Simulação de um Circuito de Modulação Delta-Sigma com Filtragem e Decimação

LEFT: Sistemas de Aquisi¸c˜ao de Dados Simula¸c˜ao de um Circuito de Modula¸c˜ao Delta-Sigma com Filtragem e Decima¸c˜ao Andr´e Bastos da Cunha 25 de Maio de 2007

1

Introdu¸c˜ ao

Na sequˆencia do trabalho anterior, pretende-se adicionar as seguintes funcionalidades ao circuito de modula¸c˜ao ∆Σ j´a implementado: • O sinal Vin dever´a ser agora um sinal sinusoidal arbitr´ario de frequˆencia m´axima at´e 1000 KHz e n˜ao apenas um sinal constante; • Ao Vout ligar-se-´a agora um m´odulo de filtro passa-baixo que dever´a ser simulado computacionalmente; • E por fim ligar-se-´a ainda um m´odulo de decima¸c˜ao que dever´a ser tamb´em simulado computacionalmente.

N˜ao havendo restri¸c˜oes relativamente `a fun¸c˜ao a utilizar escolheu-se arbitrariamente o sinal descrito pela fun¸c˜ao: Vin = 2[sin(2πFb 10x)+sin(2πFb 5x)+sin(2πFb 2x)+cos(2πFb 9x)+cos(2πFb 6x)+cos(2πFb 4x)] (1) Desta forma, o programa vai realizar o seguinte conjunto de opera¸c˜oes: • Vai come¸car por gerar uma sequˆencia de -1 e 1 a partir do sinal sinusoidal introduzido; • Essa sequˆencia vai dar entrada no filtro passa-baixo definido pela opera¸c˜ao de convolu¸ca˜o: y[n] = x[n] ∗ h[k]

(2)

em que y[n] ´e o sinal de sa´ıda do filtro, o sinal x[n] ´e o sinal de entrada (neste caso a sequˆencia de -1 e 1 gerada no modulador ∆Σ) e h[k] corresponde a: h[k] =

sin(ωc (k − N )) π(k − N )

(3) 1

em que ωc ´e a frequˆencia de corte. Os valores impostos para os parˆametros foram π . Para efeitos de c´alculo, a opera¸c˜ao de convolu¸c˜ao equivale a: N = 32, ωc = 16 y[n] =

2N X

h[k].x[n − k].

(4)

k=0

• O sinal reconstru´ıdo vai ent˜ao dar entrada no decimador, onde se vai utilizar um crit´erio pouco refinado que escolhe um ponto de 16 em 16 pontos da sequˆencia reconstru´ıda.

• O programa vai ent˜ao gerar dois gr´aficos e em cada um deles vai apresentar uma sobreposi¸c˜ao do sinal original primeiro com o sinal reconstru´ıdo n˜ao decimado e s´o depois com o sinal decimado.

• Por fim, vai efectuar o c´alculo do E.N.O.B. ou Effective Number Of Bits dado pela express˜ao: E.N.O.B. =

S.N.R − 1, 72 6, 02

(5)

em que o S.N.R ou Signal to Noise Ratio ´e dado pela express˜ao: S.N.R. = 20 log10

AM e

(6)

em que AM ´e a amplitude m´axima e e o erro m´edio dado pelo m´odulo da diferen¸ca entre o sinal original e os pontos filtrados.

2

Implementa¸c˜ ao

Segue-se uma explica¸c˜ao geral da arquitectura do programa e adoptou-se o MATLAB como solu¸c˜ao para o implementar. O programa ´e constitu´ıdo por um script principal deltasigma.m que gere al´em de gerir toda a sequˆencia principal do programa, trata directamente do processo de modula¸c˜ao ∆Σ implementado num trabalho anterior, corrige o sinal processado no filtro por introdu¸c˜ao de um pequeno offset e elimina¸c˜ao dos pontos fronteira onde o processo de convolu¸c˜ao n˜ao ´e realizado correctamente por uma quest˜ao inerente `a forma como est´a definido e faz os dois gr´aficos atr´as descritos que apresentam os resultados obtidos.

Por uma quest˜ao de elegˆancia e funcionalidade na programa¸c˜ao, trˆes das dependˆencias necess´arias para o funcionamento deste script foram definidas como fun¸c˜oes externas.

A primeira fun¸c˜ao presente no ficheiro deltasigma fir.m n˜ao ´e mais que a realiza¸c˜ao do filtro passa-baixo tal como foi definido anteriormente. Em concreto, e tendo em conta os parˆametros impostos a opera¸c˜ao equivale a:

y[n] =

64 X sin( π (k − N )) 16

k=0

π(k − N )

x[n − k]

(7)

2

que por causa da indetermina¸c˜ao em k = 32 vai corresponder a realizar o conjunto de somas

y[n] =

31 X sin( π (k − N )) 16

k=0

π(k − N )

x[n − k] +

33 X sin( π (k − N )) 16

k=0

π(k − N )

x[n − k] +

1 x[n − k].

16

(8)

A fun¸ca˜o deltasigma dec.m ´e respons´avel pela decima¸c˜ao do sinal como foi definida anteriormente e a fun¸c˜ao deltasigma enob calc.m efectua o c´alculo do S.N.R e do E.N.O.B como foram definidos.

Para detalhes na implementa¸c˜ao, basta ler o c´odigo que se segue e os coment´arios respectivos.

3

2.1

Script principal Listing 1: deltasigma.m % Sistemas de Aquisição de Dados, TPC n o 7 % André Cunha, n o 53757, LEFT

5

10

% % % %

Simula ção de um circuito delta-sigma que gera sequências biná rias a partir de um sinal sinusoidal de entrada que é posteriormente processado através de um FIR e de um critério pouco refinado de decimação.

% Clear workspace. Demora mais tempo mas assegura que não usamos % variáveis ou valores ao correr o programa mais do que uma vez. clear;

15

20

25

% Inicialização das variáveis. out_dac = 0; out_intg = 0; out_comp = 0; i = 0; intervalo = 0; pontos = 0; tempos = 0; ones = 0; zeros = 0; % Inicialização das matrizes e vectores.

30

v = []; x = []; sequence = []; tempos = []; sinal_fir = []; sinal_decima = [];

35

40

% % % % %

O programa pergunta ao utilizador para introduzir voltagem de referência do DAC, frequência base do sinal a modular, o intervalo de tempo e o número de pontos a amostrar. Entre parêntesis colocaram-se valores sugeridos que funcionam bem para o sinal em estudo.

vref = input(’Qual o valor da voltagem de referencia do DAC? (10)’); frq = input(’Qual o valor da frequencia base do sinal ? (100)’); intervalo = input(’O intervalo devera ser entre 0 e ? (0.01)’);

4

45

pontos = input(’Quantos pontos deseja amostrar? (3200)’);

50

% % % %

Definição da função que descreve o sinal de entrada que se pretende modular. Qualquer função pode ser usada convinhando que se utilize como variavel o x, e opcionalmente uma frequencia base frq (introduzida anteriormente).

x = 0 : intervalo/pontos : intervalo; v = 2*(sin(2* pi *x*frq*10) + sin(2* pi *x*frq*5) + sin(2* pi *x*frq*2)... + cos(2* pi *x*frq*9) + cos(2* pi *x*frq*6) + cos(2* pi *x*frq*4)); 55

% Definição do vector que vai armazenar a sequencia gerada pelo % modulador delta-sigma. sequence = [1:pontos]; 60

% Ciclo que descreve o modulador delta-sigma (vai saltar-se uma vez % que já foi explicado num trabalho anterior).

65

f o r i = 1 : pontos, out_dac = out_dac * -1; out_soma = v(i) + out_dac; out_intg = out_intg + out_soma; i f out_intg >= 0, out_comp = 1; out_dac = vref; ones = ones +1; else out_comp = -1; out_dac = -vref; zeros = zeros +1; end

70

75

sequence(i) = out_comp; 80

end % Chama-se então a função que efectua a operação de convolução na % sequência obtida do modulador delta-sigma.

85

sinal_fir = deltasigma_fir(pontos,sequence); % Realiza-se um pequeno offset no vector para compensar os pontos % "incompletos" que foram calculados no processo de convolução.

90

f o r n = 33 : pontos,

5

sinal_fir(n-32) = sinal_fir(n); end 95

100

f o r n = (pontos - 31) : pontos, sinal_fir(n) = NaN; end % Cria-se um vector tempos para possibilitar a representação % gráfica do nosso sinal modulado. tempos = 1 : pontos; tempos = tempos * intervalo/pontos;

105

% Plotagem do sinal modulado antes do processo de decimação % sobreposto ao sinal original. f i g u r e (2),plot(x,v,tempos,sinal_fir),grid ,xlabel(’Tempo (s)’),... ylabel(’Amplitude’)

110

% Chama-se a função que realiza o processo de decimação sobre o % sinal processado. sinal_decima = deltasigma_dec(pontos,sinal_fir); 115

% Plotagem do sinal depois da decimação e sobreposição com o sinal % original.

120

f i g u r e (3),plot(x,v,tempos,sinal_decima,’rx’),grid ,xlabel(’Tempo (s)’),... ylabel(’Amplitude’) % Cálculo dos valores do SNR e do ENOB antes e depois da decimação.

125

% Para tal criou-se uma função exterior que efectua o cálculo % destes valores e o apresenta no ecrã quando chamada. % Os inputs da função são o sinal original, o sinal processado que % se quer comparar, os pontos em que se analiza e o factor que % determina o critério de decimação (múltiplo de 32).

130

disp(’Antes da decimacao:’) deltasigma_enob_calc(v,sinal_fir,pontos,1); 135

disp(’Depois da decimacao:’) deltasigma_enob_calc(v,sinal_decima,pontos,16);

6

2.2

Fun¸ c˜ ao filtradora Listing 2: deltasigma fir.m % Sistemas de Aquisição de Dados, TPC n o 7 % André Cunha, n o 53757, LEFT function sinal_fir = deltasigma_fir(pontos,sequence)

5

% Ciclo que efectua a operação de convolução que se pretende % implementar.

10

% Naturalmente a convolução ocorre para todos os pontos amostrados, % como tal o ciclo é descrito para o número de pontos amostrados % (variável pontos). f o r j = 1 : pontos,

15

% Aqui definimos o somatório que descreve a operação de % convolução propriamente dita. O somatório é constituído por % 64 termos para cada ponto. f or k = 0 : 64,

20

% Constrói-se um vector bidimensional (uma matriz) que vai % armazenar os índices de k nas linhas e os índices dos % pontos nas colunas.

25

% Começa-se então por estudar os casos em que j é maior do % que k. i f j > k,

30

35

% Sempre que k = 32, tem-se uma indeterminação e como % tal, tendo calculado a expressão desse termo % analiticamente, calcula-se aqui o seu valor. i f k == 32, y(k+1,j) = 11 * 1/16 * sequence(j-k); % Nos restantes casos em que j é maior do que k e k % assume valores diferentes de 32, o cálculo é feito % da forma usual.

40

else y(k+1,j) = 11 * sequence(j-k) * sin((pi/16*(k-32)))... /(pi *(k-32)); end

7

45

% Nos casos em que j é menor ou igual a k, impõe-se um % valor nulo na matriz. % Note-se o factor correctivo igual a 11 da % amplitude em todas as operações

50

e l s e y(k+1,j) = 0; end end 55

end % Tendo então a matriz bidimensional completa, somam-se os seus % termos em k e obtemos assim um vector com os valores do sinal % filtrado.

60

sinal_fir = sum(y);

8

2.3

Fun¸ c˜ ao decimadora Listing 3: deltasigma dec.m % Sistemas de Aquisição de Dados, TPC n o 7 % André Cunha, n o 53757, LEFT function sinal_decima = deltasigma_dec(pontos,sinal_fir)

5

% Para a decimação do sinal modulado, começa-se por definir um % vector vazio de dimensão igual ao número de pontos que queremos % representar.

10

15

20

f o r l = 1 : pontos, sinal_decima(l) = NaN; end % Preenche-se o vector vazio parcialmente apenas com os pontos % obtidos através critério de decimação nas suas posições % respectivas. % Notar que se excluem os dois últimos pontos por não terem % validade real tendo em conta a correção de offset realizada % acima. f o r m = 1 : ((pontos/16)-2), sinal_decima(16*m)=sinal_fir(16*m); end

9

2.4

Fun¸ c˜ ao que calcula o E.N.O.B. e o S.N.R. Listing 4: deltasigma enob calc.m % Sistemas de Aquisição de Dados, TPC n o 7 % André Cunha, n o 53757, LEFT

5

% Cálculo do desvio médio ao sinal original dentro de pontos % seleccionados com um factor de decimação. function deltasigma_enob_calc(sinal,sinal_proc,pontos,crit_dec)

10

% Cria-se um vector que guarde os valores dos desvios ao sinal % original para todos os pontos decimados.

15

f o r n = 1 : ((pontos/crit_dec) - 32/crit_dec), desvios(crit_dec*n) = abs(sinal(crit_dec*n) - ... sinal_proc(crit_dec*n)); end % Calcula-se a média dos desvios. desvio_med = mean(desvios);

20

% Obtenção do valor máximo de amplitude do sinal original. amplitude_max = max(abs(sinal)); 25

% Cálculo do SNR (Signal to Noise Ratio) de acordo com a expressão % dada. snr = 20* log10(amplitude_max/desvio_med);

30

% Cálculo do ENOB (Effective Number Of Bits) de acordo com a % expressão dada. enob = (snr - 1.76)/6.02;

35

% Output no ecrã dos valores encontrados para o SNR e o ENOB.

40

disp(’O SNR calculado e igual a’); disp(snr); disp(’O ENOB calculado e igual a’); disp(enob);

10

3

Resultados

Para ter uma ideia daquilo que se deve esperar, introduziu-se o resultado ao correr o programa com os valores recomendados no input.

Qual o valor da voltagem de referencia do DAC? (10)10 Qual o valor da frequencia base do sinal ? (100)100 O intervalo devera ser entre 0 e ? (0.01).01 Quantos pontos deseja amostrar? (3200)3200 Antes da decimacao: O SNR calculado e igual a 40.9345 O ENOB calculado e igual a 6.5074 Depois da decimacao: O SNR calculado e igual a 65.5044 O ENOB calculado e igual a 10.5888

11

8

6

4

Amplitude

2

0

−2

−4

−6

−8

−10 0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005 0.006 Tempo (s)

0.007

0.008

0.009

0.01

Figura 1: Sobreposi¸c˜ao do sinal original com o sinal filtrado antes da decima¸c˜ao.

8

6

4

Amplitude

2

0

−2

−4

−6

−8

−10 0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005 0.006 Tempo (s)

0.007

0.008

0.009

0.01

Figura 2: Sobreposi¸c˜ao do sinal original com o sinal filtrado depois da decima¸c˜ao.

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