NUMERI COMPLESSI Esercizi proposti. 1) Scrivere in forma cartesiana il numero complesso z=
1 + 3i . 2+i
2) Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: b) −
a)6i + 6
√
3+i
π π c)( cos( ) + i sin( ))20 . 4 4
3) Semplificare la seguente espressione √ !11 1 3 1 1 −6 2 + i +i + √ − i√ − . 2 2 2i 2 2 4) Calcolare (4 − 7i)3 . 5) Scrivere la forma algebrica, la forma trigonometrica e quella esponenziale dei seguenti numeri complessi: π π z2 = 2 cos + i sin 3 3
z1 = 1 + i , z4 = −i , π
z7 = 5ei 2 ,
z5 = 3 ,
2 5 z3 = ei 6 π , 3
,
z6 = 4(cos π + i sin π) ,
5 5 z8 = 4 cos π + i sin π 4 4
,
7
z9 = 2ei 3 π .
6) Rappresentare nel piano di Gauss gli insiemi di numeri complessi tali che: a)Re (z) = 0
b)Im (z) − 1 = 0
f )Re (z) · Im (z) = 0
c)|z| = 4
g)|z| − 6 Re (z) + i = 0 1
π 4
d)z − |z| = z
e)arg (z) =
h)4 ≤ |z| ≤ 9
i)z + z = 5.
2
NUMERI COMPLESSI
7) Calcolare le radici terze dei seguenti numeri complessi: z1 = i ,
z2 = 8 ,
1 1 z3 = √ − i √ . 2 2
8) Determinare le radici complesse cubiche e quarte di: √ √ a) 1; b) 3 + i; c) 1 − 3i.
9) Determinare i numeri complessi che soddisfano le seguenti equazioni: a)z − 1 + 2iz = z c)z − z = 5i
b)2z + 2z = 3 d)z − z =
1 . 2
10) Risolvere in C le seguenti equazioni : (a) z 2 − iz − 1 + i = 0 ,
(b) z 3 − 2z 2 + z − 2 = 0 ,
(c) z 3 − 4z 2 + 5z = 0 .
NUMERI COMPLESSI
3
Soluzioni degli esercizi proposti. 1) 1 + i. √ 2) a) 6i + 6 = 6 2 · (cos π4 + i sin π4 );
√ b) − 3 + i = 2(cos 56 π + i sin 56 π);
c) cos π + i sin π. √
3) −i
3 2 .
4) −524 + 7i.
5)
√ √ π π π = 2ei 4 , z1 = 1 + i = 2 cos + i sin 4 4 √ π π π z2 = 2 cos + i sin = 1 + i 3 = 2ei 3 , 3 3 √ 2 i5π 5 5 3 1 2 z3 = e 6 = cos π + i sin π = − + i, 3 3 6 6 3 3 3 3 3 z4 = −i = cos π + i sin π = ei 2 π , 2 2
z5 = 3 = 3(cos 0 + i sin 0) = 3ei 0 , z6 = 4(cos π + i sin π) = 4eiπ = −4 , π π z7 = 5e = 5i = 5 cos + i sin , 2 2 √ √ 5 5 5 z8 = 4 cos π + i sin π = 4ei 4 π = −2 2 − i2 2 , 4 4 √ 7 7 7 z9 = 2ei 3 π = 2 cos π + i sin π = 1 + i 3 . 3 3 i π2
Si osservi che z9 = z2 . 6) a) Asse immaginario b) Retta parallela all’asse reale e passante per il punto (0, 1) c) Circonferenza di raggio 4 e centro (0, 0) d) (0, 0) e) Bisettrice del primo-terzo quadrante (esclusa l’origine) f) Unione dell’asse reale e dell’asse immaginario
4
NUMERI COMPLESSI
g) ∅ h) Corona circolare delimitata dalle due circonferenze con centro in (0, 0) e raggio, rispettivamente, 4 e 9. i) Retta parallela all’asse immaginario, passante per il punto ( 25 , 0). 7) Le radici terze di z1 = i sono: √
√
3 1 x0 = + i, 2 2
x1 = −
3 1 + i, 2 2
x2 = −i .
Le radici terze di z2 = 8 sono x0 = 2 , Le radici terze di z3 =
√1 2
x1 = −1 +
√
3i ,
x2 = −1 −
√
3i .
− i √12 sono √ 2 2 −i , =− 2 2 √
7 i 12 π
x0 = e
,
i 54 π
x1 = e
23
x2 = ei 12 π .
8) a) Le radici cubiche di 1, scritte in forma trigonometrica, sono: z0 = cos 0 + i sin 0; z1 = cos 23 π + i sin 23 π; z2 = cos 43 π + i sin 43 π. Le radici quarte di 1 sono: z0 = cos 0 + i sin 0; z1 = cos π2 + i sin π2 ; z2 = cos π + i sin π; z3 = cos 32 π + i sin 23 π. √ √ π π + i sin 18 ; Le radici cubiche di 3 + i sono: z0 = 3 2 cos 18 √ √ 3 13 25 2 cos 25 z1 = 3 2 cos 13 18 π + i sin 18 π ; z2 = 18 π + i sin 18 π . √ Le radici quarte di 3 + i sono: √ √ π π 13 z0 = 4 2 cos 24 + i sin 24 ; z1 = 4 2 cos 13 π + i sin π ; 24 24 √ √ 4 25 37 z2 = 4 2 cos 25 2 cos 37 24 π + i sin 24 π ; z3 = 24 π + i sin 24 π . √ Le radici cubiche di 1 − i 3 sono: √ √ z0 = 3 2 cos(− π9 ) + i sin(− π9 ) ; z1 = 3 2 cos 59 π + i sin 59 π ; √ 11 π + i sin π . z2 = 3 2 cos 11 9 9 √ Le radici quarte di 1 − i 3 sono: √ √ π π 5 5 ) + i sin(− 12 ) ; z1 = 4 2 cos 12 π + i sin 12 π ; z0 = 4 2 cos(− 12 √ √ 4 11 17 17 z2 = 4 2 cos 11 π + i sin π ; z = 2 cos π + i sin π . 3 12 12 12 12
NUMERI COMPLESSI
9) a) z =
1 2
5
− i 21 .
b) L’equazione `e soddisfatta dai punti appartenenti alla retta parallela all’asse immaginario, passante per ( 34 , 0). c) L’equazione `e soddisfatta dai punti appartenenti alla retta parallela all’asse reale, passante per (0, 25 ). d) Non esistono soluzioni.
10) (a) z1 = 1 ,
z2 = i − 1 ; z3 = −i ;
(b) z1 = 2 ,
z2 = i ,
(b) z1 = 0 ,
z2 = 2 + i ,
z3 = 2 − i .
6
NUMERI COMPLESSI
Quiz Per ogni quesito scegliere l’unica affermazione corretta.
1) Una delle radici quarte di z = −4 `e il numero complesso w = 1 + i . Allora: (A) 1 − i `e una radice quarta di z; (B) −2i `e una radice quarta di z; (C) z non ha radici quarte perch`e `e negativo; (D) le altre radici di z sono i vertici di un triangolo equilatero. 2) Sia z un numero complesso. Allora: (A) zz `e un numero negativo; (B) Re (z + z) = 0; (C) Im (z + z) = 0; (D) Im (z − z) = 0. 3) I numeri complessi che verificano (
zz − Re (z(2 − i)) = − 14 , arg (z) = 74 π
sono: (A) due di modulo diverso; (B) infiniti; (C) uno; (D) nessuno. 4) Il polinomio P (z) = z 2 + 2z + 2 (A) `e irriducibile in C; (B) `e irriducibile in R; (C) ha solo radici reali; (D) ha 1 + i come radice. 5) Il polinomio P (z) = z 2 − 2z + 2 ha 1 − i come radice. Allora:
NUMERI COMPLESSI
7
(A) ha −1 − i come radice; (B) ha 1 + i come radice; (C) ha i − 1 come radice; (D) non ha altre radici complesse.
Quiz
1) (A) 2) (C) 3) (A) 4) (B) 5) (B)