complsvolti

NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti.

1) Calcolare la parte reale e la parte immaginaria di z=

i−4 .

2i − 3

2) Determinare il valore assoluto e il coniugato di a)z = (1 + i)6

e

b)w = i17 .

3) Scrivere in forma cartesiana i seguenti numeri complessi: a) z1 = i5 + i + 1; b) z2 = (3 + 3i)8 .

4) Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: a)8

π π c)( cos( ) − i sin( ))7 .

3 3

b)6i

5) Semplificare le seguenti espressioni 1+i 3−i − (1 + 2i)(2 + 2i) + ; 1−i 1+i √ 3 (b) 2i(i − 1) + 3 + i + (1 + i)(1 + i) .

(a)

6) Calcolare le radici quadrate del numero z = −1 − i.

7) Calcolare le radici terze di z = −8.

1

2

NUMERI COMPLESSI

8) Dimostrare che non esistono numeri complessi tali che |z| − z = i.

9) Determinare i numeri complessi che soddisfano le seguenti equazioni: a)z = i(z − 1)

b)z 2 · z = z

c)|z + 3i| = 3|z| .

10) Determinare tutti i numeri complessi z tali che z 2 ∈ R.

11) Determinare tutti i numeri complessi che verificano le seguenti condizioni: (a) Re (z(1 + i)) + zz = 0 ;

(b) Re z 2 + i Im (z(1 + 2i)) = −3 ; (c) Im ((2 − i)z) = 1 .

12) Determinare a ∈ R in modo che il polinomio P (z) = z 3 − z 2 + z + 1 + a ammetta z = −i come radice. Inoltre, per tale valore di a scomporre il polinomio P (z) in fattori irriducibili sia in R che in C .

NUMERI COMPLESSI

3

Esercizi svolti 1) Si ha z=

i−4 i − 4 2i + 3 −2 + 3i − 8i − 12 14 5 = · = = +i .

2i − 3 2i − 3 2i + 3 −4 − 9 13 13

Risulta quindi Re (z) =

14 13

e Im (z) =

5 13 .

2) a) Scriviamo innanzitutto z in forma trigonometrica: e applichiamo la formula di De Moivre: 6

z = (1 + i) =

√

6

π π 2(cos + i sin ) 4 4

3π 3π = 8 cos + i sin ) = −8i.

2 2

Allora |z| = 8 e z¯ = 8i. b) Risulta w = i17 = i · i16 = i · i4

4

= i · (1)4 = i. Allora |w| = 1 e w ¯ = −i.

3) a) Osserviamo che i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 e i5 = i. Allora z1 = i + i + 1 = 1 + 2i . √

b) Conviene prima esprimere 3+3i in forma trigonometrica. Vale: 3+3i = 3 2 cos π4 + i sin π4 , da cui 8

8

(3 + 3i) = 3 · 2

4

π cos 8 · 4

π + i sin 8 · 4

= 16 · 38 (cos 2π + i sin 2π) = 16 · 38 .

4) Dato un numero complesso z = a + ib, con a, b ∈ R, `e noto che z si pu`o anche scrivere in forma trigonometrica come z = ρ (cos θ + i sin θ) , ove ρ :=

√

a2 + b2 e θ soddisfa le relazioni cos θ =

a ρ

e sin θ = ρb .

Osserviamo che θ `e determinato dal numero complesso z a meno di multipli di 2π. a) Se z = 8, allora, con le notazioni introdotte sopra, a = 8, b = 0, cos θ = 1 e sin θ = 0.

Quindi 8 = 8 (cos 0 + i sin 0) . b) 6i = 6 (0 + i) = 6 cos π2 + i sin π2 .

c) ( cos( π3 ) − i sin( π3 ))7 si pu`o scrivere come w7 , ove w `e gi`a scritto in forma trigonometrica.

Allora, applicando la formula di de Moivre si ha π π 7π 7π π π π π z = ( cos( )−i sin( ))7 = ( cos( )−i sin( )) = ( cos(2π+ )−i sin(2π+ )) = cos( )−i sin( ) .

3 3 3 3 3 3 3 3

4

NUMERI COMPLESSI

5) (a) Vale 1+i 3−i 1+i 1+i 3−i 1−i − (1 + 2i)(2 + 2i) + = · − (1 + 2i)(2 + 2i) + · 1−i 1+i 1−i 1+i 1+i 1−i = i − 2 − 2i − 4i + 4 +

3 − 1 − 3i − i 2 − 4i = i + 2 − 6i + 2 2

= 2 − 5i + 1 − 2i = 3 − 7i . (b) Calcoliamo innanzitutto √

3

3+i

=

√

√

3

3 + i . Vale

3

3−i

√

=

2 √

3−i

√ √ 3 − i = 3 − 1 − 2i 3 3−i

√ √ √ √ = 2 − 2i 3 3 − i = 2 3 − 2i − 6i − 2 3 = −8i .

Risulta allora 2i(i − 1) +

√

3

3+i

+ (1 + i)(1 + i) = −2 − 2i − 8i + 2 = −10i .

6) Ricordiamo che in campo complesso ogni numero z ha n radici n-ime distinte, che costituiscono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza con centro nell’origine e di raggio pari a

|z|. In particolare, se z = ρ (cos θ + i sin θ) = ρeiθ , allora le radici ennesime

p n

di z sono date da √ n

ρ cos

θ + 2kπ n

+ i sin

θ + 2kπ n

=

√ n

ρe

θ+2kπ n

. k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 .

Per calcolare le radici quadrate del numero z = −1 − i, scriviamo z in forma trigonometrica, ottenendo: z=

√ 5π 5π 2 cos + i sin .

4 4

Dalla formula sopra, si ottiene allora z1 =

z2 =

q√ 2

q√ 2

2 cos

2 cos

5π 4

5π 4

!

2

+ 2π 2

+ i sin

!

+ i sin

5π 4

!!

2 5π 4

√ 5π 5π 4 + i sin e = 2 cos 8 8

+ 2π 2

!!

Un’altra possibilit`a `e la seguente. L’equazione (x + i y)2 = −1 − i d`a luogo al sistema (

x2 − y 2 = −1 , 2xy = −1 ,

√ 13π 13π 4 = 2 cos + i sin .

8 8

NUMERI COMPLESSI

5

che ammette le soluzioni s √

z = ±

2−1 i − 2 2

s



2  √ .

2−1

` facile ora verificare che le due soluzioni ottenute in questo modo coincidono con z1 e z2 .

E

7) Per calcolare le radici quadrate del numero z = −8, scriviamo z in forma trigonometrica, ottenendo: z = 8 (cos π + i sin π) .

Dalla formula ricordata nell’esercizio 6), si ottiene allora

√ √ π π π π 3 z1 = 8 cos + i sin = 2 cos + i sin = 1 + i 3, 3 3 3 3 √ 3 z2 = 8 (cos π + i sin π) = 2 (cos π + i sin π) = −2 , e

√ √ 5π 5π 5π 5π 3 z3 = 8 cos + i sin = 2 cos + i sin = 1 − i 3.

3 3 3 3

8) Supponiamo che esista z ∈ C soddisfacente l’equazione data. Scriviamo tale equazione nella forma |z| = Re (z) + i(Im (z) + 1).

Poich`e |z| ∈ R, deve essere Im (z) = −1. Riscriviamo l’ equazione come q

(Re (z))2 + 1 = Re (z) ,

da cui si ricava, elevando al quadrato, 1 = 0. Non esiste quindi alcun numero complesso soddisfacente l’equazione data.

9) Nel corso dell’esercizio, scriveremo z come a + ib, a, b ∈ R. a) L’equazione z = i(z −1) si pu`o scrivere come a−ib = i(a+ib−1), cio`e a−ib = −b+i(a−1).

Occorre quindi imporre a = −b e −b = a−1. Le due equzioni sono incompatibili; non esistono, quindi, soluzioni complesse dell’equazione data. b) L’equazione z 2 · z = z si pu`o scrivere come z · (z z¯ − 1) = 0. Le soluzioni sono quindi date da z = 0 e dall’insieme dei numeri complessi z tali che z z¯ = |z|2 = 1, cio`e dai punti della circonferenza unitaria in R2 . c) Eleviamo al quadrato entrambi i membri della equazione |z + 3i| = 3|z|, ottenendo |z + 3i|2 = |a + i(b + 3)|2 = a2 + (b + 3)2 ,

6

NUMERI COMPLESSI

e (3|z|)2 = 9(a2 + b2 ). Occorre quindi risolvere l’equazione a2 + (b + 3)2 = 9(a2 + b2 ) , cio`e 8(a2 + b2 ) = 6b + 9, cio`e ancora a2 + b2 − 34 b = 98 .

Applicando il metodo di completamento del quadrato si osserva che 3 3 9 b2 − b = (b − )2 − , 4 8 64 per cui l’equazione a2 + b2 − 34 b =

9 8

`e equivalente a

3 9 9 9 a2 + (b − )2 = + = ( )2 .

8 64 8 8 L’equazione data `e quindi soddisfatta da tutti i numeri complessi z = a + ib che appartengono alla circonferenza centrata in (0, 38 ), di raggio 98 .

10) Sia z = a + ib, a, b ∈ R. Allora z 2 ∈ R se e solo se a2 − b2 + 2iab ∈ R, cio`e se e solo se ab = 0.

Ci`o `e equivalente al fatto che la parte reale o la parte immaginaria di z siano nulli, quindi z 2 ∈ R se e solo se z `e un numero reale oppure un numero immaginario puro.

11) Sia z = a + ib, a, b ∈ R. (a) Calcoliamo innanzitutto Re (z(1 + i)). Vale (a + ib)(1 + i) = a − b + i(a + b), da cui Re (z) (1 + i) = a − b.

L’equazione data `e allora equivalente a a − b + a2 + b2 = 0 , che si pu`o anche riscrivere, con il metodo di completamento del quadrato, come 1 1 1 (a + )2 + (b − )2 = .

2 2 2 Le soluzioni dell’equazione sono allora date dai punti della circonferenza di centro C(− 12 , 12 ) √

e raggio

2 2

.

(b) Risulta z 2 = a2 − b2 + 2iab e z¯(1 + 2i) = (a − ib)(1 + 2i) = a + 2b + i(2a − b) .

L’equazione si pu`o quindi riscrivere come a2 − b2 + i(2a − b) = −3 , da cui 2a = b e a2 − b2 = −3. Questo sistema ammette le soluzioni z1 = 1 + 2i e z2 = −1 − 2i, che sono quindi le uniche soluzioni dell’equazione di partenza.

NUMERI COMPLESSI

7

(c) Calcoliamo (2 − i)z. Risulta (2 − i)(a + ib) = 2a + b + i(2b − a) , per cui l’equazione data si pu`o scrivere in modo equivalente come 2b − a = 1 .

Le soluzioni descrivono quindi la retta di equazione x − 2y + 1 = 0 in C. 12) Osserviamo che se z = −i, allora z 2 = −1 e z 3 = i, cos`ı che P (−i) = i + 1 − i + 1 + a = 2 + a .

Allora −i `e radice del polinomio se e solo se a = −2.

Osserviamo ora che il polinomio P (z) = z 3 − z 2 + z − 1 `e divisibile per z − 1, e vale P (z) = z 3 − z 2 + z − 1 = (z − 1)(z 2 + 1) .

Il binomio z 2 + 1 ammette due radici complesse (z = ±i).

Pertanto, per a = −2, la decomposizione di P `e P (z) = (z − 1)(z 2 + 1) in R e P (z) = (z − 1)(z − i)(z + i) in C .