Apuntes Geometría plana by Ana Ballesteros

A) GEOMETRÍA PLANA TEMA 1.-POLÍGONOS Los polígonos son figuras planas delimitadas por rectas que se cortan dos a dos. Los puntos donde se cortan las rectas se llaman vértices, y los segmentos que los unen se denominan lados. Clasificación -Según el número de lados

-Según la forma de los ángulos interiores -Polígonos convexos: todos sus ángulos son convexos -Polígonos cóncavos: alguno de sus ángulos es cóncavo

A= convexo (-180º) B= cóncavo (+180º)

Otras clasificaciones: -Polígonos equiángulos: todos sus ángulos son iguales -Polígonos equiláteros: todos sus lados son iguales -Polígono regular: todos sus lados y sus ángulos son iguales -Polígono irregular: no todos sus lados y ángulos son iguales

Algunas propiedades de los polígonos -Un polígono convexo se descompone en tantos triángulos como lados tiene menos dos, y la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º por el número de lados menos dos. -El valor del ángulo central de un polígono regular se obtiene dividiendo 360 entre el número de lados. -En un polígono regular de un número par de lados, las mediatrices de los lados coinciden con la del lado opuesto. En un polígono regular de un número impar de lados, la mediatriz de un lado coincide con el vértice opuesto. -Un polígono circunscrito a una circunferencia tiene todos sus lados tangentes a la misma. -Un polígono inscrito en una circunferencia tiene todos sus vértices sobre dicha circunferencia -En un polígono regular siempre existe: -Una circunferencia circunscrita, cuyo radio es el segmento que une el centro O (punto interior del polígono que equidista de los vértices) con uno cualquiera de los vértices.

-Una circunferencia inscrita, cuyo radio es la apotema, segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquiera lado.

1.1.-Triángulos Son figuras planas limitadas por tres rectas o lados que se cortan en unos puntos llamados vértices Clasificación: Según sus lados

Equilátero: a=b=c

Según sus ángulos

Isósceles: a=c=b

Escaleno: a=b=c

Acutángulo(<90) Rectángulo(=90)

Obtusángulo(>90)

Propiedades Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º, como consecuencia: -Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o un ángulo recto. -En un triángulo rectángulo, los dos lados agudos son complementarios -La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que cada uno de sus catetos -Cualquiera de los lados de un triángulo es menor que la suma de los dos restantes, pero mayor que su diferencia. Igualdad y semejanza de triángulos Dos triángulos son iguales si se cumple una de las siguientes condiciones: -Cuando tienen los tres lados iguales -Cuando tienen dos lados iguales y el ángulo que forman -Cuando tienen iguales dos ángulos y un lado Dos triángulos son semejantes si se cumple una de las siguientes condiciones: -Cuando tienen los lados proporcionales -Cuando tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo determinan -Cuando tienen dos lados iguales.

Rectas y puntos notables en el triángulo

-Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados trazados en su punto medio. Las tres mediatrices se cortan en un punto denominado circuncentro. Este punto es además el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo

-Las bisectrices son las rectas que pasado por los vértices de los ángulos dividen a cada uno de ellos en dos partes iguales, y se cortan en un punto llamado incentro. Este punto es además el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

-Las alturas son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice a su lado opuesto. El punto donde se cortan estas rectas se llama ortocentro. -Las medianas son las rectas que unen cada vértice con la el punto medio del lado opuesto. El punto donde se cortan se llama baricentro.

-Recta de Euler: se verifica que en cualquier triángulo el baricentro, el ortocentro y el circuncentro están alineados. La recta que une estos tres puntos se denomina recta de Euler.

Construcciones de triángulos rectángulos Los triángulos rectángulos pueden construirse conociendo solo dos de todos sus datos, dado que sabemos que tienen un ángulo recto y dos agudos. También es importante conocer las relaciones métricas existentes entre sus componentes, como los siguientes teoremas: Teorema de la altura: la altura trazada desde el vértice opuesto a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que la divide h = √ Teorema del cateto: en todo triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de ese cateto sobre ella. Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: b2+c2= a2, o lo que es lo mismo: a=√

Los teoremas del cateto y de la altura nos proporcionan un método para trazar el segmento media proporcional de dos segmentos dados: -Según el teorema de la altura: llevamos los dos segmentos dados uno a continuación del otro sobre una recta auxiliar. Trazamos una semicircunferencia con centro en su punto medio con diámetro AD. Por el punto común C trazamos una perpendicular que corta a la semicircunferencia en el punto E. El segmento CE resultante es la media proporcional.

-Según el teorema del cateto: superponemos los dos segmentos AB y CD. Trazamos la semicircunferencia de diámetro AD, desde su punto medio. Por el punto B, trazamos una perpendicular que corta a la semicircunferencia en E. El segmento AE resultante es la media proporcional.

Construir un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la hipotenusa

-Trazamos sobre una recta auxiliar el cateto AB. Levantamos una perpendicular desde A y un arco con la medida de la hipotenusa desde B que la corte.

Conociendo un cateto y el ángulo opuesto -Trazamos el cateto AB, y una perpendicular desde A. Tomamos un punto cualquiera de la perpendicular y construimos un ángulo C’ igual al dado. Desde B trazamos una paralela al lado de ese ángulo C’ que en su corte con la perpendicular desde A nos da el vértice C.

Conociendo un cateto y un ángulo contiguo -Trazamos el cateto AB y una perpendicular desde A. Desde B construimos el ángulo dado cuyo lado, en su corte con la perpendicular, nos dará el vértice C.

Conociendo la hipotenusa y un ángulo contiguo -Trazamos la hipotenusa AB, hallamos su centro y trazamos una semicircunferencia de diámetro AB (en realidad, estamos construyendo el arco capaz del ángulo recto). Desde A construimos el ángulo dado, cuyo corte con la semicircunferencia es el vértice C.

Otras construcciones de triángulos A pesar de ser el polígono con menor número de lados, resulta sorprendente la cantidad de problemas que pueden plantearse con todos sus elementos. Su conocimiento en profundidad es básico, puesto que los polígonos con mayor número de lados siempre pueden descomponerse en triángulos, y es a través de éstos como muchas veces operamos. Construcciones usando el arco capaz Construir un triángulo dados un ángulo A, el lado opuesto (BC) y la altura sobre él (h) -Trazamos el lado dado BC y construimos su arco capaz. A partir de B, trazamos una paralela a BC con la medida de la altura dada. En los puntos de corte de esa paralela con el arco capaz están los dos posibles vértices A.

Planteamiento

Construir un triángulo conocidos un ángulo, el lado opuesto y la mediana en él

Planteamiento del problema

Â -Trazamos el lado BC y hallamos el arco capaz con el ángulo dado. Dibujamos una circunferencia de radio la mediana y centro en la mediatriz del lado BC. Los cortes de este arco con el arco capaz nos ofrecen dos posibles vértices A.

Construir un triángulo conocido un lado y las alturas que parten de sus extremos -Trazamos el lado dado BC y su arco capaz de 90º. Desde los puntos B y C trazamos arcos con la medida de la altura, que determinan los puntos P y Q en sus cortes con el arco capaz. Unimos B con P y C con Q, y el corte de sus prolongaciones no da el vértice A buscado.

Construir un triángulo conocidos uno de los lados, su ángulo opuesto y la suma de los otros dos -Trazamos el lado dado, BC, un arco capaz con el ángulo dado, y otro con la mitad de éste. Con la medida de la suma de los dos lados, hacemos un arco desde C, que cortará al arco capaz de la mitad del ángulo en P. Uniendo P con C, obtenemos el vértice restante A, en su corte con el otro arco capaz.

Otros casos Construir un triángulo dadas la altura, la mediana y la bisectriz -Dibujamos la altura (con lo que tenemos ya el vértice A) y una perpendicular a su otro extremo. Con centro en A, trazamos arcos con las medidas de la mediana y la bisectriz que corten a esa perpendicular, que nos dan los puntos M y V respectivamente. Levantamos una perpendicular por M (mediatriz del triángulo), y la cortamos con la prolongación de AV, obteniéndose el punto N, situado en la circunferencia que circunscribe al triángulo buscado. Trazamos la mediatriz de AN, cuyo corte con la prolongación de la perpendicular MN nos da el centro O de la circunferencia circunscrita (el circuncentro), que dibujamos con radio ON. B y C estarán en el corte de la perpendicular a la altura que trazamos al principio con esta circunferencia.

Triángulo conocidas las tres medianas Para construir este triángulo hay que tener en cuenta que el baricentro siempre está en cada mediana a 2/3 del vértice y a 1/3 del punto medio del lado, y que es el vértice de un triángulo cuyos lados son 1/3 de cada mediana. -Dibujamos un triángulo con 1/3 de cada mediana, y decidimos que uno de los vértices sea el baricentro. Prolongamos uno de los lados 2/3, situando ahí el vértice A. -A los dos lados de mb trazamos 1/3, obteniéndose C y el otro extremo de la mediana. Unimos A y C con los otros pies de las medianas; su intersección nos da el vértice restante B.

Construir un triángulo, conocidas las tres alturas Para resolver este ejercicio aplicaremos proporcionalidad y semejanza: -Construimos un triángulo con las alturas dadas, y le trazamos a su vez sus alturas. Dibujamos a continuación otro triángulo con esas alturas obtenidas, h 1, h2 y h3, que será semejante al buscado. Le hallamos las alturas de nuevo y tomamos una cualquiera, por ejemplo ha1, y la prolongamos desde el vértice superior hacia abajo, hasta que mida la altura dada. Por semejanza obtenemos el triángulo solución, prolongando dos lados del triángulo, también hacia abajo.

1.2. CUADRILÁTEROS Son figuras planas limitadas por cuatro rectas que se cortan dos a dos, determinando unos segmentos que son los lados del cuadrilátero. Los puntos donde concurren dos lados contiguos son los vértices. En los cuadriláteros, aparece también la diagonal, segmento que une dos vértices no consecutivos. Cada diagonal divide siempre el cuadrilátero en dos triángulos. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º. Teniendo en cuenta el paralelismo de los lados de un cuadrilátero, podemos clasificarlos en paralelogramos (cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide), trapecios y trapezoides. Dado que los paralelogramos ya se vieron en 1º de Bachillerato, continuaremos con el estudio de trapecios y trapezoides y, excepcionalmente, el pentágono. (Conviene que repaséis esos contenidos de 1º)

TRAPECIOS Cuadrilátero irregular que tiene paralelos solamente dos de sus lados, que son sus bases. Necesita cuatro datos para poder ser determinados. Sin embargo, en el caso de los trapecios rectángulos e isósceles, conociendo solo tres suele ser suficiente. Trapecios rectángulos

Conociendo bases y altura -Dibujamos la base mayor, AB, y trazamos una perpendicular desde A con la medida de la altura, con lo que obtenemos el vértice D. -Trazamos una paralela al lado AB desde D. Con centro en D y radio el lado menor, trazamos un arco que en su corte con esta paralela nos da el vértice C

Conociendo las diagonales y una base Este ejercicio se resuelve construyendo dos triángulos rectángulos ABD y ADC: -Dibujamos la base, AB, y sobre A levantamos una perpendicular. Desde B trazamos un arco con la medida de la diagonal mayor que corte a ésta en D. -Trazamos una paralela a AB desde D, y un arco que la corte con la medida de la diagonal menor desde A. Trapecios isósceles Conociendo las bases y la altura -Dibujamos la base mayor AB y trazamos su mediatriz, desde donde llevamos la altura. A partir de ésta, trazamos una paralela a la base. Desde el extremo de la altura y con radio igual a la mitad de la base menor, trazamos un arco que corte en dos puntos, los vértices superiores, a la paralela.

Conociendo la base mayor, la altura y un ángulo agudo -Dibujamos la base, trazamos la altura y una paralela a la base a la medida de la altura. Desde los extremos de la base dibujamos el ángulo dado. El corte del lado de esos ángulos con la paralela nos da los vértices D y C.

Trapecio escaleno Construir un trapecio escaleno conociendo los cuatro lados Se traza AB, sobre éste un arco con la medida del lado opuesto (DC en este caso), que nos da E. Desde E tomamos otro arco con la medida del lado que parte de A (AD), y desde B otro con BC, obteniéndose C. Solo resta trazar un arco desde C con la medida CD que corte al trazado por A con la medida AD. Construir un trapecio escaleno conociendo sus bases y sus diagonales Se dibuja una de las bases, AB. A ese lado AB se le suma el lado opuesto. Con centro en A y radio una diagonal, y centro en E y radio la otra diagonal se dibujan dos arcos. Por C se traza una paralela a la base AB. Por último, con centro en B y radio EC se dibuja un arco.

Trapezoides Cuadrilátero irregular que no tiene ningún lado paralelo a otro. Como no tienen ningún elemento igual, debemos conocer al menos 5 datos para su construcción.

Conociendo una diagonal y los cuatro lados -Dibujamos la base, AB, y trazamos un arco con la diagonal desde A. Dibujamos otro arco desde B con la medida del lado BC que lo corte, obteniéndose el vértice C. Desde éste, se dibuja otro arco con la medida BD, que corte a otro trazado por A con la medida AD.

1.3. Construcción de polígonos regulares de más de cuatro lados Para construir polígonos regulares, uno de los métodos fundamentales es inscribirlo en una circunferencia. Cuando el dato es el radio del polígono: el procedimiento general es dividir la circunferencia que circunscribe al polígono en tantas partes como número de lados tenga éste.

Pentágono, dado el radio de la circunferencia circunscrita Trazar la circunferencia de radio r. Hallar la mediatriz del diámetro, que nos dará, en su corte con la circunferencia, el vértice A. Hallar a su vez la mediatriz de la mitad del diámetro, que nos dará M. Con centro en M y radio MA, trazar un arco que corte el diámetro en N. Dibujando un arco con centro en A y radio AN, obtenemos sobre la circunferencia el lado.

A A

B M

D Construir un pentágono dado el lado Se traza AB en una recta. Se halla la mediatriz de ésta. Desde B, trazamos una perpendicular con la distancia AB. Con centro en la mediatriz y radio en esta perpendicular, hallamos O sobre la recta. Con centro en A y radio en AO, hallamos el vértice D en el corte con la mediatriz. Ya solo resta hallar E y C trazando arcos con la distancia AB desde A y D y desde B y C.

TEMA 2.-TANGENCIAS Y ENLACES 2.1.-TANGENCIAS Dos figuras planas son tangentes cuando tienen un solo punto en común (punto de tangencia). La tangencia puede producirse entre cualquier tipo de figura plana (recta, polígono, circunferencia…) pero las más habituales son las generadas entre rectas y circunferencias y entre éstas entre sí.

Propiedades -Primer teorema: una recta r es tangente a una circunferencia cuando tienen entre sí solamente un punto en común y la recta es perpendicular al radio de la circunferencia en un punto M.

-Segundo teorema: una circunferencia es tangente a dos rectas r y s que se cortan entre sí si su centro está situado en la bisectriz del ángulo que forman las rectas.

-Tercer teorema: dos circunferencias son tangentes si tienen un punto en común N alineado con los centros de la circunferencia.

-Cuarto teorema: en dos circunferencias tangentes, si se traza un par de diámetros paralelos y se unen mediante rectas los diámetros opuestos de ellos, se observa que dichas rectas de unión están alineadas con el punto de tangencia M.

5.1.1.-CONSTRUCCIÓN DE TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS Dibujar una recta tangente a una circunferencia en un punto de ella Trazar el radio que une el centro con el punto P, y dibujar la recta perpendicular al radio que pase por P, que será la solución.

Trazar dos rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior a ella Se une el punto P con el centro de la circunferencia y se halla su mediatriz. Con centro en ésta (H) y radio HO se traza un arco que corte a la circunferencia en M y M’, que son los dos puntos de tangencia buscados.

Trazar dos rectas tangentes a una circunferencia y paralelas a una dirección Trazar por el centro de la circunferencia una recta t perpendicular a la dirección dada, lo que determinará los puntos de tangencia M y N. Solo resta trazar paralelas a la dirección dada que pasen por los puntos de tangencia.

Hallar una circunferencia tangente a dos rectas convergentes, dado el radio Dibujar la bisectriz del ángulo que determinan r y s. Trazar una paralela a r ó s a la distancia del radio. El corte de ésta con la bisectriz determina el centro de la circunferencia. Trazando desde ésta perpendiculares a r y a s, hallamos los puntos de tangencia M y N.

Hallar una circunferencia que pase por un punto M y sea tangente a una recta por un punto dado P Unir M con P y trazar su mediatriz. Dibujar una perpendicular a la recta r dada que pase por P. El corte de la mediatriz con ésta nos dará el centro de la circunferencia.

Hallar una circunferencia tangente a tres rectas que se cortan dos a dos.

Hay cuatro posibles soluciones. Para hallar los centros de las cuatro circunferencias, trazar las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas al cruzarse, y hallar la intersección entre las dos bisectrices. Los puntos de tangencia se hallan dibujando perpendiculares a las rectas que pasen por el centro.

Dadas dos circunferencias de distinto radio, hallar dos rectas tangentes exteriores a ambas Unir los dos centros y trazar la mediatriz de este segmento. Trazar una circunferencia concéntrica a la mayor cuyo radio sea la diferencia entre los dos radios dados. Con centro en H y radio HO1, trazar un arco que corte a esa circunferencia auxiliar, dando M y M’. Uniendo O1 con M y con M’, obtenemos los puntos de tangencia T1 y T2. Solo resta hallar las perpendiculares a O 1M y a O1M’ que pasen por los puntos de tangencia.

Dadas dos circunferencias de distinto radio, hallar dos rectas tangentes interiores Unir los dos centros y hallar su mediatriz(H). Trazar una circunferencia con radio r 1+r2 y centro en O1. Hallar otra circunferencia con centro en H y radio O 1H, que cortará a la circunferencia en M y M’. Uniendo ambos puntos con O 1, obtenemos los puntos de tangencia en sus cortes con la circunferencia mayor. Solo resta trazar sendas perpendiculares a O1M y a O1M’ pasando por los puntos de tangencia.

5.1.2. CONSTRUCCIÓN DE TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS Las circunferencias tangentes pueden ser interiores o exteriores. En las interiores, la distancia de sus centros es igual a la diferencia de sus radios. En las exteriores, a la suma. Circunferencia tangente exterior a otra de radio dado en un punto

Se prolonga el radio de la circunferencia dada, pasando por P, y se le suma el radio r 2, determinándose así el centro O2, desde donde se traza la circunferencia con el radio dado.

Circunferencia tangente interior a otra por un punto M y pasando por otro punto interior N

Al ser M y N puntos de la misma circunferencia, su centro está en la mediatriz de MN, por lo que se halla ésta, se une O 1 con M y donde corte con la mediatriz estará el centro de la segunda circunferencia.

Circunferencia tangente exterior a otra de radio conocido y a una recta dada

Se traza un arco desde O1 con la suma de los dos radios. Se traza una recta paralela a la dada a la distancia del radio. El corte de ésta con el arco anterior es el centro de la circunferencia pedida. Para hallar el punto de tangencia, se unen los dos centros

Circunferencia tangente interior a otra de radio conocido y a una recta dada

El procedimiento es similar al del caso anterior, pero en lugar de sumarse los radios para construir el arco, se restan.

Trazar 3 circunferencias tangentes entre sí, conociendo sus centros Unir los tres centros, formando un triángulo. Hallar las bisectrices de dos de los ángulos, cuyo cruce determina P. Trazando perpendiculares a los tres lados del triángulo que pasen por P, hallamos los puntos de tangencia T1, T2 y T3.

Hallar una circunferencia tangente a otras dos dadas, conociendo su radio.

Desde O1 y O2, se trazan arcos con la suma del radio de cada circunferencia mรกs el radio dado r. El corte de ambos arcos determina el centro de la circunferencia buscada. Uniendo O1 y O2 con O3, hallamos los puntos de tangencia T1 y T2.

Hallar una circunferencia tangente interior a dos circunferencias dadas, conocido su radio Desde O1 y O2, trazar arcos con la diferencia del radio dado con el radio de cada circunferencia. El corte de ambos arcos no da O3. Uniendo O3 con O1 y O2 y prolongรกndolos, los cortes con la circunferencia nos da los puntos de corte M y N.

2.2.-ENLACES

Un enlace es la unión armónica de dos o más líneas, curvas o rectas, de modo que parezcan una línea continua. Son el mejor ejemplo de aplicación de tangencias. Para hacerlo, hay que seguir estos pasos: -Definir el centro del arco o circunferencia (que va a estar siempre en la perpendicular desde el punto de tangencia). -Determinar los puntos de tangencia, para saber donde empieza y acaba el enlace -Trazar el arco de enlace -Enlace de rectas paralelas -Unir dos rectas paralelas Por un punto cualquiera de una de las rectas, se traza una perpendicular. Se halla su mediatriz, que será el centro del arco, que se une a A y B con radio OA. -Unir dos rectas paralelas con dos arcos de distinto radio, dados los puntos de tangencia Unir los puntos de tangencia y hallar su mediatriz, lo que nos dará M. Trazamos una paralela a r o s pasando por M. Con centro en ese mismo punto y radio MT1, trazamos un arco que corte a la paralela en N. Desde N, trazamos una perpendicular al segmento T1T2. Si trazamos perpendiculares a r y a s pasando por T1 y T2, sus cortes con la perpendicular que hemos trazado a T1T2 nos dan los centros de los arcos buscados, O1 y O2.

-Unir dos rectas paralelas con dos arcos de igual radio y sentido opuesto, dados los puntos de tangencia Trazar, por T1 y T2, perpendiculares a r y s. Unir T 1 con T2 y hallar su mediatriz, que nos da A. Hallar las mediatrices de T1A y T2A, que al cortar a las perpendiculares, nos da los centros O1 y O2. Con centro en estos y radio O1 T1, trazamos los dos arcos.

Enlaces de rectas secantes -Unir dos rectas secantes mediante un arco de radio dado Trazar paralelas a r y s a la distancia del radio. Su punto de corte es el centro O. Trazando perpendiculares a r y a s que pasen por O y las corten, obtenemos los puntos de tangencia T1 y T2.

-Unir dos rectas secantes con dos arcos de sentido contrario, dados los puntos de tangencia y el radio de uno de los arcos

Por T1 y T2 se trazan perpendiculares a r y s. A una distancia igual al radio dado, se trazan paralelas a r y s, que cortan a las perpendiculares en A(O1) y B. Unimos A y B y trazamos su mediatriz, que corta a la perpendicular por T2 en O2. Unimos O2 con A. Con centro en A y desde T1, trazamos un arco, que corta a O2A en F, punto de enlace de los dos arcos. Con centro en O2 y desde F trazamos el segundo arco.

Enlaces de arco y recta -Unir un arco de circunferencia de radio dado con una recta mediante un arco de sentido contrario y de radio dado.

A una distancia igual a r2, trazar una paralela a s. Dibujar un arco desde O1 con la suma de los dos radios dados, que cortarรก a esa paralela en O 2. Trazamos una perpendicular a s por O2 que nos da A. Uniendo O1 con O2 obtenemos el punto de uniรณn entre los dos arcos. Solo resta, con centro en O2, trazar el arco desde A a B.

Unir un arco de circunferencia de centro O1 y una recta, dado el punto de tangencia en la recta Hallamos una perpendicular que corte a la recta s por T1. Sobre ella, trazamos la distancia del radio, lo que nos da P. Unimos P con O1 y hallamos su mediatriz, cuyo corte con la perpendicular nos da O2. Unimos O1 con O2, cuyo corte con la circunferencia nos da T2. Solo resta unir T1 con T2.

Enlace de dos circunferencias mediante un arco de radio dado, tangente a las dos circunferencias Prolongar la recta de uniรณn entre los centros O 1 y O2, lo que nos da los puntos A y B. Con el radio dado (que debe ser siempre mayor que la mitad de AB) y con centro en A y en B, se describen dos arcos que determinan C y D. Con centro en O1 y en O2 y radio O1C y O2D respectivamente, se trazan arcos, cuyo corte nos da O3. Las rectas que unen O3 con O1 y O2 determinan sobre cada una de las circunferencias los puntos de tangencia T1 y T2. Solo resta trazar el arco con centro en O 3 y radio O3T1

Tema 3.- POTENCIA Con el estudio de esta relación matemática, que se apoya en la proporcionalidad inversa, desarrollaremos casos de tangencia que no se vieron en 1º de Bachillerato y se solucionarán (en el tema correspondiente) intersecciones de rectas con curvas cónicas de forma rápida y precisa. Potencia de un punto respecto de una circunferencia: si desde un punto P trazamos secantes a una circunferencia, el producto de distancias de dicho punto a los de intersección de cada secante es una constante. Es decir, que si designamos estos puntos como A, B y C, D, se cumple que p=PA x PB=PC x PD =K (constante). En otras palabras, cualquier recta tangente o secante a la circunferencia que tracemos desde P mantendrá la misma proporción en las distancias desde el punto a los puntos de corte con la circunferencia.

-Si el punto P es exterior a la circunferencia, la potencia es positiva, ya que los dos segmentos están orientados en el mismo sentido. -Si el punto P es interior, la potencia será negativa, ya que tienen diferentes sentidos.

-Si el punto P pertenece a la circunferencia, la potencia es igual a 0, dado que uno de los dos segmentos vale 0. En el caso de la potencia positiva, podemos tomar la tangente como secante extrema, pudiéndose definir la potencia en función del segmento determinado por P y el punto de tangencia T. Si unimos el punto P, el punto de tangencia y el centro de la circunferencia, obtenemos un triángulo rectángulo, en el cual la hipotenusa es la distancia d del punto al centro, y los catetos son el radio r y el segmento PT (llamado segmento representativo). Este triángulo nos servirá para solucionar los problemas de tangencia. T Segmento representativo

r O

d Segmento representativo

En el caso de la potencia negativa, el triángulo rectángulo está formado por un cateto d, igual a la distancia entre P y el centro, el otro, PH, que es el segmento representativo, y la hipotenusa que es el radio r. Como podemos observar, el radio y el segmento representativo intercambian posiciones respecto a la potencia positiva.

Eje radical de dos circunferencias Una vez establecido el concepto de potencia respecto a una circunferencia, si tomamos dos o más circunferencias, habrá puntos que tengan la misma potencia respecto a las dos. Estos puntos pertenecerán a lo que se denomina eje radical de las dos circunferencias, que podemos definir como “el lugar geométrico de todos los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de las circunferencias”, y es siempre una recta perpendicular a la que une los centros de las circunferencias.

Determinación del eje radical: según las posiciones que ocupen las circunferencias entre sí, su eje radical queda definido de forma diferente:

-Eje radical de dos circunferencias secantes: Se halla trazando la recta tangente común a ambas circunferencias

-Eje radical de dos circunferencias tangentes: se halla trazando la recta tangente común a ambas circunferencias, que es siempre perpendicular al segmento que determina la unión de sus dos centros.

-Eje radical de dos circunferencias exteriores: se traza una circunferencia auxiliar que corte a las dos circunferencias dadas (cualquiera que no tenga el centro alineado con los de las circunferencias dadas). Se determinan los ejes radicales de cada una con la auxiliar. Por donde se cortan los dos ejes radicales, se traza una perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias.

-Eje radical de dos circunferencias interiores: se procede de forma similar

Se llama haz coaxial al conjunto de circunferencias que tienen el mismo eje radical.

-Se denomina haz secante al conjunto de circunferencias secantes con el mismo eje radical. Lรณgicamente, tienen todos sus centros alineados en la recta perpendicular a la secante

-En un haz tangente, todas las circunferencias comparten el mismo eje radical, que pasa por el punto de tangencia T. Todas las circunferencias que tengan su centro sobre la recta r y pasen por el punto T, pertenecerรกn a este haz tangente.

Centro radical de tres o más circunferencias Dadas tres circunferencias de centro O1, O2 y O3, se llama centro radical al punto P que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias. El centro radical será el punto de intersección de los ejes radicales de las circunferencias tomadas de dos en dos. Si se trazan las tangentes a las circunferencias desde este punto, la distancia hasta los puntos de tangencia de cada una de las circunferencias es siempre la misma.

Las tangentes trazadas hacia tres circunferencias desde su centro radical definen puntos de tangencia equidistantes entre sí

Determinación del centro radical: como regla general, el centro radical será el punto de intersección de los ejes radicales de las circunferencias tomadas dos a dos, pero según como estén colocadas entre sí, será más o menos inmediata su determinación.

Centro radical de tres circunferencias secantes entre sí

Centro radical de tres circunferencias secantes entre sí dos a dos

Centro radical de tres circunferencias tangentes entre sí dos a dos

-Centro radical de tres circunferencias exteriores: trazamos una circunferencia auxiliar que corte a las tres dadas. Determinamos dos ejes radicales de dos de las circunferencias dadas, y donde se corten éstas obtenemos el centro radical.

Aplicación de la potencia a la resolución de problemas de tangencia Premisas: Para resolver los ejercicios de tangencia mediante potencia, hay que recordar en todo momento las siguientes premisas:  -Los centros de las circunferencias tangentes están siempre alineados con el punto de tangencia; por tanto, hay que unir siempre el centro con el punto de tangencia  -Los radios que contienen los puntos de tangencia son siempre perpendiculares a la recta de tangencia.  -Los puntos de tangencia están siempre a la misma distancia del centro radical.

Hallar dos circunferencias tangentes a una recta y a otra circunferencia dado el punto de tangencia en la circunferencia dada.

-Unimos el punto de tangencia con el centro de la circunferencia dada. Sobre esa recta estarán los centros de las circunferencias solución, dado que los centros de las circunferencias tangentes están

siempre alineados con el punto de tangencia. -Trazamos el eje radical t, perpendicular a la recta anterior, y donde corte a la recta dada obtendremos el punto potencial P (centro radical). -Haciendo centro en P y radio PT, dibujamos un arco que corta a la recta r en T 1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias con la recta. Trazamos por estos puntos las perpendiculares a r (dado que los radios que contienen los puntos de tangencia son siempre perpendiculares a la recta de tangencia), que en su corte con s determinan los centros de las circunferencias. Solo resta dibujarlas con radios O 1T1 y O2T2.

Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia, dado el punto de tangencia T de la recta -Trazamos una perpendicular a r desde el punto de tangencia, donde van a estar los centros de las circunferencias buscadas. Nos servimos de una circunferencia auxiliar que corte a la dada y sea tangente a r en T. La recta r será así el eje radical de ésta y las circunferencias solución. -Trazamos el eje radical j entre la circunferencia dada y la auxiliar, y obtenemos también en su corte con r el punto potencial P. Con centro en P y radio PT hacemos un arco que determina los puntos de tangencia T1 y T2 sobre la circunferencia dada. Uniendo estos puntos con el centro de la circunferencia dada, y prolongando hasta la perpendicular desde T, obtenemos los centros de las circunferencias solución, que se trazan con radios O 1T1 y O2T2.

Circunferencias tangentes a dos circunferencias dado el punto de tangencia en una de ellas -Dibujamos la recta s que une el centro de la primera circunferencia con el punto de tangencia: en esta recta estarán situados los centros de las circunferencias buscadas, ya que, como en casos anteriores, los centros de las circunferencias tangentes han de estar alineados con el punto de tangencia. -Con centro en la recta OT, Trazamos una circunferencia auxiliar tangente por T a la primera circunferencia y que corte a la otra en dos puntos. -Obtenemos los dos ejes radicales, t, tangente por T y j, en las intersecciones de la circunferencia auxiliar y la segunda circunferencia. Donde se corten los dos ejes radicales, t y j, obtenemos el punto de potencia P. -Haciendo centro en P y con radio PT determinamos los puntos de tangencia T1 y T2 sobre la segunda circunferencia. Uniendo estos puntos con el centro de la segunda circunferencia, O1, y prolongando hacia s, obtenemos los centros buscados, O2 y O3. Solo nos resta trazar las circunferencias con radios O2T y O3T.

Circunferencias tangentes a una recta y que pasen por dos puntos P y Q Se trata de hallar los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con la recta r, por lo que habrá que hallar el centro radical entre estas circunferencias y r. Además, todas las circunferencias que pasan por los puntos P y Q han de tener su centro en la mediatriz del segmento que los une y como eje radical esa misma recta PQ. Por otra parte, el eje radical de una circunferencia y una recta es la propia recta. Por tanto, el punto C, donde la recta PQ corta a r, es el centro radical de todas las circunferencias que pasan por P y Q y la recta r. En definitiva:

-Unimos P y Q y prolongamos hasta r, obteniéndose el punto C, centro radical de las circunferencias. Trazamos la mediatriz del segmento PQ, donde estarán los centros de las circunferencias buscadas. -Dibujamos una circunferencia auxiliar con centro en esa mediatriz que pase por P y Q. Hallamos la tangente T’ a esa circunferencia auxiliar desde el punto C. Haciendo centro en C y radio CT’, obtenemos sobre la recta r los dos puntos de tangencia buscados, T1 y T2. Solo resta trazar perpendiculares a r por estos puntos de tangencia para hallar los centros en sus cortes con la mediatriz de PQ.

Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan y pasan por un punto P dado Los centros de las circunferencias buscadas van a estar en la bisectriz del ángulo que forman las rectas. Si estas circunferencias pasan por P, pasarán también por un punto Q simétrico al anterior respecto a la bisectriz. El problema se convierte así en el caso anterior.

Circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan y a una circunferencia dada Este problema tiene dos soluciones, las circunferencias exteriores a la dada y las interiores, y se resuelve de forma parecida a los dos anteriores. -Para resolverlo, se aplica una “dilatación negativa” (o lo que es lo mismo, una contracción) de la circunferencia igual a su radio, con lo que la convertimos en un punto, su propio centro P. Y para mantener la equivalencia con los datos iniciales, las rectas r y s se dilatan también negativamente la misma magnitud (en realidad, para operar, solo hace falta dilatar una). De esta forma, el problema se convierte en el caso anterior de hallar las circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto. Solo hay que, una vez resuelto, prolongar las rectas que unen los centros de las circunferencias obtenidas con los puntos de tangencia hasta la recta original, para hallar los puntos de tangencia T 1 y T2.

Para hallar las circunferencias tangentes exteriores, se procede igual, solo que la dilatación de las rectas r y s se produce en sentido contrario. Las tangentes con la circunferencia dada se hallan uniendo los centros obtenidos con el centro de ésta.

Circunferencias tangentes a una circunferencia dada y que pasen por dos puntos Como hemos visto en casos anteriores, todas las circunferencias que pasen por los puntos P y Q han de tener sus centros en la mediatriz del segmento PQ y su eje radical es la misma recta PQ. -Unimos los puntos P y Q y hallamos su mediatriz. Dibujamos una circunferencia auxiliar con centro en esa mediatriz que pase por P y Q. Esa circunferencia corta a la dada en A y B. El punto de corte de la recta AB con PQ, C, es el centro radical de las circunferencias que pasan por P y Q y la dada. -En consecuencia, la potencia de ese punto respecto a todas ellas es la misma, y la longitud del segmento CT1 tambiĂŠn (los puntos de tangencia T1 y T2 se hallan, como ya hemos visto, trazando perpendiculares a un radio de la circunferencia dada que pasen por C). -Los centros de las circunferencias soluciĂłn se hallan uniendo los puntos de tangencia T 1 y T2 con el centro de la circunferencia dada y prolongando hasta la mediatriz.

TEMA 4.-RELACIONES Y TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Una transformación geométrica es la operación que posibilita obtener una figura nueva a partir de otra dada, por medio de correspondencias entre elementos (puntos, rectas…) o figuras. Clasificación a)Transformaciones isométricas: la figura transformada conserva las magnitudes y los ángulos de la figura inicial, es decir, que el resultado final de la transformación es una figura idéntica a la de partida. Podemos considerar las siguientes: -Igualdad -Traslación -Simetría -Giro b)Transformaciones isomórficas: La figura transformada conserva solo la forma de partida:los ángulos son iguales y las magnitudes proporcionales. Consideraremos las siguientes: -Homotecia -Semejanza c)Transformaciones anamórficas: la figura transformada es totalmente diferente, como en el caso de la equivalencia o la inversión. Aunque las transformaciones isométricas e isomórficas corresponden al temario de 1º de Bachillerato, en este curso alumno repasaremos de cara a la selectividad los contenidos impartidos sobre este tema el curso anterior, tratándose a continuación las transformaciones anamórficas.

4.1.-TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS: 4.1.1.-Igualdad e identidad: dos figuras planas son iguales cuando sus lados y sus ángulos son iguales y están dispuestos en el mismo orden (K=K’). Son idénticas cuando coinciden exactamente al superponerlas (K=K’). Todas las figuras idénticas son iguales, pero no todas las iguales son idénticas.

Fig. iguales

Fig. idénticas

Construcción de figuras iguales Por radiación: Se toma un punto cualquiera interior O y se trazan los segmentos que lo unen con los vértices. Se traza también una circunferencia que corta a los cinco segmentos. Dibujamos otro punto O’ y trazamos por él una paralela a cualquiera de los segmentos interiores de la figura original, p. ej. E’O’. Dibujamos un círculo con igual radio al de la figura, que cortará al segmento en Q’. A partir de ahí, transportamos todos los ángulos, prolongándolos. Solo resta medir la longitud de los segmentos interiores y trasladarlos a la segunda figura.

Por triangulación: Trazar sobre una recta el segmento AB. A partir de éste, construir el triángulo ABC, sobre éste el ACD, y sobre éste el ADE.

Por perpendiculares: se traza una recta horizontal que pase por uno de los vértices, A en este caso. Se levantan perpendiculares que corten a cada uno de los vértices. Se dibuja otra recta, donde se traslada el punto A y los demás puntos, desde donde se levantan perpendiculares. Solo resta tomar las medidas de las figuras originales y trasladarlas a la segunda, y unir los puntos.

Por traslado de ángulos: trazamos una paralela a cualquier lado, por ejemplo AD, y sobre ella trazamos el segmento A’D’, similar al de la figura dada. Desde A, se trasladan los lados y los ángulos de la figura original.

4.1.2.-Traslación: movimiento rectilíneo en una dirección establecida, por el que cada punto de una figura se desplaza una misma distancia sobre rectas paralelas. Una traslación queda definida por dos puntos homólogos A y A’ dados y una dirección de traslación determinada. En toda traslación se verifica: -El segmento que se traslada es paralelo al original -Las rectas que unen puntos homólogos (A y A’, B y B’…) son paralelas a la dirección de traslación -Los ángulos resultantes son iguales a los originales -Cualquier figura original se transforma en otra igual.

Por cada uno de los vértices se trazan paralelas a la dirección de traslación AA’. Solo resta marcar en esas paralelas, desde cada uno de los vértices, la distancia AA’ y unir los puntos.

4.1.3.-Simetría: dos figuras son simétricas respecto a un punto (simetría central) o una recta (eje de simetría, simetría axial) cuando, haciendo girar la figura transformada alrededor de este punto o recta, coincide exactamente sobre la figura original. Simetría central: dos puntos A y A’ son simétricos respecto a un tercero O cuando están sobre una misma recta y equidistan de O, es decir, que AO=OA’. A O A’

En una simetría central se verifica siempre que una figura poligonal y su transformada tienen sus lados homólogos paralelos y con sentido contrario; por tanto, para que coincidan ambas figuras hay que girar 180º la transformada.

Simetría central de un segmento: Unimos A y B con O y prolongamos, y trasladamos las distancias AO y BO.

Simetría central de una figura plana Unimos los vértices con O y prolongamos, y pasamos las distancias de éstos (AO, BO…) al punto central.

Simetría axial: dos puntos son simétricos respecto a un eje cuando están situados sobre rectas perpendiculares a éste y equidistan de él.

A’

En una simetría axial se verifica siempre que: -Las rectas simétricas se cortan en un punto del eje de simetría -El eje es la mediatriz del segmento que une puntos simétricos

Simetría axial de una figura plana Trazar perpendiculares al eje pasando por los vértices y trasladar la distancia de cada vértice al eje a la prolongación de estas perpendiculares

4.1.4.-Giro: un giro es una transformación que posibilita que un punto, recta o figura se mueva alrededor de otro punto fijo en un sentido (positivo o negativo) y un ángulo determinado. Tenemos por tanto tres elementos: centro de giro (O), sentido del giro y ángulo de giro. En un giro se verifica siempre que: -Los ángulos y las magnitudes de los segmentos se conservan -Todos los elementos de una figura describen arcos concéntricos en la misma dirección y el mismo ángulo. Determinación del centro de giro: se trazan las mediatrices de los segmentos que unen cualquier par de puntos homólogos. En el corte de dos de éstos estará el centro. Giro de un punto conociendo el centro y el ángulo de giro Se une A con el centro, y sobre este se segmento se transporta el ángulo dado. Con centro en A y radio OA, se marca A’.

Giro de una recta conociendo el centro y el ángulo de giro Se traza una perpendicular a la recta que pase por O, obteniéndose P. Sobre ésta perpendicular, se halla el ángulo. Se pasa la distancia de P, obteniéndose P’. Sólo resta trazar una perpendicular a OP’, obteniéndose r’.

Giro de una circunferencia conociendo el centro y el ángulo de giro

Giramos el centro como hemos visto para el punto, y trazamos la circunferencia homóloga con ese mismo radio.

Giro de una figura plana conociendo el centro y el ángulo Se giran cada uno de los puntos de la forma vista, y se unen los vértices.

4.2.-TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS 4.2.1.-Homotecia: Cuando dos figuras semejantes (es decir, las que tienen ángulos iguales y lados proporcionales) se hallan alineadas respecto a un punto, se dice que son homotéticas. El punto O en relación al cual están alineadas es el centro de homotecia. La razón de la homotecia sería K, verificándose que K=OA’/OA

A’

Determinación: una homotecia estará determinada por algunos de los siguientes datos:

-El centro y dos puntos homotéticos A A’



La razón de dos segmentos de longitudes a y b es el cociente de a entre b, es decir, a/b

-El centro y la razón de homotecia (K=4/3, p. ej.)

-Dos figuras homotéticas (si tenemos dos figuras homotéticas, por ejemplo, podemos deducir el centro y la razón de homotecia)

En una homotecia se verifica siempre que: -La razón entre dos segmentos homotéticos es siempre constante, e igual a la razón de homotecia -Los ángulos no varían, aunque sí las magnitudes de los segmentos, en una proporción igual a la razón de homotecia. La homotecia puede ser directa o positiva, cuando cada punto y su homólogo se hallan en la misma semirrecta con respecto al centro de homotecia, o inversa o negativa, cuando el centro de homotecia se halla en el segmento comprendido entre cada punto y su homólogo.

Construcción de homotecias Figura homotética de ABC, dados el centro y su razón (K=1/2)

Se une O con los vértices. Sobre uno de los segmentos, p. ej. OA, se lleva la razón, en este caso ½, resultando A’. Desde ahí, se traza una paralela a AB, obteniéndose A’B’, de la misma forma, se obtiene A’C’.

Figura homotética de ABC, dados O y una razón negativa (K=-2) (homotecia inversa)

Se unen los vértices con O y se prolonga. Pasamos las distancias (en este caso, al ser K=-2, el doble de AO) y obtenemos los vértices, o bien obtenemos uno de los vértices y procedemos con paralelas a los lados originales para obtener los homotéticos.

Homotecia respecto a dos centros: dos segmentos paralelos son siempre homotéticos respecto de dos centros, de uno en homotecia directa y de otro en inversa. Estos centros se hallan con las intersecciones de las rectas que unen los extremos de los dos segmentos.

Lo mismo ocurre siempre con dos circunferencias cualesquiera. Los centros de homotecia se hallan sobre la recta que une los centros de las circunferencias, determinándose a partir de las tangentes exteriores e interiores.

4.2.2.-Semejanza: dos figuras planas son semejantes o proporcionales cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. Los elementos que se corresponden en ambas figuras se llaman homólogos y la relación de proporcionalidad que existe entre segmentos homólogos se denomina razón de semejanza o K, donde K=A’B’/AB, de tal modo que: -Si K>1, la figura semejante es mayor que la original -Si K<1, la figura semejante es menor que la original -Si K=1, la figura semejante es igual a la original. La semejanza puede ser también directa o inversa, según mantenga o no el sentido de la figura original. Construcción de figuras planas semejantes Por homotecia o radiación, dada la razón de semejanza positiva K=1/21 Tomamos un punto exterior cualquiera O, al que unimos todos los vértices. Tomamos una recta de unión cualquiera, en este caso BO. Sobre ella hallamos la mitad, ya que K=1/2, obteniendo B’. A partir de ahí procedemos de la forma conocida, por paralelas.

Por homotecia o radiación, conociendo la razón de semejanza negativa, p. ej. K=-2/3 Dibujamos un punto exterior cualquiera O, al que unimos todos los vértices. Como la razón es negativa, determinamos la proporcionalidad sobre las prolongaciones de los segmentos a partir de O. Una vez determinado un punto homólogo a 2/3, por ejemplo D, procedemos por paralelas, como en el caso anterior.

Todas las figuras homotéticas son semejantes, pero no todas las figuras semejantes son homotéticas, se pueden hallar por otros medios.

6.3. TRANSFORMACIONES ANAMÓRFICAS Las transformaciones geométricas son una parte de la geometría proyectiva, que estudia las propiedades geométricas que se obtienen a partir de una proyección. Esta geometría se basa en determinadas operaciones que se realizan sobre formas geométricas concretas, el estudio de diversas transformaciones y la introducción sistemática de los elementos geométricos situados en el infinito. El concepto de proyectividad es el fundamento de los diferentes sistemas de representación (diédrico…) que componen la geometría descriptiva, que más adelante estudiaremos. La geometría proyectiva se distingue de la geometría métrica o euclídea, que estudia las operaciones y las transformaciones que conservan las características métricas, como el paralelismo, los ángulos, el área, la distancia… Las transformaciones isométricas e isomórficas corresponden a la geometría métrica, Las anamórficas, a la proyectiva. Algunos fundamentos -Se denominan elementos dobles o invariantes a aquellos a los que al aplicarles una transformación se trasforman en sí mismos, es decir, que el elemento original y su homólogo coinciden o, en otras palabras, mantienen el mismo lugar geométrico. Elementos dobles serían, por ejemplo el centro de simetría en una simetría central, el eje de simetría en una axial o el centro de giro en un giro. -Las transformaciones proyectivas vienen determinadas por la introducción del concepto de infinito, y en relación con este concepto hemos de hablar de los elementos impropios: o

Punto impropio o punto del infinito es el elemento común que tienen entre sí todas las rectas paralelas de un conjunto. El punto impropio de una recta es su dirección, porque todas las rectas paralelas a ella tienen en común dicho punto. Cualquier recta tiene un único punto impropio. Recta impropia o recta del infinito es el elemento común que tienen entre sí todos los planos paralelos de un conjunto. Es su orientación, porque todos los planos paralelos a él tienen en común dicha recta. Cualquier plano tiene una única recta impropia Plano del infinito es el conjunto de todas las rectas impropias y puntos impropios, es decir, es el lugar geométrico constituido por todos los elementos impropios de la geometría euclídea. Existe un único plano impropio, y todo aquel elemento que no esté incluido en él es propio.

r∞

P∞

Punto impropio en el infinito

Recta impropia en el infinito

Operaciones proyectivas Las operaciones fundamentales de la geometría proyectiva son la proyección (desde un punto o una recta) y la sección (por una recta o por un plano). a)Proyecciones Proyectar un punto A desde otro punto O consiste en trazar la recta a que pasa por ambas, y que recibe el nombre de recta o rayo proyectante. Generalmente, se denota con la misma letra que el punto, pero en minúscula.

Proyectar una recta r desde un punto O que no pertenece a ella, consiste en trazar el plano α definido por ambos, y denominado plano proyectante. La proyección de la recta r desde O es r’, y la obtenemos al trazar el plano que pasa por el punto O y la recta r, y cuya intersección con el plano de proyección es la recta r’. La proyección de la recta s desde la recta t se determina por la intersección del plano definido por t y s con el de proyección, y es s’.

A A ’ Proyección de un punto desde un punto sobre un plano

b) Secciones Una sección se produce: -Al cortar una recta por otra. -Al cortar una recta por un plano. -Al cortar un plano por otro plano. En los tres casos se refiere a hallar el elemento que tienen en común, punto o recta, ya sea propio o impropio. Existen dos tipos de transformaciones proyectivas, las homografías y las correlaciones. -Las homografías son transformaciones proyectivas que establecen una correspondencia entre elementos de la misma especie, es decir, a un punto le hace corresponder un punto, y a una recta otra recta. Las transformaciones estudiadas en 1º (traslación, giro, simetría, homotecia y semejanza) y las que veremos este curso (homología y afinidad) son homografías. -Las correlaciones son transformaciones proyectivas que establecen una correspondencia entre elementos de diferente especie, es decir, a un punto le hace corresponder una recta, y a una recta un punto. La polaridad (que no veremos) es un ejemplo de correlación.

6.3.1. HOMOLOGÍA En una homología, a cada uno de los puntos y rectas de una forma plana inicial le corresponden, respectivamente, un punto o una recta de su forma homóloga, cumpliendo unas determinadas condiciones que a continuación veremos. La homología puede ser en el espacio (la trataremos en el tema correspondiente a la perspectiva cónica) o en el plano (homología plana).

Homología en el espacio Es una transformación proyectiva cuyo centro es un punto propio V. Si cortamos la radiación de vértice V mediante dos planos, el del suelo y el del dibujo, como vemos en la figura, obtendremos sobre cada uno de ellos una sección plana ABC y A’B’C’ respectivamente.

Ambas secciones son figuras homológicas en el espacio, y cumplen las siguientes condiciones: -Todos los rayos que parten de V generan puntos homólogos sobre cada uno de los planos (A-A’, BB’…) -Todos los puntos del eje de homología (en este caso, la intersección entre el plano del dibujo y el del suelo, son puntos dobles. -En esta homología no se conservan algunas propiedades métricas como el paralelismo o la perpendicularidad, ni las medidas de segmentos y ángulos.

Homología plana Al proyectarse una homología sobre un plano tenemos una homología plana o de dos dimensiones. Por ejemplo, si en la figura anterior abatimos el plano del dibujo respecto a su intersección con el plano del suelo, las dos formas planas serán coplanarias (es decir, que están en un mismo plano), y ambas definen la homología plana de la siguiente figura:

Entre ambas figuras se cumplen las siguientes relaciones: -Los puntos homólogos están alineados con el centro de homología (que se suele denominar O ó V) -Las rectas homólogas se cortan en un mismo punto (homólogo de sí mismo, es decir, punto doble), situado en el eje de homología (que también es doble)

Determinación Una homología queda determinada si conocemos: -El centro, el eje y un par de puntos homólogos -El centro, el eje y un par de rectas homólogas -Dos triángulos homológicos Por ejemplo, si nos dan el centro O, el eje e y el punto A y su homólogo A’, y tenemos que hallar la figura homóloga de ABC:

-Unimos los puntos ABC con el centro de homología, pues en estas rectas, prolongadas, van a estar los puntos homólogos. -Prolongamos las rectas AB y AC hasta que corten al eje, ya que en estos puntos se cortarán sus homólogos A’B’ y A’C’. -Trazamos las rectas homólogas, que al cortar a las prolongaciones de las rectas que van del centro a los puntos nos dan los vértices C’ y B’.

Rectas límites Rectas límites son las rectas que representan el lugar geométrico de los puntos del infinito de cada una de las dos figuras o formas relacionadas por una homología plana. Al ser siempre dos las figuras homólogas, en cada homología podremos establecer dos rectas límites. Ambas rectas son paralelas al eje. Para hallar las rectas límite de la figura anterior: -Por el centro de homología O, trazamos la recta paralela a A’B’, hasta cortar a AB en el punto L, que pertenece a la recta límite l. Por este punto, trazamos la paralela al eje. -Para hallar la otra recta límite se procede de forma similar: trazamos la paralela a AB por O hasta cortar a A’B’ en L’. Desde ahí trazamos la paralela al eje, l’, que es la recta límite del plano de la figura primera.

Propiedades de las rectas límite -La distancia de una recta límite al centro de homología es la misma que la distancia de la otra recta límite al eje de la homología.

-Las rectas lĂmites pueden estar o bien ambas entre el centro de homologĂa y el eje, o bien ambas por fuera de ellos, pero siempre manteniendo las distancias descritas en el punto anterior.

Determinación de una homología. Otros casos Hasta ahora hemos vista los diferentes elementos a considerar en una homología: vértice, eje, rectas límite, puntos y rectas dobles, etc. Sin embargo, no es necesario conocer todos estos elementos para que una homología quede determinada; hay unos elementos mínimos a partir de los cuales podemos determinar los restantes de la homología, aplicando las propiedades vistas. Ya hemos visto como determinarla conociendo el vértice, el eje y el punto homólogo de una figura. Veamos otros casos: Obtención de la figura homóloga a la dada conocidos tres puntos homólogos

-Determinamos el centro de homología, que estará en la intersección de las rectas AA’ y BB’. -Como el punto C es doble, pertenece al eje. La intersección de AB con A’B’ nos da el punto M, también doble y perteneciente también al eje: uniendo C con M obtenemos éste. -Unimos los vértices restantes, E y D, con O, pues en esa recta estarán sus homólogos. -Por último, buscamos puntos dobles en el eje para determinar las rectas homólogas. Prolongando AE sobre el eje, obtenemos N. Unimos N con A’, y su corte con OE nos da E’. Operamos igual para obtener D’.

Obtención de la figura homóloga a la dada conocido el eje, el centro y la recta límite de la figura buscada -Como la recta límite dada, l’, es la de la figura buscada, desde el centro de homología O trazamos la recta paralela a AB, que también lo es a CD, al ser un paralelogramo, con lo que obtenemos el punto P’∞ sobre la recta límite. -Prolongamos AB y CD hasta cortar al eje en M y N, puntos dobles. -Unimos los vértices de la figura dada, ABCD, con el centro O, ya que en estas rectas estarán sus homólogos. -Unimos M y N con P’∞, y en la intersección de las rectas anteriores, a la derecha del eje, obtenemos los puntos homólogos, A’, B’, C’ y D’.

Obtener la figura homóloga a la dada dados el vértice, el eje y el punto homólogo de uno de la figura

Obtener la figura homóloga a la dada dados el eje, la recta límite y un punto de otro de la figura. -Prolongamos AB hasta cortar a la recta límite en M, y al eje en el punto doble 1-1’. Unimos este punto con A’, y trazamos la paralela por M: la intersección de esta paralela con la recta AA’ nos da el centro O. -Una vez obtenido el centro, procedemos de la forma habitual, uniéndolo con los vértices e interseccionando estas rectas con las prolongaciones de los lados del triángulo, AB y AC.

A’

Transformaciones homológicas Una de las aplicaciones de la homología es transformar unas figuras en otras que cumplan una serie de condiciones, y uno de los problemas habituales es convertir una forma irregular en otra regular. Transformación homológica de un cuadrilátero en un cuadrado -Como los lados opuestos del cuadrado resultante han de ser paralelos, tienen que cortarse en puntos de su recta límite. Por ello, prolongamos los lados opuestos, y por los puntos de corte M y N, trazamos la recta límite l. -El centro de homología debe determinar las direcciones de los lados del polígono que, como es un cuadrado, deben ser perpendiculares. Por lo tanto, el centro estará situado en el arco capaz de 90º de MN. -Las diagonales del cuadrado también son perpendiculares. Así, si prolongamos las diagonales del cuadrilátero dado, los puntos de corte con la recta límite, P y Q, nos permiten trazar otro arco capaz donde también debe encontrarse el centro de transformación. La intersección de los dos arcos capaces nos da el centro de homología. -Tomando un eje cualquiera paralelo a la recta límite, resolvemos el problema. La posición de este eje va a condicionar el tamaño del cuadrado, que será mayor cuanto más alejado esté del centro de homología.

-Los segmentos OM y ON nos marcan las direcciones de dos lados perpendiculares del cuadrado. Prolongamos AB y BC hasta el eje y trazamos paralelas a OM y ON. A partir de ahí, procedemos de la forma habitual. (Esto es para el caso de que el eje no pase por uno de los puntos. En el caso del dibujo de abajo, al pasar el eje por B, y ser B un punto doble, a partir de B trazamos una paralela a ON y otra a OM. Los cortes con las rectas desde O nos dan los puntos C, D, A. (Esto es para el caso de que el eje no pase por uno de los puntos. En el caso del dibujo de abajo, al pasar el eje por B, y ser B un punto doble, a partir de B trazamos una paralela a ON y otra a OM. Los cortes con las rectas desde O nos dan los puntos C, D, A)

Transformación homológica de la circunferencia Cuando a una circunferencia se le aplica una homología siempre se transforma en una curva cónica. Eso es así porque las curvas cónicas surgen por secciones planas de un cono, y dos secciones planas en el espacio siempre se pueden relacionar según una homología.

Cada una de las curvas surge según como se relacione la circunferencia a transformar con su recta límite: -Si la circunferencia no corta a su recta límite, la curva que se obtiene es una elipse, curva cerrada.

-Si la circunferencia es secante a la recta límite, aparece la hipérbola, curva abierta con dos puntos impropios, los situados sobre la recta límite, cuyas homologías están en el infinito. -Si es tangente, se obtiene la parábola, que también es abierta al tener un punto situado en la recta límite. Para resolver este problema, hemos de tener en cuenta que la tangente común a la circunferencia y a su cónica transformada pasa por el centro de homología. El procedimiento para determinar puntos de la elipse puede ser el mismo expuesto en el apartado anterior para una figura poligonal, encerrando la circunferencia en un polígono, pero el trazado se simplifica notablemente determinando los elementos que definen la curva: -Determinamos el centro de la homología, la recta límite y el eje. Desde un punto cualquiera A de la recta límite trazamos las tangentes a la circunferencia. Uniendo los puntos de tangencia C y D se determina en la recta límite el punto B, desde donde se trazan nuevamente las tangentes a la circunferencia. La recta que une los dos puntos de tangencia, EF, concurrirá también en A. -Esta construcción determina un cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, cuya figura homóloga será un paralelogramo de lados paralelos a las direcciones de los puntos impropios A∞ y B∞, homólogos de los puntos A y B de la recta límite. Por tanto, por los puntos de corte de AD, AE y AC con el eje trazamos paralelas a la dirección OA y por los puntos de corte de BE, BD y BF trazamos paralelas a la dirección OB. Las intersecciones de estas paralelas nos determinan los puntos de la elipse, A’, B’, C’ y D’.

6.3.2 AFINIDAD La afinidad es un caso particular de homología donde el centro de homología es impropio. Al estar el centro en el infinito, todas las rectas que unen los pares de puntos homólogos son paralelas, y por tanto paralelas a una dirección de afinidad d. Esta dirección de afinidad puede ser oblicua, perpendicular o paralela al eje

En la afinidad no existen rectas límite: el eje de homología se convierte en eje de afinidad y el centro de homología se sustituye por la dirección de afinidad.

Dos figuras planas son afines si se cumple que:  

Los puntos afines están alineados según la dirección de afinidad Las rectas afines se cortan en puntos del eje de afinidad

La simetría axial es un caso particular de afinidad, en la que se cumple que la dirección de afinidad es perpendicular al eje de afinidad, y las parejas de puntos afines están a la misma distancia del mismo.

Determinación de una afinidad Una afinidad queda determinada si conocemos:   

El eje y dos puntos afines, ya que la recta que los une determina la dirección de afinidad Un punto del eje y un par de rectas afines Dos figuras afines

A’ ’

Construir la figura afín del triángulo ABC dados el eje de afinidad y un punto afín A’ -Prolongamos el segmento AB hasta cortar al eje en el punto doble P. Unimos P con A’. Prolongamos AC hasta el eje, obteniendo Q, que unimos con A’. Trazamos las paralelas a la dirección de afinidad desde B y C, que en su corte con PA y PQ nos dan B’ y C’.

C ’

Q B’ B

Construir la figura afín de un cuadrilátero dados el eje de afinidad y un punto afín

-Trazamos paralelas a AA’ desde todos los vértices. Prolongamos AB hasta cortar el eje e P. Unimos P con A’. B’ estará en el corte de la paralela trazada desde B y PA’. Prolongamos Ad, obteniendo el punto R sobre el eje, y unimos con A’, obteniéndose D’, en el corte con la paralela desde D. Los nuevos puntos homólogos obtenidos se pueden ir utilizando de la misma forma que se ha hecho con A’.

Obtener la figura afín de un pentágono dado el eje y un par de puntos afines

-Por todos los vértices trazamos rectas paralelas a AA’, dirección de afinidad -Prolongamos segmentos del pentágono dado hasta que corten al eje, obteniéndose los puntos dobles de esas rectas. Los nuevos puntos homólogos obtenidos se pueden ir utilizando de la misma forma que se ha hecho con A’.

Figura afín de una circunferencia Como se ha indicado antes, la afín de una circunferencia siempre es una elipse. Para encontrarla, basta con hallar los afines de dos diámetros perpendiculares, que serán dos diámetros conjugados de la elipse:

Si además pretendemos conseguir que los diámetros conjugados de la elipse sean los ejes (diámetros conjugados perpendiculares) deberemos elegir los diámetros de la circunferencia de forma ellos y los ejes de la elipse vean ambos el mismo arco capaz de 90º. Para ello, trazamos una circunferencia tal que su centro esté en el eje de afinidad y el segmento C-C' sea su cuerda. Para ello, trazamos la mediatriz de CC’, y donde corte con el eje trazamos una circunferencia que pase por C y C’. Donde la circunferencia corte con el eje estarán los puntos donde confluyen los ejes de la circunferencia y los ejes de la elipse, ambos a 90º.

Si la afinidad es ortogonal, siempre podemos conseguir los ejes de la elipse tomando en la circunferencia un diámetro en la dirección de la afinidad y el otro en la dirección del eje:

La afin de una elipse siempre es otra elipse. Para encontrarla basta con aplicar la afinidad a un par de diámetros conjugados, que serán también diámetros conjugados en la elipse afín. En general, la afin de una curva cónica siempre es otra curva cónica del mismo tipo (elipse, parábola, hipérbola).

Transformación de un paralelogramo en un cuadrado, conociendo el eje e -El ángulo que deben formar los lados de un cuadrado es de 90º. Operaremos con A, por lo que prolongamos los lados que lo forman hasta cortar al eje en M y N. Trazamos por debajo del eje el arco capaz de 90º de MN, pues sobre él estará A’. Para hallarlo, prolongamos la diagonal AC hasta el eje, obteniéndose P. Desde la prolongación de BC levantamos una perpendicular al arco capaz por arriba, que nos da Q. Uniendo Q con P y prolongando obtenemos A sobre el arco capaz de abajo. Unimos A’ con M y N, pues sobre estas rectas estarán dos de los lados del cuadrilátero. Desde los cortes de BC y CD con el eje trazamos paralelas a MA’ y NA’ respectivamente, lo que nos da los vértices B’ C y D’.

6.3.3. INVERSIÓN La inversión es la tercera de las transformaciones anamórficas. Su principal utilidad es la resolución de problemas de tangencias entre circunferencias y rectas. Es una transformación que hace corresponder a un punto A otro A’ cumpliendo las siguientes reglas:  

Los puntos inversos están alineados con un punto, que es el centro de inversión. El producto de las distancias desde el centro a los puntos inversos es constante (a x b=a’ x b’). Así, si tenemos el punto A y su inverso A’, alineado con O, centro de inversión, OA x OA’=K, donde K es la potencia de inversión. Dicho de otro modo, dado un centro de inversión, a cada punto del plano le corresponde otro punto, siendo el producto de sus distancias al centro un valor constante que denominamos valor o potencia de inversión (K).



Cuando la pareja de puntos inversos tienen el mismo sentido, la potencia es positiva, y si están a distinto lado, negativa.

Para mantener la potencia, cuando la distancia con respecto al centro de un punto de la figura aumenta, debe disminuir en el otro.

Propiedades 

Dos pares de puntos inversos AA’ y BB’ pertenecen a una circunferencia. Esto se basa en la potencia de un punto respecto a una circunferencia que ya hemos visto.



Dos rectas inversas y las que forman la unión de los puntos y la de sus inversos son antiparalelas. Esto quiere decir que el cuadrilátero que forman al cortarse las cuatro rectas define en cada vértice un ángulo que es igual al exterior del vértice opuesto, por tanto, cada ángulo es suplementario del opuesto.



Podemos representar gráficamente el valor de la inversión mediante la llamada circunferencia de autoinversión o de puntos dobles. Ésta es la formada por puntos dobles, que están a una distancia del centro de inversión igual a la raíz de K. Los puntos son dobles, porque cada uno se transforma en sí mismo. Esta circunferencia según lo que hemos visto al hablar de potencia, será la que tiene por centro el centro de inversión y por radio el valor de la tangente, es decir, la raíz cuadrada de la potencia K.



Elementos dobles: los elementos dobles son muy útiles en la inversión, porque economizan operaciones. Además de las ya citadas circunferencias de autoinversión, son dobles: o

-Las rectas que pasan por el centro de inversión, puesto que los puntos inversos siempre están alineados con el centro de inversión, aunque solo sean dobles lo puntos donde r corta a la circunferencia de autoinversión. -Las circunferencias que pasan por pares de puntos inversos, que son ortogonales a las de autoinversión (los radios de los puntos donde se corta son perpendiculares).



La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión es ella misma (es una recta doble, es decir, sus inversas coinciden con sí mismas)



La inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra que no pasa por el centro, y que es su homotética (y cuya razón de homotecia es K/P, siendo K la razón de inversión y P la potencia del centro respecto a la circunferencia dada.



C’

La inversa de una circunferencia que pasa por el centro es una recta que no pase por el centro (y viceversa), y es perpendicular a la recta que une el centro de inversión con el de la circunferencia. Y viceversa: si el centro de inversión no está en ella, es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

O (Centro de inversión)

Recta inversa de la circunferencia



Si K>0, los puntos inversos están al mismo lado de O, y si K<0, los puntos inversos están en distintos lados de O



Si dos circunferencias inversas C y C’ son tangentes a una tercera, los puntos de tangencia serán puntos inversos.

T T ’

Determinación de figuras inversas Una inversión se puede determinar a partir de los siguientes datos:   

Dados el centro y el valor de la inversión (K) Dados el centro y un par de puntos inversos Dados dos pares de puntos inversos no alineados

Obtención de puntos inversos dados el centro de inversión O y un par de puntos inversos Primer caso: queremos localizar el inverso de A. Trazamos las mediatrices de BB’ y de BA, que nos dan el punto de intersección V, equidistante de los tres puntos dados. Trazamos la circunferencia de radio VA y unimos O con B. Su corte con la circunferencia en el otro extremo nos da el punto B’ buscado.

Segundo caso: si A es un punto doble, como OA debe ser tangente a la circunferencia que contiene los dos pares de puntos inversos, trazamos la perpendicular a OA por A, y donde la mediatriz de AB la corte será el centro de la circunferencia que contiene a B’, al que hallaremos en la intersección con la recta OB.

Tercer caso: Si A y B están alineados. Tenemos O, A, A’ y B, y queremos encontrar B’. Utilizamos unos puntos auxiliares fuera de la recta, con lo que estamos en el primer caso. Lo más práctico es utilizar otro punto que esté a la misma distancia que A del centro (M), y su homólogo a la misma distancia que A’ (M’)

Para obtener cualquier figura inversa, el proceso consiste en separar cada forma y determinar su inversa buscando uno a uno los puntos inversos de la otra figura, aplicando las propiedades y teoremas vistos.

Resolución de tangencias por inversión Para resolver problemas de tangencia aplicando la inversión, es importante recordar que: 



La inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia homotética a ella. La recta que une los centros de dos circunferencias pasa por el centro de homotecia de ambas circunferencias y es bisectriz del ángulo que forman las tangentes exteriores.

Trazar las circunferencias tangentes a otra circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en ésta Aplicamos la relación de inversión entre la circunferencia dada y la recta: -Trazamos la perpendicular a la recta que pase por el centro de la circunferencia, lo que nos va a dar los puntos M y N. Estos serán los centros de inversión positiva y negativa, respectivamente, que transformen recíprocamente a ambas. -Unimos M con el punto de tangencia dado, TR, lo que nos da su punto T1 alineado, punto de tangencia de una de las dos circunferencias buscadas. Su centro va a estar en la perpendicular a r desde Tr, en su corte con CT1. -Tomando a N como centro de inversión negativa, determinamos T2 sobre la circunferencia dada, inverso de Tr. El centro de la circunferencia está en la misma perpendicular que la otra circunferencia, en su corte con CT2.

Trazar las circunferencias tangentes a otra y a una recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia Como en el caso anterior, vamos a hacer que la circunferencia y la recta sean inversas, en una inversión positiva de centro M y en otra negativa de centro N, calculando en ambos casos el inverso del punto Tc, que nos dará los puntos de tangencia T1 y T2. -Trazamos la perpendicular a r que pase por el centro de la circunferencia, que nos da M y N. Unidos estos puntos con Tc nos da T1 y T2 respectivamente. Los centros se hallan en la intersección de la recta CTc con las perpendiculares por T1 y T2 a la recta r.

Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan y pasan por un punto P dado Ya hemos visto que la figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por él y que es homotética de ella, estando los centros de ambas alineados con el centro de inversión. Partiendo de esto, podemos establecer que una circunferencia cualquiera tangente a las rectas r y s se puede transformar en otras también tangentes a ambas rectas, mediante inversiones con distintas potencias de inversión, y centro de inversión todas ellas en M, punto donde se cortan r y s. Por otra parte, los puntos P1 y P2 donde la recta PM corta a la circunferencia auxiliar, se corresponde con el punto dado P en dos inversiones positivas de centro M. En cada una de estas inversiones, los centros de las circunferencias solución, O1 y O2, se hallan en las intersecciones de la bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s con las paralelas por P a las rectas P1E y P2E, respectivamente.

Hallar las circunferencias tangentes a otras dos, conociendo el punto de tangencia en una de ellas La inversiรณn positiva de centro M que transforma una de las circunferencias dadas en la otra nos permite calcular el punto T1, inverso del punto Tc dado, y punto de tangencia de una de las soluciones con la circunferencia de centro C2. Su centro se halla en la intersecciรณn de C1Tc con C2T1. -Para hallar la otra circunferencia, repetimos el proceso con una inversiรณn negativa con centro en N (N se halla uniendo el segundo punto de corte de M con la segunda circunferencia con su centro, y desde el otro extremo del diรกmetro, uniendo con Tc). El corte de esa recta con MC2 nos da N y T2, segundo punto de tangencia. El centro de la segunda circunferencia, O2, se halla en la intersecciรณn de las rectas C1Tc y C2T2. Para hallar M, unimos los dos centros C1 y C2 y prolongamos, y hallamos la tangente de C1; el corte de ambos nos da M.

7.2.-CURVAS CÓNICAS I (repaso 1º) Se obtienen al seccionar un cono con un plano secante. La posición de ese plano respecto al eje posibilita diferentes tipos de curvas (además de la circunferencia cuando el plano es perpendicular): -Elipse: el plano sección es oblicuo y corta todas las generatrices del cono -Parábola: el plano sección es oblicuo al eje y paralelo a una de las generatrices del cono. -Hipérbola: el plano sección es paralelo y oblicuo al eje y corta al cono

Elipse Hipérbola

Parábola

Para construir cualquier curva cónica, el procedimiento es similar: se obtienen puntos que configuran la curva, y se unen, bien a mano alzada, o con plantilla de curvas. Elementos principales de las curvas cónicas -Focos: son los puntos F y F’, situados en el eje de simetría. La elipse y la hipérbola tienen dos, la parábola uno. -Vértices: puntos extremos de los vértices de la curva. -Ejes de simetría: la elipse y la hipérbola tienen dos, perpendiculares entre sí (eje mayor, denominado real o principal y eje menor o secundario, imaginario en la hipérbola). La parábola solo tiene uno. -Circunferencias principales: circunferencias concéntricas que tienen por diámetro los ejes de la elipse. -Distancia focal: distancia existente entre los dos focos.

6.2.1. ELIPSE: figura plana y cerrada, lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a los focos F y F’ es constante e igual al eje mayor AB (PF+PF’=AB). Los focos en la elipse se hallan haciendo centro en uno de los extremos del eje secundario C o D y radio igual a la mitad del eje real. Construir una elipse conociendo sus dos ejes (por puntos) -Se dibujan los dos ejes AB y CD. Se hallan los focos: con centro en C o D y radio la mitad de AB, se traza un arco que corta a ésta en F y F’. Se divide FF’ en cierto número de partes (mientras más partes, más puntos tendremos de referencia). -Para hallar los puntos, con centro en F y radio 1A se trazan arcos arriba y abajo del eje y con centro en F’ y radio 1B, se cortan esos arcos; luego, con radio 2A y 2B, 3A y 3B, y así sucesivamente.

Construir una elipse conociendo los dos ejes, por intersección de rectas o haces proyectivos

Se dibuja un rectángulo con la misma medida de lados que los ejes. Se dividen en n partes los semiejes AO y BO y las mitades del lado del rectángulo EA y FA. Unimos C con todas las divisiones de EA y AB, prolongando, y D con las divisiones de FA y AB. Las intersecciones determinan los puntos de la elipse.

Construir una elipse conociendo sus dos ejes, por circunferencias concéntricas o afinidad.

Se dibujan las circunferencias principales, una con el radio de la mitad del eje menor y otra del eje mayor. Trazamos radios comunes a ambas circunferencias. Por los extremos de los radio de la mayor, dibujamos paralelas al eje menor. Por los extremos de los radios de la circunferencia menor trazamos paralelas al eje mayor. El cruce de ambas nos da el punto de corte.

Construir una elipse dados dos diámetros conjugados o la caja axonométrica.

De las dos formas se resuelve igual, y se aplica normalmente para trazar circunferencias en sistemas axonométricos: Si nos dan los diámetros, trazamos sobre éstos la caja, y si nos dan la caja, le trazamos los diámetros, además de las diagonales. A continuación trazamos sobre la caja o bajo ésta una semicircunferencia inscrita en medio cuadrado. Trazando sus diagonales, obtenemos los puntos de intersección que nos faltan, en los cortes con la semicircunferencia que se pasan mediante paralelas a las diagonales de la caja. Solo resta trazar la elipse. Este problema también puede resolverse por haces proyectivos, siendo el procedimiento similar al visto.

7.2.2. HIPÉRBOLA: curva plana y abierta, lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos F y F’, es constante e igual al eje real AB: PF-PF’=AB. Tiene dos ejes, uno real AB, que contiene a los vértices de cada rama de la curva y otro imaginario CD, perpendiculares entre sí. La hipérbola contiene dos ramas simétricas respecto a los dos ejes.

La distancia desde O a cada foco es igual a la distancia AC. Así, si conocemos uno de los ejes y los focos, podemos determinar el otro eje, y si se conocen los dos ejes, los focos. Los focos se hallan, así, haciendo centro en O y radio AC.

Asíntotas: son rectas que pasan por el centro de la hipérbola y son tangentes a ella en el infinito. Son simétricas respecto a los dos ejes. Construir una hipérbola dados los dos ejes, por puntos Se determinan los focos, con centro en O y radio AC. Se sitúan una serie de puntos arbitrarios a la izquierda de F. Con radio 1A y centro en F y F’, se trazan arcos arriba y abajo. Con radio 1B y centro en F y F’, se trazan arcos que cortan a los anteriores. Se hace lo mismo con radio 2A y 2B, 3A y 3B… Solo resta unir los puntos con plantilla o a mano alzada.

Trazado de las asíntotas de una hipérbola Con centro en O y radio OF, trazamos la circunferencia focal. Por A o por B levantamos una paralela al eje imaginario. Los cortes con la circunferencia nos dan M y N. Uniendo M y N con O y prolongando, obtenemos las dos asíntotas

Trazado de la hipérbola dadas las asíntotas y un punto P perteneciente a ella

7.2.3.-PARÁBOLA: Curva plana y abierta, lugar geométrico de todos los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado foco F y de una recta directriz d. (PF=FD). Solo tiene un eje de simetría, perpendicular a la directriz, y que contiene al vértice y al foco. Construcción de una parábola conociendo la directriz y el foco (por puntos) -Hallar el punto medio del segmento OF, que nos da el vértice A. A partir de A, se sitúan puntos arbitrarios 1, 2, 3… y por ellos se trazan paralelas O directriz a la directriz. -Tomando como radios las distancias O1, O2, O3, etc, y haciendo centro siempre en F, se trazan arcos que cortan a las paralelas, obteniéndose los puntos de la parábola.

Parábola conociendo el vértice, el eje y un punto P de la curva

Se determina P’, simétrico de P. Por el vértice A se traza una perpendicular y por P una paralela al eje. El cruce de ambas nos da M. Dividimos MA y MP en el mismo número de partes iguales. Trazamos paralelas al eje desde las divisiones de MA y unimos las divisiones de MP al vértice. Los respectivos cruces nos dan los puntos de la parábola. La parte inferior la hallamos situando los puntos simétricos a los obtenidos.

Rectificación de una circunferencia (repaso 1º) Se denomina rectificación a determinar sobre una recta, mediante un procedimiento gráfico, la longitud de una curva, arco o circunferencia. Matemáticamente, sabemos que es la fórmula 2πr. Gráficamente, el procedimiento es aproximado. Veremos tres métodos: el de Specht, el de Arquímedes y el de Kochansky. Método de Specht -Dibujamos la circunferencia y trazamos un diámetro vertical AB. En el extremo inferior, B, dibujamos una perpendicular a éste, s. Trazamos un arco con la medida del diámetro con centro en B, que nos da C sobre la recta s. -Dividimos el radio OA en 5 partes. Tomamos 3 partes de ese radio dividido y las pasamos a partir de C. Unimos el punto 3 con el centro de la circunferencia. -A partir de A, situamos ua de las partes en que dividimos el radio, lo que nos da E. Trazamos desde E una paralela a O3, que nos da P. El segmento BP es la rectificación buscada.

Método de Arquímedes Sobre una recta auxiliar llevamos, de manera consecutiva, tres diámetros de la circunferencia. Dividimos el diámetro de la circunferencia en 7 partes iguales, tomamos uno y lo sumamos al segmento anterior, obteniéndose la rectificación buscada.

Método de Kochansky (rectificación de la semicircunferencia) Dibujamos la circunferencia y trazamos su diámetro vertical AB. Desde B, trazamos una perpendicular s. Trazamos desde OB un ángulo de 30º, que en su corte con la perpendicular s, nos da el punto M. A partir de ese punto, trazamos tres veces la medida del radio, lo que nos da el punto N, que unido con el extremo A del diámetro nos da la rectificación de la semicircunferencia.

Rectificación de un cuadrante (arco de 90º) (Método Macheroni) Dibujamos la circunferencia y trazamos su diámetro vertical AB. Con centro en A y en B, y con la medida del radio de la circunferencia, trazamos arcos que nos dan sobre la circunferencia los puntos C y D. Con centro de nuevo en A y radio AD y con centro en B y radio BC, trazamos arcos que en su corte nos dan el punto E. Solo resta trazar un arco con centro en D y radio DE, que en su corte con la circunferencia, no da el punto F, que unido con B es la medida buscada.

Rectificación de un arco menor de 90º Tenemos el arco AB de una circunferencia de centro O y radio r. Dibujamos sobre una recta auxiliar el diámetro AC. Dividimos el radio OC en 4 partes iguales, y llevamos 3 de esas partes sobre la prolongación a partir de C, obteniéndose el punto D. Trazamos una perpendicular desde A y unimos D con B hasta cortar a esa perpendicular, obteniéndose el punto E. El segmento EA es la rectificación del arco.

Tema 6.- CURVAS CÓNICAS II En 1º de Bachillerato se definieron las curvas cónicas y todos sus elementos. En este curso, se completará su estudio con el trazado de rectas tangentes e intersección de rectas a estas curvas.

6.1. Rectas tangentes Para entender mejor los procesos que vamos a aplicar, añadiremos una nueva definición de curva cónica, y que se enuncia como “el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otro”. Hay que tener presente que la circunferencia focal contiene los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes, y que en la circunferencia principal están las proyecciones de los focos sobre las tangentes.

6.1.1. Tangentes a una elipse Trazar la recta tangente y la normal a una elipse por un punto P de la curva -Dibujamos los radios vectores F’P y FP. La tangente va a estar en la bisectriz del ángulo exterior a estos vectores. La normal, en la perpendicular a la tangente por T.

Trazar las rectas tangentes a una elipse desde un punto exterior a ella Con centro en el punto dado P, trazamos una circunferencia que pase por F, y con centro en el otro foco, F’, trazamos su circunferencia focal (recordemos que la circunferencia focal se traza desde el foco con radio la medida del eje mayor). Las intersecciones con la circunferencia anterior nos determinan los puntos 1 y 2. Las mediatrices de los segmentos 1F y 2F son las tangentes buscadas. O unir 1 y 2 con F’, lo que nos da el punto de tangencia)

Trazar rectas tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada -Con centro en uno de los focos (F’ en este caso), trazamos su circunferencia focal, y desde el otro foco, F, trazamos la perpendicular a la dirección dada. Obtenemos dos puntos de corte de la perpendicular con la circunferencia, 1 y 2. Las mediatrices de los segmentos 1F y 2F son las tangentes buscadas. (O unir 1 y 2 con F’, lo que nos da los puntos de tangencia)

6.1.2. Tangentes a la parábola La resolución de cada caso es muy similar a los correspondientes de la elipse. Recta tangente por un punto de la parábola Desde el punto dado, P, trazamos la perpendicular a la directriz. Obtenemos el punto M, que se une con el foco. La mediatriz de este segmento MF nos da la tangente buscada.

Rectas tangentes desde un punto exterior a la parábola Trazamos una circunferencia con centro en el punto dado P que pase por el foco, que en su corte con la directriz nos da los puntos 1 y 2. Las mediatrices de los segmentos 1F y 2F os dan las tangentes buscadas. Los puntos de tangencia están en las paralelas al eje desde 1 y 2, en su corte con la curva.

Rectas tangentes paralelas a una dirección dada Desde el foco, trazamos una perpendicular a la dirección d, cuyo corte con la directriz nos da M. La mediatriz del segmento FM es la tangente buscada.

6.1.3.-Tangentes a la hipérbola Recta tangente por un punto de la hipérbola Igual que en la elipse, la tangente es la bisectriz del ángulo formado por los dos radios vectores que unen el punto P con los focos de la hipérbola, segmentos PF y PF’.

Rectas tangentes desde un punto exterior de la hipérbola Haciendo centro en el punto P, y con radio igual a su distancia a uno de los focos (F), trazamos una circunferencia, que se corta en los puntos 1 y 2 con la circunferencia focal del otro foco (F’). Las tangentes buscadas serán las mediatrices de los segmentos 1F y 2F. Los puntos de tangencia se hallan uniendo F’ con 1 y 2 y prolongando.

Rectas tangentes paralelas a una dirección dada Desde uno de los focos, F’ en este caso, trazamos la perpendicular a la dirección dada. Dibujamos la circunferencia focal del otro foco. Hallamos los puntos de corte 1 y 2 de la perpendicular con la circunferencia. La mediatriz de los segmentos 1F’ y 2F’ nos dan las tangentes.

6.2. Intersección de una recta con las curvas cónicas Puntos de intersección de una recta con una elipse Sabiendo que la elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a una focal y pasan por el otro foco, el problema se reduce a hallar los centros de estas circunferencias, para lo cual hay que aplicar el concepto de potencia ya estudiado.

-Trazamos la focal del foco F, y el punto simétrico de F’ respecto a la recta dada r, F s’. Con centro E en cualquier punto de la recta r, trazamos una circunferencia que pase por Fs’ y F’, la cual corta a la focal en los puntos G y H. Las prolongaciones de los segmentos GH y F’F s’ se cortan en el punto potencial P, desde donde se trazan las tangentes a la focal, T1 y T2. (Aplicando el método ya visto en 1º para hallar la tangente a una circunferencia desde un punto exterior). Estos puntos se unen con F. el corte de los segmentos T1F y T2F con r nos da los centros M y N, que son los puntos desde donde la recta corta a la elipse y a la vez centros de circunferencias tangentes a la focal de F y que pasan por el otro foco, F’.

Intersección de una recta con una hipérbola Se resuelve de manera análoga a la elipse: se determina el simétrico Fs’ de F’ respecto de la recta, y las circunferencias pasarán también por este punto, con lo cual hay que determinar los centros de las circunferencias tangentes a la focal y que pasan por los puntos F’ y Fs’.

Intersección de una recta con una parábola Es igual que en los casos anteriores, con la diferencia de que ahora la circunferencia focal es una rectal, la directriz: -Tomamos un punto arbitrario M de la recta y trazamos la circunferencia de centro M y radio MF. -Hallamos F’, simétrico de F respecto a la recta, que estará sobre la circunferencia que acabamos de trazar -Prolongamos FF’ hasta la directriz, lo que nos da el punto potencial Q. Desde Q trazamos una tangente a la circunferencia dibujada, obteniendo el punto de tangencia R -Con centro en Q y radio QR trazamos un arco que cortará a la directriz en los puntos U y V. -Por U y V trazamos paralelas al eje, que nos proporcionan sobre r los punto de corte que buscamos.

TEMA 7. CURVAS TÉCNICAS II: CURVAS CÍCLICAS Las curvas cíclicas se utilizan en engranajes, ruedas dentadas, etc, como las más idóneas para conformar los flancos de los dientes, por su sencillez de trazado, por la disminución del rozamiento entre dientes que presenta este perfil y por su resistencia. Estas curvas representan siempre la trayectoria de un punto que se repite cíclicamente. Se obtienen por el movimiento de un punto de una circunferencia o de una recta que rueda sobre otra circunferencia o sobre otra recta.

7.1. Cicloide La cicloide es una curva plana que describe un punto situado sobre una circunferencia que gira sin resbalar sobre una recta directriz. Conocida la circunferencia generatriz o ruleta, situamos sobre ella el punto P que, durante el movimiento de rotación de la ruleta, nos irá describiendo puntos de la cicloide.

Cicloide normal -Se dibuja una recta r que será la directriz de la cicloide y será tangente a la circunferencia generatriz. Sobre esta recta llevamos una longitud igual a la rectificada de la circunferencia. Dividimos esta longitud y la ruleta en el mismo número de partes, 12 en este caso. Por los puntos de división de la recta r, levantamos perpendiculares que, en su intersección con la paralela a r trazada por el centro O de la ruleta, nos determinan los centros O1, O2, O3… O12, correspondientes a las posiciones de la ruleta en su desplazamiento. -Por los puntos de división de la ruleta trazamos también paralelas a r. Sobre estas rectas se encontrarán los puntos P1, P2, P3… P12, de la cicloide, en la intersección con cada una de las circunferencias. Solo resta unir estos puntos a mano alzada o con plantilla de curvas.

A partir de la cicloide normal podemos determinar dos más, la cicloide acortada y la cicloide alargada. La primera sería la determinada por un punto interior de la ruleta, la segunda, por un punto exterior.

Cicloide acortada Partimos del trazado de la cicloide normal. Trazamos un punto generador P’, interior a la ruleta: en todas las posiciones se mantendrá constante la distancia OP’. Unimos cada uno de los puntos determinados de la cicloide normal con su respectivo centro (P1 con O1, P2 con O2…). Sobre estos segmentos llevamos la distancia OP’.

Cicloide alargada Partimos también del trazado de la cicloide normal. Tomamos un punto exterior P’, y medimos la distancia OP’, que se mantendrá constante en toda la curva. Unimos O 1 con P1 y prolongamos la distancia OP’, hacemos lo mismo con O2 P2, y así sucesivamente.

7.2. Epicicloide

La epicicloide es una curva plana que describe un punto situado sobre una circunferencia (ruleta) que gira, mediante tangencia exterior, sobre otra circunferencia a la que llamamos directriz. Es decir, que sobre la ruleta situamos un punto P que, con el movimiento de rotación de ésta irá describiendo los puntos de la epicicloide.

Según sea el radio de la ruleta en relación a la circunferencia base surgen distintos tipos de epicicloide:   

Si el radio es menor, la nefroide. Si el radio es igual, la cardioide. Si el radio es mayor, la Lumaca de Pascal.

-En primer lugar hay que determinar en la circunferencia base el arco que abarca el perímetro de la circunferencia ruleta al dar una vuelta completa. Para hallar el radio de la circunferencia base, se hace una regla de 3, donde R es el radio de la circunferencia base, y r el de la ruleta: si 2πR recorre 360ª, 2πr recorre x, que es el arco buscado: 2πR/360=2πr/x, luego x=rx360/R. -Dibujamos la circunferencia ruleta de radio OP y trazamos la circunferencia directriz con centro en O’. Dividimos las circunferencias ruleta y directriz en el mismo número de partes (12 en este caso) y trazamos los radios prolongados de la directriz. Dibujamos una circunferencia auxiliar de centro O’ y radio en el centro O de la ruleta. El corte de los radios de la directriz con esta circunferencia nos determina los centros de las circunferencias en movimiento, que se trazan con la misma medida de la ruleta. Por último, con centro en O’, dibujamos arcos concéntricos con radio en cada una de las divisiones de la ruleta. Los cortes de estos arcos con las ruletas nos dan los puntos de la curva.

A partir de la epicicloide normal, podemos obtener las epicicloides acortada y alargada, procediendo como en el caso de la cicloide: restando o sumando los segmentos OPâ&#x20AC;&#x2122; sobre los segmentos de uniĂłn de cada uno de los puntos de la epicicloide normal con su respectivo centro de determinaciĂłn.

7.3. Hipocicloide Curva plana que describe un punto situado sobre una circunferencia (ruleta) que gira, mediante tangencia interior, sobre circunferencia directriz.

otra

-Rectificamos la longitud de la ruleta y la llevamos sobre la directriz, dividimos ambas circunferencias en el mismo nĂşmero de partes, 12 en este caso. A partir de aquĂ se procede como en la epicicloide, realizando el trazado interiormente a la directriz. De forma similar a la cicloide y la epicicloide, podemos determinar las hipocicloides acortada y alargada.

7.4. Envolvente de la circunferencia Curva plana descrita por un punto de una recta que gira sobre una circunferencia, a la que llamamos circunferencia base o directriz. -Se divide la circunferencia directriz en un número de partes iguales (más exacta será cuantas más partes). Por cada punto de división se trazan las tangentes a la circunferencia. -Haciendo centro en T1 y con radio T1T0, trazamos el arco A1T0. Después, con centro en T2 y radio en A1, trazamos el arco Ä1A2, y así sucesivamente.