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Funzioni in pi` u variabili R. Notari

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1. Limiti per funzioni in pi` u variabili.

Proposizione 1 Sia f definita in D e sia P0 → un punto di accumulazione per D. Sia v un vettore non nullo, e supponiamo che la retta → P0 + t v sia contenuta in D per t ∈ (−δ, δ).

Se esiste il limite limP →P0 f (P ) allora esiste →

anche limt→0 f (P0 + t v ) ed essi sono uguali.

Osservazione 2 Un risultato analogo vale anche se prendiamo una curva qualsiasi per P0 che sia contenuta in D. Il viceversa della Proposizione precedente non vale: anche se il limite ` e sempre lo stesso su tutte le rette, il limite della funzione potrebbe non esistere.

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2. Funzioni continue.

In generale, valgono gli stessi risultati della teoria delle funzioni in una sola variabile, con opportune ipotesi sul dominio D su cui f ` e definita. Ad esempio ricordiamo i seguenti sulle operazioni con funzioni continue ed il teorema della permanenza del segno.

Proposizione 3 Siano f, g due funzioni definite in un insieme D ⊂ Rn e sia P0 ∈ D un punto di accumulazione per D in cui le due funzioni sono continue. Allora le funzioni f +g ed f g sono continue in P0. Se g(P0) 6= 0 allora anche f /g ` e continua in P0.

Proposizione 4 Sia f una funzione definita in D e continua nel punto P0 ∈ D di accumulazione per D. Se f (P0) > 0 esiste un intorno U di P0 tale che f (P ) > 0 in ogni punto P ∈ U ∩ D.

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3. Funzioni derivabili e differenziabili.

Teorema 5 (di Schwarz) Sia f una funzione definita in un aperto D e supponiamo che f possieda derivate parziali fx, fy , fxy in ogni punto di D, con fxy continua, essendo x e y due delle variabili. Allora esiste anche la derivata fyx e si ha fxy = fyx in D. Teorema 6 Sia f una funzione definita in un aperto D, e sia P0 ∈ D. 1. Se tutte le derivate parziali di f sono continue in P0 allora f ` e differenziabile in P0.

2. Se f ` e differenziabile in P0 allora tutte le derivate parziali di f esistono in P0.

Proposizione 7 Sia f definita in un aperto D e sia P0 ∈ D. Se f ` e differenziabile in P0 allora f ` e continua in P0.

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Proposizione 8 Sia f definita in un aperto → D e sia P0 un suo punto interno. Sia v un versore. Se f ` e differenziabile in P0 allora → la derivata direzionale di f nella direzione v esiste ed ` e uguale a d

→

→ f (P0) = ∇f (P0)· v d v dove ∇f ` e il gradiente di f e · ` e il prodotto scalare euclideo di vettori.

Proposizione 9 Sia f una funzione continua in un dominio internamente connesso D ed avente tutte le derivate parziali prime nulle in ogni punto interno a D. Allora f ` e costante.

Proposizione 10 Sia D un dominio avente la propriet` a che ogni retta parallela all’ asse x incontra D lungo un segmento. Sia f una funzione definita e continua in D con derivata parziale prima rispetto ad x identicamente nulla. Allora f non dipende da x.

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4. Piano tangente.

Proposizione 11 Sia f una funzione definita e continua in D e sia differenziabile in A. Allora il piano tangente al grafico {(P, f (P )) ∈ Rn+1|P ∈ D ⊆ Rn} in (A, f (A)) ha equazione →

z = f (A) + ∇f (A)· AP .

Osservazione 12 Nella pratica, oltre a considerare luoghi che sono grafici di funzioni, talvolta vengono considerati luoghi definiti da f = 0 (confronta con le coniche e le quadriche, ad esempio). Per descrivere lo spazio tangente ad un siffatto luogo in un suo punto, usiamo lo spazio tangente al grafico, impropriamente chiamato piano.

In dettaglio, sia S il luogo in Rn definito da f (P ) = 0, e sia A tale che f (A) = 0. Allora il piano tangente ad S in A ` e l’ intersezione del piano tangente al grafico di f con z = 0, e quindi ha equazione →

∇f (A)· AP = 0.

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5. Approssimazione locale.

Per approssimare una funzione, oltre allo spazio lineare tangente, si pu` o usare un polinomio di ordine superiore. Descriviamo quello conosciuto come Polinomio di Taylor, ma arrestato al secondo ordine.

Proposizione 13 (Formula di Taylor ) Sia f una funzione definita, continua, con derivate parziali prime e seconde continue in un aperto D, e sia A ∈ D. Siano ∇f il gradiente di f, ed Hf la matrice Hessiana di f. Il polinomio di Taylor al secondo ordine di f ` e uguale a →

f (A) + ∇f (A)· AP +

→ tAP

→

Hf (A) AP

ed approssima f in A a meno di un infinite→

simo di ordine superiore ad | AP |2.

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6. Massimi e minimi liberi.

Teorema 14 Condizione necessaria affinch´ e la funzione f definita e continua con le sue derivate parziali prime e seconde in D abbia un massimo relativo (risp. minimo relativo) in → A∈D` e che ∇f (A) = 0 e che Hf (A) definisca una forma quadratica semidefinita negativa (risp. semidefinita positiva).

Teorema 15 Condizione sufficiente affinch´ e la funzione f definita e continua con le sue derivate parziali prime e seconde in D abbia un massimo relativo (risp. minimo relativo) in → A∈D` e che ∇f (A) = 0 e che Hf (A) definisca una forma quadratica definita negativa (risp. definita positiva).

Corollario 16 Sia f una funzione definita e continua con le sue derivate parziali prime in → D. Se A ∈ D ` e un punto in cui ∇f = 0 allora il piano tangente al grafico di f ` e parallelo al piano z = 0.

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7. Funzioni vettoriali.

Proposizione 17 Siano f : x ∈ D ⊂ Rn → f (x) ∈ Rm e g : y ∈ T ⊂ Rm → g(y) ∈ Rp due funzioni vettoriali continue e differenziabili nel loro dominio, e supponiamo che f (x) ∈ T per ogni x ∈ D. Allora la funzione composta g◦f ` e continua e differenziabile in D e vale la seguente relazione tra le matrici jacobiane J(g ◦ f )(x0) = J(g)(f (x0))J(f )(x0) dove le matrici jacobiane di g e di f vengono moltiplicate righe per colonne.

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