Serie di Fourier - Esercizi svolti Esercizio 1. ` data la funzione f con dom(f ) = R, periodica di periodo 2π, tale che E f (x) =
−1
se −π < x < 0 se x = 0 e x = −π se 0 < x < π
0 1
(1)
(onda quadra). 1. Calcolare i coefficienti di Fourier di f . 2. Discutere il tipo di convergenza. 3. Calcolare la somma della serie numerica a segni alterni
∞ (−1)k P k=0
2k + 1
.
4. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione g con dom(g) = R, periodica di periodo 2π, tale che
g(x) =
per −π ≤ x ≤ 0 per 0 < x < π .
0 1
5. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione h con dom(h) = R, periodica di periodo 2π, tale che
h(x) =
per −π ≤ x ≤ −π/2 1 per −π/2 < x < π/2 0 per π/2 ≤ x < π . 0
Esercizio 2. ` data la funzione f con dom(f ) = R, periodica di periodo 2π, tale che f (x) = |x| per A) E x ∈ [−π, π). 1. Calcolare i coefficienti di Fourier di f . 2. Discutere il tipo di convergenza. 3. Calcolare lo scarto in media quadratica tra f e i primi due termini del suo sviluppo di Fourier. 1