Matematika 8, Brihtna glavca

8.

razred

MAT

AJ SKL E N

Zbirka nalog z rešitvami za 8. razred osnovne šole

O

U

Zbirka nalog z rešitvami za 8. razred osnovne šole

Z lahkoto do znanja matematike!

Zbirka nalog vsebuje: • 173 nalog v 28 poglavjih; • kratki in pregledni povzetki snovi z zgledi; • izvirne naloge treh zahtevnostnih stopenj; • 2 preizkusa znanja; • formule in preglednice; • rešitve v sredini zvezka.

Gradivo je preizkušeno v razredu.

6.

7.

9.

razred

razred

razred

MAT

MAT

MAT

• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.

Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola

Z lahkoto do znanja

• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,

• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.

Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola

U

U

AJ SKL E N

• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje,

Zbirka nalog z rešitvami za 9. razred osnovne šole

AJ SKL E N

O

Z lahkoto do znanja

• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,

Zbirka nalog z rešitvami za 7. razred osnovne šole

O

O

U

Zbirka nalog z rešitvami za 6. razred osnovne šole

AJ SKL E N

Z lahkoto do znanja

AJ SKL E N

O

U

Na voljo tudi zbirke nalog za nižje in višje razrede!

Z lahkoto do znanja

• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,

• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.

Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola

•

•

• razumem tudi zahtevnejšo snov,

se dobro pripravim na preizkuse znanja, izboljšam ucni uspeh.

CENA 6,95 €

www.mladinska.com/sola

BG_MAT 8_oprema.indd 1

Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola 11.8.3 11:39

K A Z AL O St e v i l a i n r a Cu n I Realna števila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Seštevanje in odštevanje realnih števil.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Množenje in deljenje realnih števil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Realna števila in ulomki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5 Urejanje realnih števil po velikosti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6 Seštevanje in odštevanje z ulomki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7 Množenje ulomkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 Deljenje ulomkov.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9 Potence realnih števil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 10 Računanje s potencami.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11 Potence števila 10.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 12 Algebrski izrazi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 13 Poenostavljanje izrazov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 14 Računanje z izrazi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 15 Linearna enačba z eno neznanko.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 16 Neenačbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 17 Kvadratni koren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ➜ Preverim svoje znanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1

2

F UN K C I J E Premo sorazmerje.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Grafični prikaz premega sorazmerja.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 20 Odstotki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 21 Obratno sorazmerje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 22 Srednja vrednost hitrosti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 23 Statistika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ➜ Preverim svoje znanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 18 19

G E O M ETRI J A Pitagorov izrek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Obrat Pitagorovega izreka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 26 Pravilni večkotniki.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 27 Obseg geometrijskih likov.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 28 Ploščina geometrijskih likov.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

24 25

Zapis in postopek reševanja enačbe.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

R e s i t v e so na posebnem sklopu

na sredi knjige, ki ga lahko iztrgaš.

BG MAT 8_01-39.indd 3

11.8.3 11:48

S t e v i l a i n r a C u n AN J E

1

Realna števila P O M NI M Lego vsake točke na številski premici označuje število, ki se imenuje abscisa točke. Zapišemo: A (abscisa točke A).

Abscisa določene točke je realno število: ima znak (+ ali –). Lahko je torej negativno (manjše od 0) ali pozitivno (večje 0). Število 0 je hkrati pozitivno in negativno.

Verbe intransitif Verbe transitif Dve nasprotni števili imata nasprotna znaka (+ in –).

Pas de complément d’objet.

Avec un complément d’objet. negativna števila pozitivna števila

A

– 6

– 5

– 4

O

– 3

– 2

– 1

0

B 1

2

3

4

5

Abscisa točke A je –3, zato napišemo A (–3). Abscisa točke B je 3, zapišemo B (3) ali B (+3).

–3 je negativno število: –3 < 0; 3 je pozitivno število: 0 < 3. 3 in –3 sta nasprotni števili, A in B sta simetrični glede na 0. Če želimo primerjati dve števili, ju narišemo na številsko premico.

Puščica na koncu premice označuje smer naraščanja.

Pozitivno število je vedno večje od negativnega števila.

A

– 5

3 < 5 –5 < –3 –5 < 3

B

O

– 3

0

1

C

D

3

5

Točki C (3) in D (5) si sledita v smeri naraščanja.

Točki A (–5) in B (–3) si tako sledita v smeri naraščanja.

3 je pozitivno in –5 je negativno število.

VA D I M Zgled 1 Dopolni trditve z besedami: nasprotna, pozitivna, negativna. Števila 0; 5; 2,4 in 100 000 so –28,761 in –8 sta

števila; števili 4,3 in –4,3 sta

števili;

števili.

2 Na številsko premico nariši točke M, A,T, H,

ki imajo abscise: –4; +8; 6; –8.

O

Prva črka ima prvo absciso, druga drugo itd.

4 BG MAT 8_01-39.indd 4

11.8.3 11:48

S t e v i l a i n r a C u n AN J E

Va j e 3 Vstavi znak < ali >. a. 4

0

b. 0

d. 4

–5

e. – 4

c. 4

–5

f. – 6

–5

č. –4

5

5

g. –4,2

–5

Nariši številsko premico in na njej označi točke.

–4,3

4 Odgovori na vprašanja. Pomagaj si s številsko premico.

D

C

O

A

0

0,1

Zapiši števila na številsko premico.

B

a. Katere so abscise točk A, B, C in D? b. Kaj lahko poveš o točkah A in C glede na točko O? c. Napiši dve točki nasprotnih abscis.

5 K vsakemu številu napiši dve najbližji celi števili. a. 3 < 3,2 < č.

< –2,345 <

b.

< –1,5 < –1

d.

> –1,414 >

c.

< 3,14 <

e.

> 10,456 >

6 V kvadratke vpiši ustrezne števke. Možnih je več rešitev. Poišči vse.

a. 4,

b. –1,6 < –1,

< 4,3

c. 34,1

> 34,15

č. –7,41

> –7,414

7 Dana so števila: 44,7; –33,6; 6,33; –7,44. a. Uredi jih po velikosti od največjega do najmanjšega. b. Njihova nasprotna števila uredi v naraščajoči vrstni red.

Za brihtne glavce 8 Odgovori na naslednja vprašanja. a. Katero število je hkrati večje ali enako 3 in manjše ali enako 3? b. Katero število je hkrati večje ali enako –5 in manjše ali enako –5? c. Katera cela števila so natanko med –2,97 in –0,33? č. Katero je nasprotno število nasprotnega števila –34,2? d. Katero je decimalno število, ki ima eno števko za vejico in je hkrati strogo manjše od –4,43 in strogo večje od –4,56?

Rešitve str. 2

BG MAT 8_01-39.indd 5

5 11.8.3 11:48

2 Seštevanje in odštevanje S t e v i l a i n r a C u n AN J E

realnih števil

P O M NI M Vsota dveh pozitivnih števil je pozitivno število.

Vsota dveh negativnih števil je negativno število. (+4,2) + (+2,5) = +6,7

(–4,2) + (–2,5) = –6,7

Absolutna vrednost števila je "število brez predznaka".

Pri seštevanju dveh števil z različnima predznakoma izberemo število z večjo vrednostjo, obdržimo njegov manjše število.

Verbe intransitif predznak in potem odštejemo Verbe transitif Pas de complément d’objet.

Avec un complément d’objet.

(+6) + (–7) = –1 +6 in –7 imata različna predznaka in 7 > 6. Torej ima njuna vsota isti predznak kot –7, torej negativen. Potem odštejemo 6 od 7.

Dve števili sta si nasprotni, kadar sta enako veliki in imata različna predznaka. (+5,1) in (–5,1) sta nasprotni si števili. Število b odštejemo od a tako, da številu a prištejemo nasprotno vrednost števila b.

Tako pretvorimo odštevanje v seštevanje.

(–1) – (+3) = (–1) + (–3) = –4 Da odštejemo (+3), prištejemo njegovo nasprotno vrednost (–3) in nato števili seštejemo.

VA D I M Zgled 1. Izračunaj. (+5) + (–3,1) =

(+12) + (–15,3) =

(–8) + (–3,1) =

(–6) + (+ 4,5) =

)+(+

(–5,2) + (+4) + (–8) + (+5) = (+

) + (–

)+(–

=(+

=

(+6) – (+8,5) =

(–7) – (–4) =

= (+6) + ( =

)

=(

=

)+(

)+(–

. . )

)

(–11) + (+28) – (–8) = )

=

=

Razvrsti števila glede na predznak.

Pred računanjem pretvori vsako odštevanje v seštevanje.

6 BG MAT 8_01-39.indd 6

11.8.3 11:48

S t e v i l a i n r a C u n AN J E

Va j e 2. Izračunaj.

(–5) + (–9) =

(+8) + (–14) =

(–13) – (–8) =

(+19) – (–6) =

3. Izračunaj z razvrščanjem na pozitivna in negativna števila.

(–2) + (+5) + (+3) + (–7) =

(+6) + (–5) + (–7) + (+3) + (–9) =

=

=

=

=

=

= Pretvori odštevanje v seštevanje in potem razvrsti števila tako, da bo izračun vsote čim lažji.

4. Reši račune.

(–3) – (–5) + (+6) + (–3) – (+1) = = (–3) + (

) + (+6) + (–3) + (

= (–3) + (–3) + (+6) + (

)+(

=

) =

0

(–11) + (–25) + (–3 000) + (+11) – (–25) =

+

(

) =

= (–11) + (–25) + (–3 000) + (+11) + (

) =

=(

)+(

)+(

)+(

)=

) + (–3 000) =

= Vsota dveh nasprotnih števil je 0.

= (–3) + (+42) – (–10) + (–42) + (–12) =

(–6,3) + (+21,2) + (+31,4) + (+106,3) – (+121,2) =

=

=

=

=

=

=

=

=

5. Odpravi oklepaje in izračunaj. (+3) + (–5) – (–2) – (+7) =

(–2) – (–4) – (+6) =

= (+3) + (–5) + (+2) + (–7) =

=

=

= 3

– 7 =

=

=

=

=

=

=

=

=

–5

+2

5 – (–8) + (–7) + (+3) =

Za poenostavitev računa najprej odstrani oklepaje in znak + pred oklepaji.

Za brihtne glavce 6. Pri računanju upoštevaj vrstni red računskih operacij.

– (5 – 4 + 8) – (2 – 6 – 1) =

2 – [7 – (11 – 23)] – (– 14 + 18) =

=

=2 – [7 – (

=

=2–(

=

=

)] – ( )–(

)=

Začni pri 'najbolj notranjih' oklepajih.

)=

Rešitve str. 2

BG MAT 8_01-39.indd 7

7 11.8.3 11:48

3 Množenje in deljenje S t e v i l a i n r a C u n AN J E

realnih števil

P O M NI M Pri množenju realnih števil uporabljamo pravilo predznakov.

– Če imata oba faktorja enaka predznaka, je produkt pozitiven. (+3) • (+8) = +24

(–7) • (–6) = +42

– Če imata faktorja različna predznaka, je produkt negativen. (+4) • (–5) = –20

(–2) • 3,5 = –7

Verbe intransitif Pas de complément d’objet.

Predznak produkta več faktorjev

Verbe transitif Avec un complément d’objet.

– je vedno pozitiven, če zmnožimo več pozitivnih faktorjev.

– je vedno pozitiven, če zmnožimo parno (sodo) število negativnih faktorjev.

– je vedno negativen, če zmnožimo neparno (liho) število negativnih faktorjev. (+10) • (–2) • (–5) • (+3) • (–2,4) = –720 Produkt treh negativnih faktorjev ima tako negativen predznak.

Pri deljenju realnih števil uporabimo isto pravilo predznakov kot pri množenju.

–12 2 • (–3) = +2

Količnik dveh negativnih števil je torej pozitivno število.

VA D I M Zgled 1. Izračunaj.

Najprej določi predznak zmnožka oz. količnika: + krat + je +

2 • (–8) =

– krat – je +

(–6) : (–3) =

– krat + je –

–121 = 11 (–12,1) • (–0,3) = –312 • 0,01 = –49 = –2 • (–3,5)

49 =

8 BG MAT 8_01-39.indd 8

11.8.3 11:49

^

Resitve Število odštejemo tako, da prištejemo njegovo nasprotno vrednost:

ST E V I L A I N R A C U N A N J E

1 Realna števila

(+ 6) – (+ 8,5) = (+ 6) + (– 8,5) = – 2,5

str. 4

(– 7) – (– 4) = (– 7) + (+ 4) = – 3

a. Števila 0; 5; 2,4 in 100 000 so pozitivna števila: števili 4,3 in –4, 3 sta nasprotni števili, –28,761 in –8 sta negativni števili.

(– 11) + (+ 28) – (– 8) = (– 11) + (+ 28) + (+ 8) = = (– 11) + (+ 36) = + 25

1

2

H

– 8 – 6 – 4 – 2 0

M

a. 4 > 0 č. – 4 < 5 f. – 6 < – 5

O 2

T

A

6

8

4

b. 0 > – 5 d. 4 > – 5 g. – 4,2 > – 4,3

3

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

(+ 8) + (– 14) = – 6 (– 13) – (– 8) = (– 13) + (+ 8) = – 5

c. 4 < 5 e. – 4 > – 5

2

(– 5) + (– 9) = – 14

3

4

5

(+ 19) – (– 6) = (+ 19) + (+ 6) = + 25 3

(– 2) + (+ 5) + (+ 3) + (– 7) =

6

= (+ 5) + (+ 3) + (– 2) + (– 7) =

O

– 4,3 – 4,2 4

2

= (+ 8) + (– 9) = =–1

D

– 0,4

C

O

A

– 0,1 0 0,1

B

(+ 6) + (– 5) + (– 7) + (+ 3) + (– 9) =

0,5

= (+ 6) + (+ 3) + (– 9) + (– 7) + (– 5) =

a. Abscise točk so: A(0,1) ; B(0,5) ; C(– 0,1) in D(– 0,4).

= (+ 9) + (– 9) + (– 12) = + 9 in – 9 sta nasprotni

b. Točki A in C sta simetrični glede na točko O.

= 0 + (– 12) =

c. To sta točki A in C.

= – 12

5

a. 3 < 3,2 < 4

4

b. – 2 < – 1,5 < – 1

c. 3 < 3,14 < 4

č. – 3 < – 2,345 < – 2

d. – 1 > – 1,414 > – 2

e. 11 > 10,456 > 10.

6

= (– 3) + (+ 5) + (+ 6) + (– 3) + (– 1) = = (– 3) + (– 3) + (+ 6) + (+ 5) + (– 1) = = 0 + (+ 4) =

a. 4,0 ; 4,1 in 4,2 < 4,3

=+4 (– 11) + (– 25) + (– 3 000) + (+ 11) – (– 25) =

c. 34,19 ; 34,18 ; 34,17 in 34,16 > 34,15

= (– 11) + (– 25) + (– 3 000) + (+ 11) + (+ 25) =

č. – 7,413 ; – 7,412 ; – 7,411 in – 7,410 > – 7,414

= (– 11) + (+ 11) + (– 25) + (+ 25) + (– 3 000) =

a. 44,7 > 6,33 > ­– 7,44 > – 33,6

= 0 + 0 + (– 3 000) =

b. – 44,7 < – 6,33 < 7,44 < 33,6 8

(– 3) – (– 5) + (+ 6) + (– 3) – (+ 1) =

b. – 1,6 < – 1,5 ; – 1,4 ; – 1,3 ; – 1,2 ; – 1,1 in – 1,0

7

števili, njuna vsota je 0.

= – 3 000 (– 3) + (+ 42) – (– 10) + (– 42) + (– 12) =

Za brihtne glavce

= (– 3) + (+ 42) + (+ 10) + (– 42) + (– 12) =

a. Število 3 j večje ali enako 3 in imanjše ali enako 3.

= (+ 42) + (– 42) + (+ 10) + (– 3) + (– 12) =

b. Število –5.

= 0 + (+ 10) + (– 15) =

c. Števili –2 in –1.

=–5

č. – 34,2 je nasprotno število nasprotnega števila – 34,2.

(– 6,3) + (+ 21,2) + (+ 31,4) + (+ 106,3) – (+ 121,2) =

2 S eštevanje in odštevanje realnih števil

1

= (– 6,3) + (+ 21,2) + (+ 31,4) + (+ 106,3) + (– 121,2) = = (+ 21,2) + (– 121,2) + (+ 106,3) + (– 6,3) + (+ 31,4) =

str. 6

= – 100 + (+ 100) + (+ 31,4) =

= 31,4

(+ 5) + (– 3,1) = + 1,9 (+ 12) + (– 15,3) = – 3,3 (– 8) + (– 3,1) = – 11,1

5 (+ 3) + (– 5) – (– 2) – (+ 7) =

(– 6) + (+ 4,5) = – 1,5

(– 5,2) + (+ 4) + (– 8) + (+ 5) = = (+ 4) + (+ 5) + (– 5,2) + (– 8) = = (+ 9) + (– 13,2) = – 4,2

= (+ 3) + (– 5) + (+ 2) + (– 7) = = 3 – 5 + 2 – 7 = =5–5–7= =–7

2 BG MAT 8_resitve.indd 2

11.8.3 11:45

8.

razred

MAT

AJ SKL E N

Zbirka nalog z rešitvami za 8. razred osnovne šole

O

U

Zbirka nalog z rešitvami za 8. razred osnovne šole

Z lahkoto do znanja matematike!

Zbirka nalog vsebuje: • 173 nalog v 28 poglavjih; • kratki in pregledni povzetki snovi z zgledi; • izvirne naloge treh zahtevnostnih stopenj; • 2 preizkusa znanja; • formule in preglednice; • rešitve v sredini zvezka.

Gradivo je preizkušeno v razredu.

6.

7.

9.

razred

razred

razred

MAT

MAT

MAT

• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.

Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola

Z lahkoto do znanja

• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,

• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.

Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola

U

U

AJ SKL E N

• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje,

Zbirka nalog z rešitvami za 9. razred osnovne šole

AJ SKL E N

O

Z lahkoto do znanja

• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,

Zbirka nalog z rešitvami za 7. razred osnovne šole

O

O

U

Zbirka nalog z rešitvami za 6. razred osnovne šole

AJ SKL E N

Z lahkoto do znanja

AJ SKL E N

O

U

Na voljo tudi zbirke nalog za nižje in višje razrede!

Z lahkoto do znanja

• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,

• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.

Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola

•

•

• razumem tudi zahtevnejšo snov,

se dobro pripravim na preizkuse znanja, izboljšam ucni uspeh.

CENA 6,95 €

www.mladinska.com/sola

BG_MAT 8_oprema.indd 1

Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola 11.8.3 11:39