ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΔΑΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2021 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝ ΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α Α1.
Έστω μια συνάρτηση f , η ο ποί α ε ί να ι συ νε χή ς σ ε έ να δ ιάσ τ ημ α Δ . Να α πο δ εί ξε τε ότι α ν f (x) 0 σ ε κά θε ε σ ωτε ρι κό σ η με ίο x τ ο υ Δ , τ ότ ε η
f ε ί να ι γνη σ ί ως α ύξο υ σ α σ ε ό λο τ ο Δ . Α2.
Μονάδες 7
Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής . Μονάδες 4
Α3.
Πότε δύο συναρτήσεις
f κα ι g λέ γο ντ α ι ίσ ε ς; Μονάδες 4
Α4 .
Να χ αρακτη ρίσετε τις προ τάσεις πο υ ακο λο υθο ύν, γράφο ντας στο τε τράδ ιό σας , δ ίπλ α στο γρ άμ μ α πο υ αντιστο ιχ εί σε κάθε πρό ταση , τη λέ ξ η Σωστό , αν η πρό ταση είναι σωστή , ή τη λέξ η Λ άθ ος , αν η πρό ταση είναι λανθασμ ένη . α) Ισχύει x x ,
γι α κάθ ε
x
*.
β) Για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση f μ ε πε δί ο ο ρισ μο ύ Α ι σ χύ ει ό τι f f 1(x) x , γι α κά θ ε x A .
γ) Αν lim
x x0
f(x) 0 , τ ότ ε f(x) 0 κο ντ ά στ ο x 0 .
δ) Έστω μια συνάρτηση f σ υ νε χή ς σ ε έ να δ ι άσ τ ημ α Δ και δ υο φ ο ρέ ς πα ρα γωγί σιμ η στ ο ε σ ωτε ρι κό το υ Δ . Α ν f (x) 0 γι α κά θε ε σ ωτε ρι κό ση μ είο x τ ο υ Δ , τ ότ ε η
f ε ί να ι κυρτ ή σ το Δ .
ε) Αν η f ε ί να ι σ υ νε χή ς σ υ νά ρτ η ση στ ο [α, β ] , τ ότ ε η f πα ί ρνε ι σ τ ο [ α ,β ] μ ια μ έ γ ιστ η τιμ ή , Μ, κ αι μ ια ε λ ά χ ιστ η τ ιμ ή , m . Μονάδες 10
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΔΑΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f :
-x για την οποία ισχύει ότι f(x 1) (x 1) e , γι α
κά θ ε
x .
Β1.
1-x Να δείξετε ότι f(x) x e ,
x
. Μονάδες 3
Β2.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση
f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 6
Β3.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα, τα σημεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης, αν υπάρχουν. Μονάδες 9
Β4.
Να βρείτε: (i)
το σύνολο τιμών της συνάρτησης
f (μονάδες 4).
(ii)
το πλήθος των ριζών της εξίσωσης του (μονάδες 3).
f(x) , για τις διάφορες τιμές Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
x 3 3x 2 x 1, Δίνεται η συνάρτηση f(x) x,
x0 0x
3 , 2
με 3 .
Γ1.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της (μονάδες 3) αλλά μη παραγωγίσιμη στο x 0 0 (μονάδες 3). Μονάδες 6
Γ2.
(i)
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση
f ικανοποιεί καθεμιά από τις 3
προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο 0, (μονάδες 3). 2 (ii)
Να βρεθεί το μοναδικό 0,
3 για το οποίο ισχύει f () 0 2
(μονάδες 3). Μονάδες 6 Γ3.
Να δείξετε ότι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν υπάρχουν σημεία με αρνητική τετμημένη στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα xx . Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΔΑΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γ4.
3 2 .
Να δείξετε ότι f(x) 1, για κάθε x ,
Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δ1.
Να δείξετε ότι η εξίσωση
nx έχει μοναδική ρίζα,
1 x
(1)
x 0 , η οποία ανήκει στο (1, e). Μονάδες 4
Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το εξίσωσης
(1)
και
η
συνάρτηση
x 0 είναι η μοναδική ρίζα της
f : (0, )
έχει
f(x)
Δ2.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο
τύπο
n x 0 (x 1) nx 1.
x 0 , το f(x0 ) 0 . Μονάδες 6
Δ3.
Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
g(x) x e x , x
και
x h(x) 0 e
x 1
, x
έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη. Μονάδες 8 Δ4.
Έστω η συνάρτηση : (0, )
, συνεχής, με f(x) (x) , για κάθε
x 0 . Θεωρούμε τα σημεία A x, f(x) και B x, (x) , με x 0 . Αν η
απόσταση των σημείων A και B γίνεται ελάχιστη στο ότι το
x x 0 , να δείξετε
x 0 είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης . Μονάδες 7
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΔΑΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ ( γ ι α τ ο υ ς ε ξ ε τα ζ ο μέ νου ς) 1.
2.
3.
4. 5. 6.
Σ τ ο ε ξ ώ φυ λ λ ο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Σ τ ο ε σ ώφ υ λ λ ο πά νω - π ά νω να σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ α α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μ α θ η τ ή . Σ τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α π α ντ ή σ ε ώ ν σ α ς να γρ ά ψ ε τ ε π ά νω - π ά νω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α κ α ι τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Ν α μ η ν α ντ ι γ ρά ψ ε τε τ α θ έ μ α τα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μ η γ ρά ψ ε τε π ο υ θ ε νά α λ λ ο ύ σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς τ ο ό νο μ ά σ α ς . Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά τ η ν α π ο χ ώ ρ η σ ή σ α ς να π α ρ α δ ώ σ ε τ ε μ αζ ί μ ε τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τ α φ ω τ ο α ντ ί γ ρ α φ α . Ν α α π α ν τ ή σ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρά δ ι ό σ α ς σ ε όλ α τ α θ έ μ α τ α μ ό νο μ ε μ π λ ε ή μ ό νο μ ε μ α ύ ρ ο σ τ υ λ ό μ ε μ ε λ ά νι π ο υ δ ε ν σ β ή νε ι . Μο λ ύ β ι ε π ι τ ρ έ π ε τ α ι , μ ό νο α ν τ ο ζ η τ ά ε ι η εκ φ ώ νη σ η, κ α ι μ ό νο γ ι α π ί να κ ε ς , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κ . λ π. Κ ά θ ε α π ά ντ η σ η ε π ι σ τ η μ ο νι κ ά τ ε κ μ η ρ ι ω μ έ νη ε ί να ι α π ο δ ε κ τ ή . Δ ι ά ρ κ ε ι α ε ξ έ τ α σ η ς : τρ ε ι ς ( 3 ) ώ ρ ε ς με τ ά τη δ ι α νο μ ή τ ω ν φ ω τ οα ντ ι γ ρ ά φ ω ν. Χ ρ ό νο ς δ υ να τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ .
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ Α ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ