campi by Andrea Di Giovanni

Campi conservativi e forme esatte Esercizi svolti

1) Dire se la forma differenziale ω=

2xy 2 2x2 y dx + dy (1 + x2 y 2 )2 (1 + x2 y 2 )2

`e esatta. 2) Individuare in quali regioni sono esatte le seguenti forme differenziali e calcolarne le primitive: 1 dx + x2 dy, x r r 1 y 1 x dx + 2y + dy. 2 x 2 y

ω1 = ω2 =

2xy −

3) Individuare le regioni in cui la forma differenziale seguente `e chiusa: ω=

2x + y x dx + dy 1 + x2 + xy 1 + x2 + xy

4) Si dica se i campi vettoriali ~F(x, y, z) = x2 i + y j + z k; ~F(x, y, z) = (x − xe z ) i − y j + e z k sono conservativi in R3 . Si determini, se esiste, un potenziale. 5) Stabilire se il campo vettoriale ~F(x, y, z) =

x2 e y e y xy − sin z, − , − x cos z 2 z z2

`e conservativo in D = {(x, y, z) ∈ R3 | z > 0} e determinare i potenziali.

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~r 6) Sia f : (0, +∞) → R continua e ~F(~r) = f (r) · , dove ~r(x, y, z) = (x, y, z), r = k~rk. Mostrare r che ~F `e conservativo su R3 \ {(0, 0, 0)}. 7) Dire per quali valori dei parametri a e b `e conservativo il campo vettoriale ay 2 i + bxy j e calcolarne i potenziali. 8) Provare che il campo vettoriale −

x y i+ 2 j x2 + y 2 x + y2

non ammette potenziale su R2 . Individuare regioni in cui i potenziali esistono e calcolarli. 9) Individuare funzioni φ(x, y) di classe C 1 in R2 in modo tale che le forme differenziali seguenti siano esatte su R2 : x2 ydx + φ(x, y)dy,

xy 2 dx + yφ(x, y)dy,

(sin x + sin y)dx + cos yφ(x, y)dy.

10) Calcolare le primitive delle forme differenziali seguenti: yzdx + xzdy + xydz, 1 1 1 dx − dy + dz, x y z x y z dx + 2 dy + 2 dz. 2 2 2 2 2 x +y +z x +y +z x + y2 + z2 11) Calcolare l’integrale

R γ

F · dP , dove F (x, y) = (|x2 + y 2 − 16|, −2xy) e γ `e il grafico della

funzione f (x) =

  sin x

se 0 ≤ x ≤ π



se π ≤ x ≤ 5

percorso nel verso delle x crescenti. 12) Calcolare 1 e dx + xe − dy, y γ

dove γ(t) = (te t , log(t2 + 2)), t ∈ [0, 1]. 13) Data la forma differenziale ω=− calcolare

R γR

y+1 x dx + 2 dy 2 + (y − 1) x + (y − 1)2

ω, dove γR `e la circonferenza di centro l’origine e raggio R 6= 1, precorsa una

volta in senso antiorario.

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SOLUZIONI 1) La forma differenziale ω = a(x, y)dx + b(x, y)dy 2xy 2 2x2 y = dx + dy (1 + x2 y 2 )2 (1 + x2 y 2 )2 ha coefficienti C 1 (R2 ) (di pi` u, C ∞ (R2 )). Siccome R2 è stellato, quindi semplicemente connesso, ∂b ∂a ∂a = in R2 , allora è anche esatta. Calcoliamo e confrontiamo e se ω è chiusa, cioè se ∂y ∂x ∂y ∂b . Poiché si ottiene ∂x 4xy(1 − x2 y 2 ) ∂b ∂a (x, y) = = (x, y), 2 2 3 ∂y (1 + x y ) ∂x

∀(x, y) ∈ R2

possiamo concludere che ω `e chiusa, e quindi, per quanto detto sopra, esatta. 2) Il dominio di ω1 = a1 (x, y)dx + b1 (x, y)dy `e l’aperto Ω = {(x, y) ∈ R2 | x 6= 0}, ovvero il piano x, y privato dell’asse y: si tratta di un aperto non connesso. Calcolando ∂a1 ∂b1 (x, y) = 2x = (x, y), ∂y ∂x

∀(x, y) ∈ Ω,

otteniamo che ω1 `e chiusa. Ne segue che ω1 `e anche esatta in ciascuna componente connessa di Ω, ovvero negli aperti A = {(x, y) ∈ R2 | x < 0}, B = {(x, y) ∈ R2 | x > 0} corrispondenti ai semipiani determinati dall’asse y, siccome A e B sono semplicemente connessi. Per calcolare una primitiva f di ω1 cerchiamo di determinare una funzione f1 (x, y) tale ∂f1 ∂f1 che = a1 , = b1 , ovvero ∂x ∂y  ∂f1 1     ∂x (x, y) = 2xy − x  ∂f1   (x, y) = x2 

∂y

Integrando la seconda equazione rispetto ad y otteniamo f1 (x, y) = x2 y + c(x), dove c(x) `e una funzione da determinare sostituendo l’espressione cos`ı trovata nella prima equazione. Abbiamo 2xy + c0 (x) = 2xy −

1 , x

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da cui segue c(x) = − log |x| + k. Possiamo quindi concludere che la funzione f1 (x, y) = x2 y − log |x| `e una primitiva della forma differenziale ω1 in Ω. Tutte le primitive sono date dalla formula f (x, y) =

2 x y − log x + k1 ,

per x > 0 x2 y − log(−x) + k2 , per x < 0,

con k1 , k2 ∈ R. Studiamo ora la forma differenziale ω2 =

1 2

y 1 dx + 2y + x 2

x dy y

= a2 (x, y)dx + b2 (x, y)dy che ha per dominio l’insieme Ω = {(x, y) ∈ R2 | (y/x) > 0}, ovvero l’unione del primo e terzo quadrante, esclusi gli assi coordinati. Osserviamo inoltre che ω2 ha coefficienti C 1 nei punti ∂a2 ∂b2 e ; abbiamo del suo dominio. In tali punti confrontiamo ∂y ∂x ∂a2 1 ∂b2 (x, y) = √ = (x, y). ∂y 4 xy ∂x Risulta che ω2 è chiusa e quindi anche esatta separatamente nei punti interni del primo e terzo quadrante, perché ciascun quadrante aperto è semplicemente connesso. Per calcolare una primitiva f2 , imponiamo che  r ∂f2 1 y     ∂x (x, y) = 2 x r  ∂f2 1 x   (x, y) = 2y + 

∂y

Integriamo la prima equazione rispetto ad x. Se x > 0 e y > 0 1 2

Z r

y dx = x = =

1√ y 2

dx √ x

√ √ y x + c(y) √

xy + c(y),

dove c(y) `e una funzione da determinare. Sostituendo nella seconda equazione otteniamo x 1 √ + c0 (y) = 2y + 2 xy 2

x y

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da cui c0 (y) = 2y e quindi c(y) = y 2 + k. Concludiamo che in A = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0} le primitive di ω2 hanno la forma f2 (x, y) =

√

xy + y 2 + k,

con k ∈ R. Se invece x < 0 e y < 0, ripetendo l’integrazione della prima equazione del sistema rispetto ad x, si ha 1 2

Z r

y dx 1√ −y √ dx = x 2 √ √ −x = − −y −x + d(y) √ = − xy + d(y), Z

dove d(y) `e la funzione da determinare. Sostituendo nella seconda equazione si ha x 1 − √ + d0 (y) = 2y + 2 xy 2

x y

da cui d0 (y) = 2y e d(y) = y 2 + h. Pertanto in B = {(x, y) ∈ R2 | x < 0, y < 0} una primitiva di ω2 `e √ g2 (x, y) = − xy + y 2 + h, con h ∈ R. Complessivamente, le funzioni √

f (x, y) =

xy + y 2 + c1 , per x > 0, y > 0 √ , − xy + y 2 + c2 , per x < 0, y < 0

sono le primitive di ω2 in tutto Ω, con c1 , c2 ∈ R. 3) Scriviamo ω = a(x, y)dx + b(x, y)dy 2x + y x = dx + dy. 2 1 + x + xy 1 + x2 + xy Il dominio di ω `e l’insieme Ω = {(x, y) ∈ R2 | 1 + x2 + xy 6= 0}, ovvero il piano R2 meno l’iperbole di equazione 1 + x2 + xy = 0. Si verifica facilmente che ∂a 1 − x2 ∂b (x, y) = (x, y), = 2 2 ∂y (1 + x + xy) ∂x pertanto ω `e chiusa in Ω.

∀(x, y) ∈ Ω;

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a) Si ha

∂ rot(~F) = ∂x

j ∂ ∂y

∂ ∂z

= 0.

Siccome ~F `e irrotazionale sull’insieme semplicemente connesso R3 , ~F risulta conservativo. Un potenziale U (x, y, z) `e dato da Z

U (x0 , y0 , z0 ) =

x2 dx + ydy + zdz,

dove γ = γ1 + γ2 + γ3 `e la curva in figura:

(x0 , y0 , z0 )

γ3

(0, 0, 0)

y γ1 (x0 , 0, 0)

(x0 , y0 , 0) γ2

Quindi Z x0

U (x0 , y0 , z0 ) =

Z y0

t dt + tdt + 0 1 3 1 2 1 2 x + y + z 3 0 2 0 2 0 0

Z z0

tdt 0

da cui 1 1 1 U (x, y, z) = x3 + y 2 + z 2 . 3 2 2 b) Siccome

∂ ~ rot(F) =

∂x

x − xe z

~F non `e conservativo.

j ∂ ∂y

−y

∂ ∂z ez

= −xe z j,

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5) Siccome ∂F1 ∂F2 (x, y, z) = x = (x, y, z) ∂y ∂x ∂F3 ∂F1 (x, y, z) = − cos z = (x, y, z) ∂z ∂x ∂F2 ey ∂F3 (x, y, z) = 2 = (x, y, z) ∂z z ∂y e D `e semplicemente connesso, ~F `e conservativo su D. Dalle equazioni  ∂ϕ    (x, y, z) =     ∂x       

xy − sin z

∂ϕ (x, y, z) = ∂y ∂ϕ (x, y, z) = ∂z

ricaviamo Z

ϕ(x, y, z) = e quindi

da cui

(xy − sin z)dx =

x2 e y − 2 z y e − x cos z z2 x2 y − x sin z + A(x, y), 2

∂ϕ x2 ∂A x2 e y (x, y, z) = + (x, y) = − , ∂y 2 ∂y 2 z ey ∂A (x, y) = − ∂y z

e ϕ(x, y, z) =

⇒ A(x, y) = −

ey + B(z) z

x2 y ey − x sin z − + B(z). 2 z

Derivando rispetto a z ed uguagliando ∂ϕ ey ey (x, y, z) = −x cos z + 2 + B 0 (z) = 2 − x cos z, ∂z z z da cui B 0 (z) = 0 ⇒ B(z) = c. Quindi ϕ(x, y, z) =

ey x2 y − x sin z − + c. 2 z

~r 6) Sia U (t) una primitiva di f (t) su (0, +∞). Allora ∇U (r) = f (r) · . r (~F si dice campo centrale simmetrico. Caso particolare: campo newtoniano f (r) = − rk2 , k > 0, U (r) = kr ).

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7) Il campo ~F = ay 2 i + bxy j ha componenti C 1 (R2 ). Pertanto, affinch´e sia conservativo in R2 `e sufficiente provare che sia irrotazionale nel piano, ovvero che si abbia ∂ ∂ (ay 2 ) = (bxy), ∂y ∂x

∀(x, y) ∈ R2 ,

cio`e 2ay = by. Ci` o avviene per b = 2a. Per calcolare un potenziale U , risolviamo il sistema  ∂U   (x, y) =    ∂x

ay 2

  ∂U   (x, y) = 2ay. 

∂y

Dalla prima equazione otteniamo U (x, y) = ay 2 x + c(y) con c(y) funzione da determinare. Sostituendo nella seconda equazione si ha 2ayx + c0 (y) = 2axy, da cui c0 (y) = 0 e c(y) = c0 , con c0 ∈ R. In conclusione i potenziali del campo ~F sono le funzioni U (x, y) = axy 2 + c0 ,

c0 ∈ R.

8) Il campo −

y x i+ 2 j 2 +y x + y2

non ammette potenziale su R2 in quanto definito in Ω = R2 \{(0, 0)}. Poiché ~F è irrotazionale, cioè ∂ y − 2 ∂y x + y2

2xy ∂ = 2 = 2 2 (x + y ) ∂x

x , 2 x + y2

allora esso ammette potenziale in ogni aperto semplicemente connesso A ⊂ Ω. Per calcolare un potenziale U , ad esempio in A = {(x, y) ∈ R2 | y > 0}, imponiamo che  ∂U   (x, y) =    ∂x

−

  ∂U    (x, y) =

x x2 + y 2

∂y

y + y2 ∀(x, y) ∈ A.

Dalla prima equazione ricaviamo U (x, y) = −y

dx x = arctan x2 + y 2 y

+ c(y)

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con c(y) funzione da determinare. Sostituendo nella seconda equazione rimane c0 (y) = 0 ovvero c(y) = c0 , con c0 ∈ R. In conclusione x y

U (x, y) = − arctan

+ c0 ,

c0 ∈ R

esprime i potenziali di ~F definiti in A 9) Per individuare φ(x, y) in modo tale che ω1 = x2 ydx + φ(x, y)dy sia esatta su R2 imponiamo che ∂ ∂ 2 (x y) = φ(x, y), ∂y ∂x ovvero

∂φ (x, y) = x2 ∂x x3 + ϕ(y), φ(x, y) = 3

dove ϕ(y) `e una funzione arbitraria in C 1 (R). Consideriamo ora il caso di ω2 = xy 2 dx + yφ(x, y)dy e imponiamo che ∂ ∂ (xy 2 ) = yφ(x, y), ∂y ∂x cio`e 2xy = y

∂φ (x, y). ∂x

Segue che ∂φ (x, y) = 2x ∂x ∂φ ∂φ se y = 6 0. Essendo (x, y) continua, deve essere (x, y) = 2x ∀(x, y) ∈ R2 , da cui ∂x ∂x φ(x, y) = x2 + ϕ(y) con ϕ(y) funzione arbitraria in C 1 (R).

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Infine, per ω3 = (sin x + sin y)dx + (cos y)φ(x, y)dy, imponendo che ∂ ∂ (sin x + sin y) = (cos y)φ(x, y), ∂y ∂x si ha cos y = cos y

∂φ (x, y) ∂x

e quindi ∂φ (x, y) = 1 ∂x φ(x, y) = x + ϕ(y), con ϕ(y) funzione arbitraria. 10)

a) Consideriamo la forma ω1 = yzdx + xzdy + xydz. Si ha che

∂(yz) ∂(xz) =z= ∂y ∂x ∂(xy) ∂(yz) =y= ∂z ∂x ∂(xz) ∂(xy) =x= ∂z ∂y

∀(x, y, z) ∈ R3 ,

e quindi ω1 è chiusa, ed i suo dominio è tutto R3 , che è semplicemente connesso. Quindi ω1 è esatta. Per calcolare una primitiva ϕ(x, y, z) partiamo dalla condizione ∂ϕ (x, y, z) = yz, ∂x da cui, integrando, ϕ(x, y, z) = xyz + A(y, z). Derivando rispetto ad y otteniamo ∂ϕ ∂A (x, y, z) = xz + (y, z) = xz, ∂y ∂y e quindi A(y, z) = B(z), essendo nulla la sua derivata parziale rispetto ad y. Analogamente ∂ϕ = xy + B 0 (z) = xy, ∂z da cui B(z) = c0 , costante. In conclusione le primitive di ω1 sono tutte e sole della forma ϕ(x, y, z) = xyz + c0 ,

c0 ∈ R.

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b) La forma ω2 = a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz 1 1 1 = dx − dy + dz, x y z è definita su Ω = {(x, y, z) ∈ R3 | x 6= 0, y 6= 0, z 6= 0}. Inoltre in Ω si ha ∂a ∂b =0= ∂y ∂x ∂a ∂c =0= ∂z ∂x ∂b ∂c =0= ∂z ∂y e dunque ω2 è chiusa in Ω. Dato un qualsiasi aperto semplicemente connesso A ⊂ Ω, ω2 è esatta in A. In particolare si può considerare come A uno qualsiasi degli ottanti aperti di R3 . Per calcolare una primitiva ϕ in A consideriamo le equazioni  ∂ϕ     ∂x   ∂ϕ  ∂y      ∂ϕ

∂z

1 x 1 = − y 1 = . z =

Integrando la prima otteniamo 1 dx x = log |x| + A(y, z). Z

ϕ(x, y, z) =

Derivando rispetto ad y e tenendo conto della seconda equazione si ha ∂ϕ ∂A 1 (x, y, z) = (y, z) = − , ∂y ∂y y da cui A(y, z) = − log |y| + B(z). Analogamente, derivando rispetto a z e tenendo conto della terza equazione, ∂ϕ ∂A 1 (x, y, z) = (y, z) = B 0 (z) = . ∂z ∂z z Quindi B(z) = log |z| + c0 e concludiamo che le primitive di ω2 in A sono della forma ϕ(x, y, z) = log |x| − log |y| + log |z| + c0

c0 ∈ R.

c) La forma ω3 = a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz x y z = dx + 2 dy + 2 dz x2 + y 2 + z 2 x + y2 + z2 x + y2 + z2

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è definita su Ω3 = R3 \ {(0, 0, 0)}, dove si ha 2xy ∂b ∂a (x, y, z) = − 2 = (x, y, z) ∂y (x + y 2 + z 2 )2 ∂x ∂a ∂c 2xz = (x, y, z) = − 2 (x, y, z) 2 2 2 ∂z (x + y + z ) ∂x ∂b ∂c 2yz = (x, y, z) = − 2 (x, y, z). 2 2 2 ∂z (x + y + z ) ∂y Dunque ω3 è chiusa su Ω3 , che è semplicemente connesso, e quindi ω3 è esatta. Dalle equazioni  ∂ϕ   (x, y, z) =    ∂x  

∂ϕ

(x, y, z) =

 ∂y    ∂ϕ    (x, y, z) =

∂z

ricaviamo

ϕ(x, y, z) = =

x + y2 + z2 y x2 + y 2 + z 2 z x2 + y 2 + z 2 x2

x dx + y2 + z2

1 log(x2 + y 2 + z 2 ) + A(y, z). 2

Derivando rispetto ad y e confrontando con la seconda equazione ∂ϕ y ∂A y (x, y, z) = 2 + (y, z) = 2 , 2 2 ∂y x +y +z ∂y x + y2 + z2 da cui ∂A =0 ∂y

⇒ A(y, z) = B(z).

Analogamente, derivando rispetto a z z z ∂ϕ (x, y, z) = 2 + B 0 (z) = 2 , 2 2 ∂z x +y +z x + y2 + z2 e quindi B 0 (z) = 0

⇒ B(z) = c0 .

Concludiamo che le primitive di ω3 sono ϕ(x, y, z) =

1 log(x2 + y 2 + z 2 ) + c0 2

c0 ∈ R.

11) Si ha ~F(x, y) =

 2 2  (16 − x − y , −2xy) 

(x2 + y 2 − 16, −2xy)

se x2 + y 2 ≤ 16 se x2 + y 2 > 16,

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e la curva γ si pu` o scrivere come unione delle due curve t ∈ [0, π], t ∈ [π, 5].

γ1 (t) = (t, sin t), γ2 (t) = (t, 0),

Osserviamo che ~F è conservativo in A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 16} e γ1 è contenuta R R interamente in A. Dunque γ1 ~F = γ3 ~F, dove γ3 è qualsiasi altra curva contenuta in A ed avente gli stessi estremi di γ1 . In particolare possiamo scegliere come γ3 la curva t ∈ [0, π]

γ3 (t) = (t, 0),

γ1 π

γ3

γ2 5

Da quanto visto sopra e dall’uguaglianza γ20 (t) = γ30 (t) = (1, 0) risulta ~ γ F · dP

= Zγ1

= Zγ3π

= Z05

= Z04

~F · dP + ~F · dP +

Z Zγ2

~F · dP ~F · dP

γ2

|16 − t2 |dt +

Z 5

|16 − t2 |dt

π 2

|16 − t |dt Z 5

(16 − t )dt + (t2 − 16)dt 4 64 125 − 64 + − 16 = 64 − 3 3 = 47, =

12) La forma integranda `e esatta in Ω = {(x, y) ∈ R2 | y > 0}, con primitiva ϕ(x, y) = xe y −log y.

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Inoltre il sostegno della curva γ `e contenuto in Ω, perci`o 1 dy = ϕ(γ(1)) − ϕ(γ(0)) e dx + xe − y γ = ϕ(e, log 3) − ϕ(0, log 2) = 3e − log(log 3) + log(log 2) log 2 = 3e + log log 3

13) La forma ω `e chiusa in R2 \ {(0, 1)}. Se 0 < R < 1,

R γR

ω = 0 perch´e ω `e esatta sull’aperto

semplicemente connesso {(x, y) ∈ R | y < 1}. Se R > 1, si osservi che γR `e omotopa alla circonferenza γ di centro (0, 1) e raggio 1, percorsa una volta in verso antiorario; γ(t) = (cos t, 1 + sin t),

t ∈ [0, 2π].

Pertanto Z 2π

dove γ(t) = (cos t, 1 + sin t), t ∈ [0, 2π].

dt = 2π

ω=

ω= γR