Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio D e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti: Z
1. D
Z
2. D
Z
3. D
xy dx dy, con D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2x − x2 }; x dx, con D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1/2 , x2 ≤ y ≤ x}; 1+y x cos y dx dy, D = {(x, y) ∈ R2 | −1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 − x2 };
4. Ridurre ad un integrale semplice il seguente integrale doppio: Z 1 dx dy, dove D `e il trapezio di vertici (1, 0), (1, 1), (3, 0), (3, 3); 2 2 D x +y Z
5.
2
e y dx dy, ove D `e il triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (2, 1).
D
Integrali doppi con e senza cambiamenti di variabili Si calcolino gli integrali doppi seguenti sia in coordinate cartesiane sia passando a coordinate polari. Z
6.
xy dx dy, ove D `e il semicerchio di centro (1, 0), raggio 1 ed y > 0; D
Z
7.
x dx dy ove D `e il semicerchio di centro (0, 0), raggio 1 ed x > 0; D
Z
8. D
Z
9. D
Z
10. D
Z
11. D
n
|x − 1|y dx dy, ove D = (x, y) ∈ R2 | y ≥ 0 ,
p
o
2y − y 2 ≤ x ≤ 2 − y ;
n
o
|y − x| dx dy, con D = (x, y) ∈ R2 | −1 ≤ x ≤ 1 , n
q
|xy| sin x2 cos y 2 dx dy, con D = (x, y) ∈ R2 | − x2 dx dy, con D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4}. 1
x2 ≤ y ≤ 1 ; π 2
≤y≤
q
π 2
− x2 , 0 ≤ x ≤
q o π 2
.