NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti.
1) Calcolare la parte reale e la parte immaginaria di z=
i−4 . 2i − 3
2) Determinare il valore assoluto e il coniugato di a)z = (1 + i)6
e
b)w = i17 .
3) Scrivere in forma cartesiana i seguenti numeri complessi: a) z1 = i5 + i + 1; b) z2 = (3 + 3i)8 .
4) Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: a)8
π π c)( cos( ) − i sin( ))7 . 3 3
b)6i
5) Semplificare le seguenti espressioni 1+i 3−i − (1 + 2i)(2 + 2i) + ; 1−i 1+i √ 3 (b) 2i(i − 1) + 3 + i + (1 + i)(1 + i) .
(a)
6) Calcolare le radici quadrate del numero z = −1 − i.
7) Calcolare le radici terze di z = −8.
1
2
NUMERI COMPLESSI
8) Dimostrare che non esistono numeri complessi tali che |z| − z = i. 9) Determinare i numeri complessi che soddisfano le seguenti equazioni: a)z = i(z − 1)
b)z 2 · z = z
c)|z + 3i| = 3|z| .
10) Determinare tutti i numeri complessi z tali che z 2 ∈ R.
11) Determinare tutti i numeri complessi che verificano le seguenti condizioni: (a) Re (z(1 + i)) + zz = 0 ;
(b) Re z 2 + i Im (z(1 + 2i)) = −3 ; (c) Im ((2 − i)z) = 1 . 12) Determinare a ∈ R in modo che il polinomio P (z) = z 3 − z 2 + z + 1 + a ammetta z = −i come radice. Inoltre, per tale valore di a scomporre il polinomio P (z) in fattori irriducibili sia in R che in C .
NUMERI COMPLESSI
3
Esercizi svolti 1) Si ha z=
i−4 i − 4 2i + 3 −2 + 3i − 8i − 12 14 5 = · = = +i . 2i − 3 2i − 3 2i + 3 −4 − 9 13 13
Risulta quindi Re (z) =
14 13
e Im (z) =
5 13 .
2) a) Scriviamo innanzitutto z in forma trigonometrica: e applichiamo la formula di De Moivre: 6
z = (1 + i) =
√
6
π π 2(cos + i sin ) 4 4
3π 3π = 8 cos + i sin ) = −8i. 2 2
Allora |z| = 8 e z¯ = 8i. b) Risulta w = i17 = i · i16 = i · i4
4
= i · (1)4 = i. Allora |w| = 1 e w ¯ = −i.
3) a) Osserviamo che i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 e i5 = i. Allora z1 = i + i + 1 = 1 + 2i . √ b) Conviene prima esprimere 3+3i in forma trigonometrica. Vale: 3+3i = 3 2 cos π4 + i sin π4 , da cui 8
8
(3 + 3i) = 3 · 2
4
π cos 8 · 4
π + i sin 8 · 4
= 16 · 38 (cos 2π + i sin 2π) = 16 · 38 .
4) Dato un numero complesso z = a + ib, con a, b ∈ R, `e noto che z si pu`o anche scrivere in forma trigonometrica come z = ρ (cos θ + i sin θ) , ove ρ :=
√
a2 + b2 e θ soddisfa le relazioni cos θ =
a ρ
e sin θ = ρb .
Osserviamo che θ `e determinato dal numero complesso z a meno di multipli di 2π. a) Se z = 8, allora, con le notazioni introdotte sopra, a = 8, b = 0, cos θ = 1 e sin θ = 0. Quindi 8 = 8 (cos 0 + i sin 0) . b) 6i = 6 (0 + i) = 6 cos π2 + i sin π2 .
c) ( cos( π3 ) − i sin( π3 ))7 si pu`o scrivere come w7 , ove w `e gi`a scritto in forma trigonometrica. Allora, applicando la formula di de Moivre si ha π π 7π 7π π π π π z = ( cos( )−i sin( ))7 = ( cos( )−i sin( )) = ( cos(2π+ )−i sin(2π+ )) = cos( )−i sin( ) . 3 3 3 3 3 3 3 3
4
NUMERI COMPLESSI
5) (a) Vale 1+i 3−i 1+i 1+i 3−i 1−i − (1 + 2i)(2 + 2i) + = · − (1 + 2i)(2 + 2i) + · 1−i 1+i 1−i 1+i 1+i 1−i = i − 2 − 2i − 4i + 4 +
3 − 1 − 3i − i 2 − 4i = i + 2 − 6i + 2 2
= 2 − 5i + 1 − 2i = 3 − 7i . (b) Calcoliamo innanzitutto √
3
3+i
=
√
√
3
3 + i . Vale
3
3−i
√
=
2 √
3−i
√ √ 3 − i = 3 − 1 − 2i 3 3−i
√ √ √ √ = 2 − 2i 3 3 − i = 2 3 − 2i − 6i − 2 3 = −8i .
Risulta allora 2i(i − 1) +
√
3
3+i
+ (1 + i)(1 + i) = −2 − 2i − 8i + 2 = −10i .
6) Ricordiamo che in campo complesso ogni numero z ha n radici n-ime distinte, che costituiscono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza con centro nell’origine e di raggio pari a
|z|. In particolare, se z = ρ (cos θ + i sin θ) = ρeiθ , allora le radici ennesime
p n
di z sono date da √ n
ρ cos
θ + 2kπ n
+ i sin
θ + 2kπ n
=
√ n
ρe
θ+2kπ n
. k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 .
Per calcolare le radici quadrate del numero z = −1 − i, scriviamo z in forma trigonometrica, ottenendo: z=
√ 5π 5π 2 cos + i sin . 4 4
Dalla formula sopra, si ottiene allora z1 =
z2 =
q√ 2
q√ 2
2 cos
2 cos
5π 4
5π 4
!
2
+ 2π 2
+ i sin
!
+ i sin
5π 4
!!
2 5π 4
√ 5π 5π 4 + i sin e = 2 cos 8 8
+ 2π 2
!!
Un’altra possibilit`a `e la seguente. L’equazione (x + i y)2 = −1 − i d`a luogo al sistema (
x2 − y 2 = −1 , 2xy = −1 ,
√ 13π 13π 4 = 2 cos + i sin . 8 8
NUMERI COMPLESSI
5
che ammette le soluzioni s √
z = ±
2−1 i − 2 2
s
2 √ . 2−1
` facile ora verificare che le due soluzioni ottenute in questo modo coincidono con z1 e z2 . E
7) Per calcolare le radici quadrate del numero z = −8, scriviamo z in forma trigonometrica, ottenendo: z = 8 (cos π + i sin π) . Dalla formula ricordata nell’esercizio 6), si ottiene allora √ √ π π π π 3 z1 = 8 cos + i sin = 2 cos + i sin = 1 + i 3, 3 3 3 3 √ 3 z2 = 8 (cos π + i sin π) = 2 (cos π + i sin π) = −2 , e √ √ 5π 5π 5π 5π 3 z3 = 8 cos + i sin = 2 cos + i sin = 1 − i 3. 3 3 3 3
8) Supponiamo che esista z ∈ C soddisfacente l’equazione data. Scriviamo tale equazione nella forma |z| = Re (z) + i(Im (z) + 1). Poich`e |z| ∈ R, deve essere Im (z) = −1. Riscriviamo l’ equazione come q
(Re (z))2 + 1 = Re (z) ,
da cui si ricava, elevando al quadrato, 1 = 0. Non esiste quindi alcun numero complesso soddisfacente l’equazione data. 9) Nel corso dell’esercizio, scriveremo z come a + ib, a, b ∈ R. a) L’equazione z = i(z −1) si pu`o scrivere come a−ib = i(a+ib−1), cio`e a−ib = −b+i(a−1). Occorre quindi imporre a = −b e −b = a−1. Le due equzioni sono incompatibili; non esistono, quindi, soluzioni complesse dell’equazione data. b) L’equazione z 2 · z = z si pu`o scrivere come z · (z z¯ − 1) = 0. Le soluzioni sono quindi date da z = 0 e dall’insieme dei numeri complessi z tali che z z¯ = |z|2 = 1, cio`e dai punti della circonferenza unitaria in R2 . c) Eleviamo al quadrato entrambi i membri della equazione |z + 3i| = 3|z|, ottenendo |z + 3i|2 = |a + i(b + 3)|2 = a2 + (b + 3)2 ,
6
NUMERI COMPLESSI
e (3|z|)2 = 9(a2 + b2 ). Occorre quindi risolvere l’equazione a2 + (b + 3)2 = 9(a2 + b2 ) , cio`e 8(a2 + b2 ) = 6b + 9, cio`e ancora a2 + b2 − 34 b = 98 . Applicando il metodo di completamento del quadrato si osserva che 3 3 9 b2 − b = (b − )2 − , 4 8 64 per cui l’equazione a2 + b2 − 34 b =
9 8
`e equivalente a
3 9 9 9 a2 + (b − )2 = + = ( )2 . 8 64 8 8 L’equazione data `e quindi soddisfatta da tutti i numeri complessi z = a + ib che appartengono alla circonferenza centrata in (0, 38 ), di raggio 98 . 10) Sia z = a + ib, a, b ∈ R. Allora z 2 ∈ R se e solo se a2 − b2 + 2iab ∈ R, cio`e se e solo se ab = 0. Ci`o `e equivalente al fatto che la parte reale o la parte immaginaria di z siano nulli, quindi z 2 ∈ R se e solo se z `e un numero reale oppure un numero immaginario puro. 11) Sia z = a + ib, a, b ∈ R. (a) Calcoliamo innanzitutto Re (z(1 + i)). Vale (a + ib)(1 + i) = a − b + i(a + b), da cui Re (z) (1 + i) = a − b. L’equazione data `e allora equivalente a a − b + a2 + b2 = 0 , che si pu`o anche riscrivere, con il metodo di completamento del quadrato, come 1 1 1 (a + )2 + (b − )2 = . 2 2 2 Le soluzioni dell’equazione sono allora date dai punti della circonferenza di centro C(− 12 , 12 ) √
e raggio
2 2
.
(b) Risulta z 2 = a2 − b2 + 2iab e z¯(1 + 2i) = (a − ib)(1 + 2i) = a + 2b + i(2a − b) . L’equazione si pu`o quindi riscrivere come a2 − b2 + i(2a − b) = −3 , da cui 2a = b e a2 − b2 = −3. Questo sistema ammette le soluzioni z1 = 1 + 2i e z2 = −1 − 2i, che sono quindi le uniche soluzioni dell’equazione di partenza.
NUMERI COMPLESSI
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(c) Calcoliamo (2 − i)z. Risulta (2 − i)(a + ib) = 2a + b + i(2b − a) , per cui l’equazione data si pu`o scrivere in modo equivalente come 2b − a = 1 . Le soluzioni descrivono quindi la retta di equazione x − 2y + 1 = 0 in C. 12) Osserviamo che se z = −i, allora z 2 = −1 e z 3 = i, cos`ı che P (−i) = i + 1 − i + 1 + a = 2 + a . Allora −i `e radice del polinomio se e solo se a = −2. Osserviamo ora che il polinomio P (z) = z 3 − z 2 + z − 1 `e divisibile per z − 1, e vale P (z) = z 3 − z 2 + z − 1 = (z − 1)(z 2 + 1) . Il binomio z 2 + 1 ammette due radici complesse (z = ±i). Pertanto, per a = −2, la decomposizione di P `e P (z) = (z − 1)(z 2 + 1) in R e P (z) = (z − 1)(z − i)(z + i) in C .