EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Esercizi proposti. 1. Determinare l’insieme di tutte le soluzioni delle seguenti equazioni a variabili separabili. Equazione differenziale (a)
y0 =
(b) y 0 =
(c)
2x y x2 − 1
y(x) = K(x2 − 1), K ∈ R
x (y − 1) (x − 3)2
y(x) = 1 + K(x − 3)e− x−3 , K ∈ R
y 0 = yctg t
(d) y 0 =
Insieme delle soluzioni
3
y(t) = K sin t, K ∈ R
e2t y 1 + e2t
√ y(t) = K 1 + e2t , K ∈ R
Kx2 , K∈R x+1
(e)
y0 =
x+2 y x(x + 1)
y(x) =
(f)
y0 =
3y − 2 t2 + 1
y(t) =
(g)
y0 =
t2 − 1 t2
y(t) = t + 1t + K, K ∈ R
0
(h) y = y(y + 1)
(i)
(j)
(k)
y 0 = et+y
y 0 = xy 2 − 2xy
y 0 = −2ty 2
2 3
+ Ke3 arctan t , K ∈ R
1 − 1, K ∈ R 1 − Ket y(t) = −1
y(t) =
y(t) = log(K − et ), K ∈ (0, +∞)
2 , K∈R 1 − Kex2 y(x) = 0
y(x) =
1 , K∈R K + t2 y(t) = 0
y(t) =
1
(l)
Equazione differenziale
Insieme delle soluzioni
y 0 = ex y log y
y(x) = eKe , K ∈ R
ex
y 2 − 5y + 6 (m) y 0 = x2 + 1
y(x) = 2 +
y(x) = 2
(n)
y0 =
(t − 1)y log y
y(t) = e±
(o)
y0 =
y(1 + y 2 ) y t
y(t) = √
0
√
1 , K∈R 1 − Kearctan x
t2 −2t+K
Kt , K∈R 1 − K 2 x2
1 , K∈R t − t log t + K y(t) = 0
2
(p)
y = y log t
(q)
y 0 = (1 + y 2 )(1 + t2 )
y(t) =
y(t) = tan
1 3 t 3
+t+K , K ∈R
x2
(r)
(s)
(t)
√ 3
Ke 2 , K∈R y(t) = log x2 1 − Ke 2
y 0 = (1 + ey )t
y 0 = (tan2 t)
, K∈R
2y + 3
y 0 = (1 − y 2 ) sin2 x
3 y(t) = − ± 2 3 y(t) = − 2
y(x) = 1 −
y(x) = −1
2
s
2 4 (tan t − t + K) , K ∈ R 3
2 1+
Kex−sin x cos x
, K∈R
2. Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy, specificandone l’intervallo massimale di definizione.
(a)
Problema di Cauchy
Soluzione
y 2 x(1 √+ 9x ) y(1) = 10
y(x) = √
y0 =
(
Intervallo 10x 1 + 9x2
(0, +∞)
(b)
y 0 = −te−y y(0) = −1
(c)
y0 = t + 1 t(y − 1)
y(t) = 1 −
1 y 0 = (1 − y 2 ) cos x 2 y(0) = 3
y(x) =
y 2 − 5y + 6 x2 + 1 y(0) = 2
y(x) = 2
y 2 − 5y + 6 x2 + 1 y(0) = 2, 5
y(x) = 2 +
1 − e−y 2t + 1 y(0) = 1
√ y(t) = log 1 + (e − 1) 2t + 1
1 1 2 y(t) = log − x e 2
√
2t + 2 log t − 1
q
−
2 , e
q 2 e
(0, +∞)
y(1) = 0
(d)
(e)
(f)
(g)
y0 =
y0 =
y0 =
1 − e−y y = (h) 2t + 1 y(0) = 0
0
2 + esin x 2 − esin x
|x| < arcsin(log 2)
(−∞, +∞)
y(t) = 0
3
1 1 + earctan x
(−∞, +∞)
− 12 , +∞
− 12 , +∞
3. Determinare l’insieme di tutte le soluzioni delle seguenti equazioni omogenee. Equazione differenziale (a)
y0 =
√ y(t) = ±t log t2 + K, K ∈ R
t2 + y 2 ty y
(b) ty 0 = te t + y
(c)
y0 =
2 0
y(t) = −t log (K − log |t|) , K ∈ R √ y(t) = ± 2Kt + K 2 , K ∈ R
y √2 t + t + y2
2
Insieme delle soluzioni
2
(d) 4t y = y + 6ty − 3t
t + 3Kt2 , K∈R 1 − Kt y(t) = −3t
y(t) =
4. Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy, specificandone l’intervallo massimale di definizione. Problema di Cauchy (a)
(b)
y x
y0 = 1 −
y(1) = 1
(
t2 y 0 = 4y 2 + ty + t2 y(1) = 0
Soluzione y(x) =
x2 + 1 2x
y(t) =
t tan(2 log t) 2
4
Intervallo (0, +∞)
π
π
e− 4 , e 4
5. Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni lineari.
(a)
Equazione differenziale
Integrale generale
y 0 = ty + t3
y(t) = Ce 2 t − t2 − 2, C ∈ R
1 2
1 2
y(t) = Ce− 2 t + 1, C ∈ R
(b) y 0 = −ty + t
(c)
2 t+1 y0 = y + t t
1 y(t) = Ct2 − t − , C ∈ R 2
(d) y 0 = (cos t)y + sin t cos t y(t) = Ce− sin t + sin t + 1, C ∈ R 1 1 1 y + ex x x
(e)
y0 =
(f)
y 0 = y tan x +
(g)
y 0 = −2xy + xe−x
(h) y 0 =
1
y(x) = Cx − xe x , C ∈ R
1 sin x 2
y −1 x−2
(i)
y −1 y =− t−2
(j)
y0 =
(k)
y 0 = −ty +
(l)
y 0 = y + sin x
0
y +x+1 x+1
et
1 +1
y(x) = C
1 + log |sin x|, C ∈ R cos x 2
2
y(x) = Ce−x + 12 x2 e−x , C ∈ R
y(x) = C |x − 2| − |x − 2| log |x − 2| , C ∈ R
1 1 1 + − t2 + 2t , C ∈ R y(t) = C t−2 t−2 2
y(x) = (x + 1)(x + C), C ∈ R, x 6= −1
y(t) = e−t (log(et + 1) + C) , C ∈ R
1 y(x) = − (sin x + cos x) + Cex , C ∈ R 2
5
Equazione differenziale (m) y 0 = 2yex
Integrale generale y(x) = Ce2x − ex , C ∈ R
(n)
y 0 = −2y + e−2t
y(t) = Ce−2t + te−2t , C ∈ R
(o)
2t2 ty = y + 1 + t2
y(t) = 2t (arctan t + C) , C ∈ R
(p)
y0 = −
(q)
y 0 = y tan t + t2
y(t) = C
(r)
y +x−2 y =− x + x2
x+1 1 2 x − 3x + 3 log |x + 1| + C, C ∈ R y(t) = x 2
0
1 1 y + 2e t 2 t
0
1
1
y(t) = Ce t + 2te t , C ∈ R
1 + t2 tan t + 2t − 2 tan t, C ∈ R cos t
6. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy, specificandone l’intervallo massimale di definizione. Problema di Cauchy
Soluzione
(
1 y(x) = x2 2
(a)
y˙ = −2xy + x + x3 y(0) = 1
y +x (b) x y(1) = 0
(c)
y˙ =
y−1 y˙ = x log x 1 y =2
Intervallo R
y(x) = −x + x2
(0, +∞)
y(x) = 1 − log x
(0, 1)
e
2x − y (d) x−1 y(0) = 1
y˙ =
y(x) = x + 1
6
(−∞. − 1)
(e)
(f)
(g)
(h)
Problema di Cauchy
Soluzione
y + arctan t 1 + t2 y(0) = 0
y(t) = earctan t − arctan t − 1
2 y + 3t2 t y(2) = 0
y(t) = 3t3 − 6t2
3y + ex (x + 1)3 x+1 y(0) = 2
y(x) = (x + 1)3 (ex + 1)
= −y y˙ cotan x + 2 cos x π =1 y
y(x) = sin x
y0 =
y˙ =
y0 =
2
7
Intervallo
R
(0, +∞)
(−1, +∞)
(0, π)
7. Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni lineari omogenee del secondo ordine.
(a)
Equazione differenziale
Integrale generale
y 00 + y = 0
y(t) = C1 cos t + C2 sin t, C1 , C2 ∈ R
(b) y 00 − 4y = 0
y(t) = C1 e2t + C2 e−2t , C1 , C2 ∈ R
(c)
y(t) = C1 e−6t + C2 e−t , C1 , C2 ∈ R
y¨ + 7y˙ + 6y = 0
(d) y¨ + y˙ + 9y = 0
y(t) = C1 e−3t + C2 te−3t , C1 , C2 ∈ R
(e)
y 00 − 2y 0 + 5y = 0
y(t) = C1 et cos 2t + C2 et sin 2t, C1 , C2 ∈ R
(f)
y 00 + 2y 0 + 2y = 0
y(t) = C1 e−t cos t + C2 e−t sin t, C1 , C2 ∈ R
(g)
y¨ − 5y˙ + 6y = 0
y(t) = C1 e2t + C2 e3t , C1 , C2 ∈ R
(h) y¨ + 2y˙ = 0
y(t) = C1 + C2 te−2t , C1 , C2 ∈ R √ 1 3 3 t t, C1 , C2 ∈ R cos t + C2 e 2 sin 2 2 √
(i)
00
0
y −y +y =0
y(t) = C1 e
1 2
8
t
8. Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni lineari complete del secondo ordine. Equazione differenziale
Integrale generale
y 00 − 2y 0 + y = 2tet
1 y(t) = C1 et + C2 tet + t3 et , C1 , C2 ∈ R 3
(b) y 00 − 2y 0 + y = 2tet
1 y(t) = C1 et + C2 tet + t3 et , C1 , C2 ∈ R 3
(a)
(c)
00
0
2
y + 2y = x − 3x + 1
−2x
y(x) = C1 + C2 e
3 1 3 + x − x2 + x , C1 , C2 ∈ R 6 2
1 1 y(x) = C1 cos x + C2 sin x + x cos x + x2 sin x, C1 , C2 ∈ R 4 4
(d) y¨ + y = x cos x
(e)
y 00 − 3y 0 + 2y = x2
1 3 7 y(t) = C1 ex + C2 e2x + x2 + x + , C1 , C2 ∈ R 2 2 4
(f)
x¨ − x = et sin t
x(t) = C1 ex + C2 e−x −
1 2 sin x − cos x, C1 , C2 ∈ R 5 5
9. Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy. Problema di Cauchy
(a)
(b)
00 0 y − 4y +
(d)
y=0
00 0 y − 4y + 4y = 0
y(t) = e2t − 2te2t
y(0) = 1 y 0 (0) = 0
y¨ + y˙ +
5 2
1
7
y(t) = e 2 t − e 2 t
y(0) = 0 0 y (0) = 3
(c)
7 4
Soluzione
y=0
1
y(t) = e− 2 t 3 cos 32 t + sin 32 t
y(0) = 3 y(0) ˙ =0 y¨ = sin x
y(x) = x − sin x
y(0) = 0
y(0) ˙ =0
9
10. Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy, specificandone l’intervallo massimale di soluzione.
(a)
Problema di Cauchy
Soluzione
0 y sin x − y cos x = ex sin3 x
y(x) = −
π y 2
=0
2 − y − y2 (b) t y(1) = −1
(c)
y0 =
y−2 y0 = 2 (e + x) log(e2 + x)
Intervallo 1 π 1 e 2 sin x + ex sin x(sin x − cos x) 2 2
y(t) = 1 −
t3
6 +2
y(x) = 2 − log(e2 + x)
R
(0, +∞)
(1 − e2 , +∞)
y(0) = 0
(d)
x˙ = x tan t + sin t x(0) = 1
x(t) =
3 1 − cos x 2 cos x 2
10
π π − , 2 2