Serie di Fourier - Esercizi svolti Esercizio 1. ` data la funzione f con dom(f ) = R, periodica di periodo 2π, tale che E f (x) =
−1
se −π < x < 0 se x = 0 e x = −π se 0 < x < π
0 1
(1)
(onda quadra). 1. Calcolare i coefficienti di Fourier di f . 2. Discutere il tipo di convergenza. 3. Calcolare la somma della serie numerica a segni alterni
∞ (−1)k P k=0
2k + 1
.
4. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione g con dom(g) = R, periodica di periodo 2π, tale che
g(x) =
per −π ≤ x ≤ 0 per 0 < x < π .
0 1
5. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione h con dom(h) = R, periodica di periodo 2π, tale che
h(x) =
per −π ≤ x ≤ −π/2 1 per −π/2 < x < π/2 0 per π/2 ≤ x < π . 0
Esercizio 2. ` data la funzione f con dom(f ) = R, periodica di periodo 2π, tale che f (x) = |x| per A) E x ∈ [−π, π). 1. Calcolare i coefficienti di Fourier di f . 2. Discutere il tipo di convergenza. 3. Calcolare lo scarto in media quadratica tra f e i primi due termini del suo sviluppo di Fourier. 1
2
SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI
∞ P
1 . (2k + 1)2 k=0 5. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione
4. Calcolare la somma della serie numerica
g(x) =
π+x π−x
per −π < x ≤ 0 per 0 < x ≤ π .
B) Si consideri quindi la funzione ϕ definita su tutto R, periodica di periodo 4, tale che ϕ(x) = |x| per x ∈ [−2, 2). 1. Calcolarne i coefficienti di Fourier. 2. Usando l’identit` a di Parseval, calcolare la somma della serie numerica
∞ P
1 . (2k + 1)4 k=0
Esercizio 3. ` data la funzione f , con dom(f ) = R, periodica di periodo 2π, tale che f (x) = | sin x| per E x ∈ [−π, π) (onda raddrizzata). 1. Calcolare i coefficienti di Fourier di f . 2. Discutere il tipo di convergenza. 3. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione g, con dom(g) = R, periodica di periodo 2π, tale che
g(x) =
0 sin x
per −π ≤ x < 0 per 0 ≤ x < π .
SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI
3
SOLUZIONI Esercizio 1. Ricordiamo prima di tutto che se f `e una funzione definita su R, continua a tratti e periodica di periodo 2π, i suoi coefficienti di Fourier sono: 1 π f (x) dx a0 = 2π −π Z π 1 ak = f (x) cos kx dx π −π Z π 1 bk = f (x) sin kx dx . π −π Z
1. Il grafico di f `e mostrato nella Figura 1.
1
−π
π
0
2π
−1
Fig. 1
Si tratta evidentemente di una funzione dispari: pertanto ak = 0 per ogni k = 0, 1, . . .. Inoltre, 2 bk = π
Z π
sin(kx) dx = 0
2 (1 − cos(kπ)) . kπ
In definitiva, vediamo che se k `e pari, bk = 0, mentre se k `e dispari, bk =
4 kπ .
La serie di Fourier di f si scrive: ∞ 4X sin(2k + 1)x 4 sin 3x sin 5x f (x) = = sin x + + + ... . π k=0 2k + 1 π 3 5
(2)
2. La funzione non `e continua, quindi la serie di Fourier di f non converge uniformemente a f su tutto R. Tuttavia le pseudoderivate laterali di f esistono finite in ogni punto. La teoria garantisce allora che la serie di Fourier di f converge: a) a f (x) in ogni punto x in cui f `e continua;
4
SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI
b) al valore regolarizzato (cio`e alla media dei limiti laterali) in ogni punto x in cui f `e discontinua. In particolare, come si pu` o verificare direttamente, la (2) converge a zero in tutti i punti della forma x = mπ, m ∈ Z (in tali punti infatti tutti i termini della serie si annullano). Siccome la definizione (1) assegna effettivamente il valore zero alla funzione f in tutti i punti della forma x = mπ, m ∈ Z, possiamo concludere che la serie di Fourier di f converge puntualmente a f su tutto R. 3. Osserviamo che f (π/2) = 1. Inoltre, sin (2k+1)π = (−1)k per ogni intero k. Dunque, per 2 x = π/2, dallo sviluppo di Fourier di f si ricava: 1 1 1 4 1 − + − + ... π 3 5 7
1=
da cui 1−
1 1 1 π + − + ... = . 3 5 7 4
4. Si verifica facilmente che g(x) = (f (x) + 1)/2, con l’eccezione dei punti della forma x = mπ, m ∈ Z. Quindi, 1 2 sin 3x sin 5x + sin x + + + ... . 2 π 3 5
g(x) =
Si noti che g(x) non `e n´e pari n´e dispari. Nei punti di discontinuit`a la g assume il valore zero, mentre la sua serie di Fourier converge al valore regolarizzato y = 1/2. 5. Infine, si ha h(x) = g(x + π2 ) per ogni x ∈ R. Effettuando la sostituzione, e osservando che π sin α + m 2
=
− cos α cos α
se m = 1, 5, 9, . . . se m = 3, 7, 11, . . .
si ha: 1 2 cos 3x cos 5x cos 7x h(x) = + cos x − + − + ... . 2 π 3 5 7
Si noti che h `e una funzione pari. Esercizio 2. A) Il grafico di f `e mostrato in Figura 2.
1. Si tratta di una funzione pari. Pertanto bk = 0 per ogni k = 1, 2, . . .. Per quanto riguarda il calcolo dei coefficienti ak , si ha:
SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI
5
π
−π
π
0
2π
3π
Fig. 2
a0 =
1 π
Z π
x dx = 0
π 2
e, per k > 1, 4 2 π x cos(kx) dx = 2 [cos(kπ) − 1] π 0 k π dove l’integrale `e stato calcolato per parti. Dunque, se k `e pari il coefficiente ak si annulla, mentre se k `e dispari si ha ak = −4/k 2 π. La serie di Fourier di f (x) si scrive: Z
ak =
∞ π 4X cos(2k + 1)x π 4 cos 3x cos 5x f (x) = − = − + + ... . cos x + 2 π k=0 (2k + 1)2 2 π 9 25
2. Poich´e f (x) `e continua, e la sua derivata `e continua a tratti, la serie di Fourier di f (x) converge uniformemente (e quindi anche puntualmente) a f (x) su tutto R. 3. Si ricordi che la media quadratica di una funzione f sull’intervallo [−π, π] `e data da Z π
||f ||2 =
f 2 (x) dx
1/2
.
−π
Lo scarto in media quadratica tra f e il suo polinomio di Fourier Pn di ordine n `e dato da "
||f − Pn ||2 = ||f ||22 − 2πa20 −
n X
#1/2
(a2k + b2k )
.
k=1
Poich´e bk = 0 per ogni k, i primi due termini della serie di Fourier di f coincidono esattamente con P2 (x). Quindi:
||f − P2 ||2 =
"Z
π
−π
"Z π
=
π 4 |x| − + 2 cos x 2 π
π3 16 |x|2 dx − − 2 2 π −π
#1/2
2
dx
#1/2
s
=
= π3 16 − 2 . 6 π
6
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4. In particolare, per x = 0, si ha: 1 π 4 1 1+ + 0 = f (0) = − + ... 2 π 9 25
da cui si ottiene subito 1 1 π2 =1+ + + ... . 8 9 25 5. Partendo dallo sviluppo gi` a ottenuto per f , si pu`o ottenere lo sviluppo di g in due modi diversi. (i) Osservando che g(x) = π − f (x), si ha subito: π cos 3x cos 5x 4 cos x + + + + ... . 2 π 9 25
g(x) =
(ii) Osservando che g(x) = f (x − π) e ricordando che, se m `e un numero dispari, cos(α − mπ) = − cos α. Il grafico della funzione g `e disegnato nella Figura 3
π
−π
π
0
2π
Fig. 3
B) Consideriamo adesso la funzione ϕ, il cui grafico `e tracciato nella Figura 4.
Ricordiamo che per una funzione di periodo T 6= 0, le formule per calcolare i coefficienti di Fourier sono:
1 a0 = T
Z
T 2
− T2
f (x) dx
SERIE DI FOURIER - ESERCIZI SVOLTI
7
2
−2
2
0
4
6
Fig. 4
ak =
2 T
2 bk = T
T 2
Z
− T2 T 2
Z
f (x) cos k
2π x T
2π f (x) sin k x T
− T2
dx
dx .
1. Usando queste formule, si calcola subito: a0 =
1 4
Z 2
|x| dx =
−2
1 2
Z 2
|x| dx = 1 .
0
Il calcolo di ak per k ≥ 1 richiede anche in questo caso un’integrazione per parti; si ha: 1 ak = 2
Z 2
kπ |x| cos x dx = 2 −2
Z 2 0
kπ x cos x 2
(
dx =
0 −8 k2 π2
se k `e pari se k `e dispari
Infine, essendo ϕ una funzione pari, si ha ancora bk = 0 per k = 1, 2, . . .. La serie di Fourier di ϕ si scrive: ϕ(x) = 1 −
∞ X
8 (2k + 1)π cos x. 2 2 (2k + 1) π 2 k=0
In questo caso, data la forma particolare della funzione, sarebbe stato possibile ricavare i coefficienti di Fourier di ϕ da quelli gi`a calcolati per f nella prima parte dell’esercizio. Limitiamoci al caso k ≥ 1. Effettuando la sostituzione x = (2t)/π, si ha: 1 2
Z 2 −2
|x| cos
kπ x 2
Z 2
dx = 0
=
kπ x dx = 2 Z 2 4 π t cos kt dt = 2 t cos kt dt . π π 0
x cos 2 π
Z π 0
I coefficienti di Fourier di ϕ si ottengono quindi moltiplicando per 2/π i corrispondenti coefficienti di Fourier di f . 2. Per una funzione di periodo T > 0, l’identit`a di Parseval si scrive: Z T /2 −T /2
ϕ2 (x) dx = T a20 +
∞ T X (a2 + b2k ) . 2 k=1 k