Comparação de Integradores

Instrumentação Electrónica 2011/2012

Engenharia Física Tecnológica

COMPARAÇÃO DE INTEGRADORES

______________________________________________________ Trabalho II

Trabalho realizado por: André Cunha, nº53757 João Romão, nº67919

Lisboa, 19 de Maio de 2012

Introdução Pretende-se comparar três diferentes circuitos integradores básicos analógicos: o circuito passivo, o integrador activo normal e o integrador activo rápido. Para atingir este objectivo, vamos utilizar uma bobine de Rogowsky, cuja tensão é proporcional à variação de corrente no interior:

V ∝−

dI dt

A dedução desta expressão a partir das leis do Electromagnetismo será apresentada quando for pertinente. Partindo desta premissa, obtém-se de imediato que:

�

V dt ∝ −I

Assim, conhecendo a tensão aos terminais da bobine é possível reconstruir o sinal da corrente por integração da força electromotriz.

Dado que é fácil conhecer o valor da intensidade de corrente, está-se assim em condições para testar os circuitos supracitados.

Começar-se-á por projectar um circuito de carga (de um condensador electrolítico) e disparo sobre um condutor central na bobine, antecedido por um tirístor que permite a acumulação de carga no condensador até ao momento do disparo.

Por fim, vai-se ainda recorrer a um método numérico de forma a ter uma referência externa de qualidade dos circuitos integradores.

Projecto e implementação do circuito de disparo Preparação do trabalho Juntamente com a implementação do circuito de disparo, é necessário determinar os efeitos da corrente que passa pelo interior da bobine de RogoΩski, como apresentado no esquema.

R

A bobine de RogoΩski é composta por várias espiras, de raio r << R, com áreas idênticas, pelo que o fluxo magnético induzido em cada uma das espiras é dado pela seguinte expressão: �

φ=

� · dS � B

φ = �B�πr2

Aplica-se agora a Lei de Ampere sobre um caminho fechado que atravessa as espiras da bobine de forma a obter o valor do campo magnético B.

I(t) =

�

B µ0 I(t) dl =⇒ �B� = µ0 2πR

Relembrando por fim a Lei de Faraday, para uma bobine com N espiras, calcula-se a força electromotriz induzida no fio.

dφ dt N r2 µ0 dI(t) =− 2R dt dI(t) = −0.2424 (µV ) dt

� = −N

Considerando os valores experimentais: N = 270, r = 6 mm e R = 25.2 mm é possível relacionar directamente a tensão aos terminais da bobine com a derivada da corrente que atravessa o fio.

Projecto e implementação do circuito de disparo Para a montagem do circuito de disparo na Breadbord foram utilizados os seguintes componentes disponível no laboratório: - Resistências; - Resistência de shunt (0.1 Ω) - Tirístor 2N6507; - 1 condensador de 4700 µF; - Fontes de alimentação.

470

1k 5V 15V

4.7uF

100m

Bobine

Para compreender o funcionamento deste circuito é necessário considerá-lo inicialmente com o interruptor aberto e posteriormente com o interruptor fechado. No primeiro caso, o interruptor impede que a gate do tirístor seja alimentada, portanto este não permite a passagem de corrente. Logo a montagem reduz-se a um circuito RC em série em que o condensador carrega até à tensão de alimentação. No entanto, quando se fecha o interruptor, o gate do tirístor é alimentado e permite a passagem de corrente. Então o condensador descarrega pela resistência de shunt e a corrente passa pelo fio que atravessa a bobine de RogoΩski.

Foi então necessário dimensionar o circuito. Conforme o indicado na datasheet, a tensão de activação do tirístor (VON) é 1.8 V e a holding current (Ih) é 18 mA. Com uma resistência de 1 kΩ, obtêm-se as condições desejadas.

I=

15V − 1.8V = 13.2mA < Ih 1kΩ

Esta resistência resulta numa constante temporal τ para o circuito com o valor de 4.7 s.

Por outro lado, para activar o tirístor é necessária uma corrente de 9 mA e uma tensão de 1 V. Dimensionando a resistência de forma a permitir uma corrente de cerca de 5 vezes superior, obtém-se:

R=

15V − 1V ≈ 311Ω 45mA

Contudo, há limitações quanto ao material disponível, portanto os valores das resistências não coincidem com os dimensionados. Procedeu-se ainda a uma medição das resistências com um multímetro de forma a verificar o desvio ao valor nominal.

Nominal R1 R2

Real

1 kΩ 0.984 kΩ 470 Ω 459 Ω

Testes realizados ao circuito de disparo Fez-se uma recolha de dados inicial com o osciloscópio, com a qual se acompanhou a tensão do condensador (a rosa), a tensão aos terminais da resistência de shunt (a amarelo) e a diferença de potencial medida na bobine de Rogowski (a azul, com uma ampliação de 20 vezes).

V 15

10

5

�0.0010

�0.0005

0.0005

0.0010

�5

Perto do instante t = 0, o condensador inicia o processo de descarregamento e surge uma alteração da tensão no fio que atravessa a bobine. O valor medido aos terminais da bobine é proporcional à derivada desse sinal.

Tendo em conta que soma das tensões do condensador e da resistência não é constante e igual a 15 V, circuito tem uma queda de abrupta de tensão. O máximo medido nos terminais da resistência de shunt é apenas 8.16 V em vez dos 15 V armazenados no condensador. Ora, isto significa que existe uma perda para os outros elementos do circuito, pelo que se pode calcular as razão entre a resistência de shunt e a resistência total de descarga do circuito: 15/8.16 = 1.838.

V = ae−t/τ + b

V 8

a = 7.9704

7

V

τ = 0.851687

6

b = 0.22045

ms V

5

4

3

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

t

Procedeu-se ainda a um ajuste para verificar a constate RC da descarga do condensar na resistência de shunt: 0.1 Ω· 4700 µF = 0.47 ms. O valor obtido pelo ajusto experimental foi praticamente o dobro deste, contudo é preciso considerar agora a resistência total do circuito de descarga que é 1.838 vezes superior à considerada. Isto é, o valor que devemos comparar com o τ ajustado é 1.838· 0.47 = 0.864 ms e estes já são muito próximos e estão incluídos na tolerância da resistência de 0.1 Ω.

Como se pode verificar, nesta escala de tempo não é possível avaliar em detalhe a força electromotriz gerada nos terminais da bobine, que têm um máximo de aproximadamente 250 mV. Por isso realizou-se uma nova aquisição com uma janela de tempo inferior de modo a obter uma resolução superior.

V

15

10

5

�0.04

�0.02

0.02

0.04

ms

Os sinais são os mesmos que nos gráfico anterior: a descarga do condensador, a vermelho, a tensão na resistência de shunt, a amarelo, e a tensão na bobine, a azul, novamente ampliado 20 vezes. Quando o condensador começa a descarregar, a tensão na resistência aumenta, ou seja, a derivada deste sinal é positiva. Pelo que é coerente que o sinal azul seja negativo. Inicialmente a derivada tem uma elevada amplitude, com um pico de -184 mV, que corresponde a uma grande variação da tensão aos terminais da resistência.

Projecto e Implementação de um circuito integrador passivo De seguida pretende-se integrar o sinal da bobine de Rogowsky, e para tal usou-se de novo um circuito RC, como indicado na figura. No terminal Vin entra a tensão da bobine e o sinal de saída Vout corresponde ao seu integral.

Vin

Vout

33k 10nF

Procede-se agora a uma análise do funcionamento do circuito. Aplica-se inicialmente a lei das malhas e sabe-se ainda que a corrente que atravessa o circuito é proporcional à derivada de Vout e a constante de proporcionalidade é a capacidade do condensador.

Vin = Ri + Vout dVout i=C dt Vin = Ri + Vout dVout Substituindo o valor da corrente deduz-se uma seguinte+equação Vin = RC Vout que relaciona as tensão, dVout em ordem dt que após uma integração seipode reordenar a V � � out. =C 1 1 dt VoutdV=out Vin dt − Vout dt RC RC Vin = RC + Vout Vout

�dt � 1 1 = Vin dt − Vout dt RC RC

Verifica-se imediatamente que o termo Vout não corresponde apenas ao integral do sinal de entrada, pois há um termo que corresponde ao integral da própria tensão de saída que é um factor de erro. Considerando o sinal da bobine, pode-se realizar uma estimativa do integral: �

Vin dt ≈

1 ∆V ∆t = 1.84mV ms 2

Ou seja, pretende-se que a constante RC seja da ordem 10-5 e para tal foram escolhidos os valores: Nominal Real R3 C2

33 kΩ 33.6 kΩ 10 nF 10.57 nF

Pelo que o valor de Vout pode ser estimado

Vout

1 ≈ RC

�

Vin dt ≈

1.84 mV ms = 5.58 mV 33kΩ 10nF

Testes realizados ao circuito integrador passivo Para testar o circuito integrador passivo, registaram-se os sinais do condensador, da resistência de shunt, da bobine de Rogowski e da saída do circuito integrador. Primeiro fez-se uma aquisição de baixa resolução (25 µs/Div) para ter uma boa visualização de todos os sinais.

V 5

4

3

2

1

�0.10

�0.05

0.05

ms

0.10

Desta vez o condensador foi carregado apenas até um valor de cerca de 5 V, apesar disso o comportamento deste e da resistência de shunt manteve-se igual ao testado na secção anterior. A amplitude máxima do sinal da bobine foi de 10 mV, uma ordem de grandeza abaixo do que foi medido nos testes ao circuito de disparo, pois a impedância do circuito integrador é finita, por oposição à montagem utilizada para testar o circuito de disparo, no qual a bobine não está ligada a nenhum circuito e portanto tem impedância infinita.

Por outro lado, o pico do sinal integrado, a verde, foi 6 mV. E este sinal é muito diferente do sinal registado na resistência de shunt. Contudo, com esta aquisição não é possível ter uma boa noção dos sinais de entrada e saída do circuito integrador, pois não há resolução suficiente para compreender em detalhe todos os efeitos. Por isso procedeu-se a uma nova aquisição com uma escala de 2.5 µs/Div. V

mV 5

20 4

10 3

�0.015

2

�0.010

�0.005

�0.005

0.005

0.010

ms

�10

1

�0.015

�0.010

0.005

0.010

ms

�20

Com mais detalhe, confirma-se que o sinal da bobine (amarelo) mantém a forma, apenas sofre uma redução da intensidade, devido à razão previamente mencionada. Quanto ao sinal de saída do circuito integrado (verde), é necessário fazer uma análise cuidada, pois este continua a não ter uma forma semelhante ao sinal da resistência de shunt (a vermelho).

Verifica-se que o sinal integrado começa a decrescer, pois a tensão integrada é superior ao valor da tensão de entrada do circuito integrador, e este ainda atinge valores negativos antes do sinal da bobine. Ora, este comportamento não corresponde à integração desejada, uma vez que o sinal da integração só deveria diminuir quando a tensão aos terminais da bobine fosse negativa. Porém é o efeito esperado tendo em conta a expressão deduzida para a tensão Vout.

V

2.0

1.5

1.0

0.5

�0.015

�0.010

�0.005

0.005

0.010

ms

Para uma comparação mais cuidada em relação ao sinal aos terminais da bobine, reescreve-se essa mesma expressão da seguinte forma:

�

Vin dt =

�

Vout dt + RC Vout

E agora determinam-se numericamente ambos os sinais, utilizando os sinais registados com melhor resolução.

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

0.010

0.015

0.020

0.025

A azul está o integral do sinal de entrada e a vermelho tem-se o membro direito da expressão acima. É evidente que o modelo não corresponde aos resultados experimentais observados, uma vez que o integral da tensão da bobine é muito superior ao integral de saída somado ao valor de saída, no entanto a sua diferença aparenta ser apenas um factor multiplicativo. É ainda importante acrescentar que quando o sinal da bobine é muito menor que o sinal de saída do integrador, este circuito comporta-se como um circuito RC em série e começa a descarregar.

Verifica-se então que este circuito integrador tem muitos desvios em relação ao modelo teórico.

Projecto e implementação de um circuito integrador activo Implementou-se agora o circuito esquematizado abaixo, denominado integrador activo.

Idealmente a resistência R2 deveria ser infinita (não existir), no entanto esta é inserida devido a considerações experimentais.

1M

120pF

Vi

4.7k -

Vo

+

A função ideal de transferência do circuito é:

Vout

1 =− R4 C

�

1 Vin dt − R5 C

�

Vout dt

Como o amplificador operacional tem uma tensão de offset, uma vez que incorpora um par diferencial, que também é integrada ao longo do tempo, pelo que, para além de ser uma fonte de erro considerável, pode levar à saturação do mesmo. Portanto insere-se a segunda resistência, resistência de Miller, com um valor elevado, de forma a corrigir esse mesmo erro.

O critério para a determinação da resistência de Miller assenta em duas premissas: este valor deve ser suficientemente elevado para minimizar o termo de integração do sinal de saída que aparece na função de transferência do integrador activo, mas não tanto que impeça a retro-alimentação negativa de forma a evitar o offset já referido.

Considerando a tensão de offset que está na datasheet do amplificador, escolheu-se uma resistência de 1MΩ que minimiza o termo de integração do sinal de saída (incluindo o offset) e não prejudica o efeito da retro-alimentação, contribuindo para o controlo efectivo da mesma.

Projecto e implementação de um circuito integrador activo Implementou-se agora o circuito esquematizado abaixo, denominado integrador activo.

Idealmente a resistência R5 deveria ser infinita (não existir), no entanto esta é inserida devido a considerações experimentais.

1M

120pF

Vi

4.7k -

Vo

+

4.7k

Nominal R4 R5 C3

Real

4.7 kΩ 4.6 kΩ 1 MΩ 1.05 MΩ 120 pF 120 pF

A função ideal de transferência do circuito é:

Vout

1 =− R4 C

�

1 Vin dt − R5 C

�

Vout dt

Como o amplificador operacional tem uma tensão de offset, uma vez que incorpora um par diferencial, que também é integrada ao longo do tempo, pelo que, para além de ser uma fonte de erro considerável, pode levar à saturação do mesmo. Portanto insere-se a segunda resistência, resistência de Miller, com um valor elevado, de forma a corrigir esse mesmo erro.

O critério para a determinação da resistência de Miller assenta em duas premissas: este valor deve ser suficientemente elevado para minimizar o termo de integração do sinal de saída que aparece na função de transferência do integrador activo, mas não tanto que impeça a retro-alimentação negativa de forma a evitar o offset já referido.

Considerando a tensão de offset que está na datasheet do amplificador, escolheu-se uma resistência de 1MΩ que minimiza o termo de integração do sinal de saída (incluindo o offset) e não prejudica o efeito da retro-alimentação, contribuindo para o controlo efectivo da mesma.

Projecto e implementação de um circuito integrador activo Efectuou-se ainda um melhoramento do circuito, de forma a reduzir a tensão de offset, introduziu-se uma resistência entre a entrada não inversora do amplificador e o ground com o valor de R4.

1M

1uF

Vi

2.2k -

+

2.2k

Vo

Testes realizados ao circuito integrador activo Fez-se a seguinte aquisição, com uma escala tempo de 5 µs/Div em que os sinais correspondem novamente à tensão do condensador (azul), na resistência de shunt (vermelho), aos terminais da bobine (amarelo), que está representado com uma ampliação de 100, e ainda à saída do circuito integrador activo invertido (verde).

V

4

2

�0.02

�0.01

0.01

0.02

0.03

ms

�2

�4

Pode-se visualizar os que os sinais da resistência e de integração têm formas muito semelhantes no início da aquisição. Comparam-se agora ambos os sinais com mais detalhe: V

2.0

1.5

1.0

0.5

�0.02

�0.01

0.01

0.02

0.03

ms

Ampliou-se o sinal do circuito integrador para facilitar a visualização. Durante um pequeno intervalo, estes são idênticos, porém o circuito integrador também começa a descarregar quando a tensão de entrada da bobine se torna menor que a da saída do circuito integrador.

No gráfico seguinte apresenta-se o sinal adquirido à saída do circuito integrador (a verde) e uma integração numérica da tensão aos terminais da bobine e dividido pelo factor R4C3, conforme a expressão de transferência do circuito.

Testes realizados ao circuito integrador activo

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

�0.02

�0.01

0.01

0.02

0.03

Verifica-se que a integração está adequada no mesmo período em que a integração está correcta para a resistência de shunt. Aplicando o factor correctivo, o sinais coincidem durante o período de funcionamento correcto do circuito. Aponta-se então o mesmo problema que foi obtido no circuito anterior, o integrador passivo, pois o circuito começa a descarregar. Exceptuando esse efeito, o circuito integrador funciona com exactidão.

Reorganizando a função de transferência do circuito obteve-se de novo um modelo para testar o circuito integrador activo.

�

R4 Vin dt = − R5

�

Vout dt − R4 C Vout

Utilizando os sinais adquiridos, após o tratamento matemático da expressão anterior obteve-se o seguinte gráfico, com o sinal proporcional a Vout a azul e o integral do mesmo a vermelho. A verde tem-se a soma de ambos. mVms 0.4

0.3

0.2

0.1

�0.02

�0.01

0.01

0.02

0.03

ms

A constante de integração τ = R4 C = 0.564 µs, justifica o curto período de correcta integração no sinal, visível em todos os gráficos. No entanto, para condensadores de capacidade superior, a altas frequências o integrador adquire o comportamento de um seguidor de tensão e a amplitude do sinal decresce consideravelmente.

Projecto e implementação de um circuito integrador activo rápido Por fim, procedeu-se ao estudo do integrador rápido.

1M

120pF

4.7k

120pF Vi

Vo

4.7k +

Nominal R6 R7 C4

Real

4.7 kΩ 4.6 kΩ 1 MΩ 1.05 kΩ 120 pF 120 pF

Aplicando as leis de Kirchoff às entradas positiva e negativa do ampop, obtiveram-se as seguintes expressões:

Vin − V+ dV+ =C R6 dt V− d(V0 − V− ) V0 − V− =C + R6 dt R7 Igualando a tensão em ambas as entradas, obtém-se o modelo para este circuito integrador.

�

R6 Vin dt = R7

�

R6 Vout dt + R6 C Vout − R7

�

V− dt

Assim, o integral de saída vem afectado por dois termos correctivos de sinal contrário o que resulta num desvio final mais reduzido que no circuito anterior.

Normalmente, as características de transferência descrevem a tensão de saída em função da de entrada, e tendo ainda em conta que não se mediu a tensão na entrada inversora do ampop, é relevante eliminar este termo da expressão deduzida. Isto só pode ser feito recorrendo a uma aproximação a altas e baixas frequências.

Assim, a frequências baixas, a impedância do condensador entre a entrada não inversora do ampop e a terra pode ser aproximada a infinito, recuperando-se assim, um circuito semelhante ao integrador activo:

Projecto e implementação de um circuito integrador activo rápido 1M

120pF

4.7k

Vi

Vo

4.7k +

Recorrendo novamente às leis de Kirchoff, obtém-se a seguinte equação integral:

�

R6 Vin dt = R6 + R7

�

Vout dt +

R6 R7 C (Vout − Vin ) R6 + R7

Novamente, o integral de saída vem afectado por dois termos correctivos de sinal contrário, compensando-se.

No caso das altas frequências, o condensador que se encontra na malha de realimentação inversora do ampop tem uma impedância muito baixa, aproximando-se a um curtocircuito, ficando-se assim, com um integrador passivo seguido de um seguidor de tensão: 4.7k

120pF

Vi

-

Vo

4.7k +

O modelo pode então ser exprimido pela mesma relação que o integrador passivo.

�

Vin dt =

�

Vout dt + R6 C Vout

Estes limites permitem desde já confirmar a utilidade deste circuito. Nos testes realizados nas sessões de laboratório passadas constatou-se que a baixas frequências era o integrador activo que permitia obter melhores resultados. No entanto, este circuito, apresentava dificuldades nas altas frequências em que mostrava um pico correspondente ao próprio sinal de entrada. Já o integrador passivo não apresentava este problema.

Como este circuito aproxima-se a um integrador activo nas baixas frequências e a um passivo nas altas, pode-se prever que o funcionamento deste integrador é mais próximo do pretendido que os anteriores.

Os critérios de escolha dos valores a utilizar no circuito são os mesmos que no caso anterior. A capacidade do condensador e a resistência de Miller devem ser os maiores possíveis de forma a minimizar a contribuição dos termos de desvio na saída do integrador. No entanto, não se devem desprezar os limites impostos pelo funcionamento do ampop.

Testes realizados ao circuito integrador activo rápido V 5

4

3

2

1

�0.04

�0.02

0.02

0.04

ms

Na gama observada, são evidentes as semelhanças entre os sinais vermelho e verde que representam a tensão na resistência de shunt e à saída do circuito integrador. Assim, o integrador projectado encontra-se adequado para o sinal a processar.

Quando se analisa este integrador para baixas frequências, este aproxima-se do integrador activo. Portanto, testa-se agora utilizando o mesmo modelo, se o desvio ao integral é, ou não, desprezável. A amarelo apresenta-se o factor proporcional ao integral e a verde proporcional ao desvioo, isto é, o factor que corresponde à integração do próprio sinal de saída. O sinal de entrada, Vin, também é muito menor que o sinal integrado.

Vms 0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

�0.04

�0.02

0.02

0.04

ms

No caso anterior, o desvio em relação ao integral tornava-se significativo ao fim de algum tempo. Porém, para este integrador, tendo em conta os elementos de circuito, o factor do desvio não é tão reduzido, mesmo com um sinal de integração de amplitude superior.

Procede-se então para o estudo a altas frequências. Feitas as considerações necessárias, deduz-se que, para este limite, o circuito integrador tem um comportamento semelhante ao integrador passivo.

Utiliza-se de novo o modelo deduzido nesse caso, para confirmar se o erro é significativo. No gráfico, o sinal amarelo é proporcional ao integral e factor de erro está representado a verde.

Vms

0.04

0.03

0.02

0.01

�0.04

�0.02

0.02

0.04

ms

Ora, com este modelo o erro é muito maior do que o sinal obtido. Ou seja, o sinal adquirido neste teste não pode ser avaliado com este modelo. Tal efeito ocorre devido ao dimensionamento do circuito: o condensador tem uma capacidade muito pequena e portanto o factor de erro acaba por ser superior ao integral. Pelo que se conclui que esta não é uma boa aproximação.

Conclusões Durante o estudo do primeiro circuito integrador, verifica-se que o circuito integrador passivo reage correctamente num período muito curto. No entanto não consegue prosseguir com um sinal decente e mesmo quando se considera o termo de desvio proporcional o resultado experimental não coincide com a teoria.

Considerou-se aumentar a resistência do circuito integrador passivo, que aumentaria a tensão do sinal da bobine e permitiria uma melhor integração. Contudo o sinal de saída estaria reduzido.

Prosseguiu-se com o estudo de um circuito integrador activo. Neste caso os resultados foram satisfatórios enquanto o circuito integrava correctamente. O único problema surge quando a tensão da bobine se torna tão pequena que o circuito integrador começa a descarregar. Também se validou o modelo teórico no período correcto de integração.

Por fim, com o estudou o integrador rápido, foi possível avaliar a contribuição dos parâmetros do circuito na qualidade do sinal de saída, tendo esta análise já sido feita.

Pode-se novamente dizer que se está perante um compromisso entre por um lado a qualidade do sinal das baixas frequências e por outro o comportamento a altas frequências e a amplitude do sinal.

Comparando os 3 tipos de circuitos é notório que é o rápido o que permitiu obter melhores resultados considerando uma combinação de amplitude de sinal de saída e comportamento a baixas frequências. Contudo não se pode dizer qual o melhor circuito uma vez que todos possuem qualidades e defeitos.

Acrescenta-se ainda que se pretendia comparar o sinal integrado ao da resistência de shunt com a realização de ajustes ao decaimento exponencial da tensão, contudo tal não foi possível uma vez que o período de integração não foi extenso o suficiente.