comp-locale-svolti

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

1) Calcolare il seguente limite sostituendo a numeratore e denominatore opportune funzioni equivalenti. lim

x→0

1 − cos x sin x

2) Calcolare i seguenti limiti utilizzando il Principio di eliminazione dei termini trascurabili. √ 3 (1 − cos x)2 + sin2 x 1 + x3 + x2 lim lim x→+∞ 3x2 + sin x x→0 x3 − x2

3) Verificare che se f (x) = o(1) per x → x0 e f (x) 6= 0 in un intorno di x0 , allora 1 − cos f (x) ∼ f 2 (x) 2 .

Dedurne che per x → 0 1 − cos(x3 + 2x2 ) ∼ 2x4 .

Calcolare quindi il limite

1 − cos(x3 + 2x2 ) . x→0 x4 − x7 lim

4) Verificare che se f (x) = o(1) per x → x0 e f (x) 6= 0 in un intorno di x0 , allora (1+f (x))5 −1 ∼ 5f (x). Dedurne che per x → 0 (1 + sin x)5 − 1 ∼ 5x.

Calcolare quindi il limite lim

x→0+

(1 + sin x)5 − 1 √ .

1 − cos x

1

2

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

5) Verificare che se f (x) = o(1) per x → x0 e f (x) 6= 0 in un intorno di x0 , allora ln(1 + f (x)) ∼ f (x). Dedurne che per x → 0 ln(1 + 4x) ∼ 4x.

Calcolare quindi il limite lim

x→0

ln(1 + 4x) . x + 3x2

6) Verificare che se f (x) = o(1) per x → x0 e f (x) 6= 0 in un intorno di x0 , allora ef (x) −1 ∼ f (x).

Dedurne che per x → 0

√ 1+x−1)

e( Calcolare quindi il limite

−1∼

x .

2

√

e 1+x − e √ . lim x→0+ 2x + x

7) Confrontare gli infiniti f (x) = x3 e g(x) =

√ 3 x8 − 7x2 per x → +∞. ³

8) Confrontare gli infiniti f (x) = tan x e g(x) =

π 2

−x

´−1

per x →

π− 2 .

9) Confrontare gli infinitesimi f (x) = tan2 x e g(x) = tan(sin x) per x → 0.

10) Stabilire se sono confrontabili gli infiniti f (x) = x3 e g(x) = x3 esin x per x → +∞.

11) Confrontare gli infinitesimi p

f (x) = sin( x2 + 1 − x),

g(x) =

sin x , x

h(x) =

2+x x2

x → +∞. Determinare, se esistono, gli ordini e le parti principali rispetto all’infinitesimo campione u(x) = x1 .

12) Confrontare gli infinitesimi f (x) =

√ x−3

g(x) =

√ √ x− 3

1 1 h(x) = √ − √ x 3

per x → 3+ . Determinare l’ordine di infinitesimo di f, g, h rispetto al campione u(x) = x − 3.

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

3

13) Confrontare le seguenti successioni per n → +∞ an = 3n2 + n − 1

bn =

³ n ´

cn =

2

√ n n!

tenendo presente la formula di Stirling √ n! ∼ nn e−n 2πn per n → +∞.

14) Confrontare gli infiniti per x → +∞ f (x) = x4

g(x) = x3 ln x

h(x) =

√ x−1

e determinare l’ordine d’infinito della funzione f + g + h rispetto al campione u(x) = x.

15) Confrontare gli infinitesimi per x → 0+ g(x) = 2−1/x

f (x) = x arctan x

h(x) =

√ 1 − cos x

e determinare l’ordine d’infinito della funzione f + g + h rispetto al campione u(x) = x.

16) Calcolare la parte principale per x → 0 delle funzioni f (x) = sin x − tan x + x2

g(x) = x(1 − cos x)

rispetto al campione u(x) = x. Calcolare quindi il limite del quoziente f /g per x → 0+ .

17) Determinare la parte principale per x → 0− delle funzioni ³

f (x) = tan x +

π´ 2

g(x) = ex −

√ x+1

rispetto al campione u(x) = x. Calcolare quindi il limite del prodotto f g per x → 0− .

18) Calcolare la parte principale per x → 0 delle funzioni f (x) = ex − 3 + 2e−x

g(x) =

√ 1 − 3x − 1

rispetto al campione u(x) = x. Calcolare quindi il limite del quoziente f /g per x → 0.

4

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

19) Verificare che f (x) =

√ √ √ √ x + 5 − 5 e g(x) = x + 7 − 7 sono infinitesimi dello stesso ordine

per x → 0 e determinare c ∈ R tale che g ∼ cf per x → 0.

20) Determinare la parte principale e l’ordine di infinitesimo di ex −1 f (x) = √ 1+x per x → 0.

21) Determinare la parte principale e l’ordine di infinitesimo di f (x) = ecos x − e per x → 0.

22) Determinare la parte principale e l’ordine di infinitesimo di f (x) =

√ sin x − 1 per x → π2 .

23) Determinare la parte principale e l’ordine di infinitesimo di f (x) =

√ 3 x3 − 5x2 + 3x + 9 per

x → −1 e per x → 3.

24) Confrontare gli infiniti f (x) =

x2 ln x

g(x) = x ln x

per x → +∞.

25) Determinare la parte principale di f (x) =

√ √ 5 x + 1 e g(x) = 5 x − 1 per x → +∞. Calcolare

quindi il limite della differenza f − g per x → +∞.

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

5

SOLUZIONI

1) Osserviamo che, per x → 0, 1 − cos x ∼

x2 2

e sin x ∼ x. Pertanto

1 − cos x x2 /2 = lim = 0. x→0 x→0 x sin x lim

2) Tenendo conto che (1 − cos x)2 = o(sin2 x) e che x3 = o(x2 ) per x → 0, utilizzando il Principio di eliminazione dei termini trascurabili si ha (1 − cos x)2 + sin2 x sin2 x = lim = −1. x→0 x→0 −x2 x3 − x2 √ Analogamente, poich`e, per x → +∞ 3 1 + x3 = o(x2 ), e sin x = o(3x2 ), si ha √ 3 1 + x3 + x2 x2 1 lim = lim = . x→+∞ 3x2 + sin x x→+∞ 3x2 3 lim

3) Data f (x) = o(1) per x → x0 , con f (x) 6= 0 in un intorno di x0 , per verificare che 1−cos f (x) ∼ f 2 (x)/2 per x → x0 , occorre provare che lim

x→x0

1 − cos f (x) = 1. f 2 (x)/2

In questo caso `e possibile applicare il Teorema sul limite di funzione composta, ed effettuare il cambio di variabile y = f (x). Osservando che per x → x0 si ha y = f (x) → 0, segue che il limite precedente `e uguale a lim

y→0

1 − cos y = 1. y 2 /2

Utilizzando il risultato ottenuto, poich`e per x → 0 1 1 1 − cos(x3 + 2x2 ) ∼ (x3 + 2x2 )2 ∼ (2x2 )2 = 2x4 2 2 e x7 = o(x4 ), si ha quindi 2x4 1 − cos(x3 + 2x2 ) = lim = 2. x→0 x4 x→0 x4 − x7 lim

6

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

4) Data f (x) = o(1) per x → x0 , con f (x) 6= 0 in un intorno di x0 , per verificare che (1 + f (x))5 − 1 ∼ 5f (x) per x → x0 , si pu´o procedere come nell’Esercizio 3, utilizzando il Teorema √ sul limite di funzione composta. Quindi, poich´e per x → 0+ (1+sin x)5 −1 ∼ 5x e 1−cos x ∼ 1 √ 2 x 2 ( x) = 2 , segue che (1 + sin x)5 − 1 5x √ lim = lim 1 = 10. x→0 x→0 x 1 − cos x 2 5) Data f (x) = o(1) per x → x0 , con f (x) 6= 0 in un intorno di x0 , per verificare che ln(1 + f (x)) ∼ f (x) per x → x0 , si pu´o procedere come nell’Esercizio 3. Quindi, poich`e per x → 0 ln(1 + 4x) ∼ 4x e x + 3x2 ∼ x segue che lim

x→0

ln(1 + 4x) 4x = lim = 4. x→0 x x + 3x2

6) Data f (x) = o(1) per x → x0 , con f (x) 6= 0 in un intorno di x0 , per verificare che ef (x) − 1 ∼ f (x) per x → x0 , si pu´o procedere come nell’Esercizio 3. Quindi, poich`e per x → 0 √ √ √ √ e( 1+x−1) − 1 ∼ ( 1 + x − 1)) ∼ x2 e (2x + x) ∼ x segue che √

√

ex e 1+x − e e(e( 1+x−1) − 1) √ = lim √ lim = lim √2 = 0. x→0 2x + x x x→0+ 2x + x x→0+

7) Calcoliamo il limite del quoziente f /g: x3 lim √ = lim x→+∞ 3 x8 − 7x2 x→+∞

s 3

x9 = +∞. x8 − 7x2

Concludiamo quindi che f (x) `e un infinito di ordine superiore a g(x) per x → +∞.

8) Calcoliamo il limite del quoziente f /g: lim ³ π−

x→ 2

con il cambio di variabile x − ³

lim

y→0−

tan y + y −1

π 2 π 2

tan x π 2

´−1 ;

−x

= y otteniamo ´

= − lim

y→0−

(tan y)−1 y = − lim = −1, −1 − y y→0 tan y

in quanto tan y ∼ y per y → 0. Pertanto f e g sono infiniti dello stesso ordine (ordine 1) per x→

π− 2 .

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

7

9) Calcoliamo il limite del quoziente f /g: tan2 x ; x→0 tan(sin x) lim

poich´e da sin x = o(1) per x → 0 segue tan(sin x) ∼ sin x, ed essendo tan x ∼ sin x si ha tan2 x sin2 x = lim = 0. x→0 tan(sin x) x→0 sin x lim

Quindi f (x) ha ordine di infinitesimo superiore a g(x) per x → 0.

10) Occorre calcolare il limite

x3 1 = lim sin x .

3 sin x x→+∞ x e x→+∞ e lim

Tale limite non esiste in quanto, scegliendo le successioni xn = nπ e yn = lim xn = +∞,

lim yn = +∞,

n→+∞

n→+∞

lim

1

n→+∞ esin xn

= 1,

π 2

+ 2nπ si ha che

lim

1

n→+∞ esin yn

1 = . e

Pertanto gli infiniti f e g non sono confrontabili.

11) Per confrontare gli infinitesimi f , g e h conviene cercare di determinare le rispettive parti principali rispetto all’infinitesimo campione u(x) = p

x2

r

r

³1´ ³ 1 ´´ 1 1 1 + o . + o = ∼ 2 2 2 x x 2x x 2x

³1

Pertanto f ha parte principale 1 x

per x → +∞. Abbiamo:

³ ´ 1 1 + 1 − x = |x| 1 + 2 − x = x 1 + 2 − 1 = x x

=x

u(x) =

1 x

·

1 2x

e ordine di infinitesimo 1. Per confrontare g con il campione

si deve calcolare il limite lim

x→+∞

g(x) = lim xα−1 sin x; uα (x) x→+∞

tale limite non esiste per α ≥ 1 (la verifica si pu`o effettuare scegliendo le successioni xn e yn come nell’esercizio precedente), e vale 0 per α < 1 (in questo caso infatti si ottiene il prodotto di un infinitesimo per una funzione limitata), non `e possibile confrontare g con u. Per h si ha h(x) = pertanto h ha parte principale

1 x

2+x x + o(x) 1 = ∼ ; 2 2 x x x

e ordine di infinitesimo 1 per x → +∞, rispetto al campione

u. Concludiamo che f e g sono infinitesimi dello stesso ordine, e g non `e con esse confrontabile.

8

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

12) Procediamo calcolando la parte principale di ciascuna funzione rispetto al campione proposto.

Abbiamo

√ x − 3 = (x − 3)1/2 ,

f (x) =

da cui possiamo concludere che f ha parte principale (x − 3)1/2 ed ordine di infinitesimo 12 .

Per g razionalizzando abbiamo g(x) =

√ √ x−3 x−3 √ ∼ √ , x− 3= √ x+ 3 2 3

da cui segue che g ha parte principale

x−3 √ 2 3

ed ordine di infinitesimo 1. Infine abbiamo

√ √ 1 1 x− 3 h(x) = √ − √ = − √ ; x 3 3x quindi, tenendo conto della parte principale di g, segue che x−3 h(x) ∼ − √ .

6 3 √ ed ordine di infinitesimo 1.

In conclusione h ha parte principale − x−3 6 3

13) Calcoliamo la parte principale di ciascuna successione per n → +∞. Per an si ha subito an = 3n2 + n − 1 ∼ n2 , cio`e an ha parte principale n2 ed ordine di infinito 2. Per bn si ha bn =

³ n ´

2

=

n! n(n − 1) n2 = ∼ , 2!(n − 2)!

2 2

n2 2 1/n

da cui segue che bn ha parte principale dn ∼ en per n → +∞ allora (dn /en )

ed ordine di infinito 2. Infine, osserviamo che se 1/n

→ 1, e dunque dn

1/n

∼ en . Applicando allora la

formula di Stirling si ricava che √ (n!)1/n ∼ (nn e−n 2πn)1/n ∼ ne−1 , √ √ dove si `e tenuto conto che ( 2πn)1/n → 1 per n → +∞. Quindi n n! ∼ principale

n e

n e,

cio`e cn ha parte

ed ordine di infinito 1, per n → +∞.

14) Calcolando i limiti dei quozienti f /g e g/h per x → +∞ e tenendo conto che ln x `e un infinito di ordine inferiore a uα (x), per ogni α > 0 si trova che lim =

x→+∞

x4 x = lim = = +∞, 3 x→+∞ x ln x ln x

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

e

9

x3 ln x lim = √ = lim = x5/2 ln x = +∞. x→+∞ x − 1 x→+∞

Pertanto f `e di ordine superiore a g, e g `e di ordine superiore ad h per x → +∞. Concludiamo quindi che f + g + h ∼ f , ovvero f + g + h ha parte principale x4 e ordine di infinito 4 per x → +∞.

15) Le parti principali di f ed h per x → 0+ sono f (x) = x arctan x ∼ x2 ,

h(x) =

√ x 1 − cos x ∼ √ .

2

Inoltre, sapendo che 2t `e un infinitesimo di ordine superiore a tα per t → −∞, per ogni α > 0, possiamo concludere che g `e un infinitesimo di ordine superiore a f e g. Pertanto f + g + h ∼ h, ovvero ha parte principale

√x 2

ed ordine di infinitesimo 1.

16) Utilizzando solo la conoscenza delle parti principali degli addendi abbiamo f (x) = sin x − tan x + x2 = (x + o(x)) − (x + o(x)) + x2 = o(x).

Per determinare la parte principale di f occorre quindi conoscere quella di sin x − tan x.

Calcoliamo pertanto ³

sin x − tan x = sin x 1 − da cui segue che f (x) = −

1 ´ x3 cos x − 1 ∼− , = sin x cos x cos x 2

x3 + o(x3 ) + x2 = x2 + o(x2 ).

2

Per la funzione g si ha g(x) = x(1 − cos x) ∼

x3 ; 2

pertanto, poich´e nel calcolo del limite di un quoziente si possono sostituire numeratore e denominatore con le rispettive parti principali, si ha lim

x→0+

f x2 + o(x2 ) = lim 2 · = +∞. g x3 x→0+

17) Tenendo conto che tan x ∼ x per x → 0− , si ha ³

f (x) = tan x +

π´ 1 1 =− ∼− ; 2 tan x x

10

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

utilizzando ora le formule ex = 1 + x + o(x) e

√ 1+x=1+

g(x) = (1 + x + o(x)) − (1 +

x 2

+ o(x) per x → 0, si ha

x x + o(x)) = + o(x).

2 2

Pertanto, poich´e nel limite di un prodotto si possono sostituire i fattori con le rispettive parti principali, si ha lim f g = lim −

x→0−

x→0−

1 x 1 · =− . x 2 2

18) Con il metodo usato nell’esercizio precedente riscriviamo le funzioni f e g f (x) = ex − 3 + 2e−x = (1 + x + o(x)) − 3 + 2(1 − x + o(x)) = −x + o(x), g(x) =

√ 3 3 1 − 3x − 1 = (1 − x + o(x)) − 1 = − x + o(x), 2 2

per x → 0. Pertanto si ha −x + o(x) 2 f (x) = lim 3 = . x→0 − x + o(x) x→0 g(x) 3 2 lim

19) Tenendo conto che (1 + x)α = 1 + αx + o(x) per x → 0, abbiamo Ãr

√ √ √ f (x) = x + 5 − 5 = 5

!

x 1+ −1 5

e analogamente √ √ g(x) = x + 7 − 7 =

√ ´ √ ³x 5 = 5 + o(x) = x + o(x), 5 5 √ 7 x + o(x).

7

Pertanto f e g sono infinitesimi dello stesso ordine (ordine 1) per x → 0 e per c =

q

5 7

si ha

g ∼ cf per x → 0.

20) Utilizzando la parte principale di ex e di (1 + x)−1/2 per x → 0 abbiamo ³ ´³ ´ ex x x x f (x) = √ − 1 = 1 + x + o(x) 1 − + o(x) − 1 = 1 + x − + o(x) − 1 = + o(x).

2 2 2 1+x

Pertanto la parte principale di f (x) per x → 0 `e

x 2

e l’ordine di infinitesimo `e 1.

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

21) Utilizzando la parte principale di cos x − 1 = h

x2 2

11

+ o(x2 ) per x → 0 abbiamo

i

f (x) = ecos x −e = e ecos x−1 −1 = e[1+(cos x−1)+o(cos x−1)−1] = e[

x2 e +o(x2 )] = x2 +o(x2 ).

2 2

Pertanto la parte principale di f (x) per x → 0 `e 2e x2 e l’ordine di infinitesimo `e 2.

22) Operando il cambiamento di variabile x − ³

sin x = sin y +

π 2

= y, per x →

π 2

si ha y → 0 e quindi

y2 π´ = cos y = 1 − + o(y 2 ) 2 2

per y → 0. Pertanto f (x) =

³ ´1/2 √ y2 √ sin x − 1 = cos y − 1 = 1 − + o(y 2 ) −1= 2

³ 1 1³ π ´2 1 π ´2 + o( x − ) = 1 − y 2 + o(y 2 ) − 1 = − y 2 + o(y 2 ) = − x − 4 4 4 2 2

per x → π2 . Concludendo, la parte principale di f (x) per x →

π 2

³

`e − 14 x −

π 2

´2

e l’ordine di

infinitesimo `e 2.

23) Poich´e f (−1) = 0 e f (3) = 0, segue che il polinomio P (x) = x3 − 5x2 + 3x + 9 `e divisibile per x + 1 e per x − 3; la decomposizione `e P (x) = (x + 1)(x − 3)2 . Pertanto f (x) = (P (x))1/3 = (x + 1)1/3 (x − 3)2/3 , √ √ 3 16(x + 1)1/3 per x → −1, e f (x) ∼ 3 4(x − 3)2/3 per √ x → 3. La parte principale di f (x) per x → −1 `e 3 16(x + 1)1/3 e l’ordine di infinitesimo `e 13 ; √ per x → 3 la parte principale `e 3 4(x − 3)2/3 e l’ordine di infinitesimo `e 23 . da cui si deduce subito che f (x) ∼

24) Per confrontare gli infiniti f (x) =

x2 ln x

e g(x) = x ln x per x → +∞, calcoliamo il limite

f (x) x x2 = lim = +∞, = 2 x→+∞ g(x) x ln x x→+∞ ln2 x lim

in quanto ln x `e un infinito di ordine inferiore a xα , per x → +∞, per ogni α > 0. Pertanto risulta che f `e un infinito di ordine superiore a g.

25) Per calcolare la parte principale di f e g per x → +∞ operiamo come segue: r

³ 1 ´´ √ √ 5 √ ³ √ 1 1 1 1 f (x) = 5 x + 1 = 5 x 1 + = 5 x 1 + · + o = 5 x + · x−4/5 + o(x−4/5 ) x 5 x x 5

12

COMPORTAMENTO LOCALE DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI

per x → +∞. Analogamente r

³ 1 ´´ √ √ 5 √ ³ √ 1 1 1 1 g(x) = 5 x − 1 = 5 x 1 − = 5 x 1 − · + o = 5 x − · x−4/5 + o(x−4/5 ) x 5 x x 5

per x → +∞. Pertanto, per la differenza f − g si ha √ √ 2 5 x + 1 − 5 x − 1 = x−4/5 + o(x−4/5 ).

5 Ne segue che

√ √ lim ( 5 x + 1 − 5 x − 1) = 0.

x→+∞