Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 - Θέματα Μαθηματικά

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΔΑΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2021 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝ ΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α Α1.

Έστω μια συνάρτηση f , η ο ποί α ε ί να ι συ νε χή ς σ ε έ να δ ιάσ τ ημ α Δ . Να α πο δ εί ξε τε ότι α ν f (x)  0 σ ε κά θε ε σ ωτε ρι κό σ η με ίο x τ ο υ Δ , τ ότ ε η

f ε ί να ι γνη σ ί ως α ύξο υ σ α σ ε ό λο τ ο Δ . Α2.

Μονάδες 7

Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής . Μονάδες 4

Α3.

Πότε δύο συναρτήσεις

f κα ι g λέ γο ντ α ι ίσ ε ς; Μονάδες 4

Α4 .

Να χ αρακτη ρίσετε τις προ τάσεις πο υ ακο λο υθο ύν, γράφο ντας στο τε τράδ ιό σας , δ ίπλ α στο γρ άμ μ α πο υ αντιστο ιχ εί σε κάθε πρό ταση , τη λέ ξ η Σωστό , αν η πρό ταση είναι σωστή , ή τη λέξ η Λ άθ ος , αν η πρό ταση είναι λανθασμ ένη . α) Ισχύει x  x ,

γι α κάθ ε

x

*.

β) Για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση f μ ε πε δί ο ο ρισ μο ύ Α ι σ χύ ει ό τι f f 1(x)  x , γι α κά θ ε x  A .



γ) Αν lim

x  x0



f(x)  0 , τ ότ ε f(x)  0 κο ντ ά στ ο x 0 .

δ) Έστω μια συνάρτηση f σ υ νε χή ς σ ε έ να δ ι άσ τ ημ α Δ και δ υο φ ο ρέ ς πα ρα γωγί σιμ η στ ο ε σ ωτε ρι κό το υ Δ . Α ν f (x)  0 γι α κά θε ε σ ωτε ρι κό ση μ είο x τ ο υ Δ , τ ότ ε η

f ε ί να ι κυρτ ή σ το Δ .

ε) Αν η f ε ί να ι σ υ νε χή ς σ υ νά ρτ η ση στ ο [α, β ] , τ ότ ε η f πα ί ρνε ι σ τ ο [ α ,β ] μ ια μ έ γ ιστ η τιμ ή , Μ, κ αι μ ια ε λ ά χ ιστ η τ ιμ ή , m . Μονάδες 10

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΔΑΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f :



-x για την οποία ισχύει ότι f(x 1)  (x 1)  e , γι α

κά θ ε

x .

Β1.

1-x Να δείξετε ότι f(x)  x e ,

x

. Μονάδες 3

Β2.

Να μελετήσετε τη συνάρτηση

f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 6

Β3.

Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα, τα σημεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης, αν υπάρχουν. Μονάδες 9

Β4.

Να βρείτε: (i)

το σύνολο τιμών της συνάρτησης

f (μονάδες 4).

(ii)

το πλήθος των ριζών της εξίσωσης του   (μονάδες 3).

f(x)   , για τις διάφορες τιμές Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ

 x 3  3x 2  x  1,  Δίνεται η συνάρτηση f(x)    x, 

x0 0x

3 , 2

με   3 .

Γ1.

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της (μονάδες 3) αλλά μη παραγωγίσιμη στο x 0  0 (μονάδες 3). Μονάδες 6

Γ2.

(i)

Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

f ικανοποιεί καθεμιά από τις  3 

προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο  0,  (μονάδες 3).

2   (ii)

 

Να βρεθεί το μοναδικό    0,

3  για το οποίο ισχύει f ()  0 2 

(μονάδες 3). Μονάδες 6 Γ3.

Να δείξετε ότι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν υπάρχουν σημεία με αρνητική τετμημένη στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα xx . Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΔΑΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γ4.

3  2  .

 

Να δείξετε ότι f(x)  1, για κάθε x   ,

Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δ1.

Να δείξετε ότι η εξίσωση

nx  έχει μοναδική ρίζα,

1 x

(1)

x 0 , η οποία ανήκει στο (1, e). Μονάδες 4

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το εξίσωσης

(1)



και

η

συνάρτηση

x 0 είναι η μοναδική ρίζα της

f : (0,  ) 

έχει

f(x) 



Δ2.

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο

τύπο

n x 0  (x  1)  nx  1.

x 0 , το f(x0 )  0 . Μονάδες 6

Δ3.

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

g(x)  x  e x , x 

και

x  h(x)   0   e 

x 1

, x

έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη. Μονάδες 8 Δ4.

Έστω η συνάρτηση  : (0,  ) 

, συνεχής, με f(x)  (x) , για κάθε

x  0 . Θεωρούμε τα σημεία A  x, f(x)  και B  x, (x)  , με x  0 . Αν η

απόσταση των σημείων A και B γίνεται ελάχιστη στο ότι το

x  x 0 , να δείξετε

x 0 είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης  . Μονάδες 7

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΔΑΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ ( γ ι α τ ο υ ς ε ξ ε τα ζ ο μέ νου ς) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Σ τ ο ε ξ ώ φυ λ λ ο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Σ τ ο ε σ ώφ υ λ λ ο πά νω - π ά νω να σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ α α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μ α θ η τ ή . Σ τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α π α ντ ή σ ε ώ ν σ α ς να γρ ά ψ ε τ ε π ά νω - π ά νω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α κ α ι τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Ν α μ η ν α ντ ι γ ρά ψ ε τε τ α θ έ μ α τα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μ η γ ρά ψ ε τε π ο υ θ ε νά α λ λ ο ύ σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς τ ο ό νο μ ά σ α ς . Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά τ η ν α π ο χ ώ ρ η σ ή σ α ς να π α ρ α δ ώ σ ε τ ε μ αζ ί μ ε τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τ α φ ω τ ο α ντ ί γ ρ α φ α . Ν α α π α ν τ ή σ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρά δ ι ό σ α ς σ ε όλ α τ α θ έ μ α τ α μ ό νο μ ε μ π λ ε ή μ ό νο μ ε μ α ύ ρ ο σ τ υ λ ό μ ε μ ε λ ά νι π ο υ δ ε ν σ β ή νε ι . Μο λ ύ β ι ε π ι τ ρ έ π ε τ α ι , μ ό νο α ν τ ο ζ η τ ά ε ι η εκ φ ώ νη σ η, κ α ι μ ό νο γ ι α π ί να κ ε ς , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κ . λ π. Κ ά θ ε α π ά ντ η σ η ε π ι σ τ η μ ο νι κ ά τ ε κ μ η ρ ι ω μ έ νη ε ί να ι α π ο δ ε κ τ ή . Δ ι ά ρ κ ε ι α ε ξ έ τ α σ η ς : τρ ε ι ς ( 3 ) ώ ρ ε ς με τ ά τη δ ι α νο μ ή τ ω ν φ ω τ οα ντ ι γ ρ ά φ ω ν. Χ ρ ό νο ς δ υ να τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ .

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ Α ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ