Autovalori ed autovettori R. Notari
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1. Calcolo degli autovalori Teorema 1 Sia V uno spazio vettoriale di di→ mensione n sul campo K e siano B = ( v 1, . . . , → → → v n) e C = ( w 1, . . . , w n) due sue basi. Sia f : V → V un endomorfismo. Allora det(MB,B (f ) − tI) = det(MC,C (f ) − tI). Teorema 2 Sia V uno spazio vettoriale di → dimensione n sul campo K e sia B = ( v 1 → , . . . , v n) una sua base. Sia f : V → V un endomorfismo. Gli autovalori di f sono tutte e sole le radici in K dell’ equazione caratteristica di f det(MB,B (f ) − tI) = 0.
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2. Propriet` a degli autospazi Teorema 3 Sia V uno spazio vettoriale di → dimensione n sul campo K e sia B = ( v 1 → , . . . , v n) una sua base. Sia f : V → V un endomorfismo, e sia λ ∈ K un suo autovalore. Allora V (λ) ` e un sottospazio e la sua dimensione verifica le disuguaglianze 1 ≤ dim V (λ) ≤ m(λ) dove m(λ) ` e la molteplicit` a di λ come radice dell’ equazione caratteristica di f. Teorema 4 Sia V uno spazio vettoriale di → dimensione n sul campo K e sia B = ( v 1 → , . . . , v n) una sua base. Sia f : V → V un endomorfismo, e siano λ1, . . . , λt autovalori distinti di f. Allora il sottospazio V (λ1) + · · · + V (λt) ` e somma diretta di V (λ1), . . . , V (λt).
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3. Endomorfismi semplici Proposizione 5 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K, sia f : V → V → → un endomorfismo, e sia C = ( u 1, . . . , u n) una base di V formata da autovettori di f. Allora MC,C (f ) ` e una matrice diagonale avente sulla diagonale, nell’ ordine, gli autovalori associati → → ad u 1, . . . , u n . Teorema 6 Sia V uno spazio vettoriale di → dimensione n sul campo K e sia B = ( v 1 → , . . . , v n) una sua base. Sia f : V → V un endomorfismo. f ` e un endomorfismo semplice, ovvero MB,B (f ) ` e una matrice diagonalizzabile, se, e solo se, le seguenti condizioni sono tutte verificate 1. le soluzioni dell’ equazione caratteristica sono tutte in K; 2. per ogni autovalore λ di f si ha dim V (λ) = m(λ). 4
4. Propriet` a del polinomio caratteristico Proposizione 7 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia B una sua base. Sia f : V → V un endomorfismo, e sia A = MB,B (f ). Detto det(A − tI) = (−1)ntn + an−1tn−1 + · · · + a0 il polinomio caratteristico di f, si hanno le uguaglianze a0 = det(A)
an−1 = (−1)n−1tr(A)
dove tr(A) ` e la somma degli elementi sulla diagonale principale ed ` e detta traccia di A. Teorema 8 (Hamilton-Cayley) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia B una sua base. Sia f : V → V un endomorfismo, e sia A = MB,B (f ). Detto det(A − tI) = (−1)ntn + an−1tn−1 + · · · + a0 il polinomio caratteristico di f, si ha (−1)nAn + an−1An−1 + · · · + a1A + a0I = 0. Corollario 9 Sia A una matrice quadrata invertibile. La matrice A−1 ` e esprimibile come un polinomio in A. 5