Campi conservativi e forme esatte Esercizi svolti
1) Dire se la forma differenziale ω=
2xy 2 2x2 y dx + dy (1 + x2 y 2 )2 (1 + x2 y 2 )2
`e esatta. 2) Individuare in quali regioni sono esatte le seguenti forme differenziali e calcolarne le primitive: 1 dx + x2 dy, x r r 1 y 1 x dx + 2y + dy. 2 x 2 y
ω1 = ω2 =
2xy −
3) Individuare le regioni in cui la forma differenziale seguente `e chiusa: ω=
2x + y x dx + dy 1 + x2 + xy 1 + x2 + xy
4) Si dica se i campi vettoriali ~F(x, y, z) = x2 i + y j + z k; ~F(x, y, z) = (x − xe z ) i − y j + e z k sono conservativi in R3 . Si determini, se esiste, un potenziale. 5) Stabilire se il campo vettoriale ~F(x, y, z) =
x2 e y e y xy − sin z, − , − x cos z 2 z z2
!
`e conservativo in D = {(x, y, z) ∈ R3 | z > 0} e determinare i potenziali.
1