Riassunto argomenti matematica 1 Argomenti di aritmetica 1.1 Insiemi 1.1.1 Definizione Insieme: raggruppamento di oggetti per ciascuno dei quali si può dire con assoluta certezza che esso appartenga oppure no all'insieme
1.1.2 Tipi di rappresentazione •
Elencazione: si scrivono tutti gli elementi tra parentesi graffe
•
Caratteristica: si scrive la proprietà che caratterizza tutti e soli gli elementi dell'insieme
•
Grafica o Eulero-Venn: si rappresentano gli insiemi come “ovali”
1.1.3 Operazioni •
Unione (È): insieme formato dagli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi di partenza
•
Intersezione (Ç): insieme formato dagli elementi che appartengono a tutti gli insiemi di partenza
•
Insieme vuoto (Æ): privo di elementi
1.1.4 Insiemi numerici
1.2 Operazioni Operazione
Simbolo Risultato
Termini
Addizione
+
Somma
Addendi
Sottrazione
–
Differenza
Minuendo Sottraendo
Prodotto
Fattori
Moltiplicazione × → · →
Neutro 0
Proprietà
È interna a... N
Q
Z
R
Commutativa Associativa Distributiva rispetto alla moltiplicazione
SI
SI
SI
SI
Invariantiva
NO
SI
SI
SI
Commutativa Associativa Distributiva rispetto all'addizione
SI
SI
SI
SI
1
Divisione
÷→:
Quoziente
Dividendo Divisore
Invariantiva
NO
SI NO SI
Elevamento a potenza
be
Potenza
Base Esponente
Prodotto di potenze con la stessa base Quoziente di potenze con la stessa base Potenza di potenza Prodotto di potenze con stesso esponente Quoziente di potenze con stesso esponente Ogni base alla 0 vale 1
SI
SI
Estrazione di radice
√
Radice
Radicando Indice
Le stesse della potenza
Pagina 1 di 21
SI
SI
NO NO NO NO
1.3 Tavole delle operazioni +
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1+1=
1+2=
1+3=
1+4=
1+5=
1+6=
1+7=
1+8=
1+9=
1+10=
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
2+1=
2+2=
2+3=
2+4=
2+5=
2+6=
2+7=
2+8=
2+9=
2+10=
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
3+1=
3+2=
3+3=
3+4=
3+5=
3+6=
3+7=
3+8=
3+9=
3+10=
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
4+1=
4+2=
4+3=
4+4=
4+5=
4+6=
4+7=
4+8=
4+9=
4+10=
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
5+1=
5+2=
5+3=
5+4=
5+5=
5+6=
5+7=
5+8=
5+9=
5+10=
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
6+1=
6+2=
6+3=
6+4=
6+5=
6+6=
6+7=
6+8=
6+9=
6+10=
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
7+1=
7+2=
7+3=
7+4=
7+5=
7+6=
7+7=
7+8=
7+9=
7+10=
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8
8+1=
8+2=
8+3=
8+4=
8+5=
8+6=
8+7=
8+8=
8+9=
8+10=
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9
9+1=
9+2=
9+3=
9+4=
9+5=
9+6=
9+7=
9+8=
9+9=
9+10=
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10
10+1=
10+2=
10+3=
10+4=
10+5=
10+6=
10+7=
10+8=
10+9=
10+10=
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1x1=
1x2=
1x3=
1x4=
1x5=
1x6=
1x7=
1x8=
1x9=
1x10=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2x1=
2x2=
2x3=
2x4=
2x5=
2x6=
2x7=
2x8=
2x9=
2x10=
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3x1=
3x2=
3x3=
3x4=
3x5=
3x6=
3x7=
3x8=
3x9=
3x10=
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4x1=
4x2=
4x3=
4x4=
4x5=
4x6=
4x7=
4x8=
4x9=
4x10=
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5x1=
5x2=
5x3=
5x4=
5x5=
5x6=
5x7=
5x8=
5x9=
5x10=
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6x1=
6x2=
6x3=
6x4=
6x5=
6x6=
6x7=
6x8=
6x9=
6x10=
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7x1=
7x2=
7x3=
7x4=
7x5=
7x6=
7x7=
7x8=
7x9=
7x10=
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8x1=
8x2=
8x3=
8x4=
8x5=
8x6=
8
16
24
32
40
48
8x7=
8x8=
8x9=
8x10=
56
64
72
80
9
9x1=
9x2=
9x3=
9x4=
9x5=
9x6=
9x7=
9x8=
9x9=
9x10=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10x1=
10
10x2= 10x3= 10x4= 10x5= 10x6=
20
30
40
50 Pagina 2 di 21
60
10x7=
70
10x8= 10x9= 10x10=
80
90
100
1.4 Notazione esponenziale Si basa sulla notazione posizionale dei numeri
1.5 Ordine di grandezza Potenza di 10 più vicina a un numero
1.6 Massimo Comune Divisore: MCD, minimo comune multiplo: mcm 1.6.1 Definizioni Multiplo di un numero: si ottiene moltiplicando il numero per un qualsiasi numero intero Divisore di un numero: se il numero è multiplo del divisore Numero primo: ha per divisori solo 1 e se stesso Un numero non primo può essere scomposto nel prodotto di numeri primi TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA: ogni numero può essere scomposto in modo unico in prodotto di numeri primi
1.6.2 Criteri di divisibilità
NUMERO
CRITERIO: UN NUMERO È DIVISIBILE PER ...
2 3 5 7 11 13
… se la sua ultima cifra è pari, ovvero se termina per 0,2,4,6,8
17 19 23 29
… se la differenza, fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17
… se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3 (il processo si può ripetere più volte) … se la sua ultima cifra è 0 oppure 5 … se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7 … se la differenza, fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11 … se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13 ...se la differenza fra il numero senza la cifra delle unità e la cifra delle unità per nove è 0, 13 o un multiplo di 13
…se la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0, 19 o un multiplo di 19 … se la somma fra il numero senza l'ultima cifra e il settuplo del la cifra delle unità è 0, 23 o un multiplo di 23 … se la somma fra il numero senza l'ultima cifra e il triplo della cifra delle unità è 0, 29 o un multiplo di 29
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1.6.3 Calcolare MCD e mcm MCD fra 2 o più numeri è il più grande dei loro divisori comuni È più piccolo dei numeri dati, al massimo è il minore di essi Scomposizione in fattori primi → prendo i fattori comuni, 1 sola volta, con esponente minimo mcm fra due o più numeri è il più piccolo dei loro multipli comuni È più grande dei numeri dati, al minimo è il maggiore di essi Scomposizione in fattori primi → prendo i fattori comuni e non comuni, 1 sola volta, con esponente massimo
1.7 Proporzioni 1.7.1 Definizioni Rapporto: risultato della divisione tra 2 numeri
Proporzione: uguaglianza di due rapporti
a:b=c:d a d estremi b c medi a c antecedenti b d conseguenti se b=c proporzione continua 1.7.2 Proprietà Proprietà fondamentale Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi a·d=c·b Proprietà dell'invertire In una proporzione, invertendo ciascun antecedente con il proprio conseguente, si ottiene ancora una proporzione b:a=d:c Proprietà del permutare In una proporzione, scambiando di posto agli estremi, ai medi o a entrambi, si ottiene ancora una proporzione d:b=c:a a:c=b:d d:c=b:a Proprietà del comporre In una proporzione, la somma del primo antecedente con il primo conseguente sta al primo antecedente (o conseguente) come la somma del secondo antecedente con il secondo conseguente sta al secondo antecedente (o conseguente) (a + b) : a = (c + d) : c (a + b) : b = (c + d) : d Proprietà dello scomporre In una proporzione, la differenza tra il primo antecedente e il primo conseguente sta al primo antecedente (o conseguente) come la differenza tra il secondo antecedente e il secondo conseguente sta al secondo antecedente (o conseguente) (a - b) : a = (c - d) : c (a - b) : b = (c - d) : d Pagina 4 di 21
1.7.3 Percentuale Proporzione con un conseguente posto = 100 t :100= p : T
1.7.4 Proporzionalità Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante
1.8 Frazioni e numeri razionali 1.8.1 Definizione di frazione Frazione: 1. operatore: divide l'intero in un numero di parti pari al denominatore e ne prende un numero pari al numeratore 2. risultato esatto della divisione tra numeratore e denominatore Frazioni equivalenti: aventi lo stesso valore, ottenute moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero
1.8.2 Definizione di numero razionale Numero razionale: classe di equivalenza delle frazioni equivalenti, rappresentata con la frazione ridotta ai minimi termini
{
}
1 1 2 3 4 5 = ; ; ; ; ;… 3 3 6 9 12 15
Es:
1.8.3 Insieme dei numeri razionali Si indica con Q
1.8.4 Operazioni con numeri razionali •
Addizione e sottrazione: vedi schema →
•
Moltiplicazione: moltiplico fra loro numeratori e denominatori
•
Semplificazione incrociata
•
Divisione: trasformo in una moltiplicazione invertendo il divisore
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1.8.5 Problemi con i numeri razionali Tipo I. Dati: totale e frazione. Calcolare il valore della frazione. Moltiplico il totale per la frazione. Tipo II. Dati: frazione e suo valore. Calcolare il totale. Divido il valore per la frazione. Tipo III. Dati: somma di 2 numeri e frazione. Sommo numeratore e denominatore. Divido la somma per il risultato. Moltiplico il risultato una volta per il numeratore e una per il denominatore. Tipo IV. Dati: differenza di 2 numeri e frazione. Sottraggo numeratore e denominatore. Divido la differenza per il risultato. Moltiplico il risultato una volta per il numeratore e una per il denominatore.
1.8.6 Frazioni ⟷ numeri decimali
⟹ basta dividere il numeratore per il denominatore. Posso sapere prima il tipo di numero decimale. 1. Riduco la frazione ai minimi termini 2. Scompongo il denominatore in fattori primi 3. Se contiene solo 2 e 5 → numero decimale limitato 4. Se NON contiene 2 e 5 → numero decimale illimitato periodico semplice 5. Se contiene 2, 5 + altri → numero decimale illimitato periodico misto ⟸ Numero limitato Numeratore: numero senza virgola Denominatore: 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali Numero illimitato periodico semplice
Numeratore: numero senza virgola – parte intera Denominatore: tanti 9 quante sono le cifre del periodo
Numero illimitato periodico misto
Numeratore: numero senza virgola – antiperiodo Denominatore: un 9 per cifre periodo e 0 per cifre antiperiodo
1.9 Radice Inverso della potenza: la radice è il numero che, moltiplicato per se stesso, dà il valore del radicando.
Pagina 6 di 21
2 Argomenti di algebra 2.1 Numeri relativi I numeri relativi sono i numeri interi, razionali e irrazionali, dotati di segno. Essi formano l’insieme R dei numeri reali. Ogni numero relativo è composto da: segno (+ o -) e valore assoluto (numero privato del segno) Concordi: numeri con lo stesso segno. Discordi: numeri con segno diverso.
2.1.1 Operazioni in R Operazione
Segno Discordi →
Confronto
Addizione algebrica
Ininfluente
Risultato Il positivo è sempre maggiore
Uno dei 2 è 0 → Ininfluente
Il positivo è maggiore di 0, il negativo è minore di 0
Positivi
È maggiore quello con valore assoluto maggiore
Negativi
È maggiore quello con valore assoluto minore
Concordi
Stesso segno degli addendi, il valore assoluto si somma
Discordi
Segno valore assoluto maggiore, sottrazione valore assoluto
Moltiplicazione
Stessa operazio- Se concordi il segno è positivo, se discordi, negativo. ne come per i nu- L’operazione tra i valori assoluti è la stessa che se i meri senza segno numeri fossero assoluti.
Divisione
Esp. negativo Potenza
Esp. positivo Radice quadrata POSITIVI Modulo
Valore assoluto
Scompare
Si cambia il segno dell'esponente, si INVERTE la base e Stessa operazio- diventa una potenza a esponente positivo ne come per i numeri senza segno Se segno pari, sempre positivo. Se segno dispari, stesso della base. Si fa la potenza del valore assoluto Il risultato ha sia segno positivo che negativo (±). Radice valore assoluto. Rimane uguale
Si toglie il segno dal numero relativo
Con l’esponente negativo può essere fatta la rappresentazione esponenziale e l’ordine di grandezza anche dei numeri minori di 1.
2.2 Calcolo letterale Espressione letterale = espressione matematica contenente delle lettere che simboleggiano quantità Si può calcolare il suo valore sostituendo alle lettere il loro valore numerico.
2.2.1 Monomi Definizione di monomio: espressione letterale senza addizioni algebriche Forma normale - ordine: segno, valore assoluto del coefficiente, lettere in ordine alfabetico Intero: lettere con esponenti interi e positivi; frazionario: lettere con esponenti negativi (al denominatore) Grado •
rispetto a una lettera: grado con cui compare la lettera nel monomio Pagina 7 di 21
complessivo: somma dei gradi delle singole lettere
•
Monomi simili: parte letterale identica Operazione
Note
Coeff. numerico
Parte letterale
Risultato
Addizione solo MONOMI Somma algebrica algebrica SIMILI
Stessa degli addendi
Simile agli addendi, con coefficiente pari alla somma dei coefficienti
Moltiplica- Il prodotto di Moltiplicazione zione monomi È GIÀ un monomio
Sommo, per ciascuna lettera, gli esponenti con cui compare nei diversi monomi
Se i monomi sono interi, gli esponenti della parte letterale sono maggiori o uguali dei fattori
Un monomio è Divisione (atten- Faccio la sottrazione tra DIVISIBILE per zione alle frazio- gli esponenti di ciascuun altro se ne na lettera nel dividendo contiene tutte le ni!) lettere con espoe nel divisore nente ≥
Se i monomi sono interi, gli esponenti della parte letterale sono minori o uguali dei termini della divisione
Divisione
Potenza
Potenza
Potenza di ogni lettera
2.2.2 Polinomi Definizione: somma algebrica di MONOMI NON SIMILI Grado •
complessivo: massimo grado dei termini
•
rispetto a una lettera: massimo esponente con cui compare
Omogeneo, ordinato, completo Operazione
Note
Addizione algebrica
SOLO EVENTUALI MONOMI SIMILI
Si tolgono le parentesi facendo attenzione ai segni
Moltiplicazione
Di un monomio per un polinomio Tra polinomi
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione algebrica
Divisione
Potenza
Operazione
Un polinomio è DIVISIBILE per un Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addimonomio divisore se ciascuno dei suoi zione algebrica termini lo è Solo PRODOTTI NOTEVOLI
Somma per differenza ( a + b )( a− b )=( a 2− b 2 ) Quadrato di un binomio ( a ± b )2= a 2±2 ab + b 2 Cubo di un binomio ( a ± b )3 =a 3±3 a 2 b +3 a b 2± b3
2.2.3 Equazioni ed identità Equazione Uguaglianza tra due espressioni (letterali) verificata per ALCUNI valori delle lettere Identità Uguaglianza tra due espressioni (letterali) verificata per TUTTI i valori delle lettere Incognita
Lettera di cui si cerca il valore
Membro
Ciascuna delle espressioni che compare prima dell'uguale (primo) e dopo l'uguale (secondo)
Termine noto
Ogni termine che NON contiene l'incognita Pagina 8 di 21
Grado
Esponente massimo con cui compare l'incognita
Soluzione
Valore dell'incognita che rende vera l'uguaglianza (detta anche radice)
Risolvere
Trovare TUTTE le soluzioni dell'equazione
Equivalenti
Equazioni che hanno esattamente le stesse soluzioni
2.2.4 Teorema Fondamentale dell'Algebra Ogni equazione ha un numero di soluzioni AL MASSIMO pari al suo grado
2.2.5 Principi di equivalenza 1. aggiungendo e sottraendo lo stesso termine a entrambi i membri dell'equazione si ottiene una equazione equivalente 1. legge del trasporto: per spostare un termine da un membro all'altro devo cambiargli segno 2. legge di cancellazione: se in entrambi i membri compare esattamente lo stesso termine, può essere cancellato da entrambi 2. moltiplicando o dividendo per la stessa espressione (diversa da 0) tutti i termini dell'equazione, si ottiene una equazione equivalente 1. posso cambiare di segno A TUTTI I TERMINI di un'equazione 2. posso eliminare le frazioni da un'equazione, moltiplicando per il minimo comune denominatore
2.2.6 Risolvere una equazione di primo grado 1. Ridurre l'equazione in forma normale del tipo ax = b usando i principi di equivalenza e i corollari 1. Porto tutti i termini contenenti l'incognita al primo membro 2. Trasporto tutti gli altri termini al secondo membro 2. Risolvere b 1. se a≠0 l'equazione è determinata ovvero si può trovare la soluzione x = a 2. se a=0 ; b ≠0 l'equazione è impossibile, ovvero NON HA SOLUZIONE 3. se a=0 ; b =0 l'equazione è indeterminata, ovvero ha INFINITE SOLUZIONI
3 Argomenti di geometria 3.1 Enti fondamentali Punto: 0 dimensioni Retta: 1 dimensione Piano: 2 dimensioni
3.1.1 Relazioni tra gli enti Per 1 punto passano infinite rette Per 2 punti passa 1 e 1 sola retta Per 2 punti (o per 1 retta) passano infiniti piani Per 3 punti non allineati passa 1 e 1 solo piano Per 1 punto e 1 retta esterna passa 1 e 1 solo piano Pagina 9 di 21
Per 2 rette parallele o incidenti passa 1 e 1 solo piano
3.2 Retta e sue parti 3.2.1 Definizioni Semiretta: ciascuna delle parti in cui una retta viene divisa da un punto detto origine Segmento: parte di retta delimitata da 2 punti detti estremi
3.2.2 Alcune generalitĂ Rette parallele: complanari ma non hanno punti in comune Incidenti: hanno 1 punto in comune Perpendicolari: incidenti che formano 4 angoli retti Proiezione ortogonale di un punto: piede della perpendicolare condotta dal punto alla retta dove si proietta
3.3 Angoli
Definizione: ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso da 2 semirette uscenti dalla stessa origine oppure parte di piano descritta da una semiretta che ruota attorno alla propria origine
3.3.1 Classificazione Giro: lati coincidenti Piatto: metĂ dell'angolo giro Pagina 10 di 21
Retto: metà dell'angolo piatto o quarta parte dell'angolo giro Acuto: minore dell'angolo retto Ottuso: maggiore dell'angolo retto Complementari: angoli la cui somma è un angolo retto Supplementari: angoli la cui somma è un angolo piatto Esplementari: angoli la cui somma è un angolo giro Consecutivi: hanno il vertice e un lato in comune, i lati non comuni sono da parti opposte Adiacenti: consecutivi con i lati non comuni sulla stessa retta Opposti al vertice: hanno i lati l'uno prolungamento dell'altro
3.4 Oggetti concavi e convessi Convessa: ogni figura che contiene tutti i segmenti che uniscono 2 suoi punti Concava: ogni figura in cui almeno 1 segmento che unisce 2 suoi punti non è tutto interno alla figura Questa definizione vale per tutte le figure piane e solide.
Pagina 11 di 21
3.5 Sistemi di unitĂ di misura
Pagina 12 di 21
3.6 Poligoni 3.6.1 Definizioni Si chiama poligono la parte di piano racchiusa in una poligonale o spezzata semplice chiusa Si chiama diagonale del poligono un segmento che unisce due vertici non consecutivi
3.6.2 Proprietà Un poligono è convesso se, presi 2 suoi punti qualsiasi, il segmento che li unisce è tutto interno al poligono Un poligono è concavo se esiste almeno una coppia di suoi punti tali che il segmento che li unisce non è tutto interno al poligono Ciascun lato è minore della somma di tutti gli altri Per ogni vertice del poligono di hanno n−3 diagonali Complessivamente un poligono ha
n⋅( n−3) diagonali 2
Somma angoli interni ( n− 2)⋅180o Somma angoli esterni 360 o
3.7 Triangoli 3.7.1 Definizioni Poligono con 3 lati e 3 angoli
3.7.2 Proprietà Somma angoli interni = 180° Somma angoli esterni = 360° No diagonali Ogni lato è minore della somma degli altri due e minore della loro differenza
3.7.3 Classificazione Rispetto ai lati: • scaleno: 3 lati diversi •
isoscele: 2 lati uguali
•
equilatero: 3 lati uguali
Rispetto agli angoli • acutangolo: 3 angoli acuti •
rettangolo: 1 angolo retto
•
ottusangolo: 1 angolo ottuso
3.7.4 Criteri di congruenza 1. Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo compreso Pagina 13 di 21
2. Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e gli angoli adiacenti 3. Due triangoli sono congruenti se hanno i lati ordinatamente congruenti
3.7.5 Punti notevoli Punto notevole
Intersezione di
Definizione
Proprietà
Incentro
Bisettrici degli angoli
Semiretta che divide l'angolo in 2 parti congruenti
Interno Equidistante dai lati del triangolo
Circocentro
Assi dei segmenti
Retta perpendicolare nel punto medio
Può essere esterno Nel triangolo rettangolo punto medio dell'ipotenusa Equidistante dai vertici del triangolo
Baricentro
Mediane dei lati
Segmento che parte da un vertice e cade nel punto medio del lato opposto
Sempre interno Divide le mediane in 2 parti, una doppia dell'altra
Ortocentro
Altezze
Segmento che parte da un vertice e cade perpendicolarmente sul lato opposto
Può essere esterno Nel triangolo rettangolo coincide con il vertice dell'angolo retto
3.8 Quadrilateri Figura
Nome
Definizione
Quadrilatero Poligono con 4 lati
Proprietà
Perimetro
1. Somma angoli interni = 360° 2. Somma angoli esterni = 360° 3. 2 diagonali
Trapezio
Quadrilatero 4. Altezza Somma dei con 2 lati paral- 5. Angoli adiacenti a un lato obli- lati leli quo sono supplementari
Parallelogramma
Quadrilatero con i lati a 2 a 2 paralleli
1. Angoli opposti congruenti Somma dei 2. Le diagonali si bisecano scam- lati bievolmente 3. Angoli adiacenti a un lato sono supplementari
Rettangolo
Quadrilatero equiangolo
Eredita tutte quelle sopra 1. Le diagonali sono congruenti
P =2 ( b + h )
Rombo
Quadrilatero equilatero
Eredita tutte quelle sopra 2. Le diagonali sono perpendicolari
P =4 l
Quadrato
Quadrilatero regolare
Eredita tutte quelle sopra
P =4 l
3.9 Teorema di Pitagora i= √ c 2 + C 2 c= √ i 2− C 2
Area
C= √ i 2− c 2
3.10 Teoremi di Euclide 1. BC:AB=AB:HB 2. CH:AH=AH:HB
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A=
( B+ b)⋅h 2
A=b⋅h
A=b⋅h A=
D⋅d 2
A=l 2
3.11 Circonferenza e cerchio 3.11.1 Definizioni Circonferenza: linea chiusa formata dai punti equidistanti da un punto del piano detto centro Raggio: distanza del centro dai punti della circonferenza Corda: segmento che unisce due punti della circonferenza Diametro: corda che passa per il centro Arco: ciascuna parte in cui la circonferenza è divisa da due suoi punti Semicirconferenza: ciascuna parte in cui la circonferenza è divisa dagli estremi di un diametro Cerchio: parte di piano costituita da una circonferenza e dai punti al suo interno Settore circolare: parte di cerchio delimitata da 2 raggi e dall'arco limitato dai loro estremi Corona circolare: parte di piano tra due circonferenze concentriche
3.11.2 Posizioni retta-circonferenza Secante: la distanza della retta dal centro è minore del raggio della circonferenza. 2 punti in comune Tangente: la distanza della retta dal centro è uguale al raggio della circonferenza. 1 punto in comune Esterna: la distanza della retta dal centro è maggiore del raggio della circonferenza. 0 punti in comune
3.11.3 Posizioni reciproche due circonferenze Esterne: distanza tra i centri maggiore della somma dei raggi. 0 punti in comune Tangenti esternamente: distanza tra i centri uguale alla somma dei raggi. 1 punto in comune Secanti: distanza tra i centri minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza. 2 punti in comune Tangenti internamente: distanza tra i centri uguale alla differenza dei raggi. 1 punto in comune Interne: distanza tra i centri minore della differenza tra i raggi. 0 punti in comune Concentriche: centri coincidenti
3.11.4 Angoli al centro e alla circonferenza Angolo al centro: se il vertice coincide con il centro della circonferenza Angolo alla circonferenza: il vertice è sulla circonferenza, i lati sono entrambi secanti o uno secante e tangente Ogni angolo al centro è doppio di un corrispondente angolo alla circonferenza
3.11.5 Calcolo di lunghezza della circonferenza e area del cerchio C=2 π r
A= π r
2
π=3,1415926535.. . Numero irrazionale illimitato aperiodico Pagina 15 di 21
3.12 Poligoni inscritti e circoscritti 3.12.1 Definizioni Poligono inscritto in una circonferenza: tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza. La circonferenza è circoscritta. Il suo raggio si chiama raggio del poligono. Il poligono ha il circocentro (intersezione degli assi). Poligono circoscritto a una circonferenza: tutti i lati sono tangenti alla circonferenza. La circonferenza è inscritta. Il suo raggio si chiama apotema del poligono. Il poligono ha l'incentro (intersezione delle bisettrici). Formule per il calcolo dell'area del poligono circoscritto: A =
P⋅a 2
da cui P =
2A 2A e a= a P
3.12.2 Quadrilateri inscritti e circoscritti Condizione necessaria e sufficiente per poter inscrivere un quadrilatero in una circonferenza è che gli angoli opposti siano supplementari Condizione necessaria e sufficiente per poter circoscrivere un quadrilatero a una circonferenza è che la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due
3.12.3 Poligoni regolari Un poligono si dice regolare se è equilatero ed equiangolo. La sua apotema è proporzionale al raggio Ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere ad una circonferenza Formula per il calcolo dell'area:
A =ϕ⋅l 2
n
f
ϕ
3
0,298
0,433
4
0,5
1
5
0,688
1,720
6
0,866
2,598
7
1,038
3,634
8
1,207
4,828
9
1,374
6,182
10
1,539
7,694
11
1,703
9,366
12
1,866
11,196
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a= l⋅f
3.13 Geometria solida o dello spazio
3.13.1 Figure solide Tutti i poliedri e i solidi di rotazione con due facce parallele sono considerati RETTI •
•
Poliedri ◦ platonici o regolari: limitati da poligoni regolari congruenti ◦ parallelepipedo ◦ prisma ◦ piramide Sfera Figura
Nome
Proprietà
•
di rotazione ◦ cilindro ◦ cono
Superficie
Volume
Parallelepipedo Facce rettangolari
d = √ a +b + c A l = Pb⋅h=2 (ac +bc) A t= A l + 2 A b=2 (ab +ac +bc )
V =abc= Ab⋅c
Cubo
a=b=c=s
d =s √ 3 A l=4 s2 A t=6 s2
V =s = A b⋅s
Prisma
2 facce parallele
Al =P b⋅h A t=A l + 2 A b
V =Ab⋅h
Cilindro Piramide Cono Sfera
1 faccia 1 vertice apotema Luogo dei punti equidistanti dal centro
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2
A l=
Pb⋅a 2
A=4 π r 2
2
2
3
A t =A l + A b
V=
Ab⋅h 3
4 V = πr 3 3
3.14 Il piano cartesiano
B=(xB; yB)
3.14.1 Segmenti Punto medio di AB: M=
( x +2 x ; y +2 y ) A
B
A
B
Lunghezza di AB AB= √ (x A −x B )2 +( y A − y B )2
3.14.2 Retta nel piano cartesiano Ogni equazione di I grado in x ed y rappresenta una retta nel piano cartesiano Forma implicita: ax + by + c = 0 Forma esplicita: y = mx + q m= coefficiente angolare y= costante → retta parallela all’asse x
q= ordinata dall’origine
x=costante → retta parallela all’asse y
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4 Argomenti di statistica e probabilità 4.1 Probabilità Evento aleatorio o casuale: si verifica solo guidato dal caso casifavorevoli P = probabilità = casiugualmente possibili Certo
Probabile
P=1
0<P<1
Impossibile P=0
Frequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza percentuale
Frequenza cumulata
Numero di volte di un evento
Somma delle frequenze degli eventi con dati crescenti
Frequenza assoluta diviso numero dei casi
Frequenza relativa × 100
4.1.1 Tipi di eventi Incompatibili: se si escludono a vicenda Compatibili: possono verificarsi insieme Complementari: la somma delle loro probabilità è 1 Composto: formato da 2 o più eventi semplici Indipendenti: il verificarsi di uno non dipende dal verificarsi dell'altro Dipendenti: il verificarsi di uno dipende dal verificarsi dell'altro
4.2 Statistica
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5 Risolvere problemi
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Indice generale 1 Argomenti di aritmetica.............................................1 3.2 Retta e sue parti................................................10 1.1 Insiemi................................................................1 3.2.1 Definizioni................................................10 1.1.1 Definizione.................................................1 3.2.2 Alcune generalità......................................10 1.1.2 Tipi di rappresentazione.............................1 3.3 Angoli...............................................................10 1.1.3 Operazioni..................................................1 3.3.1 Classificazione.........................................10 1.1.4 Insiemi numerici.........................................1 3.4 Oggetti concavi e convessi...............................11 1.2 Operazioni..........................................................1 3.5 Sistemi di unità di misura.................................12 1.3 Tavole delle operazioni......................................2 3.6 Poligoni............................................................12 1.4 Notazione esponenziale......................................3 3.6.1 Definizioni................................................12 1.5 Ordine di grandezza...........................................3 3.6.2 Proprietà...................................................13 1.6 Massimo Comune Divisore: MCD, minimo 3.7 Triangoli...........................................................13 comune multiplo: mcm............................................3 3.7.1 Definizioni................................................13 3.7.2 Proprietà...................................................13 1.6.1 Definizioni..................................................3 3.7.3 Classificazione.........................................13 1.6.2 Criteri di divisibilità...................................3 3.7.4 Criteri di congruenza................................13 1.6.3 Calcolare MCD e mcm...............................4 3.7.5 Punti notevoli...........................................14 1.7 Proporzioni.........................................................4 3.8 Quadrilateri......................................................14 1.7.1 Definizioni..................................................4 3.9 Teorema di Pitagora.........................................14 1.7.2 Proprietà.....................................................4 1.7.3 Percentuale.................................................5 3.10 Teoremi di Euclide.........................................14 1.7.4 Proporzionalità...........................................5 3.11 Circonferenza e cerchio..................................14 1.8 Frazioni e numeri razionali................................5 3.11.1 Definizioni..............................................14 1.8.1 Definizione di frazione...............................5 3.11.2 Posizioni retta-circonferenza..................15 1.8.2 Definizione di numero razionale................5 3.11.3 Posizioni reciproche due circonferenze..15 1.8.3 Insieme dei numeri razionali......................5 3.11.4 Angoli al centro e alla circonferenza......15 1.8.4 Operazioni con numeri razionali................5 3.11.5 Calcolo di lunghezza della circonferenza e 1.8.5 Problemi con i numeri razionali.................6 area del cerchio..................................................15 1.8.6 Frazioni ⟷ numeri decimali.....................6 3.12 Poligoni inscritti e circoscritti........................15 1.9 Radice.................................................................6 3.12.1 Definizioni..............................................15 2 Argomenti di algebra.................................................7 3.12.2 Quadrilateri inscritti e circoscritti..........16 2.1 Numeri relativi...................................................7 3.12.3 Poligoni regolari.....................................16 2.1.1 Operazioni in R..........................................7 3.13 Geometria solida o dello spazio.....................17 2.2 Calcolo letterale.................................................7 3.13.1 Figure solide...........................................17 2.2.1 Monomi......................................................7 3.14 Il piano cartesiano..........................................18 2.2.2 Polinomi.....................................................8 3.14.1 Segmenti.................................................18 2.2.3 Equazioni ed identità..................................8 3.14.2 Retta nel piano cartesiano......................18 2.2.4 Teorema Fondamentale dell'Algebra..........9 4 Argomenti di statistica e probabilità........................18 2.2.5 Principi di equivalenza...............................9 4.1 Probabilità........................................................18 2.2.6 Risolvere una equazione di primo grado....9 4.1.1 Tipi di eventi.............................................19 3 Argomenti di geometria.............................................9 4.2 Statistica...........................................................19 3.1 Enti fondamentali...............................................9 5 Risolvere problemi...................................................20 3.1.1 Relazioni tra gli enti...................................9
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