδα 10 από 10