continuitateoria

FUNZIONI CONTINUE RICHIAMI TEORICI 1

Definizioni

(1.1) Definizione Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ Rn e x0 ∈ A. Diciamo che f `e continua in x0 se x0 `e un punto isolato di A, oppure se x0 `e un punto di accumulazione di A ed esiste lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

(1.2) Osservazione La definizione precedente si pu`o esprimere in modo equivalente come segue: f `e continua in x0 ∈ A se e solo se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ A da 0 ≤ ||x − x0 || < δ segue che ||f (x) − f (x0 )|| < ε. Se in particolare A ⊆ R, cio`e n = 1, la definizione precedente si traduce come segue: f `e continua in x0 ∈ A se e solo se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ A da 0 ≤ |x − x0 | < δ segue che |f (x) − f (x0 )| < ε.

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Propriet` a delle funzioni continue in un punto

Enunciamo ora alcuni teoremi sulle funzioni continue, nel caso n = 1 di una variabile reale.

(2.1) Teorema della permanenza del segno Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ Rn e x0 ∈ A. Supponiamo che f sia continua in x0 e che f (x0 ) > 0. Allora esiste R > 0 tale che per ogni x ∈ A da 0 ≤ |x − x0 | < R segue che f (x) > 0.

(2.2) Teorema di limitatezza locale Sia f : A → R, con A = dom(f ) ⊆ Rn e x0 ∈ A. Supponiamo che f sia continua in x0 . Allora esistono R, M > 0 tali che per ogni x ∈ A da 0 ≤ |x − x0 | < R segue che |f (x)| ≤ M .

(2.3) Teorema Siano f : A → R, g : A → R, con A = dom(f ) = dom(g) ⊆ R, x0 ∈ A. Se f e g sono continue in x0 allora anche le funzioni f + g e f · g sono continue in x0 . Inoltre, se g(x0 ) 6= 0, allora anche la funzione f /g `e continua in x0 .

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FUNZIONI CONTINUE - RICHIAMI TEORICI

(2.4) Teorema di continuit` a della funzione composta Siano f : A → R, g : B → R, con A = dom(f ) ⊆ R, B = dom(g) ⊆ R, tali che Im (f ) ∩ dom(g) 6= ∅, e x0 ∈ dom(g ◦ f ). Se f `e continua in x0 e g `e continua in f (x0 ), allora anche la funzione composta g ◦ f `e continua in x0 .

(2.5) Osservazione Si pu`o dimostrare che tutte le funzioni elementari (polinomi, funzioni razionali, elevamento a potenza, funzioni trigonometriche, funzioni esponenziali e loro inverse) sono continue in tutto il loro dominio.

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Propriet` a delle funzioni continue in un intervallo

(3.1) Teorema di esistenza di massimo e minimo Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b] ⊂ R. Allora esistono max f ([a, b]) e min f ([a, b]).

(3.2) Teorema di esistenza degli zeri Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b], e tale che f (a) · f (b) < 0. Allora esiste c ∈]a, b[ tale che f (c) = 0.

(3.3) Teorema dei valori intermedi Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b]. Allora per ogni y0 compreso tra f (a) e f (b) esiste x0 ∈ [a, b] tale che f (x0 ) = y0 .

(3.4) Teorema sull’immagine continua di un intervallo Sia I ⊆ R un intervallo e f : I → R una funzione continua in I. Allora l’immagine f (I) `e un intervallo.

(3.5) Teorema sui legami tra continuit` a e monotonia (a) Sia f : I → R una funzione continua su un intervallo I ⊆ R. Allora f `e iniettiva se e solo se `e strettamente monotona. (b) Sia I ⊆ R un intervallo e f : I → R una funzione monotona. Allora f `e continua in I se e solo se f (I) `e un intervallo.

(3.6) Teorema sulla continuit` a della funzione inversa Sia I ⊆ R un intervallo e f : I → R una funzione invertibile e continua in I. Allora la funzione inversa f −1 : f (I) → R `e continua in f (I).