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Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche R. Notari

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1. Propriet` a del prodotto scalare.

Sia V = Rn lo spazio vettoriale delle n-uple su R. Il prodotto scalare euclideo verifica le seguenti propriet` a : →

→

→

→

→

→

1. u · v = v · u per ogni coppia di vettori → → u, v ∈ V ; →

→

→

→

→

2. u ·( v + w ) = u · v + u · w per ogni → → → scelta dei vettori u , v , w ∈ V ; →

→

→

→

3. u ·(x v ) = x u · v per ogni x ∈ R, e per → → ogni scelta dei vettori u , v ∈ V ; →

→

→

4. u · u ≥ 0 per ogni vettore u ∈ V. Inoltre, → → → → u · u = 0 se, e solo se, u = 0 .

Viceversa, se V ` e uno spazio vettoriale su R ed esiste una funzione (, ) : V × V → R che verifica le propriet` a precedenti, allora (, ) ` e un prodotto scalare su V. 2

2. Lunghezze ed angoli tra vettori. →

Il modulo di un vettore v ∈ Rn ` e definito come q

→

| v |=

→

→

v · v.

Alla base della definizione di angolo tra due vettori c’ ` e il seguente Teorema 1 (disuguaglianza di Schwartz) → → Siano u , v ∈ Rn due vettori. Allora →

→

→

→

| u · v | ≤ | u | | v |. → →

Corollario 2 Siano u , v ∈ Rn due vettori non nulli. Allora →

→

u · v

−1 ≤ → → ≤ 1. | u || v | → →

L’ angolo tra due vettori non nulli u , v ∈ Rn ` e allora l’ unico angolo θ = uv ˆ ∈ [0, π] che verifica →

→

u · v

cos θ = → → , | u || v | e la definizione ` e pienamente consistente.

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3. Proiezione ortogonale.

Teorema 3 Sia U ⊂ Rn un sottospazio di di→ → mensione t ≥ 1, e sia E = ( e 1, . . . , e t) una base ortonormale di U. Il vettore proiezione → ortogonale di v su U ` e uguale a →

→

→

→

→

→

→

projU ( v ) = ( v · e 1) e 1 + · · · + ( v · e t) e t . →

→

Il vettore projU ( v ) dipende da v e da U ma non dalla base ortonormale E scelta in U. Proposizione 4 Sia U ⊂ Rn un sottospazio di dimensione t ≥ 1. Allora la funzione →

→

projU : v ∈ Rn −→ projU ( v ) ∈ Rn ` e un’ applicazione lineare.

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4. Basi ortonormali.

Teorema 5 (Gram-Schmidt) Ogni sottospazio di Rn ha una base ortonormale.

La dimostrazione consiste nel verificare che il seguente algoritmo produce la base ortonormale richiesta, partendo da una base qualsiasi di U. →

→

Input: B = ( u 1, . . . , u t) base di U. → → e Output: E = ( 1, . . . , e t) base ortonormale

di U. → → e 1:= →1 u 1; | u 1|

for i = 2 to t do: → → → v i:= u i − proj → ( u i); → L( u 1 ,..., u i−1 ) → 1 → e i:= → v i; | v i|

end for; 5

5. Complemento ortogonale.

Proposizione 6 Sia U ⊂ Rn un sottospazio.

Allora U ⊥ ` e un sottospazio e verifica U ⊕ U ⊥ = Rn .

Lemma 7 Sia U ⊂ Rn un sottospazio e sia → → v ∈ Rn un vettore. Allora projU ( v ) ` e l’ unico vettore in U che verifica →

→

v − projU ( v ) ∈ U ⊥.

Proposizione 8 Siano U, V ⊂ Rn sottospazi.

Allora valgono le due uguaglianze (U + V )⊥ = U ⊥ ∩ V ⊥, e (U ∩ V )⊥ = U ⊥ + V ⊥.

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6. Calcolo del complemento ortogonale. →

→

Teorema 9 Sia E = ( e 1, . . . , e n) una base ortonormale di Rn. Sia U il sottospazio di Rn generato dai vettori → → u 1, . . . , u t . Allora →

U ⊥ = { v ∈ Rn|AX = 0} →

dove X = [ v ]E , e le righe di A sono uguali a → → [ u 1 ]E , . . . , [ u t ]E . →

Viceversa, se U ` e costituito dai vettori u le → cui componenti X = [ u ]E risolvono il sistema lineare AX = 0 allora U ⊥ ` e generato dai vet→ → tori v 1, . . . , v m le cui componenti rispetto ad E sono uguali alle righe di A.

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7. Isometrie e loro propriet` a .

Proposizione 10 Sia f : Rn → Rn un’ isometria. Allora →

→

1. v e f ( v ) hanno lo stesso modulo, per → ogni vettore v ∈ Rn. → →

2. Per ogni coppia di vettori u , v ∈ Rn l’ angolo uv ˆ ` e uguale all’ angolo formato dalle loro immagini.

3. f ` e inveribile ed f −1 ` e ancora un’ isometria.

4. Sia λ ∈ R un autovalore di f. Allora λ = 1 oppure λ = −1. →

→

5. Sia v un autovettore per f, e sia u un → → e vettore ortogonale a v . Allora f ( u ) ` → ortogonale a v .

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8. Isometrie e basi ortonormali.

Teorema 11 Sia f : Rn → Rn un’ isometria, → → e e sia E = ( 1, . . . , e n) una base ortonormale → → n 0 e di R . Allora E = (f ( 1), . . . , f ( e n)) ` e ancora una base ortonormale di Rn. Viceversa, se f : Rn → Rn ` e un endomorfismo e se →

→

→

→

E = ( e 1, . . . , e n) ed E 0 = (f ( e 1), . . . , f ( e n)) sono basi ortonormali di Rn, allora f ` e un’ isometria.

Infine, sia f : Rn → Rn un endomorfismo, e → → →0 →0 0 e e e siano E = ( 1, . . . , n) ed E = ( 1, . . . , e n) basi ortonormali di Rn. f ` e un’ isometria se, e solo se, ME,E 0 (f ) ` e una matrice ortogonale.

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9. Isometrie di R2 ed R3.

Teorema 12 Le isometrie positive di R2 sono tutte e sole le rotazioni di un angolo θ fissato.

Le isometrie negative di R2 sono tutte e sole le simmetrie ortogonali rispetto ad un sottospazio di R2 di dimensione 1.

Teorema 13 Le isometrie positive di R3 sono tutte e sole le rotazioni di un angolo θ fissato attorno ad un sottospazio di dimensione 1.

Le isometrie negative di R3 sono o simmetrie ortogonali rispetto ad un piano, o simmetrie ortogonali rispetto ad un piano composte con rotazioni intorno al complemento ortogonale al piano.

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10. Endomorfismi simmetrici. →

→

Proposizione 14 Sia E = ( e 1, . . . , e n) una base ortonormale di Rn, e sia f : Rn → Rn un endomorismo di Rn. f ` e simmetrico se, e solo se, ME,E (f ) ` e una matrice simmetrica.

Teorema 15 (Teorema spettrale) Sia f : Rn → Rn un endomorfismo simmetrico. Allora le radici del polinomio caratteristico di f sono tutte reali, dim V (λ) = m(λ) qualunque sia l’ autovalore λ di f, ed infine se λ e µ sono autovalori distinti V (λ) e V (µ) sono ortogonali . Viceversa, se esiste una base ortonormale di Rn di autovettori di f allora f ` e un endomorfismo simmetrico.

Corollario 16 Sia A una matrice reale di ordine n. Esiste una matrice ortogonale P tale che tP AP ` e diagonale se, e solo e, A ` e simmetrica.

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11. Forme quadratiche.

Proposizione 17 Sia q(x1, . . . , xn) una forma quadratica su Rn. Esiste un endomorfismo → n n simmetrico f : R → R per cui, detto v = → → → (x1, . . . , xn) si ha q( v ) = v ·f ( v ).

Teorema 18 Sia q(x1, . . . , xn) una forma quadratica su Rn. Esiste una matrice ortogonale P con det(P ) = 1 che definisce un cambio di coordinate 







x1 X1  ..   .   .  = P  ..  xn Xn su Rn ed in tale sistema di coordinate la forma quadratica q ` e in forma canonica, ossia q(X1, . . . , Xn) = λ1X12 + · · · + λnXn2.

Osservazione 19 Il segno di una forma quadratica pu` o essere letta dagli autovalori dell’ endomorfismo simmetrico associato.

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