complproposti

NUMERI COMPLESSI Esercizi proposti.

1) Scrivere in forma cartesiana il numero complesso z=

1 + 3i .

2+i

2) Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: b) −

a)6i + 6

√

3+i

π π c)( cos( ) + i sin( ))20 .

4 4

3) Semplificare la seguente espressione √ !11

1 3 1 1 −6 2 + i +i + √ − i√ − .

2 2 2i 2 2 4) Calcolare (4 − 7i)3 .

5) Scrivere la forma algebrica, la forma trigonometrica e quella esponenziale dei seguenti numeri complessi: π π z2 = 2 cos + i sin 3 3

z1 = 1 + i , z4 = −i , π

z7 = 5ei 2 ,

z5 = 3 ,

2 5 z3 = ei 6 π , 3

,

z6 = 4(cos π + i sin π) ,

5 5 z8 = 4 cos π + i sin π 4 4

,

7

z9 = 2ei 3 π .

6) Rappresentare nel piano di Gauss gli insiemi di numeri complessi tali che: a)Re (z) = 0

b)Im (z) − 1 = 0

f )Re (z) · Im (z) = 0

c)|z| = 4

g)|z| − 6 Re (z) + i = 0 1

π 4

d)z − |z| = z

e)arg (z) =

h)4 ≤ |z| ≤ 9

i)z + z = 5.

2

NUMERI COMPLESSI

7) Calcolare le radici terze dei seguenti numeri complessi: z1 = i ,

z2 = 8 ,

1 1 z3 = √ − i √ .

2 2

8) Determinare le radici complesse cubiche e quarte di: √ √ a) 1; b) 3 + i; c) 1 − 3i.

9) Determinare i numeri complessi che soddisfano le seguenti equazioni: a)z − 1 + 2iz = z c)z − z = 5i

b)2z + 2z = 3 d)z − z =

1 .

2

10) Risolvere in C le seguenti equazioni : (a) z 2 − iz − 1 + i = 0 ,

(b) z 3 − 2z 2 + z − 2 = 0 ,

(c) z 3 − 4z 2 + 5z = 0 .

NUMERI COMPLESSI

3

Soluzioni degli esercizi proposti.

1) 1 + i. √ 2) a) 6i + 6 = 6 2 · (cos π4 + i sin π4 );

√ b) − 3 + i = 2(cos 56 π + i sin 56 π);

c) cos π + i sin π. √

3) −i

3 2 .

4) −524 + 7i.

5)

√ √ π π π = 2ei 4 , z1 = 1 + i = 2 cos + i sin 4 4

√ π π π z2 = 2 cos + i sin = 1 + i 3 = 2ei 3 , 3 3 √

2 i5π 5 5 3 1 2 z3 = e 6 = cos π + i sin π = − + i, 3 3 6 6 3 3

3 3 3 z4 = −i = cos π + i sin π = ei 2 π , 2 2

z5 = 3 = 3(cos 0 + i sin 0) = 3ei 0 , z6 = 4(cos π + i sin π) = 4eiπ = −4 , π π z7 = 5e = 5i = 5 cos + i sin , 2 2

√ √ 5 5 5 z8 = 4 cos π + i sin π = 4ei 4 π = −2 2 − i2 2 , 4 4

√ 7 7 7 z9 = 2ei 3 π = 2 cos π + i sin π = 1 + i 3 .

3 3 i π2

Si osservi che z9 = z2 .

6) a) Asse immaginario b) Retta parallela all’asse reale e passante per il punto (0, 1) c) Circonferenza di raggio 4 e centro (0, 0) d) (0, 0) e) Bisettrice del primo-terzo quadrante (esclusa l’origine) f) Unione dell’asse reale e dell’asse immaginario

4

NUMERI COMPLESSI

g) ∅ h) Corona circolare delimitata dalle due circonferenze con centro in (0, 0) e raggio, rispettivamente, 4 e 9. i) Retta parallela all’asse immaginario, passante per il punto ( 25 , 0).

7) Le radici terze di z1 = i sono: √

√

3 1 x0 = + i, 2 2

x1 = −

3 1 + i, 2 2

x2 = −i .

Le radici terze di z2 = 8 sono x0 = 2 , Le radici terze di z3 =

√1 2

x1 = −1 +

√

3i ,

x2 = −1 −

√

3i .

− i √12 sono √ 2 2 −i , =− 2 2 √

7 i 12 π

x0 = e

,

i 54 π

x1 = e

23

x2 = ei 12 π .

8) a) Le radici cubiche di 1, scritte in forma trigonometrica, sono: z0 = cos 0 + i sin 0; z1 = cos 23 π + i sin 23 π; z2 = cos 43 π + i sin 43 π.

Le radici quarte di 1 sono: z0 = cos 0 + i sin 0; z1 = cos π2 + i sin π2 ; z2 = cos π + i sin π; z3 = cos 32 π + i sin 23 π. √ √

π π + i sin 18 ; Le radici cubiche di 3 + i sono: z0 = 3 2 cos 18

√ √ 3 13 25 2 cos 25 z1 = 3 2 cos 13 18 π + i sin 18 π ; z2 = 18 π + i sin 18 π . √ Le radici quarte di 3 + i sono:

√ √

π π 13 z0 = 4 2 cos 24 + i sin 24 ; z1 = 4 2 cos 13 π + i sin π ; 24 24

√ √ 4 25 37 z2 = 4 2 cos 25 2 cos 37 24 π + i sin 24 π ; z3 = 24 π + i sin 24 π . √ Le radici cubiche di 1 − i 3 sono:

√ √

z0 = 3 2 cos(− π9 ) + i sin(− π9 ) ; z1 = 3 2 cos 59 π + i sin 59 π ;

√ 11 π + i sin π . z2 = 3 2 cos 11 9 9 √ Le radici quarte di 1 − i 3 sono:

√ √

π π 5 5 ) + i sin(− 12 ) ; z1 = 4 2 cos 12 π + i sin 12 π ; z0 = 4 2 cos(− 12

√ √ 4 11 17 17 z2 = 4 2 cos 11 π + i sin π ; z = 2 cos π + i sin π .

3 12 12 12 12

NUMERI COMPLESSI

9) a) z =

1 2

5

− i 21 .

b) L’equazione `e soddisfatta dai punti appartenenti alla retta parallela all’asse immaginario, passante per ( 34 , 0). c) L’equazione `e soddisfatta dai punti appartenenti alla retta parallela all’asse reale, passante per (0, 25 ). d) Non esistono soluzioni.

10) (a) z1 = 1 ,

z2 = i − 1 ; z3 = −i ;

(b) z1 = 2 ,

z2 = i ,

(b) z1 = 0 ,

z2 = 2 + i ,

z3 = 2 − i .

6

NUMERI COMPLESSI

Quiz Per ogni quesito scegliere l’unica affermazione corretta.

1) Una delle radici quarte di z = −4 `e il numero complesso w = 1 + i . Allora: (A) 1 − i `e una radice quarta di z; (B) −2i `e una radice quarta di z; (C) z non ha radici quarte perch`e `e negativo; (D) le altre radici di z sono i vertici di un triangolo equilatero.

2) Sia z un numero complesso. Allora: (A) zz `e un numero negativo; (B) Re (z + z) = 0; (C) Im (z + z) = 0; (D) Im (z − z) = 0.

3) I numeri complessi che verificano (

zz − Re (z(2 − i)) = − 14 , arg (z) = 74 π

sono: (A) due di modulo diverso; (B) infiniti; (C) uno; (D) nessuno.

4) Il polinomio P (z) = z 2 + 2z + 2 (A) `e irriducibile in C; (B) `e irriducibile in R; (C) ha solo radici reali; (D) ha 1 + i come radice.

5) Il polinomio P (z) = z 2 − 2z + 2 ha 1 − i come radice. Allora:

NUMERI COMPLESSI

7

(A) ha −1 − i come radice; (B) ha 1 + i come radice; (C) ha i − 1 come radice; (D) non ha altre radici complesse.

Quiz

1) (A) 2) (C) 3) (A) 4) (B) 5) (B)