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Curve e superfici parametrizzate R. Notari

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1. Cambi di parametro.

Proposizione 1 Sia L : t ∈ (a, b) → P (t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 una curva regolare, e sia ϕ : s ∈ (c, d) → ϕ(s) ∈ (a, b) una funzione di classe C 2((c, d)) invertibile. Allora L ◦ ϕ : s ∈ (c, d) → (x(ϕ(s)), y(ϕ(s)), z(ϕ(s))) ` e una curva regolare con lo stesso supporto di L. Proposizione 2 Sia L : t ∈ (a, b) → P (t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 una curva regolare, e sia A = P (t0) un suo punto. La funzione s(t) =

Z t t0

|P 0(t)|dt

` e monotona di classe C 2, e viene chiamata ascissa curvilinea di origine A.

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2. Geometria delle curve.

Teorema 3 Sia L : t ∈ (a, b) → P (t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 una curva regolare, e sia A = P (t0) un suo punto. La retta tangente ad L in A ha equazione vettoriale →

AP = τ P 0(t0), τ ∈ R. Teorema 4 Sia L : t ∈ (a, b) → P (t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 una curva biregolare, e sia A = P (t0) un suo punto. Il piano osculatore ad L in A ha equazione vettoriale →

AP = uP 0(t0) + vP 00(t0), (u, v) ∈ R2.

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3. Curve piane.

Teorema 5 Sia L : t ∈ (a, b) → P (t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 una curva biregolare. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. L ` e piana;

2. il versore binormale ` e costante;

3. il piano osculatore ad L in un suo punto A contiene L;

4. x(t), y(t), z(t), 1 sono 4 funzioni dipendenti linearmente .

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4. Triedro fondamentale. →

Lemma 6 Sia v (s) = (v1(s), v2(s), v3(s)) un vettore con componenti di classe C 1([a, b]). → Se v ha modulo costante, il suo vettore deri→0 vato primo v (s) = (v10 (s), v20 (s), v30 (s)) ` e or→ togonale a v per ogni valore di s ∈ [a, b].

Teorema 7 (Formule di Frenet) Sia L : s ∈ (a, b) → P (s) = (x(s), y(s), z(s)) ∈ R3 una curva biregolare parametrizzata con l’ a→ → → n scissa curvilinea, e sia ( t (s), (s), b (s)) il triedro fondamentale. Allora d ds d ds d ds

→

=

→

κ n

t → → → n = −κ t −τ b → → τ n . b =

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Proposizione 8 Sia L : t ∈ (a, b) → P (t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 una curva biregolare. Allora |P 0 ∧ P 00| k(t) = |P 0|3 ed inoltre P 0 ∧ P 00 · P 000 τ (t) = − .

0 00 2 |P ∧ P | 5. Esistenza di curve.

Teorema 9 Sia κ = κ(s) una funzione positiva di classe C 2([a, b]), e sia τ = τ (s) una funzione di classe C 2([a, b]). A meno di movimenti rigidi di R3 esiste una ed una sola curva biregolare L avente κ come curvatura in ogni suo punto, ed avente τ come torsione in ogni suo punto.

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6. Superfici parametrizzate.

Proposizione 10 Sia S : (u, v) ∈ D → P (u, v) ∈ R3 una superficie regolare, e sia ϕ : (s, t) ∈ D → (u(s, t), v(s, t)) ∈ D una funzione iniettiva di classe C 1 con jacobiana invertibile in ogni punto di D. Allora S◦ϕ ` e una parametrizzazione regolare di S.

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Proposizione 11 Sia data la superficie regolare S : (u, v) ∈ D → P (u, v) ∈ R3, dove P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Le linee coordinate Lu : (u, v0) → P (u, v0) e Lv : (u0, v) → P (u0, v) sono curve regolari che dipendono dalla parametrizzazione scelta.

Proposizione 12 Sia S : (u, v) ∈ D → P (u, v) ∈ R3 una superficie regolare, e sia A = P (u0, v0) un suo punto. Il piano tangente ad S in A ha equazione vettoriale →

AP = sPu(u0, v0) + tPv (u0, v0), (s, t) ∈ R2, e non dipende dalla parametrizzazione scelta.

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7. Cilindri.

Proposizione 13 Sia L : t ∈ (a, b) → (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 →

una curva regolare, e sia v = (a, b, c) un vettore non nullo tale che nessuna retta ad esso parallela sia tangente ad L o secante in pi` u di un punto L. Il cilindro avente L come diret→ trice e generatrici parallele a v ha equazione parametrica (t, s) ∈ (a, b) × R → P (t, s) ∈ R3 dove P (t, s) = (x(t) + sa, y(t) + sb, z(t) + sc).

Le sue linee coordinate sono rette (fissata t), e curve traslazioni di L (fissata s). Il piano → tangente ` e parallelo ai vettori P 0(t) e v , e quindi ` e costante su ogni generatrice.

Proposizione 14 Ogni cilindro S con generatrici parallele all’ asse x (risp. y, o z) pu` o essere descritto tramite una funzione f (y, z) = 0 (risp. f (x, z) = 0 oppure f (x, y) = 0).

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8. Coni.

Proposizione 15 Sia L : t ∈ (a, b) → (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 una curva regolare, e sia V (xV , yV , zV ) un punto di R3 tale che nessuna retta per V sia tangente ad L o secante in pi` u di un punto L. Il cono di vertice V avente direttrice L ha equazione parametrica (t, s) ∈ (a, b) × R → P (t, s) ∈ R3 con P (t, s) = (xV + s(x(t) − xV ), yV + s(y(t) − yV ), zV + s(z(t) − zV )).

Le linee coordinate sono rette (fissato t), ed omotetie di L (fissato s). Il piano tangente →

` e parallelo ai vettori V P (t) e P 0(t) in tutti i punti del cono tranne che nel vertice, e quindi il piano tangente ` e costante sulle generatrici.

Il vertice ` e un punto singolare del cono.

Proposizione 16 Ogni cono con vertice nell’ origine pu` o essere rappresentato da un’ equazione omogenea f (x, y, z) = 0.

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9. Superfici di rotazione.

Proposizione 17 Sia L : t ∈ (a, b) → (ρ(t), 0, z(t)) ∈ R3 una curva regolare contenuta nel piano [xz] che non incontra l’ asse z. La superficie che si ottiene ruotando L attorno all’ asse z ha equazione parametrica (t, s) ∈ (a, b) × [0, 2π] → P (t, s) ∈ R3 con P (t, s) = (ρ(t) cos s, ρ(t) sin s, z(t)).

Le linee coordinate sono circonferenze (fissato t), e copie di L in piani ottenuti ruotando [xz] (fissato s). Il piano tangente in un suo punto A ` e parallelo al vettore tangente alla circonferenza coordinata per A ed al vettore tangente alla copia di L per A. I piani tangenti ai punti di una circonferenza coordinata intercettano l’ asse z tutti nello stesso punto.

Proposizione 18 Ogni superficie di rotazione attorno all’ asse z pu` o essere rappresentata da un’ equazione q

f ( x2 + y 2, z) = 0.

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