Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio 1. ` data la funzione di due variabili F (x, y) = y(ey + x) − log x. E Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x0 = 1 sul quale `e definita un’unica funzione y = f (x) di classe C 1 , tale che f (1) = 0 e F (x, f (x)) = 0. Esercizio 2. Sia Γ il luogo dei punti del piano definito dall’equazione x2 − x4 − y 2 = 0 .
(1)
√ 1. Verificare che il punto P di coordinate (x0 , y0 ) = (1/2, 3/4) appartiene a Γ. Quindi, facendo uso del Teorema delle funzioni implicite, verificare che esiste un intorno B in R2 di P , un intorno I in R del punto di ascissa x0 = 1/2 e una funzione y = f (x) definita su I, di classe C 1 , tale che il grafico di f coincide con l’insieme Γ ∩ B. Determinare esplicitamente un intervallo I e una funzione y = f (x) definita su I soddisfacente a tutte le propriet` a richieste. 2. Verificare che il punto Q di coordinate (x0 , y0 ) = (1, 0) appartiene a Γ. Quindi, facendo uso del Teorema delle funzioni implicite, verificare che esiste un intorno C in R2 di Q, un intorno J in R del punto di ascissa y0 = 0 e una funzione x = g(y) definita su J, di classe C 1 , tale che il grafico di g coincide con l’insieme Γ ∩ C. Determinare esplicitamente un intervallo J e una funzione x = g(y) definita su J soddisfacente a tutte le propriet` a richieste. Esercizio 3. ` data la funzione y = f (x) = ex + x2 . Facendo uso del Teorema delle funzioni implicite, E dimostrare che esiste un intorno I del punto x0 = 0 sul quale f (x) `e invertibile. Detta x = ϕ(y) la funzione inversa della restrizione di f a I, calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 di ϕ(y) nel punto y0 = 1. Esercizio 4. Per ogni k ∈ R, indichiamo Γk il luogo dei punti del piano che soddisfano l’equazione y 2 − y(x + 1) = k .
(2)
Determinare, al variare di k, i punti di coordinate (x0 , y0 ) ∈ Γk per i quali il Teorema delle funzioni implicite garantisce l’esistenza di un intorno B in R2 , di un intorno I di x0 in R, di una funzione y = ϕ(x) di classe C 1 su I il cui grafico coincida con l’insieme Γk ∩ B. 1