9.
razred
MAT
AJ SKL E N
Zbirka nalog z rešitvami za 9. razred osnovne šole
O
U
Zbirka nalog z rešitvami za 9. razred osnovne šole
Z lahkoto do znanja matematike! Zbirka nalog vsebuje: • 162 nalog v 32 poglavjih; • kratki in pregledni povzetki snovi z zgledi; • izvirne naloge treh zahtevnostnih stopenj; • 3 preizkusi znanj; • formule in preglednice; • rešitve v sredini zvezka. Gradivo je preizkušeno v razredu.
6.
7.
8.
razred
razred
razred
MAT
MAT
MAT
• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.
Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola
Z lahkoto do znanja
• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,
• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.
Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola
U
U
AJ SKL E N
• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje,
Zbirka nalog z rešitvami za 8. razred osnovne šole
AJ SKL E N
O
Z lahkoto do znanja
• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,
Zbirka nalog z rešitvami za 7. razred osnovne šole
O
O
U
Zbirka nalog z rešitvami za 6. razred osnovne šole
AJ SKL E N
Z lahkoto do znanja
AJ SKL E N
O
U
Na voljo tudi zbirke nalog za nižje razrede!
Z lahkoto do znanja
• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,
• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.
Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola
•
•
• razumem tudi zahtevnejšo snov,
se dobro pripravim na preizkuse znanja, izboljšam ucni uspeh.
CENA 6,95 €
www.mladinska.com/sola
BG_MAT 9_oprema.indd 1
Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola 11.8.3 13:08
SLO-PZ_MAT_9_001-019-PETER_OK.indd 2
8/3/11 2:19 PM
KA Z AL O St e v i l a i n r a Cu n a n j e 1.
Poenostavljanje izrazov . ............................................................ 4
2 . Razstavljanje
izrazov . .................................................................. 6 enačba z eno neznanko ........................................... 8 4 . Razcepna enačba x2 = a, binom . ...........................................10 5 . Reševanje problemskih nalog . ..............................................12 6 . *Neenačbe ....................................................................................14 7 . *Sistem linearnih enačb ...........................................................16 ➜ Preverim svoje znanje..........................................................18 3 . Linearna
O b d e l ava p o d at k o v Zapis funkcij z izrazom . ............................................................20 Grafi funkcij . .................................................................................22 10. Premo sorazmerje kot funkcija ..............................................24 11. Linearna funkcija ........................................................................26 12. Funkcije in problemske naloge .............................................28 13. *Odstotki .......................................................................................30 14. Grafična predstavitev podatkov, frekvenca ......................32 15. Mediana, medčetrtinski razmik .............................................34 16. Verjetnost ......................................................................................36 17. Izpeljane merske enote ............................................................38 ➜ Preverim svoje znanje..........................................................40 8. 9.
Geometrija 18. Osnovni
geometrijski pojmi ...................................................42 za načrtovanje . ........................................................44 20. Srednjica trikotnika ....................................................................46 21. Koti v krogu . .................................................................................48 22. Talesov izrek .................................................................................50 23. Obrat Talesovega izreka ...........................................................52 24. Preseki ravnin z geometrijskimi telesi . ...............................54 25. Prizma .............................................................................................56 26. Valj . ..................................................................................................58 27. Piramida .........................................................................................60 28. Stožec . ............................................................................................62 29. Površina in prostornina prizme in valja ..............................64 30. Prostornina piramide in stožca ..............................................66 31. Podobnost in risanje v merilu ................................................68 32. Podobni liki in telesa .................................................................70 ➜ Preverim svoje znanje..........................................................72 19. Postopek
F o r m u l e ................................................................................74
R e s i t v e so na posebnem sklopu
na sredi knjige, ki ga lahko iztrgate.
SLO-PZ_MAT_9_001-019-PETER_OK.indd 3
8/3/11 2:19 PM
1
St e v i l a i n r a Cu n a n j e
Poenostavljanje izrazov P O MNIM Kako? Krčenje izrazov (združimo enake člene v izrazu) Odpravljanje oklepajev
Splošen postopek V izrazu seštejemo podobne člene spremenljivke (x, x2) in konstante.
Primer
3x + 4 + 5x + 9 = 3x2 + 5x2 + 4 + 9 2
2
8x2
13
= 8x + 13 2
-
Ravnamo se Verbe intransitif Pas de complément d’objet.
po 3(x – 5) = 3 ∙ x – 3 ∙ 5 = 3x – 15 Verbe transitif d’objet. distributivnem zakonu:Avec un complément (5x + 3)(2x – 4) k(a ± b) = k ∙ a ± k ∙ b = 5x ∙ 2x – 5x ∙ 4 + 3 ∙ 2x – 3 ∙ 4
- (a + b) (c + d) =
=a∙c+a∙d+b∙c+b∙d
Poenostavljanje binomskih izrazov - kvadrat vsote - kvadrat razlike - razlika kvadratov
Ravnamo se po naslednjih pravilih:
(a + b) = a + 2ab + b (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 2
2
2
= 10x2 – 20x + 6x – 12 = 10x2 – 14x – 12
- (x + 3) = x + 2 ∙ x ∙ 3 + 3 2
2
2
= x2 + 6x + 9 - (2x – 3) = (2x)2 – 2 ∙ 2x ∙ 3 + 32 = 4x2 – 12x + 9 - (2x + 1)(2x – 1) = (2x)2 – 12 = 4x2 – 1 2
VADIM Zgled 1. Odpravi oklepaje in skrči izraze. a. 4(2 – 3x) = 4 ∙
–4∙
Uporabi enakost k(a + b) = ka + kb, pri čemer je k = 4, a = 2 in b = 3x.
=
b. (5x – 4)2 = (
)2 – 2 ∙
∙
+
2
=
c. (3x + 1)2 = (
)2 + 2 ∙
∙
+
2
=
č.(4x + 2)(4x – 2) = ( d. (5x + 3)(2x – 1) =
)2 – (
)2 =
Uporabi enakost (a - b)2 = a2 – 2ab + b2, pri čemer je a = 5x in b = 4. Uporabi enakost (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Uporabi enakost (a + b)(a – b) = a2 – b2. Ravnaj se po distributivnem zakonu.
4 SLO-PZ_MAT_9_001-019-PETER_OK.indd 4
8/3/11 2:19 PM
Stevila in raCunanje
Va j e 2. Dopolni preglednico, tako da izraz poimenuješ in ga poenostaviš. Izraz
Vsota ali zmnožek
Poenostavljen izraz
x(3 – 2y)
Zmnožek
3x – 2xy
5(x – 4) (x + 3)(x – 4) + x(x – 1) x(x – 2) + 2 (x – 2)(x + 3) x2 – 16
3. Je res ali ni res?
Res je.
Ni res.
a. x – 2x = x
b. x2 – x = x
c. x + x = 2x
č. x – (5 – x) + 5 = 0
d. (1 – x)2 = (x – 1)2
e. x + 1 2 = x 2 + 1 2 4
(
)
4. Odpravi oklepaje in skrči izraze. a. (5 + 3y)2 =
b. ( (3x + 1)(x ‡ 4) + (2x ‡ 5)2 =
=
=
=
=
c. x + 1 2 = 3 =
=
=
=
(
)
č. (x + 3)(x ‡ 3) ‡ (2x + 4)(4 ‡ x) =
V primeru c in č odpravi vsak oklepaj posebej. V primeru d pazi na predznak.
Za brihtne glavce 5. Oglej si izraza: (4x + 5)(x – 2) – x(x + 4) in (3x – 10)(x + 1). Odpravi oklepaje in skrči izraza. Preveri, če sta izraza enaka.
Rešitve str. 1
SLO-PZ_MAT_9_001-019-PETER_OK.indd 5
5 8/3/11 2:19 PM
St e v i l a i n r a Cu n a n j e
2 Razstavljanje izrazov P O MNIM Faktorizirati ali razstaviti izraz pomeni spremeniti izraz, ki je vsota ali razlika členov, v zmnožek faktorjev. Kako? Izpostavljanje skupnega faktorja
Splošen postopek Ravnamo se po distributivnem zakonu:
Kvadrat vsote Kvadrat razlike Razlika kvadratov
Ravnamo se po naslednjih pravilih:
Primer
3x + 6 = 3 ∙ x + 3 ∙ 2 = 3(x + 2) 5(2x + 3) + (x + 2) (2x + 3) ka + kb = k(a + b) Verbe intransitif Verbe transitif = (2x + 3) [5 + (x + 2)] Pas de complémentka d’objet. Avec un complément d’objet. – kb = k(a – b) = (2x + 3) (x + 7)
∙ x + 4x + 4 = x + 2 ∙ x ∙ 2 + 2 2
2
a2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 – b2 = (a + b)(a – b)
2
+ 2 ∙ a ∙ b + b2
=(x + 2)2 (a + b)2
∙ 4x – 9 = (2x) – 3 2
2
2
a2
b2
= (2x – 3)(2x + 3) (a – b)(a + b) Opombe: ∙ Nekaterih izrazov ne moremo razstaviti. Tak primer je izraz x2 + 1. ∙ Pri razstavljanju moramo na koncu vedno dobiti zmnožek.
VADIM Zgled 1. Skrči izraze in odpravi oklepaje.
V primerih a in č se spomni na skupni faktor.
a. x2 + 16x = b. 4 – x2 = (
)2 – (
)2 = )2 + 2 ∙
c. x2 + 6x + 9 = (
∙
+
2
=
V primeru b ni skupnega faktorja. Gre za razliko kvadratov.
č. (4x + 2)(x + 6) – (4x + 2)(2 – 6x) = (4x + 2) [(
)–(
)] =
d. (5x + 3)2 – 16 = (5x + 3)2 – ( (
+
)(
–
)2
V primeru c ni skupnega faktorja. Gre za kvadrat vsote.
)=
6 SLO-PZ_MAT_9_001-019-PETER_OK.indd 6
8/3/11 2:19 PM
Stevila in raCunanje
Va j e 2. Dopolni izraze. 1. primer: a 2 + 2ab + b 2 =
2. primer: a 2 – 2ab + b 2 =
3. primer: a 2 – b 2 =
Po zgledu binomskih izrazov razstavi izraze v preglednici. Izraz
1., 2. ali 3. primer
a
Razstavljeni izrazi
b
x 2 + 8x + 16 36 – x 2 x 2 – 6x + 9 4x 2 – 25 25x 2 – 40x + 16 x 2 + 2x + 1
3. Razstavi izraze.
Pred razstavljanjem podčrtaj skupni faktor.
a. 2x – 7x = 2
b. (x – 4)2 + 2(x – 4) =
=
c. 12x – 6 = č. (1 – x)(x + 6) – (1 – x)(2x+ 8) =
=
d. 5x 2 – 3x 3 =
4. Je res ali ni res?
Res je.
Ni res.
a. Izraza x + 4 ne moremo razstaviti.
b. Izraza x 2 – 5 ne moremo razstaviti.
c. (5x + 3)(2x – 5) +1 je razstavljen izraz.
č. Če razstavimo izraz x 2 – x dobimo x(x – 1).
d. (1 – x) = (1 – x)(1 + x)
2
2
5. Razstavi izraze. a. (2x + 3)(x – 5) – (x – 5)2 =
(
)
b. x + 1 2 – 4 = 3 c. (x + 3)(x – 3) – (2x + 6)(4 – x) =
= =
Za brihtne glavce 6. Razstavi izraz 14x – x 2 – 49 + (9 + 4x2 + 12x).
=
V tretjem primeru poišči in izpostavi skupni faktor.
Ne odpravi oklepaja, ampak najprej faktorizraj po tri in tri člene skupaj.
Rešitve str. 1,
SLO-PZ_MAT_9_001-019-PETER_OK.indd 7
2
7 8/3/11 2:19 PM
St e v i l a i n r a Cu n a n j e
3 Linearna enačba z eno neznanko
P O MNIM Linearna enačba z eno neznanko je enakost dveh algebrskih izrazov s števili in črko, ki predstavlja neznano število. To črko imenujemo neznanka. Računanju neznanke v enačbi pravimo reševanje enačbe. Rešimo enačbo 3x + 4 = 5x – 8. Črka x je neznanka. Ker neznanka x nastopa le na prvo potenco, enačbo imenujemo linearna enačba. Verbe intransitif
Verbe transitif
3x – 5x + 4 = 5x Pas strani enačbe. To pomeni, da najprej na d’objet.zberemo na levi Avec un complément d’objet. – 5xde–complément 8 Neznanke
– 2x + 4 = – 8
obeh straneh enačbe odštejemo 5x.
– 2x + 4 – 4 = – 8 – 4 – 2x = – 12
Potem na obeh straneh odštejemo –4. Zdaj so neznanke na levi, števila pa na desni strani enačbe.
– 2x = – 12 –2 –2
Obe strani delimo z (–2) (koeficientom pred neznanko). Dobimo vrednost x in tako rešimo enačbo.
x=6
6 je rešitev enačbe.
VADIM Zgled 1. Pri reševanju enačb si zapomni sledeči pravili.
Prvo pravilo: Če na obeh straneh enačbe prištejemo ali odštejemo isto število, ima nova enačba enake rešitve. Drugo pravilo: Če obe strani enačbe pomnožimo oziroma delimo z enakim številom, ki je različno od 0, ima nova enačba enake rešitve.
Reši enačbe. 3 (x + 4) = 9 x+4=3
Pravilo 2: Delimo s 3.
x=–1
Pravilo 1: Odštejemo 4.
1_ Deliti s tri je enako kot množiti z 3. Odšteti 4 je enako kot prišteti - 4.
5x + 3 = 28
- 3x + 4 = - 11
5x = 25
– 3x = – 15
x=5
x=5
8 SLO-PZ_MAT_9_001-019-PETER_OK.indd 8
8/3/11 2:19 PM
^
2 Razstavljanje izrazov
1 Poenostavljanje izrazov 1
1
str. 4
c. x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2 · x · 3 + 32 = (x + 3)2
a. 4(2 – 3x) = 4 · 2 – 4 · 3x = 8 – 12x
č. (4x + 2)(x + 6) – (4x + 2)(2 – 6x) = (4x + 2)[(x + 6) – (2 – 6x)] = (4x + 2)[x + 6 – 2 + 6x] = (4x + 2)(7x + 4)
c. (3x + 1)2 = (3x)2 + 2 · 3x · 1 + 12 = 9x2 + 6x + 1 č. (4x + 2)(4x – 2) = (4x)2 – 22 = 16x2 – 4
d. (5x + 3)2 – 16 = (5x + 3)2 – 42 = [(5x + 3) + 4][(5x +3) – 4] = (5x + 7)(5x –1)
d. (5x + 3)(2x – 1) = 5x · 2x – 5x · 1 + 3 · 2x – 3 · 1 = 10x2 – 5x + 6x – 3 = 10x2 + x – 3
2
2
Vsota ali zmnožek
5(x – 4)
Zmnožek
5 · x – 5 · 4 = 5x – 20
(x + 3) (x – 4) + x(x – 1)
Vsota
x – 4x + 3x – 12 + x – x = 2x2 – 2x – 12
x(x – 2) + 2
Vsota
x2 – 2x + 2
(x – 2)(x + 3)
Zmnožek
x + 3x – 2x – 6 = x2 + x – 6
x2 – 16
Vsota (ali razlika)
Izraz je že poenostavljen.
Poenostavljen izraz
2
3. primer: a2 – b2 = (a + b)(a – b) Izraz
2
b. Ni res. Izraza x2 – x ne moremo poenostaviti, saj spremenljivk x in x2 ne moremo odšteti. c. Res je. x + x = 1x +1x = 2x
@#
4
36 – x2
3
6
x
x2 – 6x + 9
2
x
3
4x2 – 25
3
2x
5
25x2 – 40x + 16
2
5x
4
x2 + 2x + 1
1
x
1
x2 + 2 · x · 4 + 42 = (x + 4)2 62 – x2 = (6 – x)(6 + x) x2 – 2 · x · 3 + 32 = (x – 3)2 (2x)2 – 52 = (2x – 5)(2x + 5) (5x)2 – 2 · 5x · 4 + 42 = (5x – 4)2 x2 + 2 · x · 1 + 12 = (x + 1)2
a. 2x2 – 7x = 2x · x – 7 · x = x(2x – 7)
č. (1 – x)(x + 6) – (1 – x)(2x + 8) = (1 – x)[(x + 6) – (2x + 8)] = (1 – x)[x + 6 – 2x – 8] = (1 – x)(– x – 2)
@#
d. 5x2 – 3x3 = 5 · x2 – 3x · x2 = x2(5 – 3x) a. Res je. x2 + 4 = x2 + 22 ni binomski izraz in ne moremo izpostaviti skupnega faktorja. 4
b. Ni res. x2 – 5 = x2 – ( 5)2 = (x – 5)(x + 5)
č. (x + 3)(x – 3) – (2x + 4)(4 – x) = (x2 – 32) – (8x – 2x2 + 16 – 4x) = x2 – 9 – 8x + 2x2 – 16 + 4x = 3x2 – 4x – 25
c. Ni res. Razstavljen izraz mora biti zmnožek in ne vsota. č. Res je. x2 – x = x · x – x · 1 = x(x – 1) d. Ni res. (1 – x)2 = (1 – x)(1 – x) in (1 – x)(1 + x) = 1 – x2
Opomba: Izraz (x – 3)(x + 3) v prvem oklepaju poenostavimo s pomočjo binomske formule. Nato odpravimo drugi oklepaj v izrazu (2x + 4)(4 – x). Pozorni moramo biti na znak „minus“. 5
x
c. 12x – 6 = 6 · 2x – 6 · 1 = 6(2x – 1)
a. (5 + 3y)2 = 52 + 2 · 5 · 3y + (3y)2 = 25 + 30y + 9y2 b. x + 1 2 = x2 + 2 · x · 1 + 1 2 = x2 + 2 x + 1 3 3 3 3 9 c. (3x + 1)(x – 4) + (2x – 5)2 = (3x2 – 12x + x – 4) + (2x)2 – 2 · 2x · 5 + 52 = 3x2 – 11x – 4 + 4x2 – 20x + 25 = 7x2 – 31x + 21
#
1
Razstavljeni izraz
b. (x – 4)2 + 2(x – 4) = (x – 4)(x – 4) + 2(x – 4) = (x – 4) [(x – 4) + 2] = (x – 4)(x – 2)
d. Res je. (1 – x)2 = 1 – 2x + x2 et (x – 1)2 = x2 –2x + 1 e. Ni res. x + 1 2 = x2 + 2 · x · 1 + 1 2 = x2 + x + 1 2 2 2 4
@
b
x2 + 8x + 16
3
č. Ni res. x – (5 – x) + 5 = x – /5 + x + /5 = 2x (če x ≠ 0)
4
Primer a
2
a. Ni res. x – 2x = 1x – 2x = – 1x = –x
#
1. primer: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
2. primer: a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Izraz
@
a. x2 + 16x = x · x + x · 16 = x (x + 16)
b. 4 – x2 = 22 – x2 = (2 – x)(2 + x)
b. (5x – 4)2 = (5x)2 – 2 · 5x · 4 + 42 = 25x2 – 40x + 16
3
str. 6
^
ST E V I L A I N R A C U N A N J E
Resitve
Resitve
5
a. (2x + 3)(x – 5) – (x – 5)2
= (2x + 3)(x – 5) — (x – 5)(x – 5) = (x – 5)[(2x + 3) – (x –5)] = (x – 5)(2x + 3 – x + 5) = (x – 5)(x + 8)
Za brihtne glavce
@
#
@ # E@ # YE@ # @ #@ #
# Y @
b. x + 1 2 – 4 = x + 1 2 – 22 = x + 1 – 2 x + 1 + 2 = x + 3 3 3 3 1 – 6 x+ 1 + 6 = x– 5 x+ 7 3 3 3 3 3 3
Poenostavimo izraza in ju primerjamo. (4x + 5) (x – 2) – x (x + 4) = 4x2 – 8x + 5x – 10 – x2 – 4x = 3x2 – 7x – 10.
#@
c. (x + 3)(x – 3) – (2x + 6)(4 – x)
(3x – 10) (x + 1) = 3x2 – 10x + 3x – 10 = 3x2 – 7x – 10.
Opomba: Izraz na prvi pogled ni binomski izraz in ne moremo izpostaviti skupnega faktorja, toda 2x + 6 = 2 · x + 2 · 3 = 2 (x + 3).
1 BG MAT 9_resitve.indd 1
3.8.11 14:12
9.
razred
MAT
AJ SKL E N
Zbirka nalog z rešitvami za 9. razred osnovne šole
O
U
Zbirka nalog z rešitvami za 9. razred osnovne šole
Z lahkoto do znanja matematike! Zbirka nalog vsebuje: • 162 nalog v 32 poglavjih; • kratki in pregledni povzetki snovi z zgledi; • izvirne naloge treh zahtevnostnih stopenj; • 3 preizkusi znanj; • formule in preglednice; • rešitve v sredini zvezka. Gradivo je preizkušeno v razredu.
6.
7.
8.
razred
razred
razred
MAT
MAT
MAT
• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.
Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola
Z lahkoto do znanja
• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,
• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.
Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola
U
U
AJ SKL E N
• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje,
Zbirka nalog z rešitvami za 8. razred osnovne šole
AJ SKL E N
O
Z lahkoto do znanja
• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,
Zbirka nalog z rešitvami za 7. razred osnovne šole
O
O
U
Zbirka nalog z rešitvami za 6. razred osnovne šole
AJ SKL E N
Z lahkoto do znanja
AJ SKL E N
O
U
Na voljo tudi zbirke nalog za nižje razrede!
Z lahkoto do znanja
• Vadim, ponavljam in utrjujem znanje, • razumem tudi zahtevnejšo snov,
• se dobro pripravim na preizkuse znanja, • izboljšam ucni uspeh.
Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola
•
•
• razumem tudi zahtevnejšo snov,
se dobro pripravim na preizkuse znanja, izboljšam ucni uspeh.
CENA 6,95 €
www.mladinska.com/sola
BG_MAT 9_oprema.indd 1
Oglej si tudi: www.mladinska.com/sola 11.8.3 13:08