Serie di Fourier - Esercizi proposti Esercizio 1. Una corda montata su un supporto viene mantenuta in vibrazione in modo che un punto P , fissato sulla corda, compia 440 oscillazioni complete in un secondo (il suono emesso corrisponde al LA dell’ottava fondamentale). Sollecitati dalla vibrazione della corda, anche i punti del supporto cominciano a vibrare. Il numero di oscillazioni complete che tali punti compiono in un secondo `e uguale al triplo di quelle compiute da P , e l’ampiezza delle oscillazioni di tali punti `e uguale a un quarto dell’ampiezza delle oscillazioni di P . Le due oscillazioni si sovrappongono. Supponendo che per t = 0 il punto P si trovi in posizione di riposo (y = 0), determinare la funzione y = f (t) che descrive nel tempo il moto di P . Disegnare al computer il grafico di f . Risultato. y = f (t) = sin(880πt) + 41 sin(2640πt)
1
0.01
−0.01 −1
Esercizio 2. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione f con dom(f ) = R, periodica di periodo 2π tale che f (x) =
0 x
per −π ≤ x ≤ 0 per 0 < x < π
Discutere inoltre il tipo di convergenza. Risultato. 1
2
SERIE DI FOURIER - ESERCIZI PROPOSTI
a0 = π/4, ak =
0 − k22π
se k `e pari ,b = se k `e dispari k
−1/k 1/k
se k `e pari se k `e dispari
Esercizio 3. A) Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione f , con dom(f ) = R, periodica di periodo 2π, tale che
x per x ∈ (−π, π) 0 per x = −π (onda a dente di sega). Discutere inoltre il tipo di convergenza. f (x) =
B) Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione g, con dom(g) = R, periodica di periodo 2 tale che g(x) = x per −1 ≤ x < 1. Discutere anche in questo caso il tipo di convergenza, con particolare attenzione ai punti di discontinuit` a. Risultato. −2/k se k `e pari A) ∀k ≥ 0, ak = 0; ∀k ≥ 1, bk = 2/k se k `e dispari −2/kπ se k `e pari B) ∀k ≥ 0, ak = 0; ∀k ≥ 1, bk = 2/kπ se k `e dispari Esercizio 4. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione f , con dom(f ) = R, periodica di periodo 2π, tale che π−x −π − x Discutere inoltre il tipo di convergenza. f (x) =
per 0 < x ≤ π per −π < x ≤ 0 .
Risultato. ∀k ≥ 0, ak = 0, bk = 2/k Esercizio 5. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione f , con dom(f ) = R, pari e periodica di periodo 2π tale che f (x) =
π 2
per 0 ≤ x < π2 per π2 ≤ x ≤ π .
−x
0
Risultato. bk = 0 per ogni intero k; a0 = π/8, ak =
2 πk 2
0 4 πk 2
se k `e dispari se k = 4, 8, . . . se k = 2, 6, . . .
Esercizio 6. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione f , con dom(f ) = R, periodica di periodo 2π, tale che f (x) = x2 per per x ∈ [−π, π). Calcolare la somma delle serie numeriche
∞ P
n=1
Risultato. bk = 0; a0 = π 2 /3, ak = (−1)k 4/k2 . ∞ P
n=1
1 n2
= π 2 /6,
∞ P
n=1
(−1)n+1 n2
= π 2 /12
1 n2 ,
∞ P
n=1
(−1)n+1 . n2