equadiff_proposti

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Esercizi proposti.

1. Determinare l’insieme di tutte le soluzioni delle seguenti equazioni a variabili separabili.

Equazione differenziale (a)

y0 =

(b) y 0 =

(c)

2x y x2 − 1

y(x) = K(x2 − 1), K ∈ R

x (y − 1) (x − 3)2

y(x) = 1 + K(x − 3)e− x−3 , K ∈ R

y 0 = yctg t

(d) y 0 =

Insieme delle soluzioni

3

y(t) = K sin t, K ∈ R

e2t y 1 + e2t

√ y(t) = K 1 + e2t , K ∈ R

Kx2 , K∈R x+1

(e)

y0 =

x+2 y x(x + 1)

y(x) =

(f)

y0 =

3y − 2 t2 + 1

y(t) =

(g)

y0 =

t2 − 1 t2

y(t) = t + 1t + K, K ∈ R

0

(h) y = y(y + 1)

(i)

(j)

(k)

y 0 = et+y

y 0 = xy 2 − 2xy

y 0 = −2ty 2

2 3

+ Ke3 arctan t , K ∈ R

1 − 1, K ∈ R 1 − Ket  y(t) = −1  

y(t) =

y(t) = log(K − et ), K ∈ (0, +∞)

2 , K∈R 1 − Kex2  y(x) = 0  

y(x) =

1 , K∈R K + t2  y(t) = 0  

y(t) =

1

(l)

Equazione differenziale

Insieme delle soluzioni

y 0 = ex y log y

y(x) = eKe , K ∈ R

ex

y 2 − 5y + 6 (m) y 0 = x2 + 1

 

y(x) = 2 +



y(x) = 2

(n)

y0 =

(t − 1)y log y

y(t) = e±

(o)

y0 =

y(1 + y 2 ) y t

y(t) = √

0

√

1 , K∈R 1 − Kearctan x

t2 −2t+K

Kt , K∈R 1 − K 2 x2

1 , K∈R t − t log t + K  y(t) = 0  

2

(p)

y = y log t

(q)

y 0 = (1 + y 2 )(1 + t2 )

y(t) =

y(t) = tan

1 3 t 3

+t+K , K ∈R

x2



(r)

(s)

(t)

√ 3



Ke 2  , K∈R y(t) = log  x2 1 − Ke 2

y 0 = (1 + ey )t

y 0 = (tan2 t)

, K∈R

2y + 3

y 0 = (1 − y 2 ) sin2 x

    

3 y(t) = − ± 2  3    y(t) = − 2  

y(x) = 1 −



y(x) = −1

2

s

2 4 (tan t − t + K) , K ∈ R 3

2 1+

Kex−sin x cos x

, K∈R

2. Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy, specificandone l’intervallo massimale di definizione.

(a)

Problema di Cauchy

Soluzione

y 2 x(1 √+ 9x )  y(1) = 10

y(x) = √

  y0 =

(

Intervallo 10x 1 + 9x2

(0, +∞)

(b)

y 0 = −te−y y(0) = −1

(c)

   y0 = t + 1 t(y − 1)  

y(t) = 1 −

1 y 0 = (1 − y 2 ) cos x 2  y(0) = 3

y(x) =

y 2 − 5y + 6 x2 + 1  y(0) = 2

y(x) = 2

y 2 − 5y + 6 x2 + 1  y(0) = 2, 5

y(x) = 2 +

1 − e−y 2t + 1  y(0) = 1

√ y(t) = log 1 + (e − 1) 2t + 1

1 1 2 y(t) = log − x e 2

√

2t + 2 log t − 1

q

−

2 , e

q 2 e

(0, +∞)

y(1) = 0

(d)

(e)

(f)

(g)

 

 

 

 

y0 =

y0 =

y0 =

1 − e−y y = (h) 2t + 1  y(0) = 0  

0

2 + esin x 2 − esin x

|x| < arcsin(log 2)

(−∞, +∞)

y(t) = 0

3

1 1 + earctan x

(−∞, +∞)

− 12 , +∞

− 12 , +∞

3. Determinare l’insieme di tutte le soluzioni delle seguenti equazioni omogenee.

Equazione differenziale (a)

y0 =

√ y(t) = ±t log t2 + K, K ∈ R

t2 + y 2 ty y

(b) ty 0 = te t + y

(c)

y0 =

2 0

y(t) = −t log (K − log |t|) , K ∈ R √ y(t) = ± 2Kt + K 2 , K ∈ R

y √2 t + t + y2

2

Insieme delle soluzioni

2

(d) 4t y = y + 6ty − 3t

t + 3Kt2 , K∈R 1 − Kt  y(t) = −3t  

y(t) =

4. Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy, specificandone l’intervallo massimale di definizione.

Problema di Cauchy (a)

(b)

y x

 

y0 = 1 −



y(1) = 1

(

t2 y 0 = 4y 2 + ty + t2 y(1) = 0

Soluzione y(x) =

x2 + 1 2x

y(t) =

t tan(2 log t) 2

4

Intervallo (0, +∞)

π

π

e− 4 , e 4

5. Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni lineari.

(a)

Equazione differenziale

Integrale generale

y 0 = ty + t3

y(t) = Ce 2 t − t2 − 2, C ∈ R

1 2

1 2

y(t) = Ce− 2 t + 1, C ∈ R

(b) y 0 = −ty + t

(c)

2 t+1 y0 = y + t t

1 y(t) = Ct2 − t − , C ∈ R 2

(d) y 0 = (cos t)y + sin t cos t y(t) = Ce− sin t + sin t + 1, C ∈ R 1 1 1 y + ex x x

(e)

y0 =

(f)

y 0 = y tan x +

(g)

y 0 = −2xy + xe−x

(h) y 0 =

1

y(x) = Cx − xe x , C ∈ R

1 sin x 2

y −1 x−2

(i)

y −1 y =− t−2

(j)

y0 =

(k)

y 0 = −ty +

(l)

y 0 = y + sin x

0

y +x+1 x+1

et

1 +1

y(x) = C

1 + log |sin x|, C ∈ R cos x 2

2

y(x) = Ce−x + 12 x2 e−x , C ∈ R

y(x) = C |x − 2| − |x − 2| log |x − 2| , C ∈ R

1 1 1 + − t2 + 2t , C ∈ R y(t) = C t−2 t−2 2

y(x) = (x + 1)(x + C), C ∈ R, x 6= −1

y(t) = e−t (log(et + 1) + C) , C ∈ R

1 y(x) = − (sin x + cos x) + Cex , C ∈ R 2

5

Equazione differenziale (m) y 0 = 2yex

Integrale generale y(x) = Ce2x − ex , C ∈ R

(n)

y 0 = −2y + e−2t

y(t) = Ce−2t + te−2t , C ∈ R

(o)

2t2 ty = y + 1 + t2

y(t) = 2t (arctan t + C) , C ∈ R

(p)

y0 = −

(q)

y 0 = y tan t + t2

y(t) = C

(r)

y +x−2 y =− x + x2

x+1 1 2 x − 3x + 3 log |x + 1| + C, C ∈ R y(t) = x 2

0

1 1 y + 2e t 2 t

0

1

1

y(t) = Ce t + 2te t , C ∈ R

1 + t2 tan t + 2t − 2 tan t, C ∈ R cos t

6. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy, specificandone l’intervallo massimale di definizione.

Problema di Cauchy

Soluzione

(

1 y(x) = x2 2

(a)

y˙ = −2xy + x + x3 y(0) = 1

y +x (b) x  y(1) = 0  

(c)

y˙ =

 y−1    y˙ = x log x  1  y =2

Intervallo R

y(x) = −x + x2

(0, +∞)

y(x) = 1 − log x

(0, 1)

e

2x − y (d) x−1  y(0) = 1  

y˙ =

y(x) = x + 1

6

(−∞. − 1)

(e)

(f)

(g)

(h)

Problema di Cauchy

Soluzione

y + arctan t 1 + t2  y(0) = 0

y(t) = earctan t − arctan t − 1

2 y + 3t2 t  y(2) = 0

y(t) = 3t3 − 6t2

3y + ex (x + 1)3 x+1  y(0) = 2

y(x) = (x + 1)3 (ex + 1)

 = −y  y˙ cotan x + 2 cos x π =1 y

y(x) = sin x

 

 

 

y0 =

y˙ =

y0 =

2

7

Intervallo

R

(0, +∞)

(−1, +∞)

(0, π)

7. Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni lineari omogenee del secondo ordine.

(a)

Equazione differenziale

Integrale generale

y 00 + y = 0

y(t) = C1 cos t + C2 sin t, C1 , C2 ∈ R

(b) y 00 − 4y = 0

y(t) = C1 e2t + C2 e−2t , C1 , C2 ∈ R

(c)

y(t) = C1 e−6t + C2 e−t , C1 , C2 ∈ R

y¨ + 7y˙ + 6y = 0

(d) y¨ + y˙ + 9y = 0

y(t) = C1 e−3t + C2 te−3t , C1 , C2 ∈ R

(e)

y 00 − 2y 0 + 5y = 0

y(t) = C1 et cos 2t + C2 et sin 2t, C1 , C2 ∈ R

(f)

y 00 + 2y 0 + 2y = 0

y(t) = C1 e−t cos t + C2 e−t sin t, C1 , C2 ∈ R

(g)

y¨ − 5y˙ + 6y = 0

y(t) = C1 e2t + C2 e3t , C1 , C2 ∈ R

(h) y¨ + 2y˙ = 0

y(t) = C1 + C2 te−2t , C1 , C2 ∈ R √ 1 3 3 t t, C1 , C2 ∈ R cos t + C2 e 2 sin 2 2 √

(i)

00

0

y −y +y =0

y(t) = C1 e

1 2

8

t

8. Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni lineari complete del secondo ordine.

Equazione differenziale

Integrale generale

y 00 − 2y 0 + y = 2tet

1 y(t) = C1 et + C2 tet + t3 et , C1 , C2 ∈ R 3

(b) y 00 − 2y 0 + y = 2tet

1 y(t) = C1 et + C2 tet + t3 et , C1 , C2 ∈ R 3

(a)

(c)

00

0

2

y + 2y = x − 3x + 1

−2x

y(x) = C1 + C2 e

3 1 3 + x − x2 + x , C1 , C2 ∈ R 6 2

1 1 y(x) = C1 cos x + C2 sin x + x cos x + x2 sin x, C1 , C2 ∈ R 4 4

(d) y¨ + y = x cos x

(e)

y 00 − 3y 0 + 2y = x2

1 3 7 y(t) = C1 ex + C2 e2x + x2 + x + , C1 , C2 ∈ R 2 2 4

(f)

x¨ − x = et sin t

x(t) = C1 ex + C2 e−x −

1 2 sin x − cos x, C1 , C2 ∈ R 5 5

9. Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy.

Problema di Cauchy

(a)

(b)

 00 0   y − 4y +

(d)

y=0

 00 0   y − 4y + 4y = 0

y(t) = e2t − 2te2t

y(0) = 1 y 0 (0) = 0

   y¨ + y˙ +

5 2

1

7

y(t) = e 2 t − e 2 t

y(0) = 0   0 y (0) = 3

 

(c)

7 4

Soluzione

y=0

1

y(t) = e− 2 t 3 cos 32 t + sin 32 t

y(0) = 3   y(0) ˙ =0    y¨ = sin x

y(x) = x − sin x

y(0) = 0

  y(0) ˙ =0

9

10. Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy, specificandone l’intervallo massimale di soluzione.

(a)

Problema di Cauchy

Soluzione

 0  y sin x − y cos x = ex sin3 x

y(x) = −

π y 2

=0

2 − y − y2 (b)  t y(1) = −1  

(c)

y0 =

 y−2   y0 = 2 (e + x) log(e2 + x)  

Intervallo 1 π 1 e 2 sin x + ex sin x(sin x − cos x) 2 2

y(t) = 1 −

t3

6 +2

y(x) = 2 − log(e2 + x)

R

(0, +∞)

(1 − e2 , +∞)

y(0) = 0

(d)

x˙ = x tan t + sin t x(0) = 1

x(t) =

3 1 − cos x 2 cos x 2

10

π π − , 2 2