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1) Verificare che f (x) = 2x − 3 `e continua in x0 = 1. 2) Verificare che f (x) =
2 x−1
`e continua in x0 = 3.
3) Tracciare il grafico e studiare la continuit` a di f (x) =
e−1/x
0
se x 6= 0 se x = 0
4) Tracciare il grafico e studiare la continuit` a di √ 1−x
f (x) =
3x + 2
se x ≤ 1 se x > 1
5) Tracciare il grafico e studiare la continuit` a di 3 −2x2 x x−2 f (x) =
1
se x 6= 2 se x = 2
6) Determinare il dominio e studiare la continuit` a di 2 5x − x
f (x) =
x log x
se x ≤ 0 se x > 0
7) Determinare il dominio, tracciare il grafico e studiare la continuit` a di ¯x + 3¯ ¯ ¯ ¯
f (x) = ¯ 1
x−1
2
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8) Tracciare il grafico e studiare la continuit` a di f (x) =
arctan x1
0
se x 6= 0 se x = 0
9) Determinare per quale valore del parametro α ∈ R la funzione √ x + 1 se x ≥ 0 f (x) = [x] + α se x < 0 `e continua su [−1, +∞)
([x] `e la parte intera di x).
10) Determinare per quali a ∈ R risultano continue sui loro domini le funzioni f (x) =
tan x + 3
g(x) =
se x < 0 x , 2 (x − 1) + a se x ≥ 0
sin x + a
se x <
π 2
2 x+1
se x ≥
π 2
π
√ x( x + 1 − 1)
h(x) =
tan x2 x a2 + 3
,
se x > 0 se x ≤ 0
.
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3
SOLUZIONI 1) Dato ε > 0, se |x − 2| < δ con δ < ε/2, segue |f (x) − f (1)| < ε. 2) Dato ε > 0, se |x − 3| < δ con δ = min{ε, 1}, segue |f (x) − f (1)| < ε. 3) La funzione f `e discontinua in x0 = 0 perch´e lim f (x) = +∞ ,
x→0−
lim f (x) = 0
x→0+
ma `e continua da destra. 4) La funzione f ha in x0 = 1 un punto di discontinuit` a di prima specie perch´e lim f (x) = 0
x→1−
,
lim f (x) = 5
x→1+
Il grafico `e riportato in figura 1.
16
14
12
10
8
6
4
2
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Fig. 1: Grafico di f , (esercizio 4)
5) La funzione f ha in x0 = 2 un punto di discontinuit` a eliminabile perch´e lim f (x) = 4 ,
x→2
Il grafico `e riportato in figura 2.
f (2) = 1
4
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25
20
15
10
5
0 −5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Fig. 2: Grafico di f , (esercizio 5)
6) La funzione f ha dominio dom(f ) = R. Essa `e continua in ogni punto in quanto y = 5x2 − x e y = x log x sono continue sui rispettivi domini e lim f (x) = 0 = f (0) ,
x→0−
lim f (x) = 0
x→0+
7) La funzione f ha dominio dom(f ) = R \ {1} ed `e continua in ogni punto del suo dominio in quanto composta da funzioni continue. Il punto x0 = 1, che non appartiene al dominio di f , si dice anche punto di discontinuit` a di seconda specie, poich´e lim f (x) = +∞
x→1
Il grafico `e riportato in figura 3. 8) La funzione f ha in x0 = 0 un punto di discontinuit` a di prima specie perch´e lim f (x) = −
x→0−
π 2
,
Il grafico `e riportato in figura 4. 9) α = 2 10) f : a = 3
g : a=1
h : a = − 52 .
f (0) = 0 ,
lim f (x) =
x→0+
π 2
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5
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 −10
−5
0
5
Fig. 3: Grafico di f , (esercizio 7)
1.0
0.5
0.0 −5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−0.5
−1.0
Fig. 4: Grafico di f , (esercizio 8)
5