Coniche R. Notari
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1. Notazioni. Proposizione 1 Ogni conica si rappresenta tramite un’ equazione algebrica di secondo grado della forma γ : a11x2+2a12xy + a22y 2+ +2a13x + 2a23y + a33 = 0. Detta B la matrice quadrata di ordine 3 le cui entrate sono i coefficienti aij , e detto Y = t(x, y, 1), l’ equazione pu` o essere scritta come γ : tY BY = 0.
Detta invece A=
a11 a12 a12 a22
!
,
ed X = t(x, y) l’ equazione pu` o essere scritta come γ : tXAX + 2(a13, a23)X + a33 = 0.
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2. Cambi di coordinate. Teorema 2 Sia γ un luogo descritto da un’ equazione di secondo grado della forma γ : tXAX + 2(a13, a23)X + a33 = 0, e sia X = P X0 +
a b
!
un cambio di coordinate, con P matrice ortogonale speciale. Allora la nuova equazione di γ ` e della forma γ : tX 0A0X 0 + 2(a013, a023)X 0 + a033 = 0, dove A0 = tP AP, e det(B 0) = det(B). Quindi, det(B) ` e invariante per cambi di coordinate, come anche il polinomio caratteristico di A (e quindi gli autovalori, la traccia ed il determinante di A).
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3. Coniche e coppie di rette. Osservazione 3 Per uniformare la terminologia, ellissi, parabole ed iperboli sono chiamate coniche non degeneri, mentre le coppie di rette vengono chiamate coniche degeneri. Teorema 4 Sia γ un luogo piano rappresentato da un’ equazione di secondo grado. 1.γ ` e una conica non degenere se B ha rango 3. 2.γ ` e una coppia di rette distinte (eventualmente complesse coniugate) se B ha rango 2. 3.γ ` e una retta (contata doppia) se B ha rango 1.
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4. Classificazione delle coniche. Teorema 5 Sia γ una conica non degenere definita da un’ equazione della forma γ : tXAX + 2(a13, a23)X + a33 = 0. γ ` e un’ ellisse reale se A ` e definita in segno e tr(A) det(B) < 0, ` e un’ ellisse immaginaria se A ` e definita in segno e tr(A) det(B) > 0, ` e una parabola se A ` e semidefinita ma non definita in segno (A ha un autovalore nullo), ` e un’ iperbole se A non ` e definita in segno. Osservazione 6 Se P ` e una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A allora X = P X0 definisce un cambio di coordinate che trasforma l’ equazione di γ nella forma 2
2
Ax0 + By 0 + 2Cx0 + 2Dy 0 + E = 0. Quindi, a meno di una traslazione, abbiamo riportato γ in forma canonica. 5
5. Coniche a centro. Osservazione 7 Le coniche non degeneri aventi un centro di simmetria sono le ellissi e le iperboli. Teorema 8 Sia γ un’ ellisse o un’ iperbole descritta da un’ equazione della forma γ : tXAX + 2(a13, a23)X + a33 = 0. Il centro di simmetria di γ ` e l’ unica soluzione del sistema lineare AX = − t(a13, a23). Proposizione 9 Sia γ una conica a centro avente C(xC , yC ) come centro di simmetria, e sia P una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A. Allora X = P X0 +
xC yC
!
` e un cambio di coordinate che riporta γ in forma canonica. 6
6. Parabola. Proposizione 10 Sia γ una parabola avente V (xV , yV ) come vertice, e sia P una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A. Allora X = P X0 +
xV yV
!
` e un cambio di coordinate che riporta γ in forma canonica. Osservazione 11 Procedura per il calcolo del vertice della parabola. Sia λ l’ autovalore non nullo di A, e sia V (λ) il suo autospazio. Siano B1, B2 i punti d’ intersezione di V (λ) con γ, e sia M il loro punto medio. Attenzione: anche se B1 e B2 sono complessi coniugati, M ` e un punto reale. Sia r la retta parallela all’ autospazio V (0) passante per M. Il vertice della parabola ` e l’ unico punto d’ intersezione tra r e γ. 7
7. Tangenti ad una conica. Teorema 12 Sia γ una conica non degenere definita dall’ equazione γ : tY BY = 0 con B matrice simmetrica, e sia A(xA, yA) un punto del piano. Sia YA = t(xA, yA, 1), e supponiamo che tYAB 6= (0, 0, a). Sia pA la retta definita da pA : tYABY = 0. Se A ∈ γ allora pA ` e la retta tangente a γ in A. Se A ∈ / γ, allora pA interseca γ nei punti in cui le rette tangenti a γ per A toccano γ. Osservazione 13 La retta pA ` e chiamata retta polare di polo A rispetto a γ. La costruzione della retta polare permette lo studio di molte propriet` a delle coniche. Teorema 14 (di reciprocit` a ) Sia conica. Se B ∈ pA allora A ∈ pB .
γ
una
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