Proporcionalidad y segmentos
PROPORCIONALIDAD La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. a
RAZÓN Entre dos segmentos es el valor de la relación entre las longitudes de ambos segmentos.
a
a
a
a
a
Razón = a/b = K
a b
PROPORCIÓN Es la igualdad entre dos razones d
a/b = c/d b y c son los Medios a y d son los Extremos
c
La proporción puede ser directa o inversa. Son magnitudes directamente proporcionales aquellas que varían de forma que se razón es constante. a/b = c/d = K Son magnitudes inversamente proporcionales aquellas que varían de tal forma que su producto permanece constante.
a b
TEOREMA DE TALES Cuando dos rectas concurrentes r y s son cortadas por un haz de rectas paralelas, los segmentos que resultan sobre r son proporcionales a los que se determinan sobre la recta s.
Aplicaciones del teorema de Tales: División de un segmento en partes proporcionales. Dados 3 segmentos l, m y n, hallar los segmentos proporcionales sobre el segmento AB. Pasos: - Colocamos el segmento AB y sacamos de uno de sus extremos (por ejemplo desde A) una recta r concurrente. - Desde el vértice del ángulo que forman, situamos los segmentos l, m y n. - Desde el extremo de n unimos con el extremo B del segmento mediante una recta. - Hacemos paralelas a esta recta desde todas las medidas y obtenemos los segmentos l’, m’ y n’
l’
A
m’
n’
l m
n
B
División de un segmento en partes iguales - Tenemos el segmento AB que queremos dividir, por ejemplo en 3 partes. - Desde uno de los dos extremos (pongamos desde A), trazamos una semirecta r que forme un ángulo cualquiera con el segmento. - A partir del vértice, medimos en la semirecta, tres partes iguales. Se puede hacer con tres medidas iguales de compás. - Unimos el 3 con el extremo B y hacemos paralelas por 2 y por 1, dividiendo proporcionalmente en tres partes iguales al segmento AB.
1’
A
2’
B=3’
1 2 3
Cuarta proporcional de tres segmentos a
Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional al segmento d, si éste cumple que:
b c
a/b =c/d Luego: d = b x c/a Construcción: - Trazamos dos rectas concurrentes r y s que se cortan en O con un ángulo cualquiera. - Se llevan los segmentos ordenadamente: a y b sobre una recta a partir de O y el segmento c sobre la otra (a partir de O). - Trazamos una recta desde el extremo de a al extremo de c. Con la misma inclinación, hacemos una paralela desde el extremo b, obteniendo el segmento d buscado.
d
c a
Otra forma de colocación: c a
Nota: También se puede poner a y c en una recta, y, b y d en otra.
d
b
Producto de dos segmentos Tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c. Basándonos en la cuarta proporcional: axb=x a x b = x x c siendo c = 1 a/c = x/b c/a = b/x
b
a b
b c
c x
a
x
También se puede colocar así: b c
a
Cociente de dos segmentos a
Basándonos en la 4ª proporcional y a partir de dos segmentos dados, a y b, tomamos un
b
segmento como unidad, por ejemplo el c.
c
x
c
a/b = x
b
a/b = x/c siendo c = 1
a
Luego b/a = c/x
Tercera proporcional de dos segmentos
a
Dados dos segmentos a y b, se denomina tercera proporcional al segmento c, si cumple que
b
a/b = b/c
c
luego a x c = b2 b a
c = b2/a
Construcción: - Dibujamos dos rectas concurrentes. En una de ellas (recta s) ponemos los segmentos a y b colocados a continuación uno del otro. En la otra ponemos el segmento b. - Unimos el extremo de a con el de b de la otra recta. Trazamos la paralela por el extremo del segmento b situado sobre s. Así obtenemos c.
b
a
Cuadrado de un segmento: a2 = x
c
Nos basamos en la 3º proporcional y además tomamos un segmento c como unidad.
x a
axa=x a x a = x x c siendo c = 1 Luego a/c = x/a c/a = a/x
a
c
a
Media proporcional b
x = ab
P
a/c = c/b a x b = c2 Luego c = ab
x a
C
Dados dos segmentos a y b se denomina media proporcional al segmento c, si cumple que :
O b
Media proporcional: Teorema de Euclides Teorema de la altura: La altura de un triángulo rectángulo respecto de la hipotenusa es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
a
b
x = ab V
Dados dos segmentos a y b, queremos hallar su media proporcional aplicando el teorema de la altura. Construcción: - Dibujamos un arco capaz de 90º para la suma de los segmentos a+b. Así, a+b, es la hipotenusa de los posibles triángulos rectángulos con vértice en el arco. - Por el extremo común de ambos segmentos trazamos una perpendicular que corta al arco en V, vértice del triángulo rectángulo buscado. - La altura x, es media proporcional de a y b.
x O a
b
Teorema del cateto: En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. - Dados dos segmentos a y b, queremos hallar su media proporcional aplicando el teorema del cateto Construcción: - Dibujamos un arco capaz de 90º para el segmento b. Así, b, es la hipotenusa de los posibles triángulos rectángulos con vértice en el arco. - Llevamos sobre b el segmento a y por su extremo trazamos una perpendicular que corta al arco en el punto V, vértice del triángulo buscado. - El cateto c es media proporcional de a y b.
Teorema de Pitágoras: Otra forma de obtener raíces
x
a b
m2 + n2 m
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2. a
n √2=√12 + 12
a = b2 + c2
b
2
1 c
1
Determinación de dos segmentos conocida su suma y su producto
a+b = s
axb=p
Tenemos los datos: a+b=s axb=p
1
Pasos para la solución: - Hallamos la media proporcional del producto. Podemos aplicar el teorema de la altura para su resolución. Para ello ponemos p y un segmento que valga la unidad, trazamos el arco capaz de 90º y la altura será media buscada.
p
1
p
- Hacemos un arco capaz de 90º para la suma y llevamos la media proporcional del producto mediante una paralela que le cortará, dividiendo así la suma en dos segmentos a y b. Se observa que hay dos posibles soluciones.
p
p
a
b s
Determinación de dos segmentos conocida su diferencia y su producto a-b = d
Tenemos los datos: a-b=d axb=p
axb=p
p
P b
d
a
Pasos para la solución: - Trazamos una circunferencia de diámetro la diferencia d. - Hallamos la raiz cuadrada del producto. - Trazamos una tangente a la circunferencia que tenga una medida igual a √p, y obtenemos el punto P. - Unimos P con el centro de la circunferencia y alargamos la recta. En esta recta están los dos segmentos buscados a y b.